ứng dụng lý thuyết tiếp xúc kalker giải bi toán động lực học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe chuyển động trên đờng ray TS. nguyễn văn chuyên Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trờng ĐH GTVT Tóm tắt: Bi báo giới thiệu lý luận tiếp xúc v ứng dụng của nó để giải bi toán động lực học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe khi chuyển động trên ray. Summary: This article presents theory of contact and to apply for calculate problem dynamic in horizontal plane when Rolling Stock run over railroad. I. Đặt vấn đề Để giải bài toán động lực học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe, đơn giản ngời ta giả thiết bánh xe và ray tuyệt đối cứng. Song thực tế, trong quá trình chuyển động, tiếp xúc của bánh xe và ray là tiếp xúc mặt, ở đó không phải là lăn thuần tuý, mà tồn tại cả hiện tợng trợt, tại đó xuất hiện các lực tiếp tuyến theo hai hớng dọc, ngang ray và mômen quay. Cũng tại vị trí tiếp xúc còn có sự trợt biến dạng, dùng tỷ số trợt biến dạng có thể đánh giá độ trợt biến dạng lớn hay nhỏ và lực biến dạng giữa mặt tiếp xúc bánh xe và ray biến đổi nh thế nào? Lý luận và nghiên cứu thực nghiệm tiếp xúc lăn của bánh xe - ray không ngừng đợc đi sâu, hoàn thiện, nó là căn cứ quan trọng để phát triển lý luận động lực học đầu máy, toa xe và nghiên cứu chế tạo đầu máy toa xe có tính năng động lực học ngang tốt. II. Nội dung 1. Tác dụng trợt biến dạng giữa mặt tiếp xúc của bánh xe và ray khi bánh xe lăn trên ray Khi bánh xe chuyển động với tốc độ V nhất định lăn trên đờng ray, giữa mặt tiếp xúc bánh xe với ray sản sinh hiện tợng vật lý rất phức tạp. Do trợt động học giữa bánh xe và ray sinh ra tốc độ giữa chúng. Sự trợt động W do trợt đàn hồi U và sự trợt lăn tổng hợp S của bánh xe và ray. Đồng thời, trợt động là rất bé, chỉ tốc độ tơng đối cục bộ tại điểm cho trên mặt tiếp xúc giữa hai vật lăn có vận động tơng đối hoặc có xu thế vận động tơng đối, do tồn tại ma sát tại mặt tiếp xúc sản sinh lực tiếp tuyến T(T X , T Y ). Quan hệ T(T X , T Y ) và W tạo thành tiếp xúc lăn bánh xe và ray. 1.1. Tỷ số trợt biến dạng Carter đã phát hiện hiện tợng trợt biến dạng giữa bánh xe và ray và đã nhận thức đợc tính quan trọng của trợt biến dạng đối với động lực học ngang đầu máy toa xe, do đó Carter bắt đầu nghiên cứu quy luật biến đổi quan hệ giữa trợt biến dạng và lực trợt biến dạng. Carter đã dùng hệ toạ độ Đề các và định nghĩa tỷ số trợt biến dạng dọc ray x và trợt ngang y đợc tính nh sau : 2 O x,1 y 3 z Hình 1. Hai hệ thống toạ độ trên elip tiếp xúc bánh xe - ray Đầu năm 70, Uỷ ban C116 của UIC đã đề xuất [1]: xét đến đặc điểm vận động của bánh xe trên ray có trợt biến dạng tơng đối lớn. Tiến hành định nghĩa càng xác thực với tỷ số trợt biến dạng, khiến khái niệm vật lý của tỷ số trợt biến dạng rõ nét hơn. Lấy trung tâm elip của mặt tiếp xúc ray - bánh xe làm điểm gốc, thành lập hệ thống toạ độ 0123 xem hình 1. Trục 01 là phơng tịnh tiến của bánh xe, trùng với trục Ox, trục O2 trong mặt phẳng tiếp xúc bánh xe - ray, song song với đờng tim trục xe và nằm trong mặt phẳng yz, kẹp với trục Oy tạo thành góc tiếp xúc , trục 03 là pháp tuyến elip tiếp xúc. Trên thực tế, đem hệ toạ độ 0xyz quay một góc tiếp xúc quanh trục ox sẽ đợc hệ toạ độ 0123. Giả thiết tốc độ vật rắn của elip tiếp xúc trên bánh xe theo các trục 01, 02 và 03 là V w1 , V w2 , w3 , tốc độ vật rắn của elip tiếp xúc trên ray tơng ứng là V r1 , V r2 và r3 . Do đó tỷ số trợt biến dạng có thể định nghĩa nh sau: Tốc độ tịnh tiến thực tế của bánh xe - Tốc độ tịnh tiến lăn thuần tuý x = Tốc đ ộ t ị nh tiến do bánh xe thuần lăn sản sinh Tốc độ ngang thực tế của bánh xe - Tốc độ ngang thuần lăn y = Tốc độ tịnh tiến do bánh xe thuần lăn sản sinh Tỷ số trợt biến dạng dọc ray: ( ) 1w1r 1w1r 1 VV VV2 + = Tỷ số trợt biến dạng ngang ray: ( ) 2w2r 2w2r 2 VV VV2 + = (2) Tỷ số trợt biến dạng quay: ( ) 1w1r 3r3w 3 VV 2 + = ( 1w1r VV 2 1 + ) trong công thức trên biểu thị tốc độ bình quân của bánh xe vận hành trên ray. Tỷ số trợt biến dạng dọc 1 và ngang 2 không thứ nguyên, thứ nguyên của tỷ số biến dạng tự quay w 3 là chiều dài. 1.2. Lực trợt biến dạng v hệ số trợt biến dạng Lực trợt biến dạng do biến dạng trong mặt phẳng diện tích tiếp xúc của hai vật đàn hồi khác nhau gây ra. Khi hai vật đàn hồi có vận động tơng đối hoặc xu thế vận động tơng đối, biến dạng trong mặt phẳng diện tích tiếp xúc do lực tiếp tuyến T(T x , T y ) xuất hiện, lực tiếp tuyến T này gọi là lực trợt biến dạng. Muốn tính đợc các lực trợt biến dạng ngang T y , dọc T x và mômen quay M z trên diện tích tiếp xúc ray - bánh xe cần phải biết hình dạng và độ lớn nhỏ của diện tích tiếp xúc và quy luật phân bố lực trên diện tích này để thiết lập quan hệ giữa lực mômen trợt biến dạng và tỷ số trợt biến dạng. Độ lớn nhỏ của tỷ số trợt biến dạng quyết định trị số trợt biến dạng và khi tồn tại có phơng hớng khác nhau, tức là: T x = f 1 ( 1 , 2 , 3 ) T y = f 2 ( 1 , 2 , 3 ) (3) M z = f 3 ( 1 , 2 , 3 ) Quan hệ giữa lực trợt biến dạng dọc với tỷ số trợt biến dạng dọc đợc biểu thị ở hình 2. Từ hình vẽ biết đợc quan hệ biến đổi giữa lực trợt biến dạng T x với trợt biến dạng 1 tơng đối nhỏ, quan hệ giữa chúng là tuyến tính. Trong phạm vi tuyến tính tang góc nghiêng của đờng thẳng OA với trục hoành gọi là hệ số trợt biến dạng f, bởi vậy có thể dùng quan hệ sau biểu thị : T x = - f. 1 (4) Vì phơng hớng của lực trợt biến dạng luôn ngợc với tỷ số trợt biến dạng, nên lấy dấu "-". Hệ số trợt biến dạng f có thứ nguyên của lực. Hệ số trợt biến dạng có quan hệ với nhiều yếu tố nh: đặc tính E, G của vật liệu; tỉ số Poisson ; Độ thô và độ sạch của mặt tiếp xúc. Từ kết quả thực nghiệm còn có thể thấy rằng không có tốc độ trợt biến dạng, tức là 1 0, khi đó bánh xe lăn thuần tuý trên ray. Hoặc nói cách khác khi bánh xe lăn thuần tuý trên ray không sản sinh trợt biến dạng, vì vậy cũng không có lực trợt biến dạng. Khi vận động, bánh xe có tỷ số trợt