v`ıchˇa ˙’ ng ha . n, a 11 l`a sˆo ´ lˆa ` nmˆo . td¯iˆe ˙’ mv´o . im´u . c x´am z 1 = 0 xuˆa ´ thiˆe . nmˆo . t pixel o . ˙’ vi . tr´ı ph´ıa du . ´o . i bˆen pha ˙’ iv´o . im´u . c x´am z 1 =0, v`a a 13 l`a sˆo ´ lˆa ` nmˆo . td¯iˆe ˙’ mv´o . im´u . c x´am z 1 =0 xuˆa ´ thiˆe . nmˆo . t pixel o . ˙’ vi . tr´ı ph´ıa du . ´o . i bˆen pha ˙’ iv´o . im´u . c x´am z 3 =2. K´ıch thu . ´o . ccu ˙’ a A bˇa ` ng sˆo ´ c´ac m´u . c x´am phˆan biˆe . t trong a ˙’ nh. Do d¯´o c´ac kh´ai niˆe . m trong phˆa ` n n`ay thu . `o . ng d¯`oi ho ˙’ icu . `o . ng d¯ˆo . s´ang d¯u . o . . clu . o . . ng tu . ˙’ ho´a la . i th`anh mˆo . tda ˙’ iv´o . im´u . c x´am ´ıt ho . nd¯ˆe ˙’ dˆe ˜ d`ang xu . ˙’ l´y. D - ˇa . t n l`a tˆo ˙’ ng sˆo ´ c´ac cˇa . pd¯iˆe ˙’ m trong a ˙’ nh thoa ˙’ t´ınh chˆa ´ t P (trong v´ıdu . trˆen, n = 16). X´et ma trˆa . n C, go . il`ama trˆa . nd¯ˆo ` ng xa ˙’ yram´u . c x´am, nhˆa . nd¯u . o . . ct`u . A bˇa ` ng c´ach chia tˆa ´ tca ˙’ c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ an´ochon. Khi d¯´o c ij l`a mˆo . tu´o . clu . o . . ng x´ac suˆa ´ tmˆo . t cˇa . pd¯iˆe ˙’ m thoa ˙’ m˜an P c´o gi´a tri . (z i ,z j ). V`ı C phu . thuˆo . c v`ao P nˆen c´o thˆe ˙’ ph´at hiˆe . nsu . . hiˆe . ndiˆe . ncu ˙’ amˆo . tmˆa ˜ ukˆe ´ tcˆa ´ u d¯˜a cho bˇa ` ng c´ach cho . nmˆo . t to´an tu . ˙’ vi . tr´ı th´ıch ho . . p. Chˇa ˙’ ng ha . n, to´an tu . ˙’ vi . tr´ı trong v´ı du . trˆen nha . yca ˙’ mv´o . i c´ac d¯u . `o . ng c´o d¯ˆo . nghiˆeng −45 0 v´o . im´u . c x´am hˇa ` ng. (Ch´u´yrˇa ` ng gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t trong A l`a a 11 =4mˆo . t phˆa ` n do mˆo . t d¯oa . n c´ac d¯iˆe ˙’ mcu . `o . ng d¯ˆo . 0v`ac´od¯ˆo . nghiˆeng −45 0 ). Tˆo ˙’ ng qu´at ho . n, b`ai to´an phˆan loa . ikˆe ´ tcˆa ´ ucu ˙’ av`ung d¯u . avˆe ` viˆe . c phˆan t´ıch ma trˆa . n C tu . o . ng ´u . ng v`ung. Mˆo . t tˆa . p c´ac miˆeu ta ˙’ h˜u . u ´ıch bao gˆo ` m (1) x´ac suˆa ´ tcu . . cd¯a . i max ij c ij ; (2) moment hiˆe . ubˆa . c k :  i  j (i − j) k c ij ; (3) nghi . ch d¯a ˙’ o moment hiˆe . ubˆa . c k :  i  j c ij /(i − j) k (i = j); (4) entropy −  i  j c ij log c ij ; (5) t´ınh d¯ˆo ` ng da . ng (uniformity)  i  j c 2 ij . ´ Ytu . o . ˙’ ng l`a d¯ˇa . c tru . ng ho´a nˆo . i dung cu ˙’ a C qua c´ac miˆeu ta ˙’ n`ay. Chˇa ˙’ ng ha . n, t´ınh chˆa ´ td¯ˆa ` utiˆen cho mˆo . tdˆa ´ uhiˆe . uvˆe ` d¯´ap ´u . ng ma . nh nhˆa ´ td¯ˆo ´ iv´o . i P (nhu . trong v´ıdu . 