Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học 1 GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN Bài 1: Giả sử 0(f(x)) là VCB bậc cao hơn so với f(x) khi x  a; còn O(f(x)) là VCB cùng b ậc với f(x) khi x  a. Hãy chứng minh rằng: a. 0(0(f(x))) = 0(f(x)) b. O(O(f(x))) = O(f(x)) c. O(0(f(x))) = 0(f(x)) d. O(f(x)) + 0(f(x)) = O(f(x)) e. 0(O(f(x))) = 0(f(x)) f. O(f(x)).O(g(x)) = O(f(x).g(x)) Bài 2: Giả sử x  0 và n > 0. Hãy chứng minh rằng: a. c.0(x n ) = 0(x n ) (c – hằng số) b. 0(x n ) + 0(x m ) = 0(x n ) với (n < m) c. 0(x n ).0(x m ) = 0(x m+n ) Bài 3: Giả sử x  0. Chứng minh rằng: a. 2x – x 2 ~ 2x b. 1 ln 0 ( 0) x x           c. 3 2 sin ~ x x x d. 8 ~ x x x x   e. (1 ) 1 0( ) n x nx x     (n N) Bài 4: Giả sử x +. Chứng minh rằng: a. 2x 3 + 10 6 .x ~ 2x 3 b. ln 0( )( 0) x x     c. 2 1 1 ~ 1 x x x   d. 3 3 .cos 0( ) x x x x   e. 3 3 arctan ~ 1 2 x x x   f. ~ x x x x   Bài 5: So sánh bậc của các VCB sau đây: a. ( ) 1 cos x x    và 2 ( ) sin x x   , khi x  0 b. ( ) 1 f x x x    và 1 ( )g x x  , khi x  + c. ( ) x f x e   và 1 ( )g x x  , khi x  + d. 1 1 ( ) sin u x x x  và 2 1 ( )v x x  , khi x   Bài 6: Trong quá trình x  0, các đại lượng sau đây có bậc cao hơn hay thấp hơn so với x? x 3 ; (1 ) x x  ; sin5x ; x.e 2x ; 2 3 2 .cos . tan x x x ; Bài 7: Tìm bậc của các VCB sau đây đối với VCB x khi x  0: 2 1 x  ; 1 1 x x    ; tanx – sinx ;   sin 2 2 x   ; 1 2 cos 3 x          ; x.cosx – sinx Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học 2 GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM Bài 8: Cho 2 1 ( ) 1 cos u x x x         . Chứng minh u(x) là VCB khi x  0. Có thể nói nó là VCB bậc 2 hay không? Bài 9: Tìm các giới hạn sau đây bằng cách thay VCB tương đương: 1. 0 sin( ) lim sin n m x x x  (m, n là số nguyên) 2. 0 arctan lim tan 2 x x x   3.   2 0 3 sin(3 ).arcsin(5 ) lim x x x x x   4.     1 sin lim sin x x x      5. 2 2 ln(sin ) lim 2 x x x           6. 2 0 sin lim ln(cos ) x x x  7. 2 0 1 cos lim .arctan 2 x x x x   8.     2 arctan 0 sin 2 2sin lim ln 1 cos 3 3 x x x x e x x       9.     2 1 sin 2 lim ln cos 2 x x x        10. 2 2 3 3 2 3 0 1 tan 1 arctan lim x x x x x      11. 1 1 lim 1 m n x x x    l2. 0 1 . 1 1 lim ln(cos sin ) m n x x x x x        13.         3 1 1 1 1 1 lim 1 n n x x x x x       14. 3 2 0 cos cos lim sin x x x x   15. 2 arcsin3 2 2 0 1 2 lim sin( ) ln (1 3 ) x x x e x x x       16. 3 cot 0 1 sin cos 2 lim 1 sin cos3 x x x x x x          17. 2 0 1 cos lim x x x    18.   2 2 2 0 cos lim x x e x x   19. 2 2 4 0 .cos 1 lim x x e x x     20.    2 1 sin lim ( , 0) 1 sin 1 sin x x x x              Đáp số bài 9: 1. 0 (n > m) ; 1 (n = m) ; + (n < m) ; 2. 2  ; 3. 15 ; 4.   ; 5. 1 2  ; 6. -2 ; 7. 1 2 ; 8. 4 3  ; 9. -2 ; 10. 0 ; 11. m n ; 12. m n    ; 13. 1 ! n ; 14. 1 12  ; 15. 1 60 ; 16. 5 2 e ; 17. 2  ; 18. 2 1 2  ; 19. 2  ; 20.     . Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học 1 GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN Bài 1: Giả sử 0(f(x)). tanx – sinx ;   sin 2 2 x   ; 1 2 cos 3 x          ; x.cosx – sinx Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học 2 GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý –. rằng: a. c.0(x n ) = 0(x n ) (c – hằng số) b. 0(x n ) + 0(x m ) = 0(x n ) với (n < m) c. 0(x n ).0(x m ) = 0(x m+n ) Bài 3: Giả sử x  0. Chứng minh rằng: a. 2x – x 2 ~ 2x b. 1 ln 0 ( 0) x x   