D - ˇa . cbiˆe . t, biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ a f ⊗ f l`a phˆo ˙’ cˆong suˆa ´ tcu ˙’ a f. (ii) C´ac ph´ep to´an t´ıch chˆa . p v`a tu . o . ng quan chı ˙’ kh´ac nhau bo . ˙’ imˆo . tph´ep quay 180 0 (hay pha ˙’ nxa . )cu ˙’ a g(α, β). Nˆe ´ u h`am g(α, β)d¯ˆo ´ ix´u . ng tu . o . ng ´u . ng qua c´ac tru . c α v`a β th`ı c´ac ph´ep to´an n`ay l`a nhu . nhau. C´ac ph´ep to´an t´ıch chˆa . pv`atu . o . ng quan thu . `o . ng d¯ u . o . . csu . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ nˆang cao chˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh v`a phu . chˆo ` ia ˙’ nh hay d¯ˆo ´ i s´anh a ˙’ nh. Chˇa ˙’ ng ha . n, ´u . ng du . ng cu ˙’ atu . o . ng quan trong xu . ˙’ l´y a ˙’ nh l`a d¯ ˆo ´ i s´anh mˆa ˜ u (template/prototype matching), o . ˙’ d¯´o vˆa ´ nd¯ˆe ` ch´ınh l`a t`ım mˆo . t so s´anh chˇa . t ch˜e nhˆa ´ tgi˜u . amˆo . ta ˙’ nh chu . a biˆe ´ t f v`a mˆo . ttˆa . pc´aca ˙’ nh d¯˜a biˆe ´ t f 0 ,f 1 , ,f n−1 :Tru . ´o . chˆe ´ t t´ınh tu . o . ng quan f ⊗ f i cu ˙’ aa ˙’ nh f chu . abiˆe ´ t v`a c´ac a ˙’ nh f i d¯˜a biˆe ´ t. A ˙’ nh d¯u . o . . cd¯ˆo ´ i s´anh tˆo ´ t nhˆa ´ tl`aa ˙’ nh f i v´o . i gi´a tri . f ⊗ f i  l´o . n nhˆa ´ t. Nhu . trong tru . `o . ng ho . . pcu ˙’ a t´ıch chˆa . pr`o . ira . c, su . ˙’ du . ng biˆe ´ n d¯ ˆo ˙’ i Fourier nhanh cho ph´ep t´ınh tu . o . ng quan hiˆe . u qua ˙’ ho . n. 3.3.9 T´ınh chˆa ´ tcu ˙’ a phˆo ˙’ Trong nhiˆe ` u tru . `o . ng ho . . p phˆo ˙’ Fourier cu ˙’ aa ˙’ nh l`a h`am sˆo ´ gia ˙’ mrˆa ´ t nhanh khi c´ac biˆe ´ n tˆa ` nsˆo ´ tˇang. V`ıvˆa . y, ta thu . `o . ng hiˆe ˙’ n thi . h`am D(u, v) := log(1 + F (u, v)) thay cho h`am F (u, v). Hai thu . ˙’ nghiˆe . m sau cho ta mˆo ´ i liˆen hˆe . gi˜u . a phˆo ˙’ v`a g´oc pha d¯ˆo ´ iv´o . i thˆong tin cu ˙’ a ˙’ nh. Thu . ˙’ nghiˆe . m1 Bu . ´o . c1.Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier 2D cu ˙’ aa ˙’ nh f(x, y). Bu . ´o . c2.T´ınh c´ac g´oc pha ϕ(u, v) = tan −1  I(u, v) R(u, v)  , trong d¯´o I(u, v),R(u, v) l`a c´ac gi´a tri . a ˙’ o v`a thu . . ccu ˙’ abiˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ a f. Bu . ´o . c3.Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier ngu . o . . c 2D cu ˙’ ad˜u . liˆe . u cos[ϕ(u, v)] + i sin[ϕ(u, v)]. 53 Thu . ˙’ nghiˆe . m2 Bu . ´o . c1.Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier 2D cu ˙’ aa ˙’ nh f. Bu . ´o . c2.T´ınh phˆo ˙’ Fourier F (u, v) =  I 2 (u, v)+R 2 (u, v). Bu . ´o . c3.Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier ngu . o . . c 2D cu ˙’ ad˜u . liˆe . u F (u, v)+ i0.0. Hai thu . ˙’ nghiˆe . m trˆen chı ˙’ ra rˇa ` ng, trong hˆa ` uhˆe ´ t c´ac tru . `o . ng ho . . p, thˆong tin cu ˙’ a a ˙’ nh d¯u . o . . cch´u . a trong g´oc pha; v`a do d¯´o v´o . i c´ac b`ai to´an nˆang cao chˆa ´ tlu . o . . ng a ˙’ nh, ch´ung ta cˆa ` n tr´anh ph´a hu ˙’ yd¯ˇa . c tru . ng pha. H`ınh 3.2: Thu . ˙’ nghiˆe . m1. H`ınh 3.3: Thu . ˙’ nghiˆe . m2. Cuˆo ´ ic`ung, do phˆo ˙’ Fourier cu ˙’ aa ˙’ nh gia ˙’ mrˆa ´ t nhanh khi tˆa ` nsˆo ´ tˇang nˆen theo d¯i . nh l´y lˆa ´ ymˆa ˜ ucu ˙’ a Whittaker v`a Shannon [] ta c´o thˆe ˙’ tˇang d¯ˆoi k´ıch thu . ´o . ca ˙’ nh. Thuˆa . t to´an nhu . sau. 54 H`ınh 3.4: A ˙’ nh gˆo ´ c f v`a phˆo ˙’ Fourier cu ˙’ a f. Bu . ´o . c1.X´et a ˙’ nh f(x, y) c´o k´ıch thu . ´o . c M × N. Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier 2D F (u, v):=F  (−1) x+y f(x, y)  . Bu . ´o . c2.D - ˇa . t G(u, v):=    F (u − M 2 ,v− N 2 )nˆe ´ u M 2 ≤ u<M+ M 2 , N 2 ≤ v<N+ N 2 , 0nˆe ´ u ngu . o . . cla . i, trong d¯´o u =0, 1, ,2M − 1, v`a v =0, 1, ,2N −1. Bu . ´o . c3. Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier ngu . o . . ccu ˙’ a G(u, v) ta c´o a ˙’ nh g d¯ u . o . . c tˇang k´ıch thu . ´o . cgˆa ´ p d¯ˆoi. H`ınh 3.4-3.5 minh ho . a c´ac kˆe ´ t qua ˙’ . 3.4 Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier nhanh Sˆo ´ c´ac ph´ep nhˆan v`a cˆo . ng ph´u . ccˆa ` n thiˆe ´ t trong Phu . o . ng tr`ınh (3.1) tı ˙’ lˆe . v´o . i N 2 . Trong phˆa ` n n`ay ta chı ˙’ ra rˇa ` ng, bˇa ` ng viˆe . c phˆan t´ıch (3.1), sˆo ´ c´ac ph´ep to´an nhˆan v`a cˆo . ng ph´u . cc´othˆe ˙’ gia ˙’ m v`a tı ˙’ lˆe . v´o . i N log 2 N. Phu . o . ng ph´ap phˆan t´ıch n`ay d¯u . o . . cgo . il`athuˆa . t to´an biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier nhanh,k´yhiˆe . u FFT. 3.4.1 Thuˆa . t to´an FFT Tru . ´o . chˆe ´ tx´et ph´ep biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier r`o . ira . cmˆo . tchiˆe ` u F (u)= 1 N N−1  x=0 f(x)W ux N , 55 H`ınh 3.5: A ˙’ nh g v`a phˆo ˙’ Fourier cu ˙’ a g. trong d¯´o W N := e −2πi/N v`a N =2 n ,n∈ N. V`ı N =2M, nˆen F (u)= 1 2M 2M−1  x=0 f(x)W ux 2M = 1 2  1 M M−1  x=0 f(2x)W u(2x) 2M + 1 M M−1  x=0 f(2x +1)W u(2x+1) 2M  . Nhu . ng W u(2x) 2M = W ux M . Do d¯´o F (u)= 1 2  1 M M−1  x=0 f(2x)W ux M + 1 M M−1  x=0 f(2x +1)W ux M W u 2M  = 