BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC Sưu tầm giả : HS Trần Anh Tuấn Niên khóa : 2008-2012 Bao gồm : • Lý thuyết hướng dẫn và phương pháp giải toán • Bài tập vận dụng cơ bản và nâng cao • Những lời khuyên lí thú và bổ ích • Bài tập cuối chuyên đề phong phú đa dạng 1 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Bài giảng 1: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá một số bài BĐT hay và khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS. Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng: yx ba y b x a + + ≥+ 222 )( (*) Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với .0)( 2 )()()( 2 2222 222 ≥−⇔ ≥+⇔ +≥+++ bxay abxyxbya xybayxxbyxya BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . y b x a = Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta được zyx cba z c y b x a ++ ++ ≥++ 2222 )( (**) với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . z c y b x a == Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau. Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng . 8 )( 4 44 ba ba + ≥+ Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có : . 8 )( 2 )( 2 1 112 1 2 )( 11 4 2 2 2 2222244 44 bababababa ba + =         + ≥         += + ≥+=+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn .4 111 =++ zyx Chững minh rằng: 1 2 1 2 1 2 1 ≤ ++ + ++ + ++ zyxzyxzyx . Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có: . 112 16 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2222222         ++=       +       +       +       = +       + +       ≤ ++       + = ++ zyxzxyxzxyxzyxzyx Tương tự, ta có:         ++≤ ++         ++≤ ++ . 211 16 1 2 1 , 121 16 1 2 1 zyxzyx zyxzyx Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, chú ý tới giả thiết dẫn đến điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 4 3 . Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a . (Bất đẳng thức Nasơbit) Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có: 2 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 . )(2 )( 2222 cabcab cba cbca c cabc b acab a ba c ac b cb a ++ ++ ≥ + + + + + = + + + + + Bây giờ chúng ta cần chứng minh BĐT: . 2 3 )(2 )( 2 ≥ ++ ++ cabcab cba Nhưng BĐT này tương đương với Đây là BĐT luôn đúng. Từ đó suy ra BDT cần phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 4. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 2 3 )( 1 )( 1 )( 1 333 ≥ + + + + + bacacbcba ( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa ) Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng 222 cba = 1 ta có: ).( 2 1 )(2 )( )()()( )( 1 )( 1 )( 1 2222222 333 cabcab cabcab cabcab bac ba acb ac cba cb bacacbcba ++= ++ ++ ≥ + + + + + = + + + + + Vì thế ta chỉ cần chứng minh ab + bc + ca ≥ 3. Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c kết hợp với giả thiết abc = 1 ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài tập vận dụng: Bài 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: . 222222 cba ac ac cb cb ba ba ++≥ + + + + + + + + Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng: a) 2 1 323232 ≥ ++ + ++ + ++ yxz z xzy y zyx x ; b) . 4 3 ))(())(())(( 222 ≥ ++ + ++ + ++ yzxz z xyzy y zxyx x Bài 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3(ab + bc+ ca) = 1. Chứng minh rằng: . 1 111 222 cba abc c cab b bca a ++ ≥ +− + +− + +− Bài 4. Cho các số dương a, b, c, d, e . Chứng minh rằng: . 2 5 ≥ + + + + + + + + + ba e ae d ed c dc b cb a Bài 5.Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng : zyxxzzyyx ++ ≥ + + + + + 9222 . 3 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn 0)()()( )(2(2 222 222 ≥−+−+−⇔ ++≥++ accbba cabcabcba BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Bài giảng 2:TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN, CƠ BẢN ĐỂ PHÁT TRIỂN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI. Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau. Đôi khi, việc ta sử dụng những BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ. Bài toán cơ sở. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: . 222 cabcabcba ++≥++ (1) Nhân 2 > 0 vào hai vế của BĐT (1) vào rồi chuyển vế, biến đổi tương đương ta được một BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bây giờ, vận dụng kết quả trên, ta chứng minh một số BĐT sau. Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương: a) thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng:       ++≥++ cba cba 111 3 (2) b) Chứng minh rằng: )( 444 cbaabccba ++≥++ (3) c) thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: (4) d) thỏa mãn 1 222 =++ cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = . b ca a bc c ab ++ Lời giải: a) Ta có: (2) abc abcabc cba ++ ≥++⇔ 3 cabcabcba cabcabcba cba abcabc cba ++≥++⇔ ++≥++⇔ ++ ++ ≥++⇔ 222 2 )(3)( 3 ( Do giả thiết a + b + c = abc) Bất đẳng thức cuối cùng đúng do (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 . b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có: )( )()()()()()( 222222222222222444 cbaabccaabbccaabbc cabcabaccbbacbacba ++=++≥ ++=++≥++=++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. c) Ta có: (4) 2 2 2 2 2 2 111 1 1 1 1 1 1 c c b b a a cabcab + + + + + ≥       −+       −+       −⇔ 2 2 2 2 2 2 111 c ccabcab b bcabcab a acabcab ca ca bc bc ab ab +++ + +++ + +++ ≥ − + − + − ⇔ ( do giả thiết ab + bc + ca = 1) 222 222 ))(())(())(()()()( ))(())(())(( c accb b bacb a acba ca acb bc cba ab bac c accb b bacb a acba ca bcab bc abca ab cabc ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + ⇔ ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + ⇔ Đặt x = ab bac )( + ; y = bc cba )( + ; z = ca acb )( + với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cuối được chuyển về dạng của (1). Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 1 . 4 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn 1 1 1 1 1 1 3 222 ++++++≥ ++ cbaabc cba BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 d)       +++++=       ++= c ab b ca b ca a bc a bc c ab b ac a cb c ba b ca a bc c ab S 2 2 22 2 22 2 22 2 2 3)(3 )(2)( )(2 222 222222 222 222 =++= +++++≥ +++       +       +       = cba cbacba cba b ca a bc c ab ( do áp dụng (1)) ( Do giả thiết a 2 + b 2 + c 2 = 1) Mà S > 0 nên S 3≥ . Min S = 3 khi và chỉ khi a = b = c = 3 1 Nhận xét. 1) Trong ví dụ a) và c), ta thay thế giả thiết vào bất đẳng thức cần chứng minh một cách thích hợp để chúng có những hân thức mà tử và mẫu cùng bậc. 2) Giả thiết ab + bc + ca = 1 thường được dùng trong bài toán chứng minh BĐT hay tìm cực trị mà dạng biến đổi thông thường của nó là a 2 + 1 = a 2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Bây giờ, hãy vận dụng BĐT (1) trên để chứng minh hoặc tìm cực trị của các bài toán dưới đây. Bài tập vận dụng. Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: . 63 1 cabcabcba ++ ≥ ++ + Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 222 )( cabcab cabcab ++ ++ . Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = abc cba cba cabcab 3 222 )( ++ + ++ ++ . Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: . 2 9 2 2 22 2 22 2 22333 ≥ + + + + + + + + + ++ cab ac bca cb abc ba abc cba 5 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Bài giảng 3: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT. Có rất nhiều phương pháp chứng minh BĐT. Mỗi bài toán cũng có nhiều phương pháp để chứng minh. Bài viết này trình bày về một phương pháp được cho là khá thú vị và nếu tinh ý, chúng ta có thể sáng tạo thêm các bài toán khó hơn. Bài toán 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) ≤ abc. (1) Lời giải: Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z. (x; y; z là các số tự nhiên > 0) Suy ra a = 2 zx + ; b = 2 yx + ; c = 2 zy + . Thay vào (1), ta được: xyz 8 ))()(( xzzyyx +++ ≤ xyzxzzyyx 8))()(( ≥+++⇔ (2) Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 2 số dương, ta có: xyyx 2≥+ ; yzzy 2≥+ ; zxxz 2≥+ . Nhân từng vế các BĐT trên ta suy ra (2). Nghĩa là (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đó đều. Chú ý: 1) Ta có thể sử dụng phương pháp khác để chứng minh BĐT (1). Hầu hết các bài toán có dạng a + b – c; b + c – a; c + a – b đều có chung một hướng giải là đổi biến. 2) Bất đẳng thức (1) có thể mở rộng thành bài toán khó hơn bằng cách xem a; b; c là 3 số thực dương. Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 7(ab + bc + ca) ≤ 2 + 9abc. (3) Lời giải: Đặt x = 1 – a; y = 1 – b; z = 1 – c. Khi đó x, y, z là các số không âm và x + y + z = 2. Bất đẳng thức (3) được viết về dạng như sau : (4) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : 3 3 xyzzyx ≥++ > 0 3 222 3 zyxzxyzxy ≥++ > 0 Nhân các vế tương ứng của hai BĐT trên thì được (4), nghĩa là (4) đúng. Vậy BĐT (3) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, suy ra a = b = c = 3 1 . Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = )()()( 222 bac ab cab ac cba bc + + + + + . Lời giải : Đặt x = a 1 ; y = b 1 ; z = c 1 thì x, y, z > 0 và xyz = 1. Khi đó P = 2 3 2 3 2 3 222 =≥ ++ ≥ + + + + + xyz zyx yx z xz y zy x ( BĐT Cauchy cho 3 số dương, kết hợp với giả thiết xyz = 1). Min P = 2 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1, tức là a = b = c = 1. Bài toán 4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a . ( Bất đẳng thức Nêsơbit ) Đây là bài toán cơ bản, là BĐT được sử dụng không nhiều trong chương trình toán THCS. Có nhiều cách để chứng minh nó. Xin giới thiệu phương pháp: Đổi biến! 6 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn [ ] [ ] [ ] ))((9)(29 )(2)(510 )()(192)(237 )1)(1)(1(92)1)(1()1)(1()1)(1(7 zxyzxyzyxxyzzxyzxyxyz zxyzxyzyx xyzzxyzxyzyxzxyzxyzyx zyxxzzyyx ++++≤⇔++≤⇔ +++++≤⇔ −+++++−+≤+++++−⇔ −−−+≤−−+−−+−− BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Lời giải: Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b. Ta có : a = 2 xzy −+ ; b = 2 yzx −+ ; c = 2 zyx −+ . Bất đẳng thức trên chuyển về dạng sau . 2 3 2 3 3 2 3 222222222 =−≥−         ++       ++         += −+ + −+ + −+ z y y z z x x z y x x y z zyx y yzx x xzy Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài tập vận dụng : Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 26 1694 ≥ −+ + −+ + −+ cba c bac b acb a Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = . )( 1 )( 1 )( 1 333 baccabcba + + + + + Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng : . 6416411 dcbadcba +++ ≥+++ Bài 4. Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: a) 3abc( a+ b + c) ≤ 1 b) Nếu a, b, c dương thì: )(2111 222 cbacba ++≤+++++ c) Nếu a, b, c dương thì: . 111222 444464646 cbaac c cb b ba a ++≤ + + + + + 7 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Bài giảng 4: VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH HOẶC TÌM CỰC TRỊ. Trong chứng minh BĐT, việc vận dụng một cách linh hoạt các BĐT phụ khác cho ta đến một hiệu quả bất ngờ. Chúng ta cùng xét các ví dụ sau: Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có: f(a, b, c, d) = 0≥ + − + + − + + − + + − da ac ac cb cb bd bd da . Lời giải: Bằng cách cộng 4 vào mỗi vế của BĐT trên, ta được: 4 )(4 4 )(4)(4 4 11 )( 11 )( 4 ≥ +++ +++ ⇔ ≥ +++ + + +++ + ⇔ ≥       + + + ++       + + + +⇔ ≥ + + + + + + + + + + + dcba dcba dcba dc dcba ba dacb dc acbd ba da dc ac ab cb cd bd ba Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d. Bài toán 2. Hai số dương a, b có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a) 6 11 22 ≥ + + ba ab ; b) 14 32 22 ≥ + + ba ab . Nhận xét: Để làm được bài toán này, chúng ta cần xác định được điểm rơi và cách biến đổi chúng cũng như sử dụng các BĐT phụ khác. Lời giải: a) 6 )( 2 2 4 2 1 2 1111 2222222 = + + ++ ≥+       + + = + + baabba abab baba ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5. b) .14 )( 2 )( 12 2 1 2 11 3 32 222222 = + + + ≥+       + + = + + baba abab baba ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5. Bài toán 3.Cho n số dương bất kì a 1 ; a 2 ; ; a n > 0. Chứng minh rằng: ( 1 + a 1 )(1 + a 2 ) (1 + a n ) n aaa 221 1( +≥ ) Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta nhận được: Bất đẳng thức, cực trị . )1)(1( 1 1 1 1 1 1 1 , )1)(1( 1 11 1 21 1 21 2 2 1 1 n n n n n n n n n aa n aaa aa aaa n a a a a a a ++ ≥ + ++ + + + ++ ≥ + ++ + + + Cộng các vế tương ứng của hai BĐT này thì được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số trên bằng nhau. Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:       ++≤ + + + + + + + + + + + ≤ +++ cbadcdbcbdacabadcba 111 4 311111112 * dcbadcbadcbadcbadcdbcbdacaba +++ =       +++ + +++ + +++ ≥ + + + + + + + + + + + 12111 4 111111 * Trường hợp còn lại xin dành bạn đọc. Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng: 8 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 3)(7 111 4)(2 222 −++≥       +++++ cba cba cba . ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 8 + 9 / 2011) Lời giải: Đặt S = a + b + c. Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số thức dương ta có: S 33 3 =≥ abc . Do đó: 3)(7 111 4)(2 222 +++−       +++++ cba cba cba = 3)(7.4)(2 222 −++− ++ +++ cba abc cabcab cba = 3)(7)(4)(2 222 +++−+++++ cbacabcabcba = 3)(7)(2 2 +++−++ cbacba = 2S 2 – 7S + 3 = (2S – 1)(S – 3) ≥ 0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: )(29 )()()( 222 ba c ac b cb a ca ac bc cb ab ba + + + + + +≥ + + + + + ( Xem toán học và tuổi trẻ tháng 2/2012) Lời giải: Đặt A = ca ac bc cb ab ba 222 )()()( + + + + + .292 2 3 .26 226 444 6 111111 6222 222 222222       + + + + + +=       + + + + + ++≥       + + + + + +       + + + + + +≥ + + + + + +≥       ++       ++       ++=++++++++= ++ + ++ + ++ = ba c ac b cb a ba c ac b cb a ba c ac b cb a ba c ac b cb a ba c ac b cb a ab c ca b cb a c a a c b c c b a b b a ca acac bc cbcb ab baba Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét: Việc vận dụng BĐT Cauchy và các BĐT phụ khác đem lại một hiểu quả bất ngờ! * Trong giải toán, một số BĐT cần phải chứng minh mới sử dụng được. Bất đẳng thức, cực trị đại số Bài giảng 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC 9 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn       −+≥++ cbaab c ca b bc a 111 2 BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 Bi toỏn 1. a. Với a,b, c > 0. Chứng minh: b. Cho a c > 0, b c. Chứng minh: Li gii: a. <=> a 2 +b 2 + c 2 2 (bc + ac - ba) (Vì abc > 0) <=> a 2 + b 2 + c 2 - 2bc - 2ac + 2ab 0 <=> (a + b - c) 2 0 (hiển nhiên đúng). Vậy: Bi toỏn 2. Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha món cba v 3a 4b + c = 0. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = . 222222 b ac a cb c ba ( Xem toỏn tui th 2 thỏng 2/2011) Li gii: Vỡ cba nờn: M = b abbc a cb c ba b ac a cb c ba 22222222222222 + = = .0 11 )( 11 )( 2222 + + ab cb bc ba M = 0 khi v ch khi a = b. Vỡ 3a 4b + c = 0 nờn a = b = c. Vy giỏ tr nh nht ca M bng 0. Bi toỏn 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra các bất đẳng thức sau: a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab. Li gii: Giả sử xảy ra đồng thời các bất đẳng thức trên. Từ hai bất đẳng thức đầu ta có: (a + b) 2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b) 2 - ab 3ab => cd > 3ab (1) Mặt khác, ta có: (a + b) cd < (c + d) ab => (a + b) 2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd) => 4abcd (a + b) 2 cd < ab (ab + cd) = a 2 b 2 +abcd => a 2 b 2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Từ (1) và (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vô lý! Vậy ta có điều phải chứng minh. Bi toỏn 4.Cho a k , b k l cỏc s dng thay i luụn tha món iu kin: a 1 + a 2 + + a n = b 1 + b 2 + + b n = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca tng: P = 22 22 11 11 nn nn ba ba ba ba ba ba + ++ + + + Li gii: p dng BT Cauchy, ta cú: kkkk baba 2+ hay . 4 4)( 2 kk kk kk kkkk ba ba ba baba + + + 10 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun abcbccac + )()( +++ cbaab c ca b bc a 111 2 ++++ cbaab c ca b bc a 111 2 [...]... = khi v ch khi a = b = c = d = 1 3 Bi toỏn 7 Cho tam giác ABC và một điểm Q nào đó ở trong tam giác Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt BC ở N Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở F và cắt BC ở E Qua Q kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AC ở P và cắt AB ở R Ký hiệu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) và S = dt (ABC) Chứng minh rằng: 1 a b S1 + S 2 + S 3 S S = (... AC AC S 11 Biờn son v tuyn tp :SHS Trn Anh Tun BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 Suy ra: Do đó: Suy ra: S1 + S 2 + S 3 MP +PC + AM AC = =1 S + S + S => AC S + AC + S S = S1 S= S2 2 3 1 3 b p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: S= (12 + 12 +12)(S1 +S2 + S3) (1 S1 + 1 S 2 + 1 S 3 ) 2 Suy ra: S1 + S2 + S3 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: S1 = S2 = S3 Q là trọng tâm ABC 3 = ( ) 2 Bi toỏn... mc bi toỏn cú hai gi thit, th nhng khi gii li ch s dng n mt gi thit m thụi (!) * Trong quỏ trỡnh ỏnh giỏ cú th tỡm c nhiu biu thc B Gi Bk l mt trong nhng biu thc ú v cú min Bk = m ta cng cú K = Bk thỡ mi cú min K = min Bk = Trong trng hp ú biu thc Bk c gi l kt Trong bi toỏn trờn, s dng gi thit cũn li khụng dn ti kt * Trong bi toỏn trờn, hỡnh thc cỏc gi thit trờn cha ch dn bt mch s dng gi thit... 3 + 3 + 3 y + 8 z + 8 x + 8 9 27 ( Thi Iran MO 2008 ) * Trờn õy l cỏc bi toỏn v BT, cc tr trong chng trỡnh THCS Nú gúp phn vo vic vn dng linh hot trớ úc, t duy lụ rớch, giỳp cỏc em hc khỏ hn, gii hn v chuyờn BT trong chng trỡnh toỏn THCS, giỳp cỏc thy, cụ giỏo dy toỏn thờm mt ti liu b ớch, dựng ụn thi, dy cỏc em hc sinh khỏ, gii * Tt nhiờn l cỏc bi toỏn trờn... toỏn thun li hn * Trong bi toỏn BT, vic xỏc nh im ri ca bin l rt cn thit Nú gúp mt phn nh vo vic ỏp dng cỏc BT ph 4 3 Bi toỏn 14 Cho a > b l cỏc s khụng õm Chng minh rng: a + (a b)(b + 1) 2 b +1 Chỳng ta th xỏc nh im ri ca bi toỏn Ta cú: 2a 1 = 3b suy ra a b = 2 Li gii: p dng BT Cauchy cho 4 s thc khụng õm, ta cú: 13 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 (a b)...BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 Cho k = 1, 2, , n, ri cng cỏc v tng ng ca n BT nhn c, ta cú: P Hn na nu chn ak = bk = a1 + a 2 + + a n + b1 + b2 + + bn 1 = 4 2 1 vi mi 1 k n thỡ P = 0,5 n Vy giỏi tr ln nht ca P l 0,5 Bi toỏn 5 Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd trong đó ad - bc =1 Chứng minh rằng S 3 Li gii: (ac + bd)2 + (ad - bc)2... Du ng thc xy ra khi v ch khi trong 3 s cú 1 s bng 0 v 2 s kia bng 1 1 1 Bi toỏn 26 Cho hm s: f(x;y) = (1 + x)(1 + ) + (1+ y)(1 + ) vi x, y > 0 v x2 + y2 = 1 y x Tỡm min f(x ;y) ? 1 1 Li gii : f(x ;y) = (1 + x)(1 + ) + (1+ y)(1 + ) y x 1 x 1 y =1+ + +x+1+ + +y y y x x T cỏc h thc trờn, ta cú : [ ] [ ] 17 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 1 1 1 x y 1 + ) + (y... Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: x y z + + H= y z x Bi 21.Cho a ; b ; c l ba s dng khỏc nhau ụi mt Tỡm min : ( 24 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun ) BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 (a x)(a y ) (b y )(b x) (c x)(c y ) + + trong ú x ; y l hai s dng cú tng bng 1 a (a b)(a c ) b(b a )(b c) c(c a )(c b) Bi 22 Cho a1 + a2 + + an = k Tỡm cc tr ca biu thc: A = a21 + a22 + + a2n Bi 23... rằng S 3 Li gii: (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2) 1 + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 +d)2 Vì ad - bc = 1 nên: p dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: S = (a2 + b2) + (c2 + d2) + ac + bd 2 ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) + ac + bd n õy bn c t gii tip Bi toỏn 6 Cho cỏc s dng a, b, c, d Bit Chng minh rng: abcd a b c d + + + 1 1+ a... 2b 1 + a 4c + 57 35 + 2b 1 4c 35 2b +1 1 = 1 + a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b 2b 1 57 57 + 2 >0 35 + 2b 1 + a 4c + 57 (1 + a )(4c + 57) 15 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun (2) BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS 2012 Ta cú: 1 1 4c 35 1 + 1+ a 4c + 57 35 + 2b a 57 35 35.57 + 2 >0 1 + a 57 + 4c 35 + 2b (57 + 4c)(35 + 2b) (3) T (1); (2) v (3) ta cú: 8abc 8.35.57 abc 35.57 = 1995 (1 + a )(4c + 57)(2b . 7 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Bài giảng 4: VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH HOẶC TÌM CỰC TRỊ. Trong chứng minh. BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC Sưu tầm giả : HS Trần Anh Tuấn Niên khóa : 2008-2012 Bao gồm : • Lý thuyết hướng dẫn và phương. ++ ≥ + + + + + 9222 . 3 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn 0)()()( )(2(2 222 222 ≥−+−+−⇔ ++≥++ accbba cabcabcba BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS 2012 Bài giảng 2:TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN,