8.4 H`ınh th´ai ho . c Thuˆa . tng˜u . h`ınh th´ai ho . c (morphology) d¯u . o . . csu . ˙’ du . ng trong sinh ho . cd¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ n qu´a tr`ınh nghiˆen c´u . u h`ınh da . ng v`a cˆa ´ utr´uc cu ˙’ ad¯ˆo . ng vˆa . t v`a thu . . cvˆa . t. Ch´ung ta su . ˙’ du . ng tu . o . ng tu . . thuˆa . tng˜u . n`ay o . ˙’ d¯ˆay trong khung ca ˙’ nh h`ınh th´ai ho . c to´an ho . c (mathematical morphology) nhu . mˆo . t cˆong cu . d¯ ˆe ˙’ t´ach ra c´ac th`anh phˆa ` ncu ˙’ aa ˙’ nh cho ph´ep biˆe ˙’ udiˆe ˜ n v`a miˆeu ta ˙’ h`ınh da . ng cu ˙’ av`ung, nhu . biˆen, bˆo . khung v`a bao lˆo ` i. Ch´ung ta c˜ung quan tˆam d¯ˆe ´ n c´ac phu . o . ng ph´ap h`ınh th´ai ho . c trong tiˆe ´ n tr`ınh tiˆe ` nxu . ˙’ l´y a ˙’ nh nhu . lo . ch`ınh th´ai ho . c, l`am g`ay (thinning) v`a ph´ep tı ˙’ a (pruning). Ngˆon ng˜u . cu ˙’ a h`ınh th´ai (to´an) ho . cl`al´y thuyˆe ´ ttˆa . pho . . p. Theo ngh˜ıa thˆong thu . `o . ng, h`ınh th´ai ho . c cung cˆa ´ pmˆo . t c´ach tiˆe ´ pcˆa . n thˆo ´ ng nhˆa ´ t v`a c´o a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng l´o . n d¯ ˆe ´ nmˆo . tsˆo ´ c´ac b`ai to´an xu . ˙’ l´y a ˙’ nh. C´ac tˆa . pho . . p trong h`ınh th´ai ho . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ n h`ınh da . ng cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ´ itu . o . . ng trong a ˙’ nh. Chˇa ˙’ ng ha . n, tˆa . ptˆa ´ tca ˙’ c´ac pixel d¯en trong a ˙’ nh nhi . phˆan l`a mˆo . tmiˆeu ta ˙’ d¯ ˆa ` yd¯u ˙’ cu ˙’ aa ˙’ nh. Trong c´ac a ˙’ nh nhi . phˆan, c´ac tˆa . pd¯u . o . . cx´et thu . `o . ng l`a tˆa . p con cu ˙’ a Z 2 (xem Phˆa ` n 2.2.1), trong d¯´o mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ atˆa . pl`acˇa . pto . a d¯ ˆo . (x, y)cu ˙’ a pixel (chˇa ˙’ ng ha . n) d¯en trong a ˙’ nh. C´ac a ˙’ nh sˆo ´ gi´a tri . x´am c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n l`a c´ac tˆa . p con cu ˙’ a Z 3 . Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, hai th`anh phˆa ` nd¯ˆa ` utu . o . ng ´u . ng to . a d¯ ˆo . trong a ˙’ nh v`a th`anh phˆa ` nth´u . ba tu . o . ng ´u . ng cu . `o . ng d¯ˆo . s´ang cu ˙’ an´ota . i d¯´o. C´ac tˆa . p trong khˆong gian c´o sˆo ´ chiˆe ` u cao ho . nc´othˆe ˙’ ch´u . anh˜u . ng thuˆo . c t´ınh kh´ac cu ˙’ aa ˙’ nh nhu . m`au sˇa ´ c hay c´ac th`anh phˆa ` n thay d¯ˆo ˙’ i theo th`o . i gian. Trong phˆa ` ntiˆe ´ p theo ch´ung ta tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe . m quan tro . ng trong h`ınh th´ai ho . c v`a trˆen co . so . ˙’ d¯´o t`ım c´ac d¯ˇa . c tru . ng cu ˙’ aa ˙’ nh, chˇa ˙’ ng ha . nbˆo . khung v`a biˆen cu ˙’ av`ung s˜e d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh thˆong qua c´ac ph´ep to´an h`ınh th´ai ho . c. Nhiˆe ` u ph´ep to´an c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . c ph´at biˆe ˙’ u trong khˆong gian Euclid n chiˆe ` u, tuy nhiˆen ch´ung ta vˆa ˜ ntˆa . p trung chu ˙’ yˆe ´ u v`ao c´ac a ˙’ nh nhi . phˆan m`a c´ac th`anh phˆa ` ncu ˙’ a n´o l`a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a Z 2 . Viˆe . cmo . ˙’ rˆo . ng d¯ˆo ´ iv´o . ic´aca ˙’ nh gi´a tri . x´am s˜e d¯u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ n trong Phˆa ` n 8.4.5. 8.4.1 Ph´ep d˜an v`a ph´ep co Tru . ´o . chˆe ´ tch´ung ta x´et hai ph´ep to´an co . ba ˙’ n nhˆa ´ t trong c´ac ph´ep to´an h`ınh th´ai ho . c: ph´ep d˜an (dilation) v`a ph´ep co (erosion). 256 C´ac d¯i . nh ngh˜ıa Gia ˙’ su . ˙’ A v`a B l`a c´ac tˆa . p con cu ˙’ a Z 2 . Ti . nh tiˆe ´ n cu ˙’ a A theo vector x, k´yhiˆe . u(A) x , x´ac d¯ i . nh bo . ˙’ i (A) x := {a + x | x ∈ A}. D - ˆo ´ ix´u . ng cu ˙’ a B (qua gˆo ´ c), k´y hiˆe . u ˆ B, x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i ˆ B := {−x | x ∈ B}. Phˆa ` nb`u cu ˙’ atˆa . p A l`a A c := {x | x/∈ A}. Hiˆe . u cu ˙’ a hai tˆa . p A v`a B, k´yhiˆe . u A \B, x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i A \B := {x | x ∈ A,x /∈ B}. Ph´ep d˜an Gia ˙’ su . ˙’ A v`a B l`a hai tˆa . p con cu ˙’ a Z 2 . Ph´ep d˜an cu ˙’ a A bo . ˙’ itˆa . p B, k´yhiˆe . u A ⊕B, x´ac d¯ i . nh nhu . sau A ⊕B := {x | A ∩( ˆ B) x = ∅}. Dˆe ˜ d`ang ch´u . ng minh rˇa ` ng A ⊕B = {x | [A ∩( ˆ B) x ] ⊂ A}. Tˆa . p B thu . `o . ng go . il`aphˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc. Ngo`ai d¯i . nh ngh˜ıa trˆen cu ˙’ a ph´ep d˜an, ch´ung ta c`on hai d¯i . nh ngh˜ıa tu . o . ng d¯u . o . ng kh´ac Tuy nhiˆen, d¯i . nh ngh˜ıa n`ay tiˆe . ndu . ng ho . n v`ı n´o tru . . c quan ho . n khi phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ u tr ´uc d¯u . o . . c xem nhu . mˆo . tmˇa . tna . t´ıch chˆa . p. Mˇa . cd`u ph´ep d˜an du . . a trˆen c´ac ph´ep to´an tˆa . pho . . p trong khi d¯´o t´ıch chˆa . pdu . . a v`ao c´ac ph´ep to´an sˆo ´ ho . cnhu . ng c´o su . . tu . o . ng tu . . gi˜u . a hai ph´ep to´an n`ay: “lˆa . t” B qua gˆo ´ cto . ad¯ˆo . v`a sau d¯´o di chuyˆe ˙’ n ˆ B liˆen tiˆe ´ p trˆen tˆa . p(a ˙’ nh) A tu . o . ng tu . . v´o . i qu´a tr`ınh xu . ˙’ l´y t´ıch chˆa . p. V´ı du . 8.4.1 H`ınh 8.11(a) l`a tˆa . p A v`a H`ınh 8.11(b) l`a phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc c´o t´ınh chˆa ´ t d¯ ˆo ´ ix´u . ng qua gˆo ´ c(t´u . cl`a ˆ B = B). C´ac d¯u . `o . ng n´et d¯´u . t trong H`ınh 8.11(c) l`a a ˙’ nh gˆo ´ c (d¯ˆe ˙’ tiˆe . n tham kha ˙’ o), v`a d¯u . `o . ng liˆe ` n n´et l`a a ˙’ nh sau khi d˜an. H`ınh 8.11(d)-(e) l`a mˆo . t v´ıdu . kh´ac vˆe ` ph´ep d˜an. 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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− − − d/2 d/2 d A ⊕B A ⊕B (a) (b) (c) (d) (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • H`ınh 8.11: (a) A ˙’ nh ban d¯ˆa ` u A; (b) phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc c´o t´ınh d¯ˆo ´ ix´u . ng qua gˆo ´ cto . ad¯ˆo . ; (c) d˜an A bo . ˙’ i B (phˆa ` n x´am); (d) phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc d¯u . o . . ck´eo d`ai; (e) d˜an A su . ˙’ du . ng phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc n`ay. 258 Ph´ep co Gia ˙’ su . ˙’ A v`a B l`a hai tˆa . p con cu ˙’ a Z 2 . Ph´ep co cu ˙’ a A bo . ˙’ itˆa . p B, k´yhiˆe . u A  B, d¯ i . nh ngh˜ıa nhu . sau: A B := {x | (B) x ⊂ A}. Tu . o . ng tu . . ph´ep d˜an, c`on c´o hai d¯i . nh ngh˜ıa tu . o . ng d¯u . o . ng kh´ac cu ˙’ a ph´ep co (xem B`ai tˆa . p ??), tuy nhiˆen d¯i . nh ngh˜ıa trˆen cho ph´ep dˆe ˜ t´ınh to´an ho . n. V´ı du . 8.4.2 Tˆa . p A trong H`ınh 8.12(a) d¯u . o . . ccobo . ˙’ i phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc (H`ınh 8.12(b)): kˆe ´ t qua ˙’ trong H`ınh 8.12(c) (phˆa ` n x´am, d¯u . `o . ng d¯´u . tn´et d¯ˆe ˙’ tham kha ˙’ o). H`ınh 8.12(e) l`a kˆe ´ t qua ˙’ khi co A bo . ˙’ i phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc d¯u . o . . ck´eo d`ai (H`ınh 8.12(d)). T´ınh chˆa ´ t 8.4.3 Ph´ep d˜an v`a ph´ep co l`a d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u nhau qua ph´ep lˆa ´ y phˆa ` nb`u v`a d¯ˆo ´ i x´u . ng; t´u . cl`a (A B) c = A c ⊕ ˆ B. Ch´u . ng minh. Thˆa . tvˆa . y ta c´o (A B) c = {x | (B) x ⊂ A} c . Nhu . ng (B) x ⊂ A tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i(B) x ∩ A c = ∅. Do d¯´o (A B) c = {x | (B) x ∩ A c = ∅} c . Vˆa . y {x | (B) x ∩ A c = ∅} c = {x | (B) x ∩ A c = ∅} = A c ⊕ ˆ B. ✷ 8.4.2 Ph´ep mo . ˙’ v`a ph´ep d¯´ong Nhu . d¯˜a biˆe ´ t, ph´ep d˜an mo . ˙’ rˆo . ng a ˙’ nh, trong khi ph´ep co r´ut go . nla . i. Trong phˆa ` n n`ay ch´ung ta x´et hai ph´ep to´an h`ınh th´ai ho . c kh´ac: ph´ep mo . ˙’ v`a ph´ep d¯´ong. Ph´ep mo . ˙’ thu . `o . ng l`am tro . n chu tuyˆe ´ ncu ˙’ aa ˙’ nh, loa . ibo ˙’ c´ac eo v`a nh˜u . ng phˆa ` n nhˆo ra c´o k´ıch thu . ´o . c nho ˙’ . Ph´ep d¯´ong c˜ung l`am tro . n c´ac d¯oa . n biˆen cu ˙’ a chu tuyˆe ´ nnhu . ng ngu . o . . cv´o . i ph´ep mo . ˙’ , ph´ep to´an n`ay thu . `o . ng ho . . p nhˆa ´ t c´ac chˆo ˜ gˆa ˜ yhe . p v`a c´ac hˆo ´ sˆau he . p, loa . ibo ˙’ c´ac lˆo ˜ hˆo ˙’ ng nho ˙’ v`a l`am d¯ˆa ` y c´ac k˜e ho . ˙’ trong chu tuyˆe ´ n. 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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H`ınh 8.12: (a) A ˙’ nh ban d¯ˆa ` u A; (b) phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc B; (c) co A bo . ˙’ i B (phˆa ` n x´am); (d) phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc d¯u . o . . ck´eo d`ai; (e) co A su . ˙’ du . ng phˆa ` ntu . ˙’ cˆa ´ utr´uc n`ay. 260 . nhˆa ´ t trong c´ac ph´ep to´an h`ınh th´ai ho . c: ph´ep d˜an (dilation) v`a ph´ep co (erosion). 2 56 C´ac d¯i . nh ngh˜ıa Gia ˙’ su . ˙’ A v`a B l`a c´ac tˆa . p con cu ˙’ a Z 2 . Ti . nh tiˆe ´ n. cu ˙’ a A theo vector x, k´yhiˆe . u(A) x , x´ac d¯ i . nh bo . ˙’ i (A) x := {a + x | x ∈ A}. D - ˆo ´ ix´u . ng cu ˙’ a B (qua gˆo ´ c), k´y hiˆe . u ˆ B, x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i ˆ B := {−x |. gˆo ´ c (d¯ˆe ˙’ tiˆe . n tham kha ˙’ o), v`a d¯u . `o . ng liˆe ` n n´et l`a a ˙’ nh sau khi d˜an. H`ınh 8.11(d )-( e) l`a mˆo . t v´ıdu . kh´ac vˆe ` ph´ep d˜an. 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .