Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập toán cao cấp II
˜ ’ ˆ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp a Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m e ınh a a a ´ ´ ’ ` ˆ ˆ ` ˆ NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI Muc luc ´ ’ a e a o Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o ´ ’ a o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o ı o 7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han a a a e o ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c ´ e a 7.1.2 Ch´ u o ’ a o dinh l´ vˆ gi´.i han y ` o e ` ´ e e 7.1.3 Ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu u o ’ a o ’ ’ e a o kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ e e y Bolzano-Weierstrass) ` ´ e 7.1.4 Ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu u e o ’ a o ’ kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu e ` e y o a a ’ e a o 7.2 7.3 7.4 Bolzano-Cauchy) i han h`m mˆt biˆn ´ a o e Gi´ o ’ ` o e y 7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co ban vˆ gi´.i han a a e a H`m liˆn tuc a e ´ ` a e ’ a e e Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn o 11 17 25 27 27 41 51 ´ Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn e ınh a a o e 60 - a 8.1 Dao h`m 61 - a ´ 8.1.1 Dao h`m cˆp 61 a - a ´ 8.1.2 Dao h`m cˆp cao 62 a 8.2 Vi phˆn a ´ 8.2.1 Vi phˆn cˆp a a 75 75 MUC LUC 8.3 ´ 8.2.2 Vi phˆn cˆp cao a a ban vˆ h`m kha vi Quy t˘c l’Hospital ´ ’ C´c dinh l´ co ’ ` a a e a y Cˆng th´.c Taylor o u ’ ` a ’ 8.3.1 C´c d inh l´ co ban vˆ h`m kha vi a e y c´c dang vˆ dinh Quy t˘c Lˆpitan ´ ’ 8.3.2 Khu a o a o (L’Hospitale) 8.3.3 Cˆng th´.c Taylor o u ´ ` Ph´p t´ e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn a a e e - a 9.1 Dao h`m riˆng e - a ´ 9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp e a - a ’ a 9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p ’ 9.1.3 H`m kha vi a - a 9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng o - a ´ 9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao e a ´ ` 9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn a ’ a e e ´ 9.2.1 Vi phˆn cˆp a a ´ ’ ` 9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng a e ı a u ´ 9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn a ınh a ’ a ´ 9.2.4 Vi phˆn cˆp cao a a c Taylor 9.2.5 Cˆng th´ o u 9.3 ’ 9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn a ’ a a ´ ` Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn e e ’ a c tri 9.3.1 Cu c tri c´ diˆu kiˆn 9.3.2 Cu e e o ` n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m ´ ´ 9.3.3 Gi´ tri l´ a o a a e a ’ a 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 Chu.o.ng ’ Gi´.i han v` liˆn tuc cua o a e ´ h`m sˆ a o 7.1 ´ ’ Gi´.i han cua d˜y sˆ o a o ıa o 7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i a a a e o han ´ e 7.1.2 Ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u o ’ a o ` gi´.i han y e c´c dinh l´ vˆ o a ´ a o 7.1.3 Ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a u o ’ ’ ` ’ e a e e o e trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn e Bolzano-Weierstrass) 7.1.4 11 l´ y 17 ´ e Ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u o ’ a o ’ ` e e ` e diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn a a ’ e a o l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) 25 y o 7.2 ´ a o e Gi´.i han h`m mˆt biˆn 27 o ’ ` o y e 7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co ban vˆ gi´.i han 27 a a e a 7.3 H`m liˆn tuc 41 a e ´ ` ’ a e a e e Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn 51 o 7.4 ´ ’ a o a e o Chu.o.ng Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ 7.1 ´ ’ Gi´.i han cua d˜y sˆ o a o ´ ´ ´ a o H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han D˜y sˆ a o a e a a a o o ´ o e o thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang: a1, a2, , an , (7.1) ’ ´ o a o ho˘c {an }, d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t a a o ´ ´ ’ a cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang d˜y a o e ’ o a ` Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy: a ´ a a e a o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | ´ i) D˜y (7.1) du a a a e ´ M ; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M a a o a e ´ ´ ’ a e ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu: o a o ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε (7.2) ´ ´ ’ a ’ a o e iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu: o o ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε (7.3) o iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, tru.`.ng ho.p ngu.o.c a o o a a o lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k` a a a a y ´ v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = v` goi l` d˜y a e e a a a a a o u n→∞ ´ ´ e a e vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt o u o lim an = ∞ ’ ` ’ a e e ` e a o a a o vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n a c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i: o Ch´ ´: i) Hˆ th´ uy e u −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε (7.4) ´ ’ a o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o ` ´ ´ ’ a ’ o ’ a u o Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y e u o ` ’ ’ hˆi tu dˆu n˘m khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn o ` e a a a a ’ cˆn cua diˆm a a ’ e ´ ´ ´ ´ ’ o u Nhu vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr` a e a o e o ı o u han sˆ hang dˆu n˘m ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao ` ´ ´ e ` a a a a y e mˆt sˆ h˜ o o u o ´ ’ nhiˆu t`y y cua diˆm a e u ´ ’ e ´ ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu ´ ` a a o o u o o o a y e ’ o lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´ ıa a a a o u o a y e o i han ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ a a o o ıa a a o o 7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i a a a e o ıa o han ’ ` ´ ` ’ Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn e u a a ı a e ´.c sau dˆy: h`nh theo c´c bu o a a a ’ i) Lˆp biˆu th´.c |an − a| a e u ´ ` o o ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) cho |an − a| bn ∀ n v` a e e a i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n: ´ ´ ´ ’ e a y a v´ o ınh o o bn < ε (7.5) ’ ˜ a ’ ’ o e a c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng Gia su (7.5) c´ nghiˆm l` n > f(ε), o e ’ o a e ’ ´ f (ε) > Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], d´ [f (ε)] l` phˆn o o e a a o a ` a nguyˆn cua f(ε) e ’ ´ CAC V´ DU I n ` ’ ’ V´ du Gia su an = n(−1) Ch´.ng minh r˘ng: ı a u i) D˜y an khˆng bi ch˘n a o a ’ a o u ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n a o o ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng ` ’ ’ Giai i) Ta ch´ u a a ı a o i sˆ hiˆu n = 2([M] + 1) b˘ng ` ´ bi ch˘n Thˆt vˆy, ∀ M > sˆ hang v´ o e a a o o ´ a a ` o o n v` l´.n ho.n M Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n a o e ıa a a o a ´ ’ a o a e o Chu.o.ng Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ ` ’ a o u a a a ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n Thˆt vˆy, u o o i sˆ hiˆu le ’ ´ ’ ’ a o ´ ta x´t khoang (−2, 2) Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’ e e e o ` u thuˆc khoang (−2, 2) v` n le th` ta c´: ’ ’ ı e o ı o dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) ´ ´ ’ ’ a o o o o a u o Nhu vˆy khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y T` d´, ’ a o u theo dinh ngh˜ suy an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n ıa o o ` ´ ’ V´ du D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng: ı u a o e u a ı o 1) lim n→∞ (−1)n−1 = n 2) lim n→∞ n = n+1 ’ ` ’ Giai Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh a a u e u o o a i mˆ i sˆ ε > cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu ˜ o ’ ı ` ´ ´ r˘ng dˆi v´ a o ´ o o e o o o o o thuˆc ε) cho n > N th` suy |an − a| < ε Thˆng thu.`.ng ta o ı ’ ’ ˜ c´ thˆ chı cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε o e ’ o u o e e 1) Ta c´: o |an − 0| = (−1)n−1 = · n n ´ ’ ’ Gia su ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y Khi d´: a o o u ´ o 1 · n ε ’ ´ ´ ` ´ e a o ’ V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn: ı e o e a a o a e e N> 1 ⇒ < ε ε N ’ ’ ´ (Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn a o e a o a ` a e ’ cua 1/ε) Khi d´ ∀ n N th` o ı: |an − 0| = n < ε N ´ ’ a o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o (−1)n ` o o = Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim e ıa a n→∞ n ´ ´ ´ ´ 2) Ta lˆy sˆ ε > bˆt k` v` t` sˆ tu nhiˆn N (ε) cho ∀ n > a o a y a ım o e N (ε) th` ı: n − < ε n+1 ´ ’ Bˆt d˘ng th´.c a a u |an − 1| < ε ⇔ 1 < ε ⇔ − n+1 ε ’ ´ ´ Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua o o e a o a ` a e ’ − 1, t´.c l`: u a ε N(ε) = E((1/ε) − 1) Khi d´ v´.i moi n N ta c´: o o o n n 1 −1 = < ε ⇒ lim = n→∞ n + n+1 n+1 N +1 ` V´ du Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`: ı u a a a a a y n∈N 1) an = n, 2) an = (−1)n , 3) n∈N an = (−1)n + · n (7.6) (7.7) (7.8) ´ ’ ’ ’ a Giai 1) Gia su d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a Ta lˆy ε = o a o o a a i han tˆn tai sˆ hiˆu N cho ∀ n > N th` ´ Khi d´ theo dinh ngh˜ gi´ ` o e o ı o ıa o ta c´ |an − a| < ngh˜ l` |n − a| < ∀ n > N T` d´ −1 < n − a < o ıa a u o ∀ n > N ⇔ a − < n < a + ∀ n > N ´ ’ Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c a a a o y ı a a u ´ sˆ tu nhiˆn khˆng bi ch˘n o e o a d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a Ta lˆy lˆn ´ ’ ’ 2) C´ch Gia su a a a a o a o o a 1 ’ ´ ’ cua diˆm a Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang: cˆn a − , a + a o e e a a 2 {an } = −1, 1, −1, 1, (7.9) ´ ’ a o a e o Chu.o.ng Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ 1 ’ ’ l` b˘ng nˆn hai diˆm −1 a ` a e V` dˆ d`i cua khoang a − , a + ı o a ’ e 2 1 ’ ’ o ’ cua diˆm a, o a a o e v` +1 khˆng thˆ dˆng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a + a o e ` 2 ` ` o o ’ a a a e ı a ’ v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o ngo`i ı a u 1 ´ ´ ´ ’ a a ı e c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´ o o o o u lˆn cˆn a − , a + a a 2 ’ ´ ’ a y o trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y ´ ’ e o o e a o ´ ’ ’ o C´ch Gia su an → a Khi d´ ∀ ε > (lˆy ε = ) ta c´ a o a ∀ n N |an − a| < V` an = ±1 nˆn ı e |1 − a| < , | − − a| < ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| ⇒2 < 1, |1 − a| + |a + 1| 1 + =1 2 vˆ l´ o y ` ` o o ´ Sˆ hang kˆ v´.i n´ o e ´ a o 3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = + 2m ´ c´ sˆ hiˆu le 2m + (hay 2m − 1) v` o o e ’ a a2m+1 = −1 + 1 < (hay a2m−1 = −1 + 2m + 2m − 0) ` T` d´ suy r˘ng u o a |an − an−1 | > ´ ´ ´ ’ Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t` sˆ hiˆu n`o e o a o a o a ı ´ ` u o e a a a ´ ’ ’ d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < Khi d´ o a a a u o 1 |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 2 ` ´ ´ e u o e a y ’ a a Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn o o ˜ ` ` ’ a l´.n ho.n Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c o o o o e a a a u ´ i han cua d˜y d˜ cho ’ ’ a a n`o c´ thˆ l` gi´ a o e a o ´ ’ a o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o ` ˆ BAI TAP ’ ` H˜y su dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng a ’ a ıa o e u 2n − ´ lim an = nˆu an = e n→∞ 2n + 3n2 + ´u an = e lim an = nˆ n→∞ 5n2 − ´t dˆu t` sˆ hiˆu N n`o th`: ` u o e ´ a ı B˘ a a |an − 3/5| < 0, 01 ´ e lim an = nˆu an = n→∞ (DS N = 5) 3n + 3n cos n = n→∞ n 2n + · 6n lim = n→∞ 3n + 6n √ n2 sin n2 = lim n→∞ n+1 ` ´ ’ a o ’ Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an = u a o o a n −2 2n2 − ` Ch´.ng minh r˘ng u a lim n2 + 2n + + sin n lim = n→∞ n2 + n + ` Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k` u a a a y ` 10 Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k` u a a a y ’ a 11 T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; , 0, 22 2, ım o ’ ˜ ’ ˜ Chı dˆ n Biˆu diˆn an du.´.i dang a e e o an = 0, 22 = 22 2 + + ··· + n 10 10 10 n (DS lim an = 2/9) ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 144 ˜ ’ a Chı dˆ n X´t h`m f = ln(x3 + y ), M0(0, 1) e a ii) b = 5e0,02 + (2, 03)2 ˜ ’ a Chı dˆ n X´t h`m f = e a (DS ≈ 3, 037) 5ex + y 2, M0 (0, 2) ´ ’ ’ 35 T´ vi phˆn cua h`m f(x, y) = x3 + y U ng dung dˆ t´nh ınh a a e ı ´ xˆp xı (1, 02)3 + (1, 97)3 (DS ≈ 2, 95) a ’ ´ ’ Trong c´c b`i to´n sau dˆy (36-38) h˜y t´nh vi phˆn cˆp cua a a a a a ı a a ’ ’ a h`m ˆn z(x, y) x´c dinh bo.i c´c phu.o.ng tr` tu.o.ng u.ng a a a ınh ´ 36 z + 3x2 z = 2xy (DS dz = (2y − 6xz)dx + 2xdy ) 3(x2 + z 2) 37 cos2 x + cos2 y + cos2 z = (DS dz = − sin 2xdx + sin 2ydy ) sin 2z 38 x + y + z = e−(x+y+z) (DS dz = −dx − dy) ’ ’ ı 39 Cho w l` h`m cua x v` y x´c dinh bo.i phu.o.ng tr`nh a a a a w x = ln + w y T´ vi phˆn dw, d2 w ınh a (DS dw = w(ydx + wdy) , y(x + w) d2 w = − w2 (ydx − xdy)2 ) y (x + w)2 ´ ’ ınh e a 40 T´ dw v` d2 w nˆu h`m w(x, y) du.o.c x´c dinh bo.i phu.o.ng tr` ınh a a y w − x = arctg w−x (w − x)dy , (w − x)2 + y + y 2(y + 1)(w − x)[(w − x)2 + y 2] d2 w = − dy ) [(w − x)2 + y + y]3 (DS dw = dx + ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 9.3 9.3.1 145 ´ ` Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn a e e ’ Cu.c tri ’ ` a e a H`m f (x, y) c´ cu.c dai dia phu.o.ng (ho˘c cu.c tiˆu dia phu.o.ng) b˘ng a o ’ ’ ´ o f (x0, y0 ) tai diˆm M0 (x0, y0 ) ∈ D nˆu tˆn tai δ-lˆn cˆn cua diˆm M0 e e ` a a ’ e ’ cho v´.i moi diˆm M = M0 thuˆc lˆn cˆn ˆy ta c´ o o a a a o e ´ f (M) < f(M0 ) (tu.o.ng u.ng : f (M) > f (M0 )) ´ ’ ´ ´ Goi chung cu.c dai, cu.c tiˆu cua h`m sˆ l` cu.c tri cua h`m sˆ e ’ a o a o ’ a c tri dia phu.o.ng: Nˆu tai diˆm M0 h`m ’ o ’ ´ ` Diˆu kiˆn cˆn dˆ tˆn tai cu e e e e ` e ` a a c tri dia phu.o.ng th` tai diˆm d´ ca hai dao h`m riˆng cˆp ’ ´ f(x, y) c´ cu o ı e o ’ e a a ´ ` ` ` ´ o (nˆu ch´ng tˆn tai) dˆu b˘ng ho˘c ´ nhˆt mˆt hai dao h`m e u o e a a ıt a a ng diˆm t´.i han ho˘c diˆm d`.ng cua ’ o ’ ` ’ riˆng khˆng tˆn tai (d´ l` nh˜ e o o a o a u e e u ng dˆu l` diˆm cu.c tri ’ ’ ` a e ’ h`m f (x, y)) Khˆng phai moi diˆm d` a o u e e ` ’ ’ Diˆu kiˆn du: gia su e e ’ fxx (M0 ) =, fxy (M0 ) = B, fyy (M0 ) = C Khi d´: o ´ i) Nˆu ∆(M0) = e A B ’ > v` A > th` tai diˆm M0 h`m f c´ a ı e a o B C ’ e cu.c tiˆu dia phu.o.ng ´ ii) Nˆu ∆(M0 ) = e A B ’ > v` A < th` tai diˆm M0 h`m f c´ a ı e a o B C cu.c dai dia phu.o.ng A B ’ ’ < th` M0 l` diˆm yˆn ngu.a cua f , t´.c ı u a e e B C a o o l` tai M0 h`m f khˆng c´ cu.c tri a ´ iii) Nˆu ∆(M0 ) = e A B ’ ´ = th` M0 l` diˆm nghi vˆn (h`m f c´ ı a e a a o B C ’ ’ thˆ c´ v` c˜ng c´ thˆ khˆng c´ cu.c tri tai d´) e o a u o e o o o ´ iv) Nˆu ∆(M0) = e ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 146 9.3.2 Cu.c tri c´ diˆu kiˆn e e o ` ´ ’ o a Trong tru.`.ng ho.p do.n gian nhˆt, cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua h`m f (x, y) e e ’ a o ` c dai ho˘c cu.c tiˆu cua h`m d´ dat du.o.c v´.i diˆu kiˆn c´c biˆn ’ ’ ´ l` cu a e a a o e e a e o ` ’ x v` y thoa m˜n phu.o.ng tr`nh ϕ(x, y) = (phu.o.ng tr` r`ng buˆc) a a ı ınh a o ’ Dˆ t` cu.c tri c´ diˆu kiˆn v´.i diˆu kiˆn r`ng buˆc ϕ(x, y) ta lˆp o ` e ım e e o ` e e a o a ’ tro.) h`m Lagrange (h`m bˆ a a o F (x, y) = f(x, y)λϕ(x, y) ´ d´ λ l` h˘ng sˆ nhˆn chu.a du.o.c x´c dinh v` di t`m cu.c tri thˆng o a ` a o a a ı a o `.ng cua h`m bˆ tro n`y Dˆy l` phu.o.ng ph´p th`.a sˆ bˆt dinh ’ ´ ´ ’ thu o a o a a u o a a a Lagrange ’ o T` diˆu kiˆn cˆn dˆ tˆn tai cu.c tri c´ diˆu kiˆn l` giai ım ` e e ` e ` e e a ’ o ` a o.ng tr` hˆ phu e ınh ∂f ∂ϕ ∂F ∂x = ∂x + λ ∂x = ∂F ∂f ∂ϕ (9.15) ∂y = ∂y + λ ∂y = ϕ(x, y) = ’ T` hˆ n`y ta c´ thˆ x´c dinh x, y v` λ u e a o e a a c tri dia phu.o.ng du.o.c minh dinh ´ e o ’ Vˆn dˆ tˆn tai v` d˘c t´nh cua cu a ` ` a a ı so x´t dˆu cua vi phˆn cˆp hai cua h`m bˆ tro ’ ´ ´ ’ a trˆn co ’ e a ’ e a a o ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F dxdy + dx + dy d F = ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ´ ’ e o ` du.o.c t´ dˆi v´.i c´c gi´ tri x, y, λ thu du.o.c giai hˆ (9.15) v´.i diˆu e ınh o o a a kiˆn l` e a ∂ϕ ∂ϕ dx + dy = (dx2 + dy = 0) ∂x ∂y ’ Cu thˆ l`: e a ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 147 ´ i) Nˆu d2 F < h`m f(x, y) c´ cu.c dai c´ diˆu kiˆn e a o e e o ` c tiˆu c´ diˆu kiˆn ’ ´ ii) Nˆu d F > h`m f(x, y) c´ cu e o ` e a o e e ´u d2 F = th` cˆn phai khao s´t ` ’ ’ a iii) Nˆ e ı a Nhˆn x´t a e ´ ´ ` i) Viˆc t` cu.c tri cua h`m ba biˆn ho˘c nhiˆu ho.n du.o.c tiˆn h`nh e ım e a e e a ’ a ’ tu.o.ng tu nhu o .o.ng tu c´ thˆ t` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua h`m ba biˆn ho˘c ’ ´ ii) Tu e e ’ a e a o e ım o ` n v´.i mˆt ho˘c nhiˆu phu.o.ng tr`nh r`ng buˆc (sˆ phu.o.ng ` ` ´ nhiˆu ho e o o a e ı a o o n sˆ biˆn) Khi d´ cˆn lˆp h`m bˆ tro v´.i ’ ´ ` a a ´ ’ e tr` r`ng buˆc phai b´ ho o e ınh a o o a o o ` ´ ´ ´ sˆ th`.a sˆ chu.a x´c dinh b˘ng sˆ phu.o.ng tr`nh r`ng buˆc o u o a ı a o a o ´ ´ iii) Ngo`i phu.o.ng ph´p th`.a sˆ bˆt dinh Lagrange, ngu.`.i ta c`n a a u o a o o ´ ´ ’ ’ e o e ı d`ng phu.o.ng ph´p khu biˆn sˆ dˆ t`m cu.c tri c´ diˆu kiˆn u a e e o ` 9.3.3 ´ ´ Gi´ tri l´.n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m a o a a e a ’ a ` o ´ ´ ’ ’ a a H`m kha vi miˆn d´ng bi ch˘n dat gi´ tri l´.n nhˆt (nho nhˆt) a e a o a ’ ’ ` ho˘c tai diˆm d`.ng ho˘c tai diˆm biˆn cua miˆn a e a e u e ’ e ´ CAC V´ DU I ’ a V´ du T` cu.c tri dia phu.o.ng cua h`m ı ım f (x, y) = x4 + y − 2x2 + 4xy − 2y ’ ` a ’ a a a ’ a a Giai i) Miˆn x´c dinh cua h`m l` to`n m˘t ph˘ng R2 e ’ ii) T´ c´c dao h`m riˆng fx v` fy v` t` c´c diˆm t´.i han Ta ınh a a e a a ım a e o c´ o fx = 4x3 − 4x + 4y, fy = 4y + 4x − 4y o Do d´ 4x3 − 4x + 4y = 4y + 4x − 4y = ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 148 v` t` d´ a u o x1 = y1 = √ x2 = − √ y2 = √ x3 = √ y3 = − ’ ’ ` a o ı e o o o e Nhu vˆy ta c´ ba diˆm t´.i han V` fx , fy tˆn tai v´.i moi diˆm ’ M (x, y) ∈ R2 nˆn h`m khˆng c`n diˆm t´.i han n`o kh´c a a e a o o e o ´ iii) Ta t´ c´c dao h`m riˆng cˆp hai v` gi´ tri cua ch´ng tai c´c ınh a a e a a a ’ u a i han ’ o diˆm t´ e fxx (x, y) = 12x2 = 4, fxy = 4, fyy = 12y − ’ Tai diˆm O(0, 0): A = −4, B = 4, C = −4 e √ √ ’ Tai diˆm M1(− 2, + 2): A = 20, B = 4, C = 20 e √ √ ’ Tai diˆm M2(+ 2, − 2): A = 20, B = 4, C = 20 e ’ iv) Tai diˆm O(0, 0)ta c´ o e −4 A B = 16 − 16 = = −4 B C ` ´ ’ o Dˆu hiˆu du khˆng cho ta cˆu tra l`.i Ta nhˆn x´t r˘ng lˆn a e ’ a e a a o a ’ ’ ` ´ cˆn bˆt k` cua diˆm O tˆn tai nh˜.ng diˆm m` f (x, y) > v` nh˜.ng a a y ’ e o u e a a u ’ ’ diˆm m` f (x, y) < Ch˘ng han doc theo trung c Ox (y = 0) ta c´ e a a o f (x, y) y=0 = f (x, 0) = x4 − 2x2 = −x2(2 − x2 ) < ’ ’ ’ ` o a tai nh˜.ng diˆm du gˆn (0, 0), v` doc theo du.`.ng th˘ng y = x u e a a f (x, y) y=x = f (x, x) = 2x4 > ’ ’ a u Nhu vˆy, tai nh˜.ng diˆm kh´c cua mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua e a o a a a o ’ ’ ` ´ diˆm O(0, 0) sˆ gia to`n phˆn ∆f (x, y) khˆng c´ c`ng mˆt dˆu v` e o a a o o u o a a ´ c tri dia phu.o.ng d´ tai O(0, 0) h`m khˆng c´ cu o a o o √ √ ’m M1(− 2, 2) ta c´ Tai diˆ o e 20 A B = 400 − 16 > = 20 B C ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 149 √ √ ’ e a v` A > nˆn tai M1 (− 2, 2) h`m c´ cu.c tiˆu dia phu.o.ng v` a e a o fmin = −8 √ √ ’ Tai diˆm M2 ( 2, − 2) ta c´ AC − B > v` A > nˆn tai d´ e o a e o c tiˆu dia phu.o.ng v` fmin = −8 ’ h`m c´ cu a o e a ’ a a ım V´ du Khao s´t v` t` cu.c tri cua h`m ı ’ a f(x, y) = x2 + xy + y − 2x − 3y ’ ’ Giai i) Hiˆn nhiˆn Df ≡ R e e ng Ta c´ ’ ii) T` diˆm d` ım e o u fx = 2x + y − fy = x + 2y − ⇒ 2x + y − = 0, x + 2y − = 4 ’ Hˆ thu du.o.c c´ nghiˆm l` x0 = , y0 = Do d´ e , l` diˆm a e e a o o 3 3 ’ ’ a a e a a ı u o a o o e u d`.ng v` ngo`i diˆm d`.ng d´ h`m f khˆng c´ diˆm d`.ng n`o kh´c v` u ` a fx v` fy tˆn tˆi ∀(x, y) a o ’ a iii) Khao s´t cu.c tri Ta c´ A = fx2 = 2, B fxy = 1, C = fy2 = o Do d´ o ∆(M0) = = > v` A = > a ’ ’ nˆn h`m f c´ cu.c tiˆu tai diˆm M0 ( , e a o e e 3 c tri cua h`m f (x, y) = − 4x − 3y v´.i diˆu kiˆn l` o ` V´ du T` cu ı ım e e a ’ a i bo.i phu.o.ng tr` x2 + y = ’ x v` y liˆn hˆ v´ a e e o ınh ’ Giai Ta lˆp h`m Lagrange a a F (x, y) = − 4x − 3y + λ(x2 + y − 1) Ta c´ o ∂F = −4 + 2λx, ∂x ∂F = −3 + 2λy ∂y ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 150 ’ e ı v` ta giai hˆ phu.o.ng tr`nh a −4 + 2λx = −3 + 2λx = x2 + y = ’ Giai ta c´ o λ1 = , x1 = , y1 = 5 λ2 = − , x = − , y2 = − 5 V` ı ∂ 2F = 2λ, ∂x2 ∂ 2F = 0, ∂x∂y ∂ 2F = 2λ ∂y nˆn e d2 F = 2λ(dx2 + dy 2) ’ ´ ı , h`m a Nˆu λ = , x = , y = th` d2 F > nˆn tai diˆm e e e 5 5 ’ c´ cu.c tiˆu c´ diˆu kiˆn o e o ` e e ´ ı Nˆu λ = − , x = − , y = − th` d2 F < v` d´ h`m c´ cu.c e a o a o 5 ’ dai c´ diˆu kiˆn tai diˆm − , − e e e o ` 5 Nhu vˆy a 16 + = 11, 5 16 − = fmin = − 5 V´ du T` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua h`m ı ım e e ’ a o ` 2 1) f(x, y) = x + y + xy − 5x − 4y + 10, x + y = 2) u = f (x, y, z) = x + y + z fmax = + z − x = 1, y − xz = ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 151 ’ ınh a o o a Giai 1) T` phu.o.ng tr` r`ng buˆc x + y = ta c´ y = − x v` u f (x, y) = x2 + (4 − x)2 + x(4 − x) − 5x − 4(4 − x) + 10 = x2 − 5x + 10, ´ ´ o e o ta thu du.o.c h`m mˆt biˆn sˆ a g(x) = x2 − 5x + 10 ’ u ınh a e e ’ v` cu.c tri dia phu.o.ng cua g(x) c˜ng ch´ l` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua a o ` ´ dung phu.o.ng ph´p khao s´t h`m sˆ mˆt biˆn sˆ dˆi ´ ´ ´ ´ ’ a a h`m f (x, y) Ap a a o o e o o i g(x) ta t` du.o.c g(x) c´ cu.c tiˆu dia phu.o.ng ’ v´ o ım o e gmin = g Nhu.ng cu.c ’ tiˆu e d´ o 15 = · h`m a f(x, y) ` diˆu e kiˆn e a (y = − x ⇒ y = − = ) v` 2 c´ o fmin = f tai d˜ a ’ diˆm e cho c´ o , 2 15 , = · 2 ınh a o o 2) T` c´c phu.o.ng tr` r`ng buˆc ta c´ u a z =1+x y = x2 + x + ´ ´ ´ o e o a v` thˆ v`o h`m d˜ cho ta du.o.c h`m mˆt biˆn sˆ a e a a a u = f (x, y(x), z(x)) = g(x) = 2x2 + 4x + ’ ˜ a ´ ` e o Dˆ d`ng thˆy r˘ng h`m g(x) c´ cu.c tiˆu tai x = −1 (khi d´ y = 1, e a a a o c tiˆu c´ diˆu kiˆn tai diˆm ’ ’ z = 0) v` d´ h`m f(x, y, z) c´ cu a e o ` o a o e e e (−1, 1, 0) v` a fmin = f(−1, 1, 0) = ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 152 ` ´ ´ a u o a V´ du B˘ng phu.o.ng ph´p th`.a sˆ bˆt dinh Lagrange t` cu.c tri ı a ım e e ’ a c´ diˆu kiˆn cua h`m o ` u = x + y + z2 v´.i diˆu kiˆn o ` e e z−x = y − xz = (9.16) (xem v´ du 4, ii)) ı ’ Giai Ta lˆp h`m Lagrange a a F (x, y, z) = x + y + z + λ1 (z − x − 1) + λ2 (y − zx − 1) ınh v` x´t hˆ phu.o.ng tr` a e e ∂F = − λ1 − λ2 z = ∂x ∂F = + λ2 = ∂y ∂F = 2z + λ1 − λ2 x = ∂z ϕ1 = z − x − = ϕ2 = y − xz − = ´ a Hˆ n`y c´ nghiˆm nhˆt x = −1, y = 1, z = 0, λ1 = v` e a o e a c tri cua ’ ’ ´ λ2 = −1 ngh˜ l` M0 (−1, 1, 0) l` diˆm nhˆt c´ thˆ c´ cu ıa a a e a o e o ’ i c´c diˆu kiˆn r`ng buˆc ϕ1 v` ϕ2 h`m v´ a ` a o e e a o a T` c´c hˆ th´.c u a e u z−x = y − xz = ’ ´ ` ta thˆy r˘ng (9.16) x´c dinh c˘p h`m ˆn y(x) v` z(x) (trong tru.`.ng a a a o a a a a ˜ a ´ ’ ’ e ho.p n`y y(x) v` z(x) dˆ d`ng r´t t` (9.16)) Gia su thˆ nghiˆm a a e u u e ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 153 ´ ´ y(x) v` z(x) v`o hˆ (9.16) v` b˘ng c´ch lˆy vi phˆn c´c dˆng nhˆt a a e a ` a a a a a ` o a c thu du.o.c ta c´ th´ u o dz − dx = ⇒ dy − xdz − zdx = dz = dx dy = (x + z)dx (9.17) ´ ’ a Bˆy gi` t´ vi phˆn cˆp hai cua h`m Lagrange a o ınh a a d2 F = 2(dz)2 − 2λ2 dxdz (9.18) a a a Thay gi´ tri λ2 = −1 v` (9.17) v`o (9.18) ta thu du.o.c dang to`n a o.ng x´c dinh du.o.ng l` phu a a d2 F = 4dx2 ’ o ` ’ e a a o e e e T` d´ suy h`m d˜ cho c´ cu.c tiˆu c´ diˆu kiˆn tai diˆm u o M0(−1, 1, 0) v` fmin = a ´ ´ ’ a a a ’ a V´ du T` gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua h`m ı ım a o f (x, y) = x2 + y − xy + x + y ` miˆn e D = {x 0, y 0, x + y −3} ` ’ a a a o ’ Giai Miˆn D d˜ cho l` tam gi´c OAB v´.i dınh tai A(−3, 0), e B(0, −3) v` O(0, 0) a ’ i) T` c´c diˆm d`.ng: ım a e u fx = 2x − y + = fy = 2y − x + = ’ a a e u T` d´ x = −1, y = −1 Vˆy diˆm d`.ng l` M(−1, −1) u o ’ Tai diˆm M ta c´: o e f(M) = f(−1, −1) = −1 ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 154 ii) Ta c´ o A = fxx (−1, −1) = B = fxy (−1, −1) = −1 C = fyy (−1, −1) = e a o e u Vˆy AC − B = − = > 0, nˆn h`m c´ biˆt th´.c AC − B > a ’ ’ v` A = > Do d´ tai diˆm M n´ c´ cu.c tiˆu dia phu.o.ng v` a e a o e o o fmin = −1 ` ’ a a iii) Khao s´t h`m trˆn biˆn cua miˆn D e e ’ e ´ ´ +) Khi x = ta c´ f = y + y Dˆi v´.i h`m mˆt biˆn f = y + y, o o e o o a −3 y ta c´ o (fln ) x=0 (fnn ) x=0 ’ = tai diˆm (0, −3) e −1 ’ tai diˆm 0, − = e ´ +) Khi y = ta c´ h`m mˆt biˆn f = x2 + x, −3 o a o e tu.o.ng tu.: (fln ) y=0 (fnn ) y=0 x v` a ’ = tai diˆm (0, −3) e −1 ’ tai diˆm − , = e +) Khi x + y = −3 ⇒ y = −3 − x ta c´ f(x) = 3x2 + 9x + v` o a (fnn ) x+y=−3 (fln ) x+y=−3 −3 3 ’ tai diˆm − , − e 2 ’ = tai diˆm (0, −3) v` (−3, 0) a e = ´ a ´ e iv) So s´nh c´c gi´ tri thu du.o.c dˆi v´.i f ta kˆt luˆn fln = tai a a a o o ng (−1, −1) ’ (0, −3) v` (−3, 0) v` gi´ tri fnn = −1 tai diˆm d` a a a e u ` ˆ BAI TAP ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 155 H˜y t` cu.c tri cua c´c h`m sau dˆy a ım a ’ a a ’ f = + 6x − x2 − xy − y (DS fmax = 13 tai diˆm (4, −2)) e f = (x − 1)2 + 2y ’ (DS fmin = tai diˆm (1, 0)) e ’ f = x2 + xy + y − 2x − y (DS fmin = −1 tai diˆm (1, 0)) e ’ f = x3y (6 − x − y) (x > 0, y > 0) (DS fmax = 108 tai diˆm (3, 2)) e f = 2x4 + y − x2 − 2y ’ (DS fmax = tai diˆm (0, 0), e ’ a e fmin = − tai c´c diˆm M1 ’ a fmin = − tai c´c diˆm M3 e +xy+y ) f = (5x + 7y − 25)e−(x −1 , −1 v` M2 a ,1 2 −1 , −1 v` M4 a , −1 ) 2 ’ (DS fmax = 3−13 tai diˆm M1 (1, 3), e −1 −3 ’ , ) fmin = −26e−1/52 tai diˆm M2 e 26 26 50 20 ’ + , x > 0, y > (DS fmin = 30 tai diˆm (5, 2)) e x y ’ f = x2 + xy + y − 6x − 9y (DS fmin = −21 tai diˆm (1, 4)) e √ ’ f = x y − x2 − y + 6x + (DS fmax = 15 tai diˆm (4, 4)) e √ 10 f = (x2 + y) ey (DS fmin = − tai (0, −2)) e ’ 11 f = + (x − 1)4 (y + 1)6 (DS fmin = tai diˆm (1, −1)) e f = xy + ’ ˜ ` ´ ’ a a ’ a o a Chı dˆ n Tai diˆm M0 (1, −1) ta c´ ∆(M0) = Cˆn khao s´t dˆu e ’ cua f (M) − f(M0 ) = f(1 + ∆x, −1 + ∆y) − f (1, −1) 12 f = − (x − 2)4/5 − y 4/5 ’ (DS fmax = tai diˆm (2, 0)) e ’ ´ ’ ’ ’ a a ’ ˜ e a o Chı dˆ n Tai diˆm (2, 0) h`m khˆng kha vi Khao s´t dˆu cua a f(M ) − f(M0 ), M0 = (2, 0) 156 ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn T` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua c´c h`m sau dˆy ım e e ’ a a a o ` e e 13 f = xy v´.i diˆu kiˆn x + y = o ` 1 ’ , ) (DS fmax = tai diˆm e 2 14 f = x + 2y v´.i diˆu kiˆn x2 + y = o ` e e ’ (DS fmax = tai diˆm (1, 2)) e x y o ` e e 15 f = x2 + y v´.i diˆu kiˆn + = 36 18 12 ’ tai diˆm , ) (DS fmin = e 13 13 13 16 f = x − 2y + 2z v´.i diˆu kiˆn x2 + y + z = o ` e e ’ (DS fmin = −9 tai diˆm (−1, 2, −2); fmax = tai (1, −2, 2).) e e e 17 f = xy v´.i diˆu kiˆn 2x + 3y = o ` 25 5 ’ tai diˆm , ) (DS fmax = e 24 x y 18 1) f = x2 + y v´.i diˆu kiˆn r`ng buˆc + = o ` e e a o 36 48 144 tai (DS fmin = 25 , 25 ) 25 xy 2) f = e v´.i diˆu kiˆn x + y = o ` e e 1 ’ , ) (DS fmax = e1/4 tai diˆm e 2 ’ ´ ’ ˜ ’ e Chı dˆ n C´ thˆ su dung phu.o.ng ph´p khu biˆn a o e ’ a o ` e e 19 f = x2 + y + 2z v´.i diˆu kiˆn x − y + z = ’ (DS fmin = 0, tai diˆm (0, 4; −0, 4; 0, 2)) e o ` e e 20 f = x3 + y − z + v´.i diˆu kiˆn x + y − z = 10 ’ ’ a (DS fmin = tai diˆm (0, 0, 0) v` fmax = tai diˆm − , , ) e e 27 3 ´ ` e e 9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn ’ a 157 21 f = xyz v´.i c´c diˆu kiˆn x + y + z = 5, xy + yz + zx = o a ` e e 4 7 4 tai (DS fmax = 3, 3, ; 3, 3, ; 3, 3, 27 fmin = tai (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2)) ´ ´ ´ ’ a ’ a a T` gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua c´c h`m sˆ sau ım a o a a o ’ a 22 f = x2y(2 − x − y), D l` tam gi´c du.o.c gi´.i han bo.i c´c doan o a a ’ ng x = 0, y = 0, x + y = th˘ a ’ ’ (DS fln = tai diˆm (1, 2); fnn = −128 tai diˆm (4, 2)) e e 23 f = x + y, D = {x2 + y 1} √ √ √ 2 ’ , ; (DS fln = tai diˆm biˆn e e √ √ √ 2 ’ ,− ) fnn = − tai diˆm biˆn − e e 2 ` 24 T` moi tam gi´c c´ chu vi b˘ng 2p, h˜y t`m tam gi´c c´ diˆn t´ch u a o a a ı a o e ı n nhˆt ´ l´ o a ’ ˜ Chı dˆ n D˘t a = x, b = y ⇒ c = 2p − x − y v` ´p dung cˆng a a a a o th´.c Heron u S= p(p − x)(p − y)(x + y − p) (DS Tam gi´c dˆu) a ` e ´ ´ ’ a ’ a a a 25 X´c dinh gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua h`m a a o f = x2 − y 2, D = {x2 + y 1} (DS fln = tai (1, 0) v` (−1, 0); a fnn = −1 tai (0, 1) v` (0, −1)) a ´ ´ ’ a ’ a 26 X´c dinh gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua h`m a a a a o f = x3 − y − 3xy, D = {0 x 2, −1 y 2} 158 ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn ’ (DS fln = 13 tai diˆm (2, −1); e ’ fnn = −1 tai diˆm (1, 1) v` (0, −1)) a e ... v` ’ ’ ´ ` ’ Trong tru o a a e o a e u a an · bn tru.´.c t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii) o ınh o ı ´ iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a e ı n→∞ ´ CAC V´ DU I ´ e V´ du T` lim an nˆu:... lim an = a, lim bn = b ’ ’ Gia su i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b ´ iii) Nˆu b = th` b˘t dˆu t` mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c e ı ´ ` u o o... |an | > M a a o a e ´ ´ ’ a e ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu: o a o ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε (7.2) ´ ´ ’ a ’ a o e iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han