6 §2. Căn thức bậc haivà hằng đẳng thức AA = 2 Đònh lí: Với mọi số thực a, ta có aa = 2 . Chứng minh: Theo đònh nghóa căn bậc hai số học, ta phải chứng minh () 0 2 2 ≥= avà aa . Thật vậy : Nếu a ≥ 0, ta có 2 aaa == 2 )a( nên Nếu a < 0, ta có 22 )( aaaa =−=−= 2 )a( nên Do đó, 2 )( a = a 2 với mọi a. Mà theo đònh nghóa giá trò tuyệt đối thì 0≥a . Vậy : aa = 2 Bài tập 6. Tìm điều kiện của x để các căn bậc hai sau có nghóa a. 2 x− b. 5−− x c. 2 x6x7−++ d. 12 2 2 +− xx e. 2 4x + Giải a. 2 x− có nghóa ⇔ 2 0x − ≥ . Mà 2 0 x x≥∀ . Vậy x = 0 b. 5−− x có nghóa 50x ⇔ −−≥ . 50x −≤ 5x ⇔ = Vậy 5−− x có nghóa khi x = 5 c. 2 x6x7−++ có nghóa 7 ()( ) 2 670 170 17 xx xx x ⇔− + + ≥ ⇔+ −≤ ⇔− ≤ ≤ d. 12 2 2 +− xx có nghóa 2 210xx⇔−+≥ () 2 10x⇔− ≥ Ta được một BĐT luôn đúng với mọi x , vậy căn thức trên luôn xác đònh với mọi x ∈ R e. Ta có : 2 40 , x x+> ∀. Vậy căn thức này luôn xác đònh với mọi x ∈ R 7. Tính a. 324 + b. 347 − Giải a. () 2 423 3231 31 31+=++= +=+ (do 310 + > ) b. () 2 2 743 2 2.233 2 3 2 3−=− +=− =− (do 230 − > ) 8. Rút gọn : a. () 1 12 1 2 2 + ++ −+= x xx xA b. 242 4816Bx x x=−+ + + Giải a. A = 1 1 1 x x x + +− + 8 1 1 khi x > -1 1 1 1 khi x<-1 1 khi x > 1 -x khi x < -1 x x x x x x x + ⎧ +− ⎪ ⎪ + = ⎨ + ⎪ −−+ ⎪ + ⎩ − ⎧ = ⎨ ⎩ b. 242 4816Bx x x=−+ + + 24222 481644xxxxx−+ + + = −+ + 22 44 xx=−++ (do x 2 + 4 >0) 2 2 x = 9. Tìm x biết: a) 2 x = 7 b) 8 2 −=x c) 9 4 =x d) 2 x = 3x – 8. Giải a. 2 x = 7 77xx⇔=⇔=± b. 2 888xxx=− ⇔ = ⇔ =± c. 42 99 3xxx=⇔ =⇔=± d. 2 x = 3x – 8 38 4 38 38 2 xx x xx xx x = −= ⎡⎡ ⇔=−⇔ ⇔ ⎢⎢ = −+ = ⎣⎣ 10. Chứng tỏ: 1414 −=+ 4949 −=+ 916916 −=+ Hãy viết tiếp =+ 1625 =+ 2536 Giải Ta có : ( ) ( ) () 4141 41 41 41 21 41 VP +− − += = =−= − − Tương tự các em chứng minh các đẳng thức tiếp theo 9 Luyện tập 11. Tính a) 49:1962516 + b) 16918.3.2:36 2 − c) 81 d) 22 43 + Giải a) 16 25 196 : 49 4.5 14:7 10+=+= b) 222 36: 2.3 .18 169 36: 3 .6 13 11−= −=− c) 81 9 3 = = d) 22 34 255+= = 12. Tìm x để căn thức sau có nghóa a) 72 +x b) 43 +− x c) x+−1 1 d) 2 1 x+ Giải a. 72 +x có nghóa khi 7 270 2 xx + ≥⇔≥− b. 43 +− x có nghóa khi 4 340 3 xx − +≥⇔≤ c. x+−1 1 có nghóa khi 1 0 10 1 1 10 x x x x ⎧ ≥ ⎪ ⇔ −+ > ⇔ > −+ ⎨ ⎪ −+ ≠ ⎩ d. 2 1 x+ luôn luôn được xác đònh do 1 + x 2 > 0 x ∀ 13. Rút gọn a) 2 2 a − 5a với a < 0 b) 2 25a + 3a với a ≥ 0 c) 4 9a + 3a 2 với a bất kì d) 6 45 a − 3a 3 với a bất kì Giải a) 2 2525257aaaa aa a−= −=−−=− (vì a < 0) 10 b) 2 25 35 3538aaaaaaa + = +=+= (vì a ≥ 0) c) 42222 93336aaaaa+=+= d) 63 33 54 3 10 3aa aa−= − 33 3 33 3 10 3 7 khi 0 10 3 13 khi 0 aa a a aa a a ⎡ −= ≥ = ⎢ −−=− < ⎣ 14. Phân tích thành nhân tử a) x 2 – 3 b) x 2 – 6 c) x 2 + 32 x + 3 d) x 2 − 52 x + 5 Hướng dẫn : x 2 – 3 = x 2 – )3 )(3 ()3( 2 +−= xx Giải b. x 2 – 6 = ( ) ( ) 66xx−+ c. x 2 + 32 x + 3 = ( ) 2 3x + d. x 2 − 52 x + 5= ( ) 2 5x− 15. Giải phương trình a) x 2 – 5 = 0 b) x 2 – 2 11 x + 11 = 0 c) 24 2 += xx d) 12)2( 2 +=+ xx Giải a. x 2 – 5 = 0 2 55xx⇔=⇔=± b. x 2 – 2 11 x + 11 = 0 ( ) 2 11 0 11xx⇔− =⇔= c. 2 22 4222 22 20 xx xx xx x x x ⎧ =+ ⎡ ⎪ ⎢ =+⇔ =+⇔ = −− ⎨ ⎣ ⎪ +≥ ⎩ 2 2 2 2 3 3 2 x x x x x ⎧= ⎡ = ⎡ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎢ ⇔⇔ =− ⎨ ⎢ ⎢ =− ⎣ ⎪ ⎢ ⎣ ⎪ ≥− ⎩ Kết luận : x =2 hay x= 2 3 − 11 d. 2 (2)21 221 x xx x+=+⇔+=+ 1 22 1 1 1 221 1 210 2 x xx x x xx x x ⎧= ⎡ ⎧+= + ⎡ ⎪ ⎢ ⎪⎪ =− ⎢ ⎣ ⇔⇔⇔= +=− − ⎨⎨ ⎣ ⎪⎪ +≥ ≥− ⎩ ⎪ ⎩ 16. Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh sau: 22 2 22 2 55525251 332.3. 915 6 222444 55525251 222.2. 4106 222444 ⎛⎞ ⎛⎞ −=− + =−+=−+= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ −=− + =−+=−+= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Vậy : 22 55 32 22 ⎛⎞⎛⎞ −=− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Khai phương hai vế ta có : 55 32 22 − =− Cộng hai vế trên cho 5 2 ta có : 3 = 2 !!! Giải Bài tóan sai ở chỗ khai phương hai vế, ta có 2 555 333 222 ⎛⎞ −=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ ( do 5 30 2 − > ) 2 555 22 2 222 ⎛⎞ −=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ (do 5 20 2 − < )  Một bài tương tự khác Chứng minh 3 = 4. Hỏi SAI ở đâu ? Giải sử a + b = c ( ) ( ) ( ) ()() 43 43 434343 444333 43 43 ab c aabbcc abcabc abc abc ⇔− +=− ⇔−+−=− ⇔+−=+− ⇔+−=+− ⇔= 12 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Tìm giá trò của x để mỗi biểu thức sau đây có nghóa : a. x−4 d. 54 2 −+− xx b. 2 x6x7−++ e. 4 1 2 −x c. () 1 1 −xx f. 2 8 3 x− Bài 2 Phân tích thành nhân tử : a. 0)a (với ≥− 9a c. 5 2 −a b. 2 47 a− d. 5 a − (với a ≥ 0) Bài 3 Tính : a. 324+ c. 347 − b. 2611+ d. 21027 − Bài 4 Chứng minh rằng : a. () ⎩ ⎨ ⎧ < ≥− =−+ 2x nếu 2 2x nếu )1(2 2 2 x xx b. ⎩ ⎨ ⎧ ≤+ >− =−+− 3x nếu 32x- 3x nếu 3 96 2 xxx Bài 5 Giải các phương trình sau đây : a. 396 2 =+− xx b. () 1296 2 −=+− xxx c. xxx −=+− 4168 2 d. 112 22 −=+− xxx Hướng dẫn : 13 Ñöa veà daïng : BO AB AB AB ≥ ⎧ ⎪ =⇔ = ⎡ ⎨ ⎢ ⎪ = − ⎣ ⎩ . 6 §2. Căn thức bậc haivà hằng đẳng thức AA = 2 Đònh lí: Với mọi số thực a, ta có aa = 2 . Chứng minh: Theo đònh nghóa căn bậc hai số học, ta phải chứng minh () 0 2 2 ≥= avà aa 22 55 32 22 ⎛⎞⎛⎞ −=− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Khai phương hai vế ta có : 55 32 22 − =− Cộng hai vế trên cho 5 2 ta có : 3 = 2 !!! Giải Bài tóan sai ở chỗ khai phương hai vế, ta có 2 555 333 222 ⎛⎞ −=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ . () 2 10x⇔− ≥ Ta được một BĐT luôn đúng với mọi x , vậy căn thức trên luôn xác đònh với mọi x ∈ R e. Ta có : 2 40 , x x+> ∀. Vậy căn thức này luôn xác đònh với mọi x ∈ R 7. Tính