http://www.ebook.edu.vn Chương 2 Lý thuyết đường truyền Xét ở nhiều khía cạnh lý thuyết đường truyền làm cầu nối cho sự cách biệt giữa phép phân tích trường và lý thuyết mạch cơ sở, và vì vậy nó rất quan trọng trong phân tích mạch siêu cao tần. Như chúng ta sẽ thấy, hiện tượng lan truyền sóng trên các đường dây có thể được tiếp cận từ việc mở rộng lý thuyết mạch, hoặc từ sự biến đổi đặc biệt các phương trình Maxwell; Trong khuôn khổ của chương trình chúng ta sẽ chỉ trình bày cách tiếp cận từ quan điểm lý thuyết mạch cơ sở và chỉ ra sự truyền lan sóng này được mô tả bởi các phương trình rất giống các phương trình sóng cho truyền lan sóng phẳng như thế nào. Khi khoảng cách từ nguồn đến tải của một mạch điện có chiều dài so sánh được với bước sóng hoặc lớn hơn nhiều lần so với bước sóng thì tín hiệu được phát đi từ nguồn phải mất một khoảng thời gian (một vài chu kỳ) để lan truyền đến tải. Ta gọi đó là hiện tượng truyền sóng trên đường dây. Truyền sóng siêu cao tần trên đường dây có các hệ quả sau: • Có sự trễ pha của tín hiệu tại điểm thu so với tín hiệu tại điểm phát. v r (t) = v t (t −τ.l) (2.1) Khoảng thời gian trễ này sẽ tỷ lệ với chiều dài của đường truyền. Trong đó τ là khoảng thời gian cần thiết để sóng di chuyển được một đơn vị chiều dài của đường truyền [s/m] • Có sự suy hao biên độ tín hiệu khi lan truyền v r (t) = K(l ).v t (t −τ.l) (2.2) Hệ số suy hao K(l) < 1 và phụ thuộc vào chiều dài của đường truyền. • Có sự phản xạ sóng trên tải và trên nguồn. Điều này dẫn đến hiện tượng sóng đứng trên đường dây. Sóng đứng, hay còn gọi là sóng dừng, là sóng mà luôn duy trì vị trí không đổi. Hiện tượng này có thể xuất hiện do môi trường chuyển động ngược với chiều di chuyển của sóng, hoặc nó có thể xuất hiện trong một môi trường tĩnh do sự giao thoa giữa hai sóng chuyển động ngược chiều nhau. 11 http://www.ebook.edu.vn 12 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN ở đây ta không xét về trường hợp môi trường chuyển động mà là môi trường tĩnh (đường truyền). Sóng đứng trên đường truyền là sóng mà trong đó phân phối dòng, áp hay cường độ trường được tạo thành bởi sự xếp chồng hai sóng lan truyền ngược chiều nhau. Kết quả là một loạt các nút (không dịch chuyển) và các điểm bụng sóng (dịch chuyển tối đa) tại những điểm cố định dọc theo đường truyền. Sóng đứng như vậy có thể được hình thành khi một sóng được truyền vào một đầu của đường truyền và bị phản xạ ngược trở lại từ đầu kia do sự bất phối hợp trở kháng, hở mạch hoặc ngắn mạch. Các hiện tượng trên sẽ được phân tích cụ thể trong các phần sau. Một số khái niệm khác cũng cần đề cập ở đây đó là mạch điện thông số tập trung và mạch điện có thông số phân bố hay phân bố rải. Thông số tập trung của mạch điện là các đại lượng đặc tính điện xuất hiện hoặc tồn tại ở một vị trí nào đó của mạch điện. Thông số tập trung của một phần tử điện có thể xác định được thông qua phân tích, tính toán hoặc có thể đo được trực tiếp. Chẳng hạn các phần tử điện trở, điện cảm, điện dung, nguồn áp, nguồn dòng, diode, transitor đều là các phần tử thông số tập trung. Thông số dải của mạch điện cũng là đại lượng đặc tính điện, nhưng không tồn tại duy nhất ở một vị trí cố định, mà chúng rải đều trên chiều dài của mạch điện đó. Thông số phân bố thường được dùng trong các hệ thống truyền sóng (đường dây truyền sóng, ống dẫn sóng, không gian tự do) biểu thị các đặc tính tương đương về điện của hệ thống. Thông số phân bố thường là các thông số tuyến tính được xác định trên một đơn vị chiều dài của đường truyền sóng. Chúng ta không thể đo đạc trực tiếp giá trị của các thông số phân bố mà chỉ có thể suy ra chúng từ các phép đo tương đương trên các thông số khác. Vấn đề này sẽ được đề cập chi tiết hơn ở phần sau. 2.1 Phương trình truyền sóng trên đường dây Trong phần này, chúng ta sẽ tìm cách thiết lập phương trình nêu lên mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện tại một điểm có tọa độ bất kỳ trên đường truyền sóng, từ đó giải phương trình tính điện áp, dòng điện và rút ra các đặc tính truyền sóng. Một cách tổng quát, để khảo sát một hệ truyền sóng chúng ta phải xuất phát từ hệ phương trình Maxwell trong môi trường không nguồn, trong đó có các đại lượng vật lý cơ bản là cường độ điện trường  E và cường độ từ trường  H. ∇ ×  E = −jωµ  H (2.3a) ∇ ×  H = jω  E (2.3b) ∇.  D = 0 (2.3c) ∇.  B = 0 (2.3d) http://www.ebook.edu.vn 2.1. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRÊN ĐƯỜNG DÂY 13 Trong đó  D =   E,  B = µ  H Tuy nhiên vì ta chỉ khảo sát việc truyền sóng trong một không gian nhỏ có định hướng nên ta có thể đơn giản hóa việc giải hệ phương trình Maxwell bằng việc giải hệ phương trình tương đương viết cho điện áp và dòng điện trong đó điện áp thay cho điện trường  E và dòng điện thay cho từ trường  H như chúng ta sẽ thấy trong Mục 2.1.2. 2.1.1 Mô hình mạch điện thông số tập trung của đường truyền - Các thông số sơ cấp Sự khác nhau cơ bản giữa lý thuyết mạch và lý thuyết đường truyền là kích thước điện. Trong phân tích mạch điện người ta thường giả thiết rằng kích thước vật lý của một mạch nhỏ hơn rất nhiều bước sóng điện, trong khi độ dài các đường truyền có thể là một phần đáng kể của bước sóng hoặc nhiều bước sóng. Vì vậy, một đường truyền là một mạch thông số phân bố, ở đó điện áp và dòng điện có thể thay đổi về biên độ và pha theo độ dài của nó. Hình 2.1: Đường truyền sóng Một đường truyền thường được biểu diễn bằng một đường hai dây như trên Hình 2.1, do các đường truyền (hỗ trợ sóng TEM) luôn có ít nhất hai dây dẫn. Xét một đường truyền sóng chiều dài , có tọa độ được xác định như trên Hình 2.1. Đầu vào đường truyền có nguồn tín hiệu V s , trở kháng nguồn Z s , đầu cuối đường truyền được kết cuối bởi tải Z L . Giả thiết đường truyền có chiều dài  lớn hơn nhiều lần bước sóng hoạt động nên nó được coi là mạch có thông số phân bố. Tại một điểm có tọa độ z bất kỳ trên đường dây xét một đoạn dây chiều dài vi phân ∆z. Trên đoạn dây này cũng có hiện tượng lan truyền sóng, tuy nhiên do ∆z  λ nên đoạn dây này có thể được mô hình hóa bằng mạch gồm các phần tử thông số tập trung như mô tả trên Hình 2.2, với R, L, G, C là các đại lượng được tính trên một đơn vị chiều dài như sau: http://www.ebook.edu.vn 14 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN Hình 2.2: Mạch điện tương đương của đoạn đường truyền vi phân R= điện trở nối tiếp, đơn vị Ω/m, đặc trưng cho điện trở thuần của cả hai dây kim loại trên một đơn vị độ dài. Điện trở R liên quan đến tổn hao kim loại (do dây dẫn không phải là dẫn điện lý tưởng) là thông số phụ thuộc vào tần số hoạt động (do hiệu ứng da, do ghép ký sinh ). L= điện cảm nối tiếp, đơn vị H/m, đặc trưng cho điện cảm tương đương của cả hai dây dẫn kim loại trên một đơn vị độ dài đường truyền. G= điện dẫn song song, đơn vị S/m, đặc trưng cho điện dẫn thuần của lớp điện môi phân cách trên một đơn vị độ dài đường truyền. Nó liên quan đến tổn hao điện môi (do điện môi không cách điện lý tưởng), thường được đánh giá dựa trên góc tổn hao (loss tangent) của vật liệu điện môi. C= điện dung song song, đơn vị F/m, đặc trưng cho điện dung của lớp điện môi phân cách hai dây dẫn kim loại trên một đơn vị độ dài đường truyền. Như vậy ta thấy trên đường truyền có hai loại tổn hao là tổn hao kim loại gây ra bởi R và tổn hao điện môi do G gây ra. Một cách tổng quát mạch điện tương đương của đường truyền gồm hai thành phần là: 1. Trở kháng nối tiếp Z = R + jωL (2.4) 2. và Dẫn nạp song song Y = G + jωC (2.5) Trong đó R, L, G, C là các thông số sơ cấp của đường truyền sóng. 2.1.2 Phương trình truyền sóng Từ mạch điện trên Hình 2.2, áp dụng định luật Kirchhoff cho điện áp ta có v(z, t) = v(z + ∆z, t) + R.∆z.i(z, t) + L.∆z. ∂i(z, t) ∂t (2.6) http://www.ebook.edu.vn 2.1. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRÊN ĐƯỜNG DÂY 15 trong khi định luật Kirchhoff áp dụng cho dòng điện cho i(z, t) = i(z + z, t) + G.z.v(z + z, t) + C.z. ∂v(z + z, t) ∂t (2.7) Chia 2.6 và 2.7 cho ∆z sau đó lấy giới hạn khi cho ∆z → 0 cho các phương trình vi phân sau: ∂v(z, t) ∂z = −R.i(z, t) −L. ∂i(z, t) ∂t , (2.8a) ∂i(z, t) ∂z = −G.v(z, t) −C. ∂v(z, t) ∂t , (2.8b) Các phương trình này là các phương trình đường truyền trong miền thời gian. Đối với trạng thái ổn