251 trˆen). Miˆeu ta ˙’ th ´u . hai c´o gi´a tri . thˆa ´ ptu . o . ng d¯ˆo ´ i khi c´ac gi´a tri . cao cu ˙’ a C nˇa ` mgˆa ` n d¯ u . `o . ng ch´eo ch´ınh do c´ac hiˆe . usˆo ´ (i −j) nho ˙’ ta . i d¯´o. Miˆeu ta ˙’ th ´u . ba c´o hiˆe . u qua ˙’ ngu . o . . c la . i. Miˆeu ta ˙’ th ´u . tu . l`a mˆo . td¯ˆo . d¯o ngˆa ˜ u nhiˆen, d¯a . t gi´a tri . cao nhˆa ´ t khi tˆa ´ tca ˙’ c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a C bˇa ` ng nhau. Ngu . o . . cla . i, miˆeu ta ˙’ th ´u . nˇam nho ˙’ nhˆa ´ t khi c´ac phˆa ` ntu . ˙’ c ij bˇa ` ng nhau. Phu . o . ng ph´ap su . ˙’ du . ng c´ac miˆeu ta ˙’ n`ay l`a “da . y” cho mˆo . thˆe . thˆo ´ ng biˆe ˙’ udiˆe ˜ n c´ac gi´a tri . miˆeu ta ˙’ d¯ ˆo ´ iv´o . itˆa . pc´ackˆe ´ tcˆa ´ u kh´ac nhau. Kˆe ´ tcˆa ´ ucu ˙’ amˆo . tv`ung chu . abiˆe ´ t s˜e d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bˇa ` ng c´ach d¯ˆo ´ i s´anh c´ac miˆeu ta ˙’ cu ˙’ an´ov´o . i c´ac miˆeu ta ˙’ lu . utr˜u . sˇa ˜ n trong hˆe . thˆo ´ ng v`a t`ım ra kˆe ´ tcˆa ´ ugˆa ` n nhˆa ´ t. Chi tiˆe ´ tcu ˙’ a b`ai to´an d¯ˆo ´ i s´anh d¯u . o . . c tr`ınh b`ay trong Chu . o . ng 9. Phu . o . ng ph´ap cˆa ´ utr´uc Nhu . tr`ınh b`ay phˆa ` nd¯ˆa ` u, phu . o . ng ph´ap th´u . hai d¯ˆe ˙’ miˆeu ta ˙’ kˆe ´ tcˆa ´ udu . . a trˆen c´ac kh´ai niˆe . mcˆa ´ utr´uc. Gia ˙’ su . ˙’ ta c´o mˆo . t nguyˆen tˇa ´ cda . ng S → aS tu . o . ng ´u . ng k´yhiˆe . u S c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . il`aaS (chˇa ˙’ ng ha . n, ´ap du . ng nguyˆen tˇa ´ c n`ay ba lˆa ` n ta c´o aaaS). Nˆe ´ u a biˆe ˙’ udiˆe ˜ n d¯ u . `o . ng tr`on (H`ınh ??