sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, thặng dư thu gọn, thặng dư trung hoa để giải toán số họ

Thông tin tài liệu

sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, thặng dư thu gọn, thặng dư trung hoa để giải toán số họ tài liệu, giáo án, bài giảng , luận...

1 BàiviếtnàycủathầyNguyễnDuyLiênđãđượcđăngtrongTạpchíToánHọcvà TuổiTrẻtronghaisốtháng8và9năm2013.Cảm ơnthầygửiđến chia sẻ với www.laisac.page.tl SỞGIÁODỤCVÀ ĐÀOTẠOVĨNHPHÚC TRƯỜNGTHPTCHUYÊNVĨNHPHÚC BÁOCÁOKẾTQUẢ SÁNGK IẾNK INHNGHIỆM TÊNSÁNGKIẾNKINHNGHIỆM:SỬDỤNGHỆTHẶNGDƯĐẦYĐỦ, THẶNGDƯTHUGỌN,THẶNGDƯTRUNGHOAĐỂGIẢITOÁNSỐHỌC. MÔN :TOÁNHỌC TỔBỘMÔN :TOÁNTIN MÃ :55 NGƯỜITHỰCHIỆN:NGUYỄNDUYLIÊN ĐIỆNTHOẠI:01233045361 Email: lientoancvp@vinhphuc.edu.vn 2 LỜINÓIĐẦU Ngạn ngữ Pháp có câu: "Le Mathématique est le Roi des Sciences mais L’ArithmétiqueestlaReine",dịchnghĩa:