định điều hòa với dạng sóng cosin, ta có thể viết lại (2.8a) và (2.8b) trong miền tần số thông qua phép biến đổi Fourier như sau: dV (z, ω) dz = −(R + jωL)I(z, ω) (2.9a) dI(z, ω) dz = −(G + jωC)V (z, ω) (2.9b) Phương trình này tương tự như hai phương trình Maxwell (2.3a) và (2.3b) như đã đề cập. Nó cho thấy mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện tại một điểm z bất kỳ trên đường truyền sóng và tại tần số ω bất kỳ của tín hiệu. Giải hệ phương trình trên để tìm nghiệm V (z, ω) và I(z, ω) và từ đó suy ra đặc tính truyền sóng. Lấy đạo hàm 2 vế của 2.9a và 2.9b được d 2 V (z, ω) dz 2 = (R + jωL).(G + jωC).V (z, ω) (2.10a) d 2 I(z, ω) dz 2 = (R + jωL).(G + jωC).I(z, ω) (2.10b) Người ta định nghĩa hằng số lan truyền phức γ (là hàm của tần số) và không phụ thuộc vào tọa độ z như sau: γ(ω) = α(ω) + jβ(ω) =  (R + jωL).(G + jωC) (2.11) Trong đó α và β là hệ số suy hao [dB/m] và hệ số pha [rad/m]. Ta có thể viết lại 2.10a và 2.10b như sau: d 2 V (z, ω) dz 2 − γ(ω) 2 .V (z, ω) = 0 (2.12a) d 2 I(z, ω) dz 2 − γ(ω) 2 .I(z, ω) = 0 (2.12b) Đây chính là các phương trình sóng điện áp và dòng điện. Để ý ta thấy hai phương trình trên đồng dạng do đó dạng nghiệm của hai phương trình cũng sẽ giống nhau. http://www.ebook.edu.vn 16 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN 2.1.3 Nghiệm của phương trình sóng. Sóng tới và sóng phản xạ Phương trình (2.12a) và (2.12b) là các phương trình vi phân bậc hai thuần nhất có dạng nghiệm (sóng chạy) như sau: V (z, ω) = V + 0 e −γ(ω).z + V − 0 e γ(ω).z (2.13a) I(z, ω) = I + 0 e −γ(ω).z + I − 0 e γ(ω).z (2.13b) Trong đó V + 0 (I + 0 ) và V − 0 (I − 0 ) là những hằng số phức được xác định bởi điều kiện biên về điện áp (dòng điện) tại nguồn (z = 0) và tại tải (z = ) của đường truyền sóng. Để đơn giản trong ký hiệu ta bỏ qua biến số ω và ngầm hiểu rằng các phương trình trên cũng như nghiệm của chúng là hàm của tần số (hay phụ thuộc vào tần số). Ta viết lại (2.13) như sau: V (z) = V + 0 e −γz + V − 0 e +γz (2.14a) I(z) = I + 0 e −γz + I − 0 e γz (2.14b) Trong đó e −γz đại diện cho sóng truyền lan theo hướng +z còn e γz đại diện cho sóng truyền lan theo hướng -z. Nghiệm trên là dạng điều hòa thời gian tại tần số ω. Trong miền thời gian, kết quả này được viết (cho dạng sóng điện áp) là v(z, t) = |V + 0 |cos (ωt − βz + φ + )e −αz + |V − 0 |cos (ωt + βz + φ − )e −αz (2.15) Trong đó φ ± là góc pha của điện áp phức V ± 0 . Ta nhận thấy số hạng thứ nhất của (2.15) biểu diễn một sóng chuyển động theo hướng +z vì để duy trì một điểm cố định trên sóng (ωt − βz + φ + ) = const = hằng số thì sóng phải di chuyển theo hướng +z (sóng tới) khi thời gian tăng lên. Tương tự số hạng thứ hai trong (2.15) biểu diễn một sóng chuyển động theo chiều âm của z (sóng phản xạ). Vì vậy mà ở các biểu thức trên ta sử dụng ký hiệu V + 0 và V − 0 cho biên độ của các sóng này. Ta biết rằng bước sóng được định nghĩa là khoảng cách một điểm trên sóng di chuyển giữa hai điểm cực đại hoặc cực tiểu và tương đương với việc sóng di chuyển được một chu kỳ là 2π. Vì vậy ta có [ωt − βz + φ + 0 ] −[ωt − β(z + λ) + φ + 0 ] = 2π (2.16) Từ đây ta rút ra bước sóng trên đường dây là λ = 2π β (2.17) và vận tốc pha được định nghĩa là tốc độ của một điểm cố định trên sóng di chuyển được cho bởi υ p = dz dt = d dt ( ωt − const β ) = ω β = λf (2.18) Mặt khác áp dụng (2.9a) cho (2.14a) ta rút ra được biểu thức của dòng điện trên đường dây như sau: I(z) = γ R + jωL  V + 0 e −γz − V − 0 e γz  (2.19) http://www.ebook.edu.vn 2.1. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRÊN ĐƯỜNG DÂY 17 So sánh (2.19) với (2.14b) chỉ ra rằng trở kháng đặc tính Z 0 của đường truyền có thể được định nghĩa như sau: Z 0 = R + jωL γ =  R + jωL G + jωC (2.20) Quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên đường dây như sau V + 0 I + 0 = Z 0 = − V − 0 I − 0 (2.21) Trở kháng đặc tính Z 0 là một số phức, phụ thuộc vào cấu trúc vật lý của đường truyền sóng. Hình 2.3: Sóng tới và sóng phản xạ Như vậy chúng ta thấy rằng, sóng điện áp và sóng dòng điện tại một điểm z bất kỳ trên đường truyền đều là sự xếp chồng của hai sóng là sóng tới và sóng phản xạ. Hai sóng này được minh họa riêng rẽ trong Hình 2.3. http://www.ebook.edu.vn 18 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN 2.1.4 Các thông số thứ cấp Như đã trình bày trong mục 2.1.1, các thông số R, L, G, C là các thông số sơ cấp của đường truyền sóng vì chúng liên quan đến thông số của mạch điện tương đương cơ bản cho một vi phân độ dài đường truyền. Tuy nhiên các thông số trên không thể hiện rõ các tham số đặc tính của quá trình truyền sóng và không đo đạc được trực tiếp trên đường dây. Các thông số thứ cấp sau đây được suy ra từ các thông số sơ cấp trên, diễn tả khá đầy đủ đặc tính truyền sóng và có thể đo trực tiếp nhờ các thiết bị đo chuyên dụng. Chúng ta lần lượt khảo sát ý nghĩa của từng thông số. Hằng số truyền lan Hằng số truyền lan sóng như được định nghĩa ở mục 2.1.2 là γ(ω) = α(ω) + jβ(ω) =  (R + jωL).(G + jωC) (2.22) với α là hệ số suy hao tính trên một đơn vị chiều dài, đơn vị [dB/m] hoặc [Np/m], β là hệ số pha trên một đơn vị chiều dài, đơn vị [rad/m] hoặc [độ/m] Quan hệ giữa α[dB/m] và α[Np/m] được xác định như sau: α [dB/m] = 20 log 10 e α [Np/m] = 8.686 α [Np/m] (2.23) Tức là 1Np = 20 log e = 8.686 dB (2.24) Hằng số pha β biểu diễn độ biến thiên về góc pha của sóng khi lan truyền trên một đơn vị chiều dài đường truyền. Ta nhận thấy α và β đều biến thiên theo tần số tín hiệu, do đó rất khó đo chính xác trên đường truyền sóng thực tế. Tuy nhiên chúng ta sẽ xét các hệ số này trong những trường hợp đặc biệt • Đường truyền không tổn hao (R=0, G=0) Từ (2.22) ta suy ra γ =  (jωL).(jωC) = jω √ LC (2.25) So sánh (2.25) với (2.22) ta suy ra α = 0; β = ω √ LC (2.26) Hệ số suy hao α=0 khẳng định lại không có suy hao trên đường truyền (vì R=0, G=0). Hệ số β tỷ lệ với tần số tín hiệu ω (đường truyền có pha tuyến tính tương ứng với trường hợp không có tán xạ tần số trên đường truyền). Vì lúc này vận tốc pha luôn là hằng số với mọi tần số υ p =1/ √ LC http://www.ebook.edu.vn 2.1. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRÊN ĐƯỜNG DÂY 19 • Đường truyền có tổn hao thấp Trong trường hợp này, các yếu tố gây tổn hao đến đường truyền không thể bỏ qua tuy nhiên ảnh hưởng của chúng không quá lớn đến các thông số truyền sóng. Tổn hao thấp nghĩa là phải thỏa mãn các tiêu chuẩn sau: R  ωL (2.27a) G  ωC (2.27b) Khi đó (2.22) có thể được viết lại thành γ =  (R + jωL)(G + jωC) = jω √ LC.   1 + R jωL  .  1 + G jωC  (2.28) Do (2.27) nên R/ωL và G/ωC là các vô cùng bé so với 1. Sử dụng công thức chuỗi Taylor sau: (1 + ) u ≈ 1 + u. (2.29) trong đó  là một vô cùng bé, u là hằng số bất kỳ Với 2.29, 2.28 trở thành γ ≈ jω √ LC.  1 + R j2ωL  .  1 + G j2ωC  = jω √ LC  1 + R j2ωL + G j2ωC +  R j2ωL . G j2ωC  (2.30) Trong biểu thức (2.30), R/j2ωL và G/2jωC là các vô cùng bé so với 1, còn thành phần (R/j2ωL).(G/j2ωC) là vô cùng bé bậc hai so với 1 nên số hạng này có thể được bỏ qua. Khi đó (2.30) trở thành γ ≈ jω √ LC  1 + R j2ωL + G j2ωC  = 1 2  R  C L + G  L C  + jω √ LC (2.31) So sánh (2.31) với (2.22) ta rút ra: Hệ số suy hao α = 1 2  R  C L + G  L C  (2.32) là một hằng số (không phụ thuộc vào tần số), tỷ lệ với tổn hao kim loại R và tổn hao điện môi G của đường truyền. Hệ số pha β = ω √ LC hoàn toàn giống trường hợp đường truyền không tổn hao. Như vậy với đường truyền tổn hao ít thì cũng có pha tuyến tính và do đó không có tán xạ tần số. Đây là trường hợp gần với thực tế nhất bởi các ống dẫn sóng hiện nay có tổn hao thấp. Tuy nhiên cần lưu ý, kết luận trên chỉ có tính tương đối vì chúng ta đã bỏ qua thành phần vô cùng bé bậc cao. http://www.ebook.edu.vn 20 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN Trở kháng đặc tính Trở kháng đặc tính Z 0 của đường truyền có quan hệ với các thông số sơ cấp qua biểu thức sau: Z 0 (ω) =  R + jωL G + jωC đơn vị Ω (2.33) Ta thấy rằng Z 0 là một hàm của tần số và điều này gây khó khăn cho việc khảo sát chi tiết một đường truyền sóng. Tuy nhiên, ta sẽ xét một số trường hợp đặc biệt: • Đường truyền không tổn hao (R=0, G=0) Từ 2.126 suy ra Z 0 =  L C ≡ R 0 (2.34) là một hằng số thực, được gọi là điện trở đặc tính của đường dây. Trong thực tế ta thường gặp các đường truyền sóng có R 0 = 50Ω (cáp đồng trục), R 0 = 300Ω (đường dây điện thoại) vv • Với đường truyền tổn hao thấp (R  ωL, G  ωC). Khi đó Z 0 =  L C     1 + R jωL 1 + G jωC (2.35) Do R/ωL và G/ωC là các vô cùng bé so với 1 nên áp dụng (2.29) ta có thể viết lại 2.35 như sau: Z 0 ≈  L C .(1 + R j2ωL )(1 − G j2ωC ) =  L C  1 + R j2ωL − G j2ωC −  R j2ωL . G j2ωC  (2.36) Ta cũng bỏ đi thành phần vô cùng bé bậc 2, khi đó Z 0 =  L C  1 + R j2ωL − G j2ωC  (2.37) Do đó R 0 =  L C (2.38a) X 0 = − 1 2ω  R L − G C  (2.38b) Ta thấy ở các tần số càng cao thì điện kháng càng nhỏ và do đó ta có thể coi Z 0 là một số thực. Thế (3.47a) vào (2.32) ta được α = R 2R 0 + GR 0 2 (2.39) [...]... chúng ta quay v (2. 51) và (2. 52) và áp d ng đi u ki n Ez = Hz = 0 Khi đó t (2. 51a) và (2. 52a) chúng ta có th lo i tr Hz đ đ t đư c β 2 Ey = ω 2 µ Ey , hay √ β = ω µ = k, (2. 56) như ta đã lưu ý trên (k t qu này cũng có th đ t đư c t (2. 51b) và (2. 52b)) Vì th đ i v i sóng TEM s sóng c t kc = k 2 − β 2 b ng 0 Bây gi phương trình Helmholtz cho Ex là 2 2 2 + 2 + 2 + k 2 Ex = 0 ∂x2 ∂y ∂z (2. 57) nhưng do... ∂x2 ∂y ∂z (2. 57) nhưng do s ph thu c e−jβz nên (∂ 2 /∂z 2 )Ex = −β 2 Ex = −k 2 Ex , và khi đó (2. 57) tr thành 2 2 + 2 ∂x2 ∂y Ex = 0 (2. 58) ¯ K t qu tương t cũng áp d ng cho Ey , vì v y s d ng d ng bi u di n c a E trong (2. 49a) ta có th vi t 2 ¯ (2. 59) t e(x, y) = 0 trong đó 2 t = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 là toán t Laplace hai chi u theo phương ngang K t qu 2. 59 ch ra r ng các trư ng đi n ngang e(x, y) c... 2 Cũng như trong trư ng h p TE, kc = 0 và h ng s truy n lan β = k 2 − kc là m t hàm c a t n s và hình d ng c a đư ng dây hay ng d n Ez đư c tìm th y t phương trình sóng Helmholtz, 2 2 2 + 2 + 2 + k 2 Ez = 0 ∂x2 ∂y ∂z (2. 74) do Ez (x, y, z) = ez (x, y)e−jβz nên phương trình này có th đư c rút g n thành phương trình sóng hai chi u cho ez : 2 2 2 + 2 + kc ez = 0 (2. 75) 2 ∂x ∂y 2 do kc = k 2 − β 2. .. ng rút g n (2. 71): 2 2 2 + 2 + kc hz = 0 2 ∂x ∂y (2. 86) 2 v i Hz (x, y, z) = hz (x, y)e−jβz và kc = k 2 − β 2 là s sóng c t Phương trình vi phân (2. 86) có th đư c gi i b ng phương pháp phân ly bi n s b ng cách cho hz (x, y) = X(x)Y (y) r i th vào 2. 86 ta có (2. 87) 1 d2 X 1 d2 Y 2 + + kc = 0 2 2 X dx Y dy (2. 88) Ti p theo, b ng phép phân ly bi n s thông thư ng, m i s h ng c a (2. 88) ph i là h ng s...   e W 4h (2. 126 ) Z0 =  120 π  √ khi W/h ≥ 1  e [W/h + 1.393 + 0.667 ln (W/h + 1.444)] V i m t tr kháng đ c tính Z0 và h ng s đi n môi r cho trư c, t s W/d có th đư c xác đ nh là   8eA   khi W/h < 2 ,  e2A − 2 W =  2 h 0.61  r −1  B − 1 − ln (2B − 1) + ln (B − 1) + 0.39 − khi W/h > 2  π 2r r Trong đó A= Z0 60 r +1 + 2 B= −1 r +1 r 377π √ 2Z0 r 0 .23 + 0.11 (2. 127 ) r (2. 128 ) 2. 2 CÁC ĐƯ NG... trình (2. 53) khi đó tr thành −jβ ∂Hz (2. 69a) Hx = 2 kc ∂x Hy = Ex = Ey = −jβ ∂Hz 2 kc ∂y (2. 69b) −jωµ ∂Hz 2 kc ∂y (2. 69c) jωµ ∂Hz 2 kc ∂x (2. 69d) 2 Trong trư ng h p này kc = 0 và h ng s truy n lan β = k 2 − kc nhìn chung là m t hàm c a t n s và d ng hình h c c a đư ng truy n hay ng d n sóng Đ áp d ng các bi u th c (2. 69) trư c h t ta ph i tìm Hz t phương trình sóng Helmholtz, 2 2 2 + 2 + 2 + k 2 Hz... các h ng s phân ly kx và ky sao cho d2 X 2 + kx X = 0 dx2 (2. 89a) d2 Y 2 + ky Y = 0 2 dy (2. 89b) và 2 2 2 kx + k y = kc (2. 90) Nghi m t ng quát cho hz có th đư c vi t là hz (x, y) = (A cos kx x + B sin kx x)(C cos ky y + D sin ky y) (2. 91) 34 http://www.ebook.edu.vn CHƯƠNG 2 LÝ THUY T ĐƯ NG TRUY N Hình 2. 9: D ng hình h c c a ng d n sóng Đ đánh gi các h ng s trong (2. 91) chúng ta ph i áp d ng các đi u... Amn sin cos e , 2 kc a a b (2. 95b) jβmπ mπx nπy −jβz cos e Amn sin 2a kc a b (2. 95c) Hx = 2. 2 CÁC ĐƯ NG TRUY N SÓNG VÀ http://www.ebook.edu.vn Hy = NG D N SÓNG TH C T 35 jβnπ mπx nπy −jβz Amn cos sin e , 2 kc b a b (2. 95d) H ng s truy n lan đư c xác đ nh là β= 2 k 2 − kc = mπ a k2 − nπ b 2 − 2 (2. 96) nó s là th c (tương ng v i mode truy n lan) khi k > kc = mπ a 2 + nπ b 2 (2. 97) M i mode là s k t h p... T Mmn có th đư c tính toán t (2. 73) và (2. 104) như sau: −jβmπ mπx nπy −jβz Ex = Bmn cos sin e (2. 107a) 2 akc a b Ey = −jβnπ mπx nπy −jβz Bmn sin cos e 2 bkc a b (2. 107b) Hx = jω nπ mπx nπy −jβz Bmn sin cos e 2 bkc a b (2. 107c) −jω mπ mπx nπy −jβz Bmn cos sin e 2 akc a b (2. 107d) Hy = Cũng gi ng như các mode TE, h ng s truy n lan là β= 2 k 2 − kc = k2 − mπ a 2 − nπ b 2 (2. 108) là th c đ i v i các mode... Hình 2. 6 Trong trư ng h p này, các thông s sơ c p c a dây song hành s là: 30 http://www.ebook.edu.vn CHƯƠNG 2 LÝ THUY T ĐƯ NG TRUY N Hình 2. 5: Dây song hành - M t ph ng ti t di n Hình 2. 6: Dây song hành - Phân b trư ng Đi n tr : R= trong đó Rs = Rs πd (2. 82) ωµ là đi n tr b m t c a dây d n 2 Đi n c m : L= µ cosh−1 π Đi n dung: C= v i cosh −1 D 2d ≈ µ ln π D d π π ≈ ln D (D/2d) d (2. 83) (2. 84) 2. 2 CÁC . u. (2. 29) trong đó  là một vô cùng bé, u là hằng số bất kỳ Với 2. 29, 2. 28 trở thành γ ≈ jω √ LC.  1 + R j2ωL  .  1 + G j2ωC  = jω √ LC  1 + R j2ωL + G j2ωC +  R j2ωL . G j2ωC  (2. 30) Trong. được từ (2. 51b) và (2. 52b)). Vì thế đối với sóng TEM số sóng cắt k c =  k 2 − β 2 bằng 0. Bây giờ phương trình Helmholtz cho E x là  ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2 + k 2  E x = 0 (2. 57) nhưng. + R j2ωL + G j2ωC  = 1 2  R  C L + G  L C  + jω √ LC (2. 31) So sánh (2. 31) với (2. 22) ta rút ra: Hệ số suy hao α = 1 2  R  C L + G  L C  (2. 32) là một hằng số (không phụ thuộc vào tần