Các mô hình cơ học của vật liệu đn hồi - nhớt - dẻo v giải pháp tính toán kết cấu áo đờng có xét đến đặc tính của vật liệu bê tông asphalt ThS. trần thị kim đăng Bộ môn Đờng bộ Khoa Công trình - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Bi báo đề cập đến vấn đề thông số mô đun đn hồi tính toán của vật liệu bê tông asphalt để đa vo tính toán kết cấu áo đờng với giả thiết hệ kết cấu nền mặt đờng l hệ nhiều lớp đn hồi. Bằng việc phân tích các mô hình cơ học mô phỏng đặc tính cơ bản của vật liệu bê tông asphalt, tác giả muốn đa ra hớng cho giải pháp tính toán kết cấu áo đờng mềm có xét đến đặc tính đn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu. Summary: The issue mentioned herein is parameter of resilient modulus of asphalt concrete to calculate flexible pavement in assumption of elastic multi - layers system. There are some mechanical models to simulate basic characteristics such as visco, elastic and plastic of asphalt concrete. The solution of considering basic characteristics of asphalt concrete in calculating flexible pavement is shown by analyzing these models. i. Các mô hình cơ học thể hiện đặc tính biến dạng của vật liệu đn hồi - nhớt - dẻo Đặc tính biến dạng của bitum và của bê tông asphalt sử dụng chất dính kết là bitum thể hiện tính chất phức tạp của vật liệu: đàn hồi - nhớt - dẻo. Với loại vật liệu này, ngời ta có thể sử dụng nhiều mô hình cơ học khác nhau phù hợp với điều kiện chịu tải trọng thực tế khác nhau. Hình 1. Các mô hình cơ học của vật liệu đn hồi, nhớt, chảy dẻo ở điều kiện nhiệt độ thấp có thể dùng mô hình Maxvel thể hiện đặc điểm vật liệu đàn hồi - nhớt. Mô hình gồm một lò xo đàn hồi lý tởng ghép nối tiếp với piston chất lỏng nhớt lý tởng. Biến dạng đàn hồi phát sinh phát sinh ở lò xo ngay khi có lực tác dụng vào hệ mô hình và biến dạng nhớt phát sinh tại piston và biến dạng này phát triển liên tục trong suốt thời gian tác dụng của lực. Nh vậy, tại mỗi thời điểm, biến dạng tổng là tổng biến dạng đàn hồi của lò xo và biến dạng không hồi phục của piston chất lỏng nhớt. Mô hình đàn hồi Mô hình dẻo Mô hình Maxwell Mô hình Kelvin Mô hình Burgers Mô hình tổng hợp ) T t 1( E t E 0000 + = + = với 000 E/T = là thời gian nghỉ. Để mô phỏng cả đặc tính đàn hồi chậm của bitum, Kelvin đa ra mô hình gồm một lò xo đàn hồi lý tởng ghép song song với một piston chất lỏng nhớt lý tởng. Với mô hình này trị số biến dạng tơng đối của hai yếu tố đều bằng nhau và ứng suất tổng bằng tổng hai ứng suất nh sau: t E 11 += nếu ứng suất tác dụng là không đổi, ta có: = 0 t 0 11 dt E d và = 11 T 1 exp1 E với là thời gian trễ 111 E/T = Để thể hiện tính chất thực của bitum cũng nh của bê tông asphalt sử dụng làm mặt đờng, Buger đề nghị mô hình bao gồm mô hình Maxvel ghép nối tiếp với mô hình Kelvin. Biến dạng tổng theo mô hình này là tổng biến dạng của mô hình Maxvel với biến dạng theo mô hình Kelvin: + + = 1100 T 1 exp1 ET t 1 E Trong công thức, biến dạng tổng gồm 3 thành phần: biến dạng đàn hồi tức thời, biến dạng dẻo, và biến dạng đàn hồi chậm. Các thành phần biến dạng thể hiện trong đờng cong biến dạng theo thời gian nh sau: Hình 2. Các thnh phần biến dạng theo mô hình Buger ii. Mô đun phức của vật liệu bê tông asphalt với đặc tính vật liệu Mô đun phức đợc định nghĩa là tổng cờng độ chống lại biến dạng của vật liệu có tính đàn hồi - nhớt - dẻo khi chịu ứng suất tác dụng xung lặp. Mô đun phức gồm hai thành phần: thành phần đàn hồi và thành phần chảy. Các thông số đại diện là mô đun tổng và góc pha. Hai thông số này thể hiện rất rõ tính chất của vật liệu ở các điều kiện nhiệt độ và gia tải khác nhau. Các giá trị khác nhau của mô đun tổng hợp và của góc pha cho thấy tính chất của bitum sẽ thiên về đàn hồi hay chảy dẻo theo tơng quan giữa thành phần đàn hồi và thành phần dẻo. E" Thành phần chảy E* T/p đàn hồi E' E" T/p chảy E* T/p đàn hồi E' Hình 3. Các thnh phần của mô đun tổng hợp của hai vật liệu có cùng giá trị mô đun phức, nhng có tính chất khác nhau Mô đun đàn hồi phức đợc thể hiện nh sau: Thành phần biến dạng tức thời Thành phần biến dạng theo thời gian Thành phần biến dạng phát triển chậm E*= E' + i E" E*= E* cos + i E* sin với E*: mô đun phức E* : mô đun động, đợc tính theo ứng suất và biến dạng cực đại 0 0 * E = = trễ pha giữa biến dạng và ứng suất 360x t t p i = t i = thời gian trễ giữa chu kỳ biến dạng và ứng suất t p ; thời gian của chu kỳ ứng suất i: hệ số thành phần chảy với vật liệu đàn hồi thuần tuý, = 0; với vật liệu chảy thuần tuý (chất lỏng), = 90 0 Hình 4. Thí nghiệm môđun đn hồi động iii. Giải pháp tính toán kết cấu mặt đờng mềm có xét đến tính chất đn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu Vật liệu có tính chất đàn hồi - nhớt - dẻo có cả đặc tính đàn hồi của một vật rắn và biểu hiện chảy - dẻo của chất lỏng. Do thành phần chảy - dẻo, vật liệu có biến dạng phụ thuộc thời gian. Thời gian càng dài thì biến dạng càng lớn. Về mặt nguyên tắc, có thể áp dụng chuyển đổi Laplace với biến chuyển đổi p để loại bỏ biến số thời gian, nh vậy đa bài toán về bài toán đàn hồi với những thông số phụ thuộc thời gian thể hiện tính chất chảy - dẻo. Sau khi giải ra kết quả, lại sử dụng phép nghịch đảo Laplace cho bài toán đàn hồi để đa biến số chuyển đổi p về biến phụ thuộc thời gian cho các lời giải của bài toán đàn hồi - dẻo. Để dễ dàng áp dụng chuyển đổi Laplace, các mô hình cơ học đề cập ở phần trên có thể đợc thể hiện bằng các toán tử. Đặt t D = . Đối với lò xo đàn hồi: hay = E =E Đối với pitton: t = hay D= Trong mô hình Maxwell với lò xo và pitton nối tiếp, biến dạng tổng bằng tổng biến dạng DE 00 + = 1DT DTE )D/(1E/1 1 0 00 00 + = + = 0 sin t , 0 trong đó: 000 E/T = 0 Trong mô hình Kelvin với một lò xo nối song song với một pitton, ứng suất tổng bằng tổng hai ứng suất: 0 sin(t-) t + = DE 1 hay )1DT(EDE 1111 +=+= Đối với mô hình tổng hợp với một mô hình Maxwell mắc nối tiếp với n mô hình Kelvin, chúng ta có: + + + = n 1 1100 0 )1DT(E 1 DTE 1DT 1 Nh vậy, ứng với một mô hình nhất định đều có thể biểu diễn mô đun đàn hồi - dẻo của vật liệu đợc mô phỏng bằng mô hình đó bằng các thông số tơng ứng của vật liệu đàn hồi lý tởng và chất lỏng lý tởng. Chuyển đổi Laplace đợc định nghĩa nh sau: [] = 0 pt dte)t(F)t(FL trong đó F(t) là hàm số theo thời gian và p là biến chuyển đổi. Sau khi tích phân và đa vào các giới hạn của t, F sẽ thành hàm số của biến chuyển đổi p. Nếu tác dụng tải trọng phân bố q là hằng số không phụ thuộc vào thời gian, chuyển đổi Laplace của q là: p q Ie p q dtqe)q(Lq 0 0 ptpt ==== với p là biến chuyển đổi và dấu gạch trên ký hiệu là chuyển đổi Laplace . Chuyển đổi Laplace của e -t/T cũng đợc xác định bằng: [] dtedtee)e(L 00 tT/)1Tp(ptT/tT/t + == () [] 1Tp T Ie 1Tp T 0 tT/1Tp + = + = + Phơng trình biểu diễn các mô hình của vật liệu đàn chảy thể hiện quan hệ giữa ứng suất - chuyển vị của vật liệu đàn dẻo dới dạng phơng trình vi phân ( /t) với cấp càng cao nếu mô hình càng phức tạp. Để loại bỏ biến t, các chuyển đổi Laplace đợc áp dụng cho ứng suất hay chuyển vị ở mỗi vế của phơng trình. Ví dụ nh ta lấy đạo hàm bậc nhất d /dt, ví dụ: == = dedte dt d ) dt d (L 00 ptpt = 0 pt 0 pt )e(dIe nếu ta có = 0 tại t = 0 thì số hạng thứ nhất = 0 hay ta có: == 0 pt pdtep dt d L Nh vậy có thể thấy chuyển đổi Laplace của /t hay của D là việc thay thế D bằng p và bằng . Với đạo hàm bậc 2, ta có = = = 0 pt pt 0 2 2 2 2 dt d dedte dt d dt d L )e(d dt d e dt d pt 0 o pt = Nếu dtd = 0 tại t = 0, số hạng đầu tiên = 0 hay: = = 2pt 0 2 2 pdte dt d p dt d L Nh vậy, chuyển đổi Laplace của đạo hàm bậc 2 thay D 2 bằng p 2 . Có thể làm tơng tự với các đạo hàm bậc cao hơn bằng cách thay D n bằng p n . Bằng cách này ta có thể xác định đợc chuyển đổi Laplace của mô đun Young của vật liệu đàn chảy sẽ là: )p(fE = = Khi tính toán bằng máy tính thì có thể áp dụng tính trực tiếp theo phơng trình: () = + + + = n 1i ii00 0 1pTE 1 pTE 1pT 1 E Riêng đối với chuyển vị và độ võng, có thể xác định chuyển đổi Laplace của chúng, sau đó chuyển đổi biến p trong phơng trình xác định chuyển vị hay độ võng về biến thời gian nh một ví dụ đơn giản sau: Bán không gian đồng nhất, đàn hồi - chảy có mô đun đàn - chảy đợc mô phỏng bằng mô hình Kelvin và hệ số Poisson xem nh không thay đổi theo thời gian là . Để tính độ võng trên bề mặt bán không gian tại tâm của tải trọng phân bố q trên đờng tròn bán kính a, ta có công thức theo lời giải bài toán Boussinesq là: ( ) E qa12 w 2 0 = Chuyển đổi Laplace của độ võng có thể đợc tính tơng ứng với chuyển đổi Laplace của tải trọng và mô đun Young nh sau: ( ) E aq12 w 2 0 = với mô hình Kelvin, ta có: )1DT(EE 11 + = do đó )1pT(EE 11 += nh vậy, sẽ có: ( ) ( ) + = + = 1pT T p 1 E aq12 )1pT(pE aq12 w 1 1 1 2 11 2 0 Chuyển biến chuyển p thành biến t bằng cách thay 1p1 = và 1 T/t 1 1 e 1pT T = + ta có kết quả độ võng là: ( ) = 11 0 T t exp1 E aq12 w 2 Bằng cách tơng tự cũng có thể giải đợc độ võng với các mô hình khác nhau của vật liệu đàn - chảy. Cách giải đợc trình bày nh trên đây là hoàn toàn về nguyên tắc. Để có thể thực hiện theo cách này thì vấn đề cơ bản là phải xác định đợc thông số đàn hồi (E) và thông số nhớt (T) của các thành phần của vật liệu. Các thông số này của vật liệu nh bitum hay bê tông asphalt thì đơng nhiên lại phụ thuộc điều kiện làm việc của vật liệu, mà trong điều kiện đó, vật liệu sẽ cơ bản thể hiện thiên về tính chất nào (hình 3). iv. Kết luận Khi giải bài toán kết cấu áo đờng có sử dụng vật liệu bê tông asphalt, sử dụng mô hình hệ nhiều lớp đàn hồi, có thể xem xét đến đặc tính của vật liệu bằng cách đơn giản là xét các yếu tố ảnh hởng đến thông số mô đun đàn hồi tính toán, là nhiệt độ và thời gian tác dụng của tải trọng. Thông số mô đun đàn hồi tính toán của vật liệu bê tông asphalt để đa vào bài toán giải hệ nhiều lớp đàn hồi, theo hớng này, đợc xác định bằng một mô hình thí nghiệm hợp lý trong điều kiện nhiệt độ hay tải trọng nhất định, đại diện cho điều kiện làm việc thực tế của vật liệu. Tài liệu tham khảo [1]. Yang H.Huang. University of Kentucky. Pavement Analysis and Design - Pentice - Hall Inc, 1993. [2]. Freddy L.Roberts, Prithvi S.Kandhal, E.Ray Brown. National Center for Asphalt Technology, Dah Yinn Lee - Iowa State University and Thomas W.Kenedy - University of Texas - Hot mix Asphalt Materials, Mixture Design, and Construction - NAPA Education Foundation Lanham, Maryland, 1996 . pháp tính toán kết cấu mặt đờng mềm có xét đến tính chất đn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu Vật liệu có tính chất đàn hồi - nhớt - dẻo có cả đặc tính đàn hồi của một vật rắn và biểu hiện chảy -. Các mô hình cơ học của vật liệu đn hồi - nhớt - dẻo v giải pháp tính toán kết cấu áo đờng có xét đến đặc tính của vật liệu bê tông asphalt ThS. trần thị kim đăng Bộ môn Đờng bộ Khoa Công. đn hồi. Bằng việc phân tích các mô hình cơ học mô phỏng đặc tính cơ bản của vật liệu bê tông asphalt, tác giả muốn đa ra hớng cho giải pháp tính toán kết cấu áo đờng mềm có xét đến đặc tính