(a)) v`a chuˆo ˜ ida . ng aaa . ngh˜ıa l`a “c´ac d¯u . `o . ng tr`on bˆen pha ˙’ i” th`ı nguyˆen tˇa ´ c S → aS ta . o ra mˆo . tmˆa ˜ ukˆe ´ tcˆa ´ ugˆo ` mbad¯u . `o . ng tr`on. Gia ˙’ su . ˙’ ta thˆem mˆo . tsˆo ´ nguyˆen tˇa ´ c v`ao so . d¯ ˆo ` n`ay: S → bA, A → cA, A → c, A → bS, S → a, trong d¯´o b c´o ngh˜ıa “d¯u . `o . ng tr`on ph´ıa du . ´o . i”, c c´o ngh˜ıa “d¯u . `o . ng tr`on bˆen tr´ai”. Khi d¯´o ta c´o thˆe ˙’ ta . o ra chuˆo ˜ i aaabccbaa tu . o . ng ´u . ng ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p3v´o . i c´ac phˆa ` ntu . ˙’ l`a c´ac d¯u . `o . ng tr`on. C´ac mˆa ˜ ul´o . nho . nnhu . trong H`ınh ??(c) d¯u . o . . cta . ora tu . o . ng tu . . .Ch´u´yrˇa ` ng, c´ac nguyˆen tˇa ´ c n`ay c˜ung sinh ra c´ac cˆa ´ utr´uc khˆong ch´ınh qui. ´ Ytu . o . ˙’ ng co . ba ˙’ ncu ˙’ aphu . o . ng ph´ap trˆen l`a c´ac cˆa ´ utr´uc ph´u . cta . pc´othˆe ˙’ d¯ u . o . . cta . o ra t `u . c´ac cˆa ´ utr´uc d¯o . n gia ˙’ nbˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng mˆo . tsˆo ´ c´ac nguyˆen tˇa ´ cbi . gi´o . iha . nbo . ˙’ i sˆo ´ kha ˙’ nˇang sˇa ´ pxˆe ´ p c´ac nguyˆen so . . C´ac kh´ai niˆe . m n`ay l`a co . so . ˙’ cu ˙’ a c´ac miˆeu ta ˙’ quan hˆe . -mˆo . tvˆa ´ nd¯ˆe ` s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay chi tiˆe ´ t trong Phˆa ` n 8.5. Phu . o . ng ph´ap phˆo ˙’ Nhu . chı ˙’ ra trong c´ac Phˆa ` n 5.7 v`a 5.8, phˆo ˙’ Foureir th´ıch ho . . pv´o . imiˆeu ta ˙’ mˆo . t c´ach tru . . ctiˆe ´ p t´ınh tuˆa ` n ho`an hay gˆa ` n tuˆa ` n ho`an cu ˙’ a c´ac mˆa ˜ u trong a ˙’ nh. C´ac mˆa ˜ u to`an cu . c n`ay mˇa . cd`udˆe ˜ d`ang phˆan biˆe . t do su . . tˆa . p trung d¯ˆo . t ngˆo . tcu ˙’ a nˇang lu . o . . ng cao trong 252 phˆo ˙’ nhu . ng n´oi chung rˆa ´ t kh´o ph´at hiˆe . nbˇa ` ng phu . o . ng ph´ap miˆe ` n khˆong gian do ba ˙’ n chˆa ´ td¯i . aphu . o . ng cu ˙’ aphu . o . ng ph´ap n`ay. O . ˙’ d¯ˆay ch´ung ta kha ˙’ o s´at ba d¯ˇa . c tru . ng cu ˙’ a phˆo ˙’ Fourier thu . `o . ng d`ung trong miˆeu ta ˙’ kˆe ´ tcˆa ´ u: (1) c´ac n´ui nˆo ˙’ ibˆa . t trong phˆo ˙’ cho hu . ´o . ng ch´ınh cu ˙’ a c´ac mˆa ˜ ukˆe ´ tcˆa ´ u; (2) vi . tr´ı cu ˙’ a c´ac n´ui trong mˇa . t phˇa ˙’ ng tˆa ` nsˆo ´ cho chu k`y khˆong gian co . ba ˙’ ncu ˙’ amˆa ˜ u; v`a (3) loa . ibo ˙’ c´ac th`anh phˆa ` n tuˆa ` n ho`an thˆong qua lo . cgi˜u . la . i c´ac phˆa ` ntu . ˙’ a ˙’ nh khˆong tuˆa ` n ho`an m`a sau d¯´o c´o thˆe ˙’ miˆeu ta ˙’ bˇa ` ng c´ac phu . o . ng ph´ap thˆo ´ ng kˆe. Nhˇa ´ cla . i l`a phˆo ˙’ cu ˙’ a a ˙’ nh thu . . cd¯ˆo ´ ix´u . ng qua gˆo ´ c, nˆen chı ˙’ cˆa ` n kha ˙’ o s´at mˆo . tnu . ˙’ amˇa . t phˇa ˙’ ng tˆa ` nsˆo ´ . Suy ra nˆe ´ uchı ˙’ ch´u´yd¯ˆe ´ n phˆan t´ıch a ˙’ ch th`ı mo . imˆa ˜ u tuˆa ` n ho`an chı ˙’ cˆa ` n x´et tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . tn´ui trong phˆo ˙’ thay v`ı hai. Viˆe . c ph´at hiˆe . n v`a diˆe ˜ n gia ˙’ i c´ac d¯ˇa . c tru . ng phˆo ˙’ thu . `o . ng d¯u . o . . cx´et theo thuˆa . tng˜u . cu ˙’ a h`am to . ad¯ˆo . cu . . c S(r, θ) trong d¯´o r v`a θ l`a c´ac biˆe ´ n trong hˆe . to . ad¯ˆo . n`ay. V´o . imˆo ˜ i hu . ´o . ng θ cˆo ´ d¯ i . nh, phˆan t´ıch h`am S θ| (r):=S(r, θ) cho d´ang d¯iˆe . ucu ˙’ a phˆo ˙’ (chˇa ˙’ ng ha . n, su . . xuˆa ´ thiˆe . ncu ˙’ an´ui) do . c theo mˆo . thu . ´o . ng; trong khi v´o . imˆo ˜ itˆa ` nsˆo ´ r cˆo ´ d¯ i . nh phˆan t´ıch h`am S r (θ):=S(r, θ) cho d´ang d¯iˆe . ucu ˙’ a phˆo ˙’ do . c theo d¯u . `o . ng tr`on tˆam ta . igˆo ´ c. Mˆo . t mˆo ta ˙’ to`an cu . c nhˆa . nd¯u . o . . cbˇa ` ng c´ach x´et c´ac h`am sau S(r):= π  θ=0 S θ (r) v`a S(θ):= R  r=1 S r (θ), trong d¯´o R l`a b´an k´ınh h`ınh tr`on tˆam ta . igˆo ´ c. V´o . i phˆo ˙’ k´ıch thu . ´o . c N × N, R d¯ u . o . . c cho . nl`aN/2. 8.3.4 Moment Moment bˆa . c(p + q)cu ˙’ a h`am liˆen tu . c x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i m pq :=  ∞ −∞  ∞ −∞ x p y q f(x, y) dxdy v´o . i p, q =0, 1, 2, Theo d¯i . nh l´y duy nhˆa ´ tcu ˙’ a Papoulis, nˆe ´ u f liˆen tu . ct`u . ng kh´uc v`a c´o gi´a compact th`ı moment tˆa ´ tca ˙’ c´ac bˆa . ctˆo ` nta . i v`a d˜ay moment {m pq } d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh duy nhˆa ´ tbo . ˙’ i 253 f. Ngu . o . . cla . ic˜ung d¯´ung: d˜ay {m pq } x´ac d¯i . nh f. C´ac moment trung tˆam x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i µ pq :=  ∞ −∞  ∞ −∞ (x − ¯x) p (y − ¯y) q f(x, y) dxdy, trong d¯´o ¯x = m 10 m 00 v`a ¯y = m 01 m 00 . Trong tru . `o . ng ho . . pr`o . ira . ccu ˙’ aa ˙’ nh sˆo ´ f c´ac moment trung tˆam x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i µ pq :=  x  y (x − ¯x) p (y − ¯y) q f(x, y) . C´ac moment trung tˆam bˆa . c nho ˙’ ho . n3l`a µ 00 =  x  y (x − ¯x) 0 (y − ¯y) 0 f(x, y) = m µ 10 =  x  y (x − ¯x) 1 (y − ¯y) 0 f(x, y) = m 10 − m 10 m 00 (m 00 ) =0 µ 11 =  x  y (x − ¯x) 1 (y − ¯y) 1 f(x, y) = m 11 − m 10 m 01 m 00 µ 20 =  x  y (x − ¯x) 2 (y − ¯y) 0 f(x, y) = m 20 − 2m 2 10 m 00 + m 2 10 m 00 = m 20 − m 2 10 m 00 µ 02 =  x  y (x − ¯x) 0 (y − ¯y) 2 f(x, y) = m 02 − m 2 01 m 00 µ 30 =  x  y (x − ¯x) 3 (y − ¯y) 0 f(x, y) = m 30 − 3¯xm 20 +2¯x 2 m 30 254 µ 12 =  x  y (x − ¯x) 1 (y − ¯y) 2 f(x, y) = m 12 − 2¯ym 11 − ¯xm 02 − 2¯y 2 m 10 µ 21 =  x  y (x − ¯x) 2 (y − ¯y) 1 f(x, y) = m 21 − 2¯xm 11 − ¯ym 20 − 2¯x 2 m 01 µ 03 =  x  y (x − ¯x) 0 (y − ¯y) 3 f(x, y) = m 03 − 3¯ym 02 +2¯y 2 m 03 C´ac moment trung tˆam chuˆa ˙’ n ho´a x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i η pq := µ pq µ γ 00 , trong d¯´o γ := p + q 2 +1, v´o . i p q =2, 3, Tˆa . pgˆo ` mba ˙’ y moment bˆa ´ tbiˆe ´ n d¯ u . o . . csuyt`u . c´ac moment bˆa . c hai v`a ba: φ 1 =η 20 + η 02 φ 2 =(η 20 − η 02 ) 2 +4η 2 11 φ 3 =(η 30 − 3η 12 ) 2 +(3η 21 − η 03 ) 2 φ 4 =(η 30 + η 12 ) 2 +(η 21 + η 03 ) 2 φ 5 =(η 30 − 3η 12 )(η 30 + η 12 )[(η 30 + η 12 ) 2 − 3(η 21 + η 03 ) 2 ] +(3η 21 − η 03 )(η 21 + η 03 )[3(η 30 + η 12 ) 2 − (η 21 + η 03 ) 2 ] φ 6 =(η 20 − η 02 )[(η 30 + η 12 ) 2 − (η 21 + η 03 ) 2 ] − 4η 11 (η 30 + η 12 )(η 21 + η 03 ) φ 7 =(3η 21 − η 03 )(η 30 + η 12 )[(η 30 + η 12 ) 2 − 3(η 21 + η 03 ) 2 ] +(3η 12 − η 30 )(η 21 + η 03 )[3(η 30 + η 12 ) 2 − (η 21 + η 03 ) 2 ]. Ba ˙’ y moment n`ay bˆa ´ tbiˆe ´ nv´o . i c´ac ph´ep ti . nh tiˆe ´ n, quay v`a co gi˜an (xem []). 255 . ta ˙’ quan hˆe . -mˆo . tvˆa ´ nd¯ˆe ` s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay chi tiˆe ´ t trong Phˆa ` n 8 .5. Phu . o . ng ph´ap phˆo ˙’ Nhu . chı ˙’ ra trong c´ac Phˆa ` n 5. 7 v`a 5. 8, phˆo ˙’ Foureir. η 03 ) 2 ]. Ba ˙’ y moment n`ay bˆa ´ tbiˆe ´ nv´o . i c´ac ph´ep ti . nh tiˆe ´ n, quay v`a co gi˜an (xem []). 255 . a 11 =4mˆo . t phˆa ` n do mˆo . t d¯oa . n c´ac d¯iˆe ˙’ mcu . `o . ng d¯ˆo . 0v`ac´od¯ˆo . nghiˆeng − 45 0 ). Tˆo ˙’ ng qu´at ho . n, b`ai to´an phˆan loa . ikˆe ´ tcˆa ´ ucu ˙’ av`ung d¯u . avˆe ` viˆe . c