C ∞ (U) grad →X(U) rot →X(U) div → C ∞ (U) ↓ id ↓ h 1 ↓ h 2 ↓ h 3 Ω 0 (U) d → Ω 1 (U) d → Ω 2 (U) d → Ω 3 (U) h 1 ◦ grad = d ◦ id, h 2 ◦ rot = d ◦ h 1 ,h 3 ◦ div = d ◦ h 2 . d ◦ d =0 rot ◦ grad = 0 div ◦ rot = 0. F R 3 S R 3 N ∂S = C T S  C <F,T >dl=  S < rot F, N > dS. V R 3 ∂V = S N  S <F,N>dS=  V div FdV. 53 Bài tập giải tích 3 1 Bài tập tich phân phụ thuộc tham số 1. Tính các giới hạn 1) lim t0 1 1 x 2 + t 2 dx 2) lim t0 1+t t dx 1+x 2 + t 2 3) lim n 1 0 dx 1+(1+x/n) n 4) lim t0 1+t t ln(x + |t|) ln(x 2 + |t 2 | 5) lim t0 1 0 x t 2 e x 2 /t 2 dx 6) lim t /2 0 e t sin x dx. 2. Khảo sát tính liên tục của hàm I(t)= 1 0 tf(x) x 2 + t 2 , trong đó hàm f(x) liên tục và d-ơng trên đoạn [0, 1]. 3. 1) Tìm đạo hàm của các tích phân eliptic E(t)= /2 0 1 t 2 sin 2 xdx F (t)= /2 0 dx 1 t 2 sin 2 x dx. 2) Hãy biểu diễn E , F qua các hàm E, F . 3) Chứng minh rằnh E thỏa ph-ơng trình vi phân E (t)+ 1 t E (t)+ 1 1 t 2 E(t)=0. 4. Giả sử hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục. Tính I (t) nếu 1) I(t)= t 0 f(x + t, x t)dx 2) I(t)= t 2 0 x+t xt sin(x 2 + y 2 t 2 )dy dx. 5. Chứng minh rằng hàm Bessel với các chỉ số nguyên I n (t)= 1 0 cos(nx t sin x)dx, 54 thỏa mãn ph-ơng trình Bessel t 2 y + ty +(t 2 n 2 )y =0. 6. Cho hàm (x) thuộc lớp C 1 ) trên đoạn [0,a] và I(t)= t 0 (x)dx t x . Chứng minh rằng, với mọi t (0,a) ta có I (t)= t 0 (x)dx t x + (0) t . 7. Bằng cách lấy đạo hàm theo tham số, hãy tính 1) I(t)= /2 0 ln(t 2 sin 2 x + cos 2 x)dx 2) I(t)= 0 ln(1 2t cos x + t 2 )dx. 8. Chứng tỏ rằng, hàm I(t)= 0 cos x 1+(x + t) 2 dx. khả vi liên tục trên R. 9. Chứng minh công thức Frulanhi 0 f(ax) f(bx) x dx = f(0) ln b a , (a>0,b >0), trong đó f(x) là hàm liên tục và tích phân a f(x) x có nghĩa với mọi a>0. 10. Xét tích phân Dirichlet D(t)= 0 sin(tx) x dx. Chứng minh rằng 1) D(t) hội tụ đều trên mỗi đoạn [a, b] không chứa 0. 2) D(t) hội tụ không đều trên mỗi đoạn [a, b] chứa 0. 11. Xét tích phân I(t)= 0 e tx sin x x dx. Chứng minh rằng 1) I(t) liên tục trên [0, ) 2) I(t) khả vi và I (t)= 1 1+t 2 . 3) I(t)=arctan(t)+ 2 . 4) D(1) = I(0) = lim t0 I(t)= 2 , trong đó D(t) là tích phân Dirichlet. 55 12. Chứng minh rằng D(t)= 0 sin(tx) x dx = 2 sgnt. 13. Bằng cách lấy đạo hàm theo tham số, hãy tính 1)I(t)= 0 e tx 2 e sx 2 x dx, (t, s > 0) 2) I(t)= 0 e tx e sx x 2 dx, (t, s > 0) 3)I(t)= 1 0 ln(1 t 2 x 2 ) x 2 1 x 2 dx, (|t|1) 4)I(t)= 0 e ax e bx x sin txdx, (a, b > 0). 14. Sử dụng tích phân Dirichlet và công thức Frulanhi để tìm giá trị của các tích phân sau 1) 0 sin ax cos bx x dx 2) 0 sin ax sin bx x dx 3) 0 sin 4 ax x 2 4) 1 0 sin 3 ax x dx, (|t|1) 5) 0 sin ax x 2 dx 6) 0 sin 4 ax sin 4 bx x dx. 15. Sử dụng các tích phân Euler để tính các tích phân sau 1) a 0 x 2 a 2 x 2 dx, (a>0) 2) 0 4 x (1 + x) 2 dx 3) 0 dx 1+x 3 4) 1 0 dx n 1 x n dx, (n>1) 5) /2 0 sin 6 x cos 4 xdx 6) 0 x 2n e x 2 dx. 16. Hãy biểu diễn các tích phân sau qua các tích phân Euler 1) 0 x m1 1+x n (n>0) 2) 0 x m (a + bx n ) p dx (a, b, n > 0) 3) 0 x m e x n dx 4) /2 0 tan n xdx 5) 0 x p e ax ln xdx (a>0) 6) 0 ln 2 x 1+x 4 dx. 17. Chứng minh các công thức Euler (>0,p > 0, /2 <</2). 1) 0 x p1 e x cos cos(x sin )dx = (p) p cos p. 2) 0 x p1 e x cos sin(x sin )dx = (p) p sin p. f : R n → R m f C p f C p R n × R m F : R n → R m M R m F (x)=0 rank F  (x)=m x ∈ M M n − m α :(a, b) → R 2 α(t)=(x(t),y(t)) y(t) > 0 φ(t, θ)=(x(t),y(t)cosθ, y(t)sinθ), (t, θ) ∈ (a, b) × (0, 2π) R 3 α :(a, b) → R 2 p =(p 1 ,p 2 ,p 3 ) ∈ R 3 p 3 =0 φ(t, s)=(1−s)p + s(α(t), 0), (t, s) ∈ (a, b) × (0, 1) R 3 R 2 x = a(1 −sin t),y = a(1 − cos t) x = t 2 ,y = t 3 R 3 x = a cos t, y = a sin t, z = bt a, b x = √ 2cos2t, y =sin2t, z =sin2t x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 =1 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = ±1 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z =1 x =(b + a cos θ)cosϕ, y =(b + a cos θ)sinϕ, z = a sin θ  x 2 + y 2 = z 2 y 2 = ax  x 2 + y 2 = a 2 x + y + z =0 R 3 x 2 + y 2 + z 2 =1,z ≥ 0 x 2 + y 2 ≤ a 2 ,x+ y + z =0 x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,x+ z =0 z 2 ≤ y 2 + x 2 ,z = a R 3 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (x 0 ,f(x 0 )) ϕ(t, θ)=(t cos θ, t sin θ, θ) ϕ(t, θ) = ((1 + t cos θ 2 )cosθ, (1 + t cos θ 2 )sinθ, t sin θ 2 ), | t| < 1 4 ,θ ∈ (0, 2π) M F =(F 1 , ···,F m ) M T x M =kerF  (x)={v ∈ R n : < grad F 1 (x),v >= ···=< grad F m (x),v >=0}. f : R n → R f x ∈ M = {x : g(x)=0} a λ 1 , ···,λ m ∈ R grad f(a)=λ 1 grad F 1 (a)+···+ λ m grad F m (a). f(x, y)=ax + by x 2 + y 2 =1 f(x, y, z)=x − 2y +2z x 2 + y 2 + z 2 =1 f(x, y, z)=x 2 + y 2 + z 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 =1 (a>b>c>0) f(x, y, z)=xyz x 2 + y 2 + z 2 =1,x+ y + z =0 f(x, y, z)=x + y + z x 2 + y 2 =2,x+ z =1 f(x, y, z)=x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 − 2 ≤ z ≤ 0 f(x, y, z)=x 2 +2y 2 +3z 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 100 10 2 (a 1 ···a n ) 1 n ≤ 1 n (a 1 + ···+ a n ), (a 1 , ···,a n > 0)  x + y 2  n ≤ x n + y n 2 x, y > 0,n∈ N f(x, y)= x n + y n 2 x + y = s n  i=1 a i x i ≤ ( n  i=1 a p i ) 1 p ( n  i=1 x q i ) 1 q , x i ,a i > 0, 1 p + 1 q =1(p, q > 0). n  i=1 |a i + x i | p ) 1 p ≤ ( n  i=1 |a i | p ) 1 p +( n  i=1 |x i | q ) 1 q |a + x| p = |a + x||a + x| p q ≤|a||a + x| 1 q + |x||a + x| p q f(x, y)=ax 2 +2bxy + cy 2 x 2 + y 2 =1  ab bc  A n f(x)=<Ax,x>= t xAx, x ∈ R n v ∈ R n , v =1 f(v)= max{f(x):x =1} Av = λv u, v ∈ R 3 u × v =(u 2 v 2 − <u,v>) 1 2 = u, v u × v u, v h : R n → R n ,h(x)=λx P k R n k V k (P ) V k (h(P ))  C y 2 dl C x = a(t −sin t),y = a(1 −cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.  C xdl C r = a kϕ ,r ≤ a  C zdl C x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ T.  C x 2 dl C x 2 + y 2 + z 2 =1,x+ y + z =0  S zdS S x = u cos v, y = u sin v, z = v, 0 <u<a,0 <v<2π.  S zdS S z =  x 2 + y 2 x 2 + z 2 ≤ 2az  S (x + y + z)dS S x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,z ≥ 0  x 2 +y 2 +z 2 =1 f(ax + by + cz)dS =2π  1 −1 f(u  a 2 + b 2 + c 2 )du. α(t)=(a cos bt, a sin bt, ct),t∈ [0,h] α(t)=(t cos bt, t sin bt, ct),t∈ [0,h] f : U → R U ⊂ R n n V n (graphf) =  U  1+ n  i=1 ( ∂f ∂x i ) 2  1 2 S φ =2π  b a y(t)(x  (t) 2 + y  (t) 2 ) 1 2 dt (x, y)=f(r, ϕ)=(r cos ϕ, r sin ϕ) f ∗ (dx),f ∗ (dy),f ∗ (dx ∧ dy) (x, y, z)=f (r, ϕ, θ)=(ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ) f ∗ (dx),f ∗ (dy),f ∗ (dz),f ∗ (dx∧dy),f ∗ (dy∧dz),f ∗ (dz ∧dx),f ∗ (dx∧dy ∧dz). f : R n → R m g : R m → R p (g ◦f) ∗ = f ∗ ◦ g ∗ f : R n → R m f  (x) <k x ∈ R n f ∗ ω =0 ω ∈ Ω k (R m ) dω R 3 ω = xdx + ydz ω =sinxdx + ydy + e xy dz ω = e xy dx ∧ dz ω = xdy ∧ dz + ydz ∧dx + zdx ∧ dy. (n − 1) ω R n dω = dx 1 ∧···∧dx n ω 1 ω 2 1 ω 1 ∧ ω 2 ω(x, y, z)= 1 r 3 (xdy ∧dz + ydz ∧dx + zdx ∧ dy) r 2 = x 2 + y 2 + z 2 R 3 \{0} ω = n  i=1 a i (x)dx i a R n ω f df = ω f(x)= n  i=1   1 0 a i (a + t(x − a))dt  x i . f(x)=  x 1 α 1 a 1 (x 1 , ···,x n )dx 1 +  x 2 α 2 a 2 (α 1 ,x 2 , ···,x n )dx 2 +···+  x n α n a n (α 1 ,α 2 , ···,x n )dx n a =(α 1 , ···,α n ) ω ω =(x 4 +4xy 3 )dx+(6x 2 y 2 −5y 4 )dy ω =(x+siny)dx+(x cos y+siny)dy ω = e x cos ydx − e x sin ydy ω =(x 2 +2xy − y 2 )dx +(x 2 − 2xy −y 2 )dy ω = a(x)dx + b(y)dy + c(z)dz a, b, c R ω = a(x 2 + y 2 + z 2 )(xdx + ydy + zdz) a R α ω = x 3 − 3xy 2 (x 2 + y 2 ) α dx + 3x 2 y −y 3 (x 2 + y 2 ) α dy. ϕ : R → R,ϕ(0) = 0 ω =(1+x 2 )ϕ(x)dx −2xyϕ(x)dy −3zdz. d  C ydx + zdy + xdz C x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π (a, 0, 0) (a, 0, 2πb)  C (x + y)dx − (x − y)dy x 2 + y 2 C C (0, 0) . × (0, 2π) R 3 α :(a, b) → R 2 p =(p 1 ,p 2 ,p 3 ) ∈ R 3 p 3 =0 φ(t, s)=(1−s)p + s(α(t), 0), (t, s) ∈ (a, b) × (0, 1) R 3 R 2 x = a(1 −sin t),y = a(1 − cos t) x = t 2 ,y = t 3 R 3 x = a cos t,. R 3 ∂V = S N  S <F,N>dS=  V div FdV. 53 Bài tập giải tích 3 1 Bài tập tich phân phụ thuộc tham số 1. Tính các giới hạn 1) lim t0 1 1 x 2 + t 2 dx 2) lim t0 1+t t dx 1+x 2 + t 2 3) . sau 1) a 0 x 2 a 2 x 2 dx, (a>0) 2) 0 4 x (1 + x) 2 dx 3) 0 dx 1+x 3 4) 1 0 dx n 1 x n dx, (n>1) 5) /2 0 sin 6 x cos 4 xdx 6) 0 x 2n e x 2 dx. 16. Hãy biểu diễn các tích phân sau qua các tích