Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên hàm tích phân ứng dụng
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Học xong chương này yêu cầu HS phải đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : - Nắm vững khái niệm nguyên hàm ; - Nhớ bảng các nguyên hàm cơ bản ; - Nhớ các tính chất cơ bản của nguyên hàm ; - Nhớ định nghĩa tích phân ; - Phương pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần ; - Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học. - I Mục tiêu của chương 1. Về kiến thức 2. Về kĩ năng Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, phương pháp đổi biến số và phương pháp tìm nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số không quá phức tạp. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Biết vận dụng các tính chất cơ bản của tích phân, phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân các hàm số không quá phức tạp . - Biết ứng dụng tích phân trong các bài toán tính diện tích các hình và tính thể tích các vật thể có hình dạng không quá phức tạp. Giúp cho HS thấy được khái niệm tích phân ra đời xuất phát từ nhu cầu giải các bài toán thực tiễn, cụ thể là bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán tìm quãng đường đi được của một vật. Sau khi ra đời và phát triển, phép tính tích phân đã có nhiều ứng dụng to lớn trong khoa học kĩ thuật. Đây là một minh chứng rất rõ cho luận điểm triết học : "Toán học xuất phát từ thực tiễn rồi lại quay trở về ứng dụng vào thực tiễn". Từ đó giúp HS thấy thêm yêu thích học môn Toán. 3. Về thái độ 2. Về kĩ năng Nội dung của chương gồm 6 bài được dự kiến thực hiện trong 20 tiết, phân phối cụ thể như sau : §1. Nguyên hàm 2 tiết §2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm 2 tiết Luyện tập 1 tiết §3. Tích phân 3 tiết §4. Một số phương pháp tính tích phân 2 tiết Luyện tập 2 tiết §5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 2 tiết §6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể 2 tiết Luyện tập 2 tiết Ôn tập và kiểm tra chương 2 tiết Ngoài ra trong chương có : Bài đọc thêm : "Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân" Em có biết : Bài 1 : Nguồn gốc kí hiệu nguyên hàm và tích phân. II Cấu tạo chương CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 2 : 1. Ai là người phát minh ra phép tính tích phân. 2. Vài nét về cuộc đời và sự nghiệp của Niuton và Lepnit. Chú ý : * Tiết Luyện tập nhằm mục đích : Ôn tập một số bài đã học trước đó và rèn luyện kĩ năng vận dụng, giải bài tập của HS. * Sự khác nhau giữa SGK theo chương trình nâng cao và SGK theo chương trình chuẩn chủ yếu ở phần kĩ năng. Trong khi SGK theo chương trình nâng cao yêu cầu HS có kĩ năng tìm nguyên hàm, tính tích phân của các hàm số không quá phức tạp, tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng không quá phức tạp thì SGK theo chương trình chuẩn chỉ yêu cầu HS có kĩ năng tìm nguyên hàm, tính tích phân của các hàm số đơn giản, tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng khá đơn giản. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG III NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1 Nội dung a. Trong SGK chỉ có những bài toán cơ bản về tìm nguyên hàm, các bài tập có tính chất mẹo mực đều bị loại bỏ. GV không nên yêu cầu HS giải các bài toán tìm nguyên hàm phức tạp, phải sử dụng các mẹo mực, tiểu xảo. b.Trước đây, trong SGK 2000 và trong sách thí điểm, kí hiệu dùng để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của f(x). f (x)dx ∫ Trong SGK 12 ban Tự nhiên, kí hiệu còn dùng để chỉ một nguyên hàm bất kì của f, tức là là một hàm số thông thường chứ không phải là một tập hợp nữa. Nói cách khác, coi hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một hàm số. Khi đó nguyên hàm của f là duy nhất và được kí hiệu bởi f (x)dx ∫ f (x)dx ∫ f (x)dx ∫ Do vậy nếu F là một nguyên hàm của f thì = F(x) + C với C là hằng số. Điều này cũng tương tự như trong lượng giác : Nếu α là số đo của một góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov thì sđ(Ou,Ov) = α + k2π , trong đó k là số nguyên. Cách hiểu kí hiệu như vậy có những ưu điểm sau : f (x)dx ∫ CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 Nội dung - Viết = F(x) + C là hoàn toàn chính xác. - Chứng minh được dễ dàng công thức trong Định lí 2 §1 , công thức lấy nguyên hàm từng phần. - Ta dùng được kí hiệu rất trực quan và tiện lợi là : Sử dụng kí hiệu này từ công thức đổi biến số và công thức lấy nguyên hàm từng phần cho ta ngay lập tức các công thức tương ứng trong tích phân f (x)dx ∫ b b a a f (x)dx f (x)dx = ∫ ∫ CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 Nội dung c. Về mặt lịch sử, khái niệm tích phân được định nghĩa thông qua giới hạn của tổng tích phân và độc lập với khái niệm nguyên hàm. Công thức Niuton – Lepnit thiết lập mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm được gọi là định lí cơ bản của tích phân. Vì lí do sư phạm nên trong SGK đã trình bày theo một trình tự "ngược ”so với lịch sử hình thành của phép tính tích phân. Tích phân được định nghĩa thông qua nguyên hàm, nhờ công thức Niuton - Lepnit. d. Việc không đưa vào tổng tích phân làm cho HS không thấy được bản chất đích thực của phép tính tích phân, từ đó phải thừa nhận hàng loạt những ứng dụng của tích phân như tính diện tích, thể tích, quãng đường đi được của một vật. Đồng thời cũng khó cho GV giải thích cho HS lại dùng các kí hiệu , để chỉ nguyên hàm và tích phân trong khi nếu khái niệm tích phân được định nghĩa bằng tổng tích phân đúng như lịch sử ra đời của nó thì các kí hiệu nguyên hàm và tích phân xuất hiện rất tự nhiên. f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 Nội dung Để phần nào khắc phục điều này, SGK có Bài đọc thêm . "Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân", từ đó giải thích cho HS nguồn gốc của các kí hiệu nguyên hàm và tích phân trong bài Em có biết : nguồn gốc kí hiệu nguyên hàm và tích phân". Tổng tích phân trình bày ở đây chưa phải là tổng Riman như định nghĩa tích phân trong các giáo trình ở trường đại học vì tổng này chỉ là tổng Riman ứng với phân hoạch đều và với các điểm chọn là đầu mút trái. Vì chúng ta chỉ làm việc với hàm liên tục nên giới hạn của dãy tổng tích phân này chính là tích phân của hàm số. Thông qua bài đọc thêm này HS một lần nữa lại thấy được tầm quan trọng của khái niệm giới hạn và tính gần đúng. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2. Phương pháp a. Sự thay đổi chủ yếu trong SGK lần này là đổi mới phương pháp. SGK cố gắng quán triệt phương châm : Lấy HS làm trung tâm, tăng cường tính chủ động của HS, giảm lí thuyết kinh viện, tăng thực hành, gắn với thực tiễn. Tránh áp đặt kiến thức. Trước khi trình bày một khái niệm mới, SGK đều có ví dụ dẫn dắt, nêu Bài toán mở đầu, tạo tình huống để HS thấy nhu cầu, sự cần thiết phải có các khái niệm đó. Với mỗi khái niệm, SGK cố gắng cho HS thấy nó từ đâu đến và nó dùng để làm gì. b. Để HS chủ động và tích cực trong học tập, tạo cơ hội cho sự thảo luận và đối thoại giữa GV và HS tại lớp, khắc phục căn bệnh "thầy đọc - trò ghi", SGK đã thiết kế các câu hỏi và hoạt động xen kẽ trong bài học. Các hoạt động này đều nhằm một mục đích xác định (có nêu trong SGV). Chúng là cần thiết, không được bỏ qua. Tuy nhiên, nội dung hoạt động trình bày trong SGK chỉ có tính chất gợi ý. Căn cứ trên mục đích này, tùy theo khả năng của GV, năng lực của HS, hoàn cảnh cụ thể của lớp học, GV có thể sáng tạo ra các hoạt động khác tương tự cho phù hợp hơn. GV cho HS một khoảng thời gian cần thiết (khoảng 5 phút) để suy nghĩ và khuyến khích HS mạnh dạn trả lời. Trả lời đúng cho điểm tốt nhưng trả lời sai thì không bị điểm kém. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2. Phương pháp c. Cũng để tránh nạn học vẹt, tăng khả năng tự học và thực hành của HS, trong chương này có nhiều bài tập. GV cần dành nhiều thời gian cho HS làm bài tập ở nhà. Cái gì các em tự làm lấy, tự khám phá sẽ ở lại với các em lâu bền. Tuy nhiên không nhất thiết yêu cầu HS làm hết bài tập trong SGK. Đối với HS khá, GV có thể hướng dẫn các em làm thêm bài tập trong Sách Bài tập (SBT). Khác với trước kia, các bài toán trong SBT đều khác với các bài toán trong SGK. Không nên quan niệm rằng, chỉ ở tiết Luyện tập HS mới làm bài tập. Mỗi buổi dạy GV đều nên dành 15 phút gọi HS lên bảng kiểm tra việc làm bài tập ở bài trước, chỉ ra các chỗ sau (nếu có) của HS. GV chữa mẫu những bài quan trọng. Tiết Luyện tập có vai trò như một chặng dừng chân, ôn tập củng cố kiến thức và rèn kĩ năng trước khi đi tiếp. Trong tiết Luyện tập, GV cần kiểm tra kiến thức cần nhớ, kĩ năng vận dụng kiến thức đó vào giải các bài toán. Đối với mỗi bài toán, GV cần phân tích chi tiết lời giải, chỉ ra các chỗ sai (nếu có) của HS. GV chú ý để HS được thực hành và hoạt động nhiều, cố gắng chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, không làm thay HS. Tôn trọng và khuyến khích các cách giải của HS khác với đáp án. Có thể dành kiểm tra viết 15 phút trong tiết Luyện tập. [...]... III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG IV Nội dung từng bài cụ thể §1 NGUYÊN HÀM ( 2 tiết ) I Mục tiêu Học xong bài này, yêu cầu HS cần đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : 1 Về kiến thức + Nắm được định nghĩa của nguyên hàm, các tính chất cơ bản của nguyên hàm + Nhớ được nguyên hàm của các hàm số thường gặp 2 Về kĩ năng Biết vận dụng được các tính chất cơ bản của nguyên hàm và nguyên hàm của các hàm. .. ∞) CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG III GỢI Ý VỀ DẠY HỌC 1 .Phân phối thời gian: bài nầy gồm 2 tiết Tiết đầu giới thiệu định nghĩa Tiết còn lại giới thiệu nguyên hàm của một số hàm thường gặp; hai tính chất cơ bản của nguyên hàm và cách vận dụng hai tính chất đó để tìm nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn 2.Đồ dùng dạy học : Giáo viên chuẩn bị bảng các nguyên hàm của các hàm số thường... vì học sinh không có học hàm ngược CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 3.Công thức nguyên hàm từng phần được diễn đạt bằng lời như sau : Để tìm một nguyên hàm của uv’ ta lấy uv trừ đi một nguyên hàm của u’v Nghệ thuật sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần là : Để tìm nguyên hàm của f ta viết f(x) dưới dạng u(x)v'(x) Có nhiều cách chọn hàm u(x) và v'(x) sao cho... ∫ (x 2 − 1) dx 3 Khi tính tích phân mà hàm dưới dấu tích phân là hàm bậc nhất f(x) = ax + b thì việc tính tích phân quy về tính diện tích hình thang Do đó ta dùng công thức tính diện thang thì nhanh và đơn giản hơn là thông qua nguyên hàm CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG III GỢI Ý VỀ DẠY HỌC 1 .Phân phối thời gian: bài nầy gồm 3 tiết Tiết 1: Bài toán tính diện tích hình thang cong và quãng... u(x) và v'(x) CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 4.Vài gợi ý về tìm nguyên hàm từng phần : Một số dạng nguyên hàm sau đây được tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần : a ∫ x n e x dx b x n sin xdx c ∫ ∫x n cos xdx d x n ln xdx ∫ Trong các nguyên hàm trên (a b c ) ta đặt u = xn, khi dùng công thức lấy nguyên hàm từng phần sẽ dẫn đến nguyên hàm cùng một dạng nhưng... Biết áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để tính tích phân ; - Giải các bài toán tính diện tích hình thang cong và tìm quãng đường đi được của vật bằng tích phân CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần trước, trong bài này cần lưu ý thêm một số điểm sau : 1 Khi tích tích phân bằng định nghĩa cần chú ý rằng, hàm dưới... pháp này để giải các bài toán tìm nguyên hàm tương đối đơn giản tương tự với các ví dụ trong SGK + Củng cố và nâng cao kĩ năng tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm và áp dụng phương pháp đổi biến số hay phương pháp lấy nguyên hàm từng phần CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1 Khi giải bài toán tìm nguyên hàm ta không có một quy tắc chung... nguyên hàm của các hàm số khác phức tạp hơn II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần trước, trong bài này cần lưu ý thêm một số điểm sau : CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1.Định lí 2 có thể diễn đạt bằng lời như sau : Để tìm một nguyên hàm của f + g ta lấy một nguyên hàm của f cộng với một nguyên hàm của g Để tìm một nguyên hàm. .. cho hai phương pháp tính tích phân a b a - Vận dụng được phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần để giải các bài toán tính tích phân với mức độ khó tương tự với các ví dụ trong SGK 2 Về kĩ năng - Nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phân : Phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU... phương pháp tích phân từng phần Trong chương trình Phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần chỉ có tích chất giới thiệu cho HS bước đầu làm quen Vì vậy các ví dụ về bài tập trong bài này đều khá đơn giản, nhất là đốivới HS ban Cơ bản GV không cần thiết phải trang bị cho HS các mẹo mực, tiểu xảo trong vấn để tính tích phân CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §5, 6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ . tìm nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số không quá phức tạp. CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Biết vận dụng. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4.Vài gợi ý về tìm nguyên hàm từng phần : Một số dạng nguyên hàm sau đây được tính bằng phương pháp nguyên hàm