1 2 [F even (u)+F old (u)W u 2M ] , (3.11) trong d¯´o  F even (u):= 1 M  M−1 x=0 f(2x)W ux M , F old (u):= 1 M  M−1 x=0 f(2x +1)W ux M , (3.12) v´o . i u =0, 1, ,M −1. Mˇa . t kh´ac, do W u+M M = W u M v`a W u+M 2M = −W u 2M nˆen F (u + M)= 1 2 [F even (u) − F old (u)W u 2M ] . (3.13) C´ac d¯ˇa ˙’ ng th´u . c (3.11)-(3.13) chı ˙’ ra rˇa ` ng ph´ep biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i N d¯ i ˆe ˙’ m {f(0),f(1), ,f(N)} 56 th`anh N d¯ i ˆe ˙’ m {F (0),F(1), ,F(N)} c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . c t´ınh bˇa ` ng c´ach t´ach biˆe ˙’ uth´u . cgˆo ´ c th`anh hai phˆa ` nnhu . trong (3.11) v`a (3.12). D - ˆe ˙’ t´ınh nu . ˙’ ad¯ˆa ` u tiˆen, F (u) ,u=0, ,N/2 − 1, ta cˆa ` n hai ph´ep biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i trˆen N/2d¯iˆe ˙’ mnhu . trong (3.12). Sau d¯´o c´ac gi´a tri . F even (u)v`aF old (u) thay v`ao d¯ˆe ˙’ nhˆa . n d¯ u . o . . c F (u)v´o . i u =0, 1, ,(N/2 − 1). Nu . ˙’ ath´u . hai, F ( u),u = N/2, ,N, suy tru . . c tiˆe ´ pt`u . (3.13). Kˆe ´ tiˆe ´ ptax´et tru . `o . ng ho . . p hai chiˆe ` u. Nhˇa ´ cla . il`a F (u, v)= 1 MN M−1  x=0  N−1  y=0 f(x, y)e −2πi vy N  e −2πi ux M = 1 M M−1  x=0 G(x, v)e −2πi ux M , (3.14) trong d¯´o G(x, v):= 1 N N−1  y=0 f(x, y)e −2πi vy N , (3.15) v´o . i x =0, 1, ,M −1, v`a v =0, 1, ,N − 1. Phu . o . ng tr`ınh (3.15) c´o thˆe ˙’ khai triˆe ˙’ nnhu . sau G(0,v)= N−1  y=0 f(0,y)e −2πi vy N , G(1,v)= N−1  y=0 f(1,y)e −2πi vy N , . . . G(M − 1,v)= N−1  y=0 f(M − 1,y)e −2πi vy N . Mˆo ˜ ibiˆe ˙’ uth´u . c trˆen l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier r`o . ira . cmˆo . t chiˆe ` ucu ˙’ amˆo . t h`ang trong a ˙’ nh f(x, y). 57 . W u+M 2M = −W u 2M nˆen F (u + M)= 1 2 [F even (u) − F old (u)W u 2M ] . (3. 13) C´ac d¯ˇa ˙’ ng th´u . c (3. 11 )-( 3. 13) chı ˙’ ra rˇa ` ng ph´ep biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i N d¯ i ˆe ˙’ m {f(0),f(1), ,f(N)} 56 th`anh. thu . ´o . cgˆa ´ p d¯ˆoi. H`ınh 3. 4 -3 .5 minh ho . a c´ac kˆe ´ t qua ˙’ . 3. 4 Biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier nhanh Sˆo ´ c´ac ph´ep nhˆan v`a cˆo . ng ph´u . ccˆa ` n thiˆe ´ t trong Phu . o . ng tr`ınh (3. 1) tı ˙’ lˆe . v´o . i. phˆa ` nnhu . trong (3. 11) v`a (3. 12). D - ˆe ˙’ t´ınh nu . ˙’ ad¯ˆa ` u tiˆen, F (u) ,u=0, ,N/2 − 1, ta cˆa ` n hai ph´ep biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i trˆen N/2d¯iˆe ˙’ mnhu . trong (3. 12). Sau d¯´o c´ac