biến dạng rất lớn, thí dụ tại điểm B trên đờng cong T x = f( 1 ), khi đó T x đạt tới trị lớn nhất, T max = N ( là hệ số ma sát tĩnh lớn nhất giữa bánh xe và ray; N là tải trọng pháp tuyến). Sau khi tỷ số trợt biến dạng lớn hơn trị số B bánh xe bắt đầu trợt động và T x lại giảm xuống. Vì hệ số ma sát động luôn nhỏ hơn ma sát tĩnh. O B Trợt biến dạng Trợt động A T max = .N T Hình 2. Quan hệ giữa lực trợt biến dạng dọc với ứng suất trợt biến dạng 1 Phần lớn bánh xe vận hành trên ray thuộc đoạn AB của đờng cong T x = f( 1 ). Sự trợt biến dạng dọc, ngang và quay đồng thời tồn tại. Trị số tỷ số trợt biến dạng, khi tốc độ khác nhau, tham số tiếp xúc bánh xe - ray khác nhau là khác nhau. Do đó, quan hệ của lực trợt biến dạng với tỷ số biến dạng là tơng đối phức tạp. 2. Lý luận tiếp xúc lăn của Kalker J.J Kalker là ngời có cống hiến về sự phát triển lý luận tiếp xúc lăn rất lớn. Từ giữa những năm 60 đã dùng lý luận tuyến tính của sự trợt biến dạng nhỏ. Đến nay đã giải quyết hoàn chỉnh lý luận tiếp xúc lăn ma sát khô của hai vật thể đàn tính, đủ cho việc ứng dụng thiết kế các công trình kỹ thuật. 2.1. Phơng trình cơ bản của lý luận tiếp xúc Kalker Chúng ta nghiên cứu quan hệ vật lý giữa bánh xe - ray (hình 3). Giả thiết hệ thống toạ độ diện tích tiếp xúc di động theo bánh xe là xyz và hệ thống toạ độ diện tích tiếp xúc cố định theo ray là x'y'z'. Định nghĩa x, y, z giống nh hình 1. Vectơ tốc độ lăn V của bánh xe lăn trên ray theo hớng dơng của trục x', độ lớn của tốc độ lăn định nghĩa là V = V Khi đó, trên diện tích tiếp xúc bánh xe - ray có tốc độ lăn V và tốc độ vòng C, phơng hớng của chúng gần nh ngợc nhau, tốc độ tổng hợp của chúng S = V + C là trợt động rắn của bánh xe trên đờng ray. Thông thờng: S << V; S 0,001V. Trợt động rắn là trợt tơng đối trong mặt phẳng xy khi coi bánh xe và ray là vật rắn cơ học. Nó hình thành bởi tốc độ di động trong mặt phẳng xy và tốc độ quay quanh trục z, tức là: S = V + C = V[( x - y ).i + ( y + x ).j] (5) Trong đó: i, j là vectơ đơn vị trên trục x và y, tỷ số trợt biến dạng x , y , có thể tìm đợc từ hình 3: V CV x = = sin y (6) 0 r sin V sin C sin = = = y ' x' V z' y x z Hình 3. Một bánh xe lăn trên ray C r Trong đó: - tốc độ góc lăn của bánh xe. - tang của góc mặt lăn bánh xe. - góc xung của bánh xe (chuyển vị góc lắc đầu) trong mặt phẳng tiếp xúc. r 0 - bán kính vòng lăn bánh xe. - trợt biến dạng quay quanh trục z. z V V C r Hình 4. Trợt biến dạng của bánh xe trên ray C r y x r 0 Trên thực tế, trên diện tích tiếp xúc bánh xe - ray còn tồn tại lực pháp tuyến và ma sát, do đó trong bánh xe và ray đều có thể sản sinh biến dạng. Khi tính toán các biến dạng này đem toạ độ xyz vận động theo bánh xe làm hệ thống tham khảo, kim loại trên diện tích tiếp xúc bánh xe trợt dịch tốc độ C thông qua hệ thống hệ toạ độ này. Đồng thời kim loại trên diện tích tổng tiếp xúc của ray thông qua hệ thống toạ độ này trợt dịch với tốc độ - V. Do đó tốc độ của chúng tại gần diện tích tiếp xúc là (-,0). Cho u w , u r là các vectơ chuyển vị (biến dạng vật liệu) của bánh xe và ray trong mặt phẳng xy, thì u = u w - u r là hiệu trị số của nó. Bởi vậy, tốc độ trợt động thực tế W, cũng tức là tốc độ một chất điểm trên bánh xe tơng đối với một chất điểm trên ray. Có thể từ trợt động rắn S cộng với đạo hàm đối với u & z V V C r Hình 4. Trợt biến dạng của bánh xe trên ray C r r 0 y x thời gian của hiệu trị số biến dạng vật thể bánh xe - ray có thể tính đợc khi tốc độ trợt của chúng là (-V, 0) thì: W & ()() [] t u x u Vjx.i.VuSW yyx + ++=+= & & (7) ở trạng thái ổn định 0 x u = . Còn trong điều kiện tiếp xúc lăn tức thời 0 x u . Theo lý thuyết đàn hồi của Hertz, hình dạng diện tích tiếp xúc ray - bánh xe là elip, ứng suất pháp tiếp xúc ray - bánh xe biến đổi quy luật theo hình elip này. Bởi vậy, lực pháp tuyến z trên diện tích tiếp xúc ray - bánh xe là: () 22 b y a x 1 ab2 N3 y,xZ = (8) Trong đó: N - tổng lực pháp tuyến. a,b - bán trục của elip tiếp xúc. Định luật Coulomb thông thờng dùng để biểu thị quan hệ giữa lực ma sát và lực pháp tuyến: P = (X,Y) biểu thị đại lợng lực tiếp tuyến sản sinh tại điểm tiếp xúc bánh xe theo phơng x,y; f là hệ số ma sát giữa bánh xe ray thì: 1. (vùng bám dính) 0W = & () z.fY,XP = (9) 2. (vùng trợt động) 0W & W W z.fP & & = hoặc z.fP = (10) Bởi vậy, đối với vấn đề tiếp xúc lăn bánh xe - ray có thể mô tả nh sau: xác định P = (X,Y) trên một đợn vị diện tích tiếp xúc. Đối với toàn bộ lực tiếp tuyến T trên diện tích tiếp xúc bánh xe - ray là: ( ) ( ) == E yx dxdyY,XT,TT (11) Trong đó: T x , T y là lực trợt biến dạng dọc và ngang. Cho nên đối với (10) là thoả mãn. Cùng với (7) và (8) trong đó x , y , , V, N, a, b đều đã biết, còn giữa U và T tạo thành quan hệ tơng hỗ nhất định. Còn quan hệ giữa lực trợt biến dạng dọc và ngang với tỷ số trợt biến dạng dọc và ngang thì chịu hạn chế của định luật trợt biến dạng. Các biểu thức từ (6) đến (11) là các phơng trình cơ bản của quan hệ vật lý tiếp xúc lăn bánh xe - ray của Kalker. 2.2. Lý luận tuyến tính Kalker [1] Năm 1967, trên cơ sở ý tởng De Pater, Kalker đã hoàn thành lý luận tuyến tính tiếp xúc lăn của hai vật thể đàn tính. Khi Kalker triển khai nghiên cứu lý luận tuyến tính đã lợi dụng lý luận giải hẹp của Halling và một số ngời khác. Trong tình huống làm việc khác nhau, sự phân bố vùng bám dính và vùng trợt động khi trong vùng tiếp xúc hình thành do hai vật đàn tính tiếp xúc lăn xem hình 5. S S S S S A S S S A A A A A a ) =0 , x 0 , y 0 b) 0, x = y =0 c) 0, x =0, y 0 d) 0, x 0, y =0 e) 0, x 0, y 0 f) Thuần trợt biến dạng tự quay lớn Hình 5. Phân bố vùng bám dính v vùng trợt động trong các trạng thái lm việc khác nhau A - Vùng bám dính S - Vùng trợt động. Lý luận này cho rằng, khi các tỷ số trợt biến dạng x , y , đều rất nhỏ, vùng trợt động cũng rất nhỏ, ảnh hởng của nó có thể bỏ qua. Bởi vậy, có thể giả định vùng bám dính phủ kín toàn bộ diện tích tiếp xúc của bánh xe - ray. Nh thế, đối với điều kiện biên của trạng thái làm việc ổn định, biểu thức (7) có thể giản hoá nh sau: Tại vùng tiếp xúc: ()() [] x u VjiVW0 xyyx ++== & (12) Ngoài vùng tiếp xúc: 0 = P Tích phân hệ thức (12) đối với x ta đợc: () () ygu.Vx. 2 1 x.y.x.V 2 yx = ++ Trong đó, g(y) là một hàm số tuỳ ý, căn cứ vào điều kiện giả định lực tiếp tuyến tại biên dẫn trớc vùng tiếp xúc là liên tục để xác định. Theo lý luận này, khi chất điểm tiến vào vùng tiếp xúc, trớc tiên tiếp xúc tại biên dẫn trớc, tại thời điểm này cha sản sinh lực tiếp tuyến. Sau đó chất điểm theo phơng song song với phơng lăn xuyên qua vùng tiếp xúc do kết quả không trợt động (hoặc điều kiện bám dính) lực tiếp tuyến tăng dần. Cuối cùng, chất điểm tách khỏi cùng tiếp xúc tại biên đoạn cuối. Đồng thời lúc này, lực tiếp tuyến lại giảm đến 0. Trong lý luận tuyến tính Kalker, giả định toàn bộ vùng tiếp xúc là vùng bám dính, phân bố lực tiếp tuyến là đối xứng, cho nên lực trợt biến dạng dọc không có quan hệ với tỷ số trợt biến dạng ngang, còn lực trợt biến dạng ngang cũng không có quan hệ với tỷ số trợt biến dọc. Từ đó đa ra hệ thức tuyến tính của lực trợt biến dạng với tỷ số trợt biến dạng nh sau: T x = - f 11 . x T y = - f 22 . y - f 23 . (13) M z = - f 32 . y - f 33 . Trong đó f 11 là hệ số trợt biến dạng, f 23 = f 32 , xác định nh sau: f 11 = EabC 11 f 22 = EabC 22 (14) f 23 = E(ab) 2 3 C 23 Trong đó: a, b - trục dài và ngắn của elip tiếp xúc, do công thức lý luận của Hertz tìm đợc. Hình 6. Đờng biến đổi hệ số KalKer C ij theo a/b ( = 0,3) 1.0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a/b b/a 2.0 3.0 C 11 C 22 C 23 C 33 C 11 C 22 C 23 C 33 E - môđuyn đàn hồi của vật liệu. C ij - hệ số Kalker không thứ nguyên. Sau khi xác định trục dài, ngắn của elip tiếp xúc, có thể tìm đợc C ij , nó vẫn có quan hệ với hệ số Poisson = 0,3. C ij có thể căn cứ tỉ số a/b tra đợc từ bảng 1 do Hobbs biên soạn hoặc có thể tra đợc trên hình 6. Hình 6 thể hiện các số liệu của bảng 1. Bảng 1 Trị số tính toán hệ số KalKer C ij ( = 0,3) b a a b C 11 C 22 C 23 C 33 C 11 C 22 C 23 C 33 0.1 1.35 0 3.34 0.9 0.628 0.98 .195 1.70 1.49 0.2 1.37 1.01 0.242 1.74 0.8 1.75 1.56 0.689 0.426 0.3 1.40 1.06 0.288 1.18 0.7 1.81 1.65 0.768 0.366 0.4 1.44 1.11 0.328 0.925 0.6 1.90 1.76 0.875 0.336 0.5 1.47 1.18 0.368 0.766 0.5 2.03 1.93 1.04 0.304 0.6 1.50 1.22 0.410 0.661 0.4 2.21 2.15 1.27 0.275 0.7 1.54 1.28 0.451 0.588 0.3 2.51 2.54 1.71 0.246 0.8 1.57 1.32 0.493 0.533 0.2 3.08 3.26 2.64 0.215 0.9 1.60 1.39 0.535 0.492 0.1 4.06 5.15 5.81 0.183 1.0 1.65 1.43 0.579 0.458 Khi = 25, 0.5; C ij có thể tra rong bảng 2, chú ý d ng này, cần đem E trong Bảng 2 Bảng trị số hệ số KalKer C ij có kh C 11 C 12 C 23 C 33 0, 0. đợc t ùng bả (14) đổi thành môđuyn đàn tính cắt G. ác nhau =0 4 1 2 1 =0 4 1 2 1 = 0 4 1 2 1 =0 4 1 2 1 g0 () 14 2 4 2 () + 54ln 2 1 1 13 g () g116 2 0.1 2.51 .59 3.31 .37 4.85 .81 2.51 .59 2.52 .63 2.53 .66 0.334 .483 0.473 .603 0.731 .809 6.42 .46 8.28 .27 11.7 .66 0.2 0.3 0.4 0.5 b a 2 2.68 2.78 2.88 3 3.44 3.53 3.62 4 4.80 4.82 4.83 2 2.68 2.78 2 2.75 2.88 3.01 2 2.81 2.88 2.98 3.14 0 0.607 0.720 0.827 0 0.715 0.823 0.929 0 0.889 0.977 1.07 3 2.49 2.02 1.74 4 2.96 2.32 1.93 5 3.72 2.77 2.22 0.6 0.7 0.8 0.9 2.98 3.09 3.19 3.29 3.72 3.81 3.91 4.01 4.91 4.97 5.05 5.12 2.98 3.09 3.19 3.29 3.14 3.28 3.41 3.54 3.31 3.48 3.65 3.82 0.93 1.03 1.13 1.23 1.03 1.14 1.25 1.36 1.18 1.29 1.40 1.51 1.56 1.43 1.34 1.27 1.68 1.50 1.37 1.27 1.86 1.60 1.42 1.27 a b 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 3.40 3.51 .22 .30 .51 .81 .16 .44 .59 .77 .16 .11 .06 3.65 3.82 4.06 4.12 4 4.36 4.54 4.78 5.20 5 5.42 5.58 5.80 3.40 3 3.65 3.82 4.06 3.67 3 3.99 4.20 4.50 3.98 4 4.39 4.67 5.04 1.33 1 1.58 1.76 2.01 1.47 1 1.75 1.95 2.23 1.63 1 1.94 2.18 2.50 1.21 1 1.10 1.05 1.01 1.19 1 1.04 0.965 0.892 1.16 1 0.954 0.852 0.751 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 4.37 4.84 5.57 6.96 10.7 5.10 5.57 6.34 7.78 11.7 6.11 6.57 7.34 8.82 12.9 4.37 4.84 5.57 6.96 10.7 4.90 5.48 6.40 0.14 12.8 5.56 6.31 7.51 9.79 16.0 2.35 2.88 3.79 5.72 12.2 2.62 3.24 4.32 6.63 14.6 2.96 3.70 5.01 7.89 18.0 0.958 0.912 0.868 0.828 0.792 0.819 0.747 0.674 0.601 0.526 0.650 0.549 0.446 0.341 0.228 368.1ln; a b , b ming = = a [ III. Kết luận Dùn g phơn g pháp tính hệ số tr ợ t biến dạng theo l ý lu ậ n KalKer vừa có ý n g hĩa l ý lu ậ n vừa có ý n g hĩa th ự c tiễn và có đ ộ chính xác nhất đ ị nh, nên đã đ ợ c ứn g d ụ n g r ộ n g rãi tron g n g hiên cứu đ ộ n g l ự c h ọ c n g an g đầu má y toa xe, đ ặ c biệt là vấn đề ổn đ ị nh v ậ n đ ộ n g rắn bò. Do trớc khi mất ổn đ ị nh tốc đ ộ vận hành không cao, khi đó x , y , đều tơn g đối nhỏ, phù h ợ p điều kiện tron g vùn g tiếp xúc không tồn tại trợt động, hơn nữa x , y , đều rất nhỏ, trên th ự c tế từ hình 2 ta thấ y chỉ khi l ự c tr ợ t biến d ạ n g tiếp c ậ n tới 0 thì mới tồn t ạ i thuần lăn khôn g tr ợ t. Khi n g hiên cứu đầu má y toa xe qua đờn g con g khôn g có tr ợ t biến d ạ n g lớn, dùn g l ý lu ậ n tu y ến tính để tính lực trợt biến dạng sẽ có sai số tơng đối lớn. Tài liệu tham khảo [1]. Đại học giao thông Thợng Hải. Động lực học toa xe. Thợng Hải, 1993. [2]. V. K. Garg. Dynamics of Railway Vehicle Systems. NewYork Academic Press, 1984. [3]. C. V. Versinski - V. N. Dainilop. Dinamika vagonov - Moskva Transport, 1978 . ứng dụng lý thuyết tiếp xúc kalker giải bi toán động lực học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe chuyển động trên đờng ray TS. nguyễn văn chuyên Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa. Trờng ĐH GTVT Tóm tắt: Bi báo giới thiệu lý luận tiếp xúc v ứng dụng của nó để giải bi toán động lực học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe khi chuyển động trên ray. Summary: This. Để giải bài toán động lực học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe, đơn giản ngời ta giả thiết bánh xe và ray tuyệt đối cứng. Song thực tế, trong quá trình chuyển động, tiếp xúc của