11 2.2 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều Định lý 5. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân I(t)= a f(x, t)dx hội tụ đều trên T khi và chỉ khi >0, a 0 () >a, sao cho b 1 ,b 2 a 0 , t T = b 2 b 1 f(x, t) <. () Chứng minh. Giả sử I(t)= a f(x, t)dx hội tụ đều trên T. Khi đó, Điều kiện () suy ra từ bất đẳng thức b 2 b 1 f(x, t) b 1 f(x, t) + b 2 f(x, t) Ng-ợc lại, với t cố định, điều kiện () suy ra I(t) hội tụ. Trong (), cho b 2 0, suy ra I( t hội tụ đều theo định nghĩa. Định lý 6. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử (1) tồn tại hàm (x) sao cho |f(x, t)|(x), x a, t T , (2) tích phân a (x)dx hội tụ. Khi đó, tích phân I(t)= a f(x, t)dx hội tụ đều trên T . Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân suy rộng hội tụ, với mọi >0, tồn tại a 0 sao cho b 2 b 1 (x) <, b 1 ,b 2 a 0 . Suy ra, b 2 b 1 f(x, t) b 2 b 1 |f( x, t)| b 2 b 1 (x) <. Theo Định lý 5, tích phân I(t) hội tụ đều. Để khảo sát tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số hội tụ đều, chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa nó và dãy hàm hội tụ đều. 12 Mệnh đề 1. Giả sử tích phân I(t)= a f(x, t)dx hội tụ đều trên T và (a n ), với a n >a. là dãy số sao cho lim n a n = . Khi đó, dãy hàm I n (t)= a n a f(x, t)dx hội tụ đều tới hàm số I(t) trên T . Chứng minh. Do I(t)= a f(x, t)dx hội tụ trên T nên dãy hàm (I n (t)) hội tụ tới I(t) trên T .VìI(t) hội tụ đều nên với mọi >0, tồn tại a 0 sao cho b f(x, t) <, b>a 0 , t T. Vì lim n a n = nên tồn tại N>0 sao cho với mọi n N, ta có a n b. Vậy, ta có |I n (t) I(t)| = a n a f(x, t) a f(x, t) = a n f(x, t) <, với mọi n N, với mọi t T . Từ đó, I n (t) hội tụ đều tới I(t) trên T . 2.2.1 Tính liên tục Định lý 7. Nếu hàm f(x, t) liên tục trên [a, ) ì [c, d] và tích phân I(t)= a f(x, t)dx hội tụ trên trên [c, d], thì I(t) liên tục trên [c, d]. Chứng minh. Gọi (a n ), với a n >a. là dãy số sao cho lim n a n = và xét dãy hàm I n (t)= a n a f(x, t)dx, t [c, d]. Với mỗi n cố định, theo Định lý 1, hàm I n (t) liên tục trên [c, d]. Theo mệnh đề 1, dãy hàm (I n (t)) hội tụ đều tới I(t). Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm hội tụ đều, I(t) liên tục trên [c, d]. 13 2.2.2 Tính khả vi Định lý 8. Giả sử (a) Hàm f(x, t) liên tục và có đạo hàm riêng f t (x, t) liên tục trên [a, )ì[c, d]. (b) Tích phân I(t)= a f(x, t)dx hội tụ trên [c, d]. (c) Tích phân a f t (x, t)dx hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, hàm I(t) khả vi trên [c, d] và ta có công thức I (t)= a f t (x, t)dx. Chứng minh. Xét dãy hàm I n (t)= a+n a f(x, t)dx, t [c, d]. Với mỗi n, theo Định lý 3, hàm I n (t) khả vi trên [c, d] và I n (t)= a+n a f t (x, t)dx, t [c, d]. Ta c ó lim I n (t)=I(t) và lim I n (t)= a f t (x, t)dx. Theo mệnh đề 1, dãy hàm I n (t) hội tụ đều trên [c, d]. Theo định lý về tính khả vi của dãy hàm hội tụ đều, I(t) khả vi trên [c, d] và I (t)= lim n I n (t) = lim n I n (t)= a f t (x, t)dx. 2.2.3 Tính khả tích Định lý 9. Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên [a, ) ì [c, d] và tích phân I(t)= a f(x, t)dx hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, hàm I(t) khả tích trên [c, d] và ta có công thức d c I(t)dt = d c a f(x, t)dx dt = a d c f(x, t)dt dx 14 Chứng minh. Theo Định lý 7, I(t) là hàm liên tục trên [c, d], do đó khả tích. Xét dãy hàm I n (t)= a+n a f(x, t)dx, t [c, d]. Với mỗi n cố định, theo Định lý 1, hàm I n (t) liên tục trên [c, d]. Theo mệnh đề 1, dãy hàm (I n (t)) hội tụ đều tới I(t) trên [c, d]. Theo định lý về tính khả tích của dãy hàm hội tụ đều, ta có d c I(t)dt = d c lim n I n (t) dt = lim n d c I n (t)dt = lim n d c a+n a f(x, t)dx dt = lim n a+n a d c f(x, t)dx dt = a d c f(x, t)dt . 3 Các tích phân Euler 3.1 Tích phân Euler loại 1 3.1.1 Định nghĩa Tích phân Euler loại 1 hay hàm Beta là tích phân phụ thuộc 2 tham số dạng B(p, q)= 1 0 x p1 (1 x) q1 dx, p > 0,q >0. 3.1.2 Các tính chất cuả hàm Beta 1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tích phân B(p, q)= 1/2 0 x p1 (1 x) q1 dx + 1 1/2 x p1 (1 x) q1 dx = B 1 (p, q)+B 2 (p, q). 15 Tích phân B 1 hội tụ nếu p>0 và phân kỳ nếu p 0. Điều này suy ra từ x p1 (1 x) q1 M q x p1 ,M q = max 0x1/2 (1 x) q1 x p1 (1 x) q1 m q x p1 ,m q = min 0x1/2 (1 x) q1 . T-ơng tự, tích phân B 2 hội tụ nếu q>0 và phân kỳ nếu q 0. Nh- vậy hàm B(p, q) xác định với mọi p>0, q>0. 2) Sự hội tụ đều. Tích phân B(p, q) hội tụ đều trên chữ nhật [p 0 ,p 1 ] ì [q 0 ,q 1 ], trong đó, 0 <p 0 <p 1 , 0 <q 0 <q 1 . Điều này suy ra từ đánh giá x p1 (1 x) q1 x p 0 1 (1 x) q 0 1 , x (0, 1),p p 0 ,q q 0 , và sau đó sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass. 3) Tính liên tục. Hàm B(p, q) liên tục trên miền xác định của nó. Thật vậy, với mọi (p, q), p>0, q>0, tích phân B(p, q) hội đều trên [p, p+ ]ì[q , q + ], do đó liên tục trên miền này. 4) Tính đối xứng. Bằng cách đồi biến x =1t, ta đ-ợc B(p, q)=B(q,p). 5) Công thức truy hồi. Bằng cách lấy tích phân từng phần từ tích phân B(p, q) ta đ-ợc B(p +1,q+1)= q p + q +1 B(p +1,q)= q p + q +1 B(p, q +1). Đặc biệt, nếu m, n là các số tự nhiên, thì áp dụng liên tiếp công thức trên, ta có B(1, 1) = 1 B(p +1, 1) = 1 p +1 B(p +1,n)= n! (p + n)(p + n 1) ããã(p +1) B(m, n)= (n 1)!(m 1)! (m + n 1)! . 16 3.2 Tích phân Euler loại 2 3.2.1 Định nghĩa Tích phân Euler loại 2 hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc tham số dạng (p)= 0 x p1 e x dx, p > 0. 3.2.2 Các tính chất cuả hàm Gamma 1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tích phân (p)= 1 0 x p1 e x dx + 1 x p1 e x dx = 1 (p)+ 2 (p). Tích phân 1 (p) hội tụ khi p>0. Điều này suy ra từ x p1 e x x p1 , x (0, 1]. Tích phân 2 (p) hội tụ khi p>0. Điều này suy ra từ lim x x p1 e x 1 x p+1 = lim x = x 2p e x =0, và 1 1 x p+1 < . Suy ra, tích phân (p)= 0 x p1 e x dx hội tụ khi p>0. 2) Sự hội tụ đều. Tích phân 1 (p) hội tụ đều trên mỗi đoạn [p 0 .p 1 ], với p 1 >p 0 > 0. Điều này suy ra từ x p1 e x x p 0 1 (0 <x 1) 1 0 x p 0 1 < , x p1 e x x p 1 1 e x , (1 x<), 1 x p 0 1 e x < . 3) Tính liên tục. Từ tính hội tụ đều suy ra hàm (p) liên tục trên miền xác định của nó. 17 4) Công thức truy hồi. Bằng cách tích phân từng phần, ta có (p +1)= 0 x p e x dx = lim b x p e x b 0 + p b 0 x p1 e x dx = p(p). Nếu n là số tự nhiên, thì áp dụng liên tiếp công thức trên, ta có (p + n)=(n + p 1)(n + p 2) ãããp(p). Nói riêng, (1) = 1, (n +1)=n!, (1/2) = 0 e x x dx =2 0 e x 2 dx = . 5) Liên hệ với hàm Beta. Bằng phép đổi biến x = ty, t>0,tacó (p) t p = 0 y p1 e ty dy. Thay p bởi p + q và t bởi t +1ta đ-ợc (p + q) (1 + t) p+q = 0 y p+q1 e (1+t)y dy. Nhân hai vế của đẳng thức trên với t p1 rồi lấy tích phân theo t từ 0 đến ta đ-ợc (p + q) 0 t p1 (1 + t) p+q dy = 0 0 t p1 e ty y p+q1 e y dy dt. Đổi biến x = t 1+t , ta đ-ợc B(p, q)= 0 t p1 (1 + t) p+q . Mặt khác, có thể đổi thứ tự tích phân ở vế phải (hãy kiểm chứng điều này nh- bài tập). Từ đó (p + q)B(p, q)= 0 0 t p1 e ty y p+q1 e ty dt dy = 0 y p+q1 e y (p) y p dy =(a) 0 y q1 e y dy =(p)(q). Vậy. ta có công thức B(p, q)= (p)(q) (p + q) . R n C ⊂ R n C p (p ≥ 1) x ∈ C V ⊂ R n x I ⊂ R ϕ : I → R n C p ϕ(t)=(x 1 (t), ···,x n (t)) ϕ : I → C ∩ V ϕ  (t)=(x  1 (t), ···,x  n (t)) =0 t ∈ I (ϕ, I) C x s t 0 ✲ ϕ s x 0 ✧✦ ★✥ ϕ  (t) C x C ϕ(t 0 ) x = ϕ(t 0 )+sϕ  (t 0 ),s∈ R R 2 x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2π) x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ (0,H) n =2 n =3 ϕ  (t) =0 ϕ(t)=(t 3 ,t 2 ) (0, 0) ϕ(t)= (t 3 , |t| 3 ) (0, 0) S ⊂ R n C p (p ≥ 1) x ∈ S V ⊂ R n x U ⊂ R 2 ϕ : U → R n C p ϕ(u, v)=(x 1 (u, v), ···,x n (u, v)) ϕ : U → S ∩ V rank ϕ  (u, v)=2 D 1 ϕ(u, v),D 2 ϕ(u, v) ∀(u, v) ∈ U (ϕ, U) S x u v ϕ D 1 ϕ(u, v) D 2 ϕ(u, v) S ϕ(u, v) S ϕ(u 0 ,v 0 ) x = ϕ(u 0 ,v 0 )+sD 1 ϕ  (u 0 ,v 0 )+tD 2 ϕ(u 0 ,v 0 ), (s, t) ∈ R 2 R n s ✲ u ✻ v U ✲ ϕ s x ✲✒     S  V n =3 N(u, v)=D 1 ϕ(u, v) × D 2 ϕ(u, v)=(A(u, v),B(u, v),C(u, v)) S ϕ(u, v) S ϕ(u 0 ,v 0 )=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) A(u 0 ,v 0 )(x − x 0 )+B(u 0 ,v 0 )(y −y 0 )+C(u 0 ,v 0 )(z − z 0 )=0 ϕ R 3 x = a cos φ sin θ, y = a sin φ sin θ, z = a cos θ, (φ, θ) ∈ (0, 2π) ×(0,π) x =(a+b cos φ)sinθ, y =(a+b sin φ)sinθ, z = b sin φ, (φ, θ) ∈ (0, 2π)×(0, 2π), (0 <b<a) M ⊂ R n k C p (p ≥ 1) x ∈ M V ⊂ R n x U ⊂ R k ϕ : U → R n C p ϕ : U → M ∩V rank ϕ  (u)=k D 1 ϕ(u), ···,D k ϕ(u) u ∈ U (ϕ, U) M x k − 1 ϕ D 1 ϕ(u), ···,D k ϕ(u) M ϕ(u) k M ϕ(u 0 ) x = ϕ(u 0 )+t 1 D 1 ϕ(u 0 + ···+ t k D k ϕ(u 0 ), (t 1 , ···,t k ) ∈ R k V ⊂ R n C p F 1 , ···,F m : V → R M = {x ∈ V : F 1 (x)=···= F m (x)=0} . 1)! (m + n 1)! . 16 3. 2 Tích phân Euler loại 2 3. 2. 1 Định nghĩa Tích phân Euler loại 2 hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc tham số dạng (p)= 0 x p1 e x dx, p > 0. 3. 2. 2 Các tính chất cuả. ϕ(t 0 )+sϕ  (t 0 ),s∈ R R 2 x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2 ) x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ (0,H) n =2 n =3 ϕ  (t) =0 ϕ(t)=(t 3 ,t 2 ) (0, 0) ϕ(t)= (t 3 , |t| 3 ) (0, 0) S ⊂ R n C p (p. tụ, với mọi >0, tồn tại a 0 sao cho b 2 b 1 (x) <, b 1 ,b 2 a 0 . Suy ra, b 2 b 1 f(x, t) b 2 b 1 |f( x, t)| b 2 b 1 (x) <. Theo Định lý 5, tích phân