Đang tải... (xem toàn văn)
Một hệ thống được cho là có tính toán an toàn nếu các thuật toán tốt nhất yêu cầu một bất hợp lý số lượng thời gian để phá vỡ hệ thống. Tương tự như vậy, một vấn đề mà các giải pháp sử dụng các thuật toán tốt nhất yêu cầu một số tiền không hợp lý thời gian được cho là có tính toán không khả thi. I. GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢO MẬT MÁY TÍNH II. SỐ NGUYÊN TỐ (PRIME NUMBER) III. ĐỊNH LÝ FERMAT VA EULER: IV. KIỂM TRA TÍNH NGUYÊN TỐ V. ĐỊNH LÝ CHINESE REMAINDER: VI. LÔGARIT RỜI RẠC: VII. SỐ BIỂU TƯỢNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM BÀI TIỂU LUẬN MÔN BẢO MẬT TÊN ĐỀ TÀI : GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢO MẬT MÁY TÍNH GIẢNG VIÊN: TH.S TRƯƠNG VĂN THÔNG SINH VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN TRẦN THÙY DƯƠNG - 09261221 MỤC LỤC TÊN ĐỀ TÀI : GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢO MẬT MÁY TÍNH GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢo mẬt Máy Tính I.SỐ Nguyên TỐ (Prime Number) .5 II.ĐỊnh Lý Fermat Euler: III.KiỂm tra tính nguyên tỐ .8 IV.ĐỊnh Lý Chinese Remainder: .12 VI.SỐ BIỂU TƯỢNG 16 GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢO MẬT MÁY TÍNH Một hệ thống cho có tính tốn an tồn thuật tốn tốt yêu cầu bất hợp lý số lượng thời gian để phá vỡ hệ thống Tương tự vậy, vấn đề mà giải pháp sử dụng thuật tốn tốt u cầu số tiền khơng hợp lý thời gian cho có tính tốn không khả thi Hệ thống RSA thảo luận phần ví dụ hệ thống mà bảo mật dựa khó khăn bao toán sản phẩm hai nguyên tố số lượng lớn Một ví dụ khác Diffie-Hellman trao đổi thức có bảo mật dựa khó khăn việc tính tốn logarit rời rạc nhóm định Tuy nhiên thơng báo ngày hơm khơng có hệ mật thiết thực biết đến chứng minh computa-tionally an tồn Bao tốn ví dụ coi khó khăn vấn đề tính tốn số trường hợp, khơng chứng minh khơng có phương pháp hiệu để giải vấn đề Khn khổ bảo mật máy tính nghiên cứu tính tốn phức tạp lý thuyết Vô điều kiện an ninh Một mật mã cho vơ điều kiện an tồn khơng thể bị phá vỡ với vơ hạn tính tốn nguồn lực Được gọi lần vơ điều kiện pad an tồn, miễn sử dụng lần Khuôn khổ vơ điều kiện an ninh nghiên cứu xác suất lý thuyết Trong báo giả định tất số tham gia vào mơ-đun tính tốn đồng dư giảm dư lượng tích cực Với điều tâm trí định nghĩa tập hợp {0, 1, 2, , N-1}, Z*n tập hợp Zn hình thành hệ thống giảm dư modulo n Hãy φ (n) biểu thị Euler phi chức Sau φ (n) số lượng yếu tố Z*n Euler Định lý nói một, nZ với n> 0, (a n,) = φ (n) ≡ (mod n) Chúng sử dụng Định lý Euler trường hợp đặc biệt, = pq n sản phẩm hai khác biệt lớn số nguyên tố p q Sau φ (n) = (p - 1) (q - 1) để (P-1) (q-1) ≡ (mod pq) (1) Hơn nữa, số nguyên d đ đáp ứng đoàn d · E ≡ (mod φ (n)) (Md) e = (Me) d = Md · E ≡ m1 + φ (n) ≡ m (mod n).(2) Hãy nhớ đồn phương trình tuyến tính e ° x ≡ (mod N) giải hiệu cách sử dụng thuật toán Euclid mở rộng Để thảo luận Diffie-Hellman giao thức trao đổi khóa, chúng tơi cần phải thực số số học Chúng xác định số (hoặc logarit rời rạc) Zn để sở rZ * n số nguyên dương nhỏ x, tồn tại, rx ≡ a (mod n), biểu thị ind Các môđun n rõ ràng từ ngữ cảnh Cuối cùng, cần nhớ lại đường cong elliptic Nếu p số nguyên tố, sau tập điểm (x, y) Zp × Zp đáp ứng y phương trình ≡ x3 + Ax + B (mod p) với O, gọi điểm vô cực, gọi đường cong elliptic trường Zp , Nếu Δ biệt = -16 (4A327 B2) ≡ (mod p).Nếu P điểm đường cong elliptic E, sau thứ tự P định nghĩa nhỏ tích cực số nguyên x cho xP = O, biểu ORDEP RSA RSA hệ thống mật mã khóa cơng khai phát triển Rivest, hamir Adleman vào năm 1977 Nó cho phép Alice thơng báo cơng khai cung cấp khóa mà Bob hay khác sử dụng để gửi bí mật tin nhắn cho Alice Khơng ai, Alice giải mã thơng điệp bí mật 2.1 hệ thống RSA Định nghĩa Hãy để ba số nguyên (e, d, n) cho mà ed ≡ (mod φ (n)) Chúng gọi số (e, d, n) hệ thống RSA, tuple (e, n) gọi khóa cơng khai (d, n) bí mật cho hệ thống RSA n gọi môđun RSA Ý tưởng đằng sau định nghĩa khoá cơng khai cơng bố, khóa bí mật giữ bí mật Chúng ta thấy việc biết khóa cơng khai đủ để mã hóa tin nhắn, mà giải mã tin nhắn mã hóa địi hỏi kiến thức khóa bí mật Một tin nhắn có nghĩa số mZn Cho (e, d, n) hệ thống RSA Chúng ta thấy cách sử dụng Định lý Euler (phương trình (1) (2)) mà cho m tin nhắn Zn(Me)d ≡ m (mod n) Trong giới m ∈ kịch thực Zn số tạo ngẫu nhiên, mà phục vụ chìa khóa cho hệ thống mã hóa đối xứng sử dụng để mã hóa tài liệu Điều thực cho hiệu lý I SỐ NGUYÊN TỐ (PRIME NUMBER) Định Nghĩa: Số Nguyên Tố số lớn 1, có ước ± ± Phát biểu định lý: "Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố, phân tích không kể đến thứ tự thừa số." Từ có dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên là: Trong p1,p2, ,pm, số nguyên tố đôi khác Ta có n chia hết cho (k1+1)(k2+1) (km+1) số tự nhiên Ví dụ: 300 = 22.52.3 300 chia hết cho (2+1)(2+1)(1+1)=18 số tự nhiên II ĐỊNH LÝ FERMAT VÀ EULER: a Định Lý Fermat: Số Fermat khái niệm toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đưa khái niệm Nó số nguyên dương có dạng với n số không âm Các số Fermat bao gồm : F0 F1 F2 F3 F4 F5 = = = = = = 21 22 24 28 216 232 + + + + + + 1 1 1 = = = = = = = 17 257 65.537 4.294.967.297 641 × 6.700.417 Cơng thức thiết lập số Fermat Với "n" ≥ Các hệ thức chứng minh cách quy nạp tốn học Ta tính gần số chữ số chúng hệ thức gần b Chức Euler's Totient Hàm totient Euler viết (n), định nghĩa số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n Theo quy ước, (1) = Nó rõ ràng số nguyên tố p (p) = p Bây giả sử có hai số nguyên tố p q, với p ≠ q Sau đó, thấy n = pq (n) = (pq) = (p) x (q) = (p 1) x (q x 1) Để thấy (n) = (p) x (q), cho tập số nguyên dương nhỏ n mà tập hợp {1, , (pq1)} Các số nguyên mà khơng phải tương đối để n tập hợp {p,2, , p (q 1) p} thiết lập {q, quý 2, , (p 1) q} Do đó, (n) = (pq 1) [(q 1) + (p 1)] = pq (p + q) + = (p 1) x (q 1) = (p) x (q) (21) = (3) x (7) = (3 1) x (7 1) = x = 12 (12 số {1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}) c Định Lý Euler Với a n aø(n) = (mod n) n số nguyên tố, trường hợp (n) = (n 1) Tuy nhiên, dùng cho số nguyên n ( (n) số số nguyên dương nhỏ n mà tương đối nguyên tố với n.) aø(n) + = a (mod n) tương tự trường hợp với định lý Fermat, hình thức định lý Euler yêu cầu tương đối để n, dạng khơng III KIỂM TRA TÍNH NGUN TỐ d Thuật Tốn Miller-Rabin Các thuật tốn Miller Rabin thường sử dụng để thử nghiệm số lượng lớn cho tính nguyên tố Bất kỳ số nguyên dương lẻ n ≥ thể sau: n = kq với k 0>, q lẻ Để thấy điều lưu ý, (n 1) số nguyên chẵn Sau đó, chia (n 1) kết số lẻ q, với tổng số lần chia k Nếu n số nhị phân, sau kết đạt cách chuyển số bên phải chữ số cuối bên phải 1, với tổng số k Bây phát triển hai tính chất số nguyên tố • - Hai tính chất số ngun tố Tính chất 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên dương nhỏ p a2 mod p = a mod p = a mod p = mode p = p Bởi quy tắc số học modula (a mode p) (a mode p) = a2 mod p Vì vậy, hai a mode p = a mod p = 1, sau a2 mod p = Ngược lại, a2 mod p = (a mod p)2 = a mod p = - Tính chất 2: Cho p số nguyên tố lớn Ta viết p = k q, với k> q lẻ a số nguyên phạm vi < a < p hai điều kiện sau đúng: + aq đồng dư với modulo p Đó là, aq mod p = 1, tương đương, aq ≡1 (mod p) + Một số aq, a2q, a4q, , a2k-1q đồng dư với modulo p Đó là, có số j số khoảng (1≤ j≤k) cho a2j1q mod p = mod p = p 1, tương đương a2j-1q ≡ (mod p) • Chi tiết thuật toán Những nhận xét dẫn đến kết luận n số nguyên tố, sau phần tử danh sách dư lượng, dư, (aq, a2q, , a2k-1q, a2kq) modulo n 1, số phần tử danh sách (n 1), không n tổng hợp (tức là, nguyên tố) Mặt khác, điều kiện đáp ứng, (mà khơng thiết) có nghĩa n có số ngun tố Ví dụ, n = 2047 = 23 x 89, sau n = x 1023 Tính tốn, 21023 mod 2047 = 1, để đáp ứng điều kiện 2047 nguyên tố Chúng ta sử dụng tài sản trước để đưa thử nghiệm cho tính ngun tố.Các thủ tục TEST có số ngun n đầu vào trả kết tổng hợp, n chắn nguyên tố, kết kết luận n có khơng ngun tố TEST (n) Find integers k, q, with k > 0, q odd, so that (n = 2kq); Select a random integer a, < a < n 1; if aq mod n = then return("inconclusive"); for j = to k if a2jq mod n n then return("inconclusive"); return("composite"); • Vịng lặp thuật tốn Miller-Rabin Làm sử dụng thuật tốn Miller-Rabin để xác định với mộ tmức độ cao hay khơng số ngun số ngun tố? Nó hiển thị đưa n số lẻ khơng phải ngun tố chọn ngẫu nhiên số nguyên, a với 0, a≠1,nếu ax=y x gọi lôgarit số a y, ký hiệu x= logay Lơgarit rời rạc có ứng dụng hệ mật mã khóa cơng khai hệ mật mã Elgamal Ví dụ: Cho p số nguyên tố Xét nhóm nhân số nguyên modulo p: với phép nhân modulo p Nếu ta tính luỹ thừa bậc k số nhóm rút gọn theo modulo p ta số nhóm Q trình gọi luỹ thừa rời rạc modulo p Chẳng hạn với p=17, lấy a=3, k=4 ta có Lơgarit rời rạc phép tính ngược lại: Biết : tìm k Định nghĩa Tổng quát, giả sử G nhóm cyclic hữu hạn có n phần tử Chúng ta ký hiệu phép toán G theo kiểu nhân Giả sử b phần tử sinh G; phần tử g G viết dạng g = bk với số nguyên k Hơn nữa, hai số nguyên có tính chất với g đồng dư theo modulo n Chứng ta định nghĩa hàm (trong Zn ký hiệu cho vành số nguyên modulo n) theo g lớp số nguyên k modulo n Hàm đồng cấu nhóm, gọi logarit rời rạc theo số b 14 Sau công thức đổi số giống logarith thông thường: Nếu c phần tử sinh khác G, thì: 15 VI SỐ BIỂU TƯỢNG Chúng tơi người sử dụng hệ thống số gọi "căn mười" Đó hệ thống sử dụng số thiết lập biểu tượng đại diện cho nhóm vật, nhiều nước giới, số ký hiệu tiếng Ả Rập sử dụng Những ký hiệu Chúng người sử dụng hệ thống số mười bắt đầu với số khơng cơng trình cách để chín Khi đến chín chúng tơi bắt đầu cột bên trái chấm xuống một, sau đưa số khơng bên phải (09 + 01 = 10) May tinh nghĩ hệ nhị phân , hiển thị liệu nhị phân họ người định dạng khác bát phân hay thập lục phân 'Mười sáu sở "Hệ thống bát phân gọi là' sở tám" gọi thập lục phân Để thực thảo luận hệ thống số có ý nghĩa, bạn phải hiểu tất hệ số bao gồm biểu tượng Chúng người quốc gia nói tiếng Anh sử dụng biểu tượng gọi 'khơng' qua 'chín' (0 9) Những biểu tượng xếp theo cột Mỗi bạn di chuyển cột bên trái, mười lần giá trị có giá trị cột bên phải (100 mười lần lớn 10) Chúng người nhận để sử dụng để sử dụng biểu tượng mà khơng cịn nghĩ họ biểu tượng Chúng thấy "4" nghĩ rằng: BỐN: * * * * Dưới bốn phần hệ thống số khác Tôi hứa nhận tất trực tuyến, số điểm BINARY Đây hệ thống số, dành phần lớn thời gian Nó chí có hướng dẫn riêng liệu nhị phân biểu diễn cách sử dụng ký hiệu "0" "1" (zero người thân) Đây trực tiếp lưu trữ 16 máy tính cách sử dụng thu nhỏ 'on / off' tắc gọi "bóng bán dẫn" Sự thay đổi "bật" đại diện cho "1", công tắc tắt đại diện cho "0" Để cho dễ dàng người, máy tính lập trình để hiển thị thứ bát phân, thập lục phân thập phân Tuy nhiên, hiểu biết nhị phân trung tâm hiểu biết máy tínhcủa Máy tính logic (Boolean Logic) hệ nhị phân sử dụng và OR Bạn có nhiều rắc rối hiểu biết địa IP, subnetting supernetting bạn không hiểu nhị phân Bát phân Không phải nhiều thứ đại diện bát phân Điểm bãi Hệ thống số máy tính sử dụng để bát phân, nhớ có bãi tiên tiến năm qua Hầu hết hệ thống sử dụng hệ thập lục phân nhị phân ngày hôm Các bát phân hệ thống đếm số từ số không đến bảy (0-7), bắt đầu cách đặt một theo sau số không (10) Do biểu tượng hình số khơng (10) bát phân thực người gọi tám Mỗi chữ số bát phân đại diện cho ba bit nhị phân (bát phân = nhị phân 111) Thập phân OK, sở mười, hệ thống tốt tính cũ bạn học trường Bạn biết tất thứ bạn cần biết nó, phải khơng? Vâng, có lẽ khơng Mười Base không thực chuyển đổi tốt để nhị phân ngược lại, mười không phù hợp với cách độc đáo vào nhị phân tư Kể từ người sử dụng mười sở, máy tính sử dụng hệ nhị phân (cơ sở hai), bạn phải trở nên kỹ chuyển đổi hai người Một wanabe khoe khoang hiểu biết nhị phân Một guru thật hacker suy nghĩ chuyển đổi chúng giấc ngủ mình.Điều họ học để làm điều exhaused trở thành giai đoạn chuyển 72-giờ buổi hacking HEX (thập lục) Hexadecimal tính từ số khơng đến mười lăm (0 - F), sau lăn qua một theo sau số khơng (16 = 10) Khó khăn nhiều người có với hệ thập lục 17 phân hệ thống số đếm tất đường lên đến biểu tượng cuối người sử dụng (9), tiếp tục sau sử dụng ký tự thay số Điều đơn giản người có mười ngón tay, chúng tơi khơng có số ký hiệu cho điều qua Chúng người đếm 9-10 cách di chuyển đến cột thứ hai, vẽ một, đưa số khơng đằng sau Thiết bị giao diện mạng có địa MAC thập lục phân Màu sắc trongHTML thực thập lục phân Hex-bãi làm máy tính nhớ máy tính bị treo Nếu bạn đọc đó, qua tập hợp ký tự trước "0" x, bạn đối phó với hệ thập lục phân Đây biểu đồ hiển thị số thông qua việc thiết lập biểu tượng hệ thống đánh số 18 Thập phân 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 19 Bát phân 00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Hex 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 ... TÀI : GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢO MẬT MÁY TÍNH GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢo mẬt Máy Tính I.SỐ Nguyên TỐ (Prime Number) .5 II.ĐỊnh Lý Fermat Euler: III.KiỂm tra tính. .. IV.ĐỊnh Lý Chinese Remainder: .12 VI.SỐ BIỂU TƯỢNG 16 GIỚI THIỆU VỀ LÝ THUYẾT SỐ BẢO MẬT MÁY TÍNH Một hệ thống cho có tính tốn an tồn thuật tốn tốt u cầu bất hợp lý số lượng... kết đạt cách chuyển số bên phải chữ số cuối bên phải 1, với tổng số k Bây phát triển hai tính chất số ngun tố • - Hai tính chất số nguyên tố Tính chất 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên dương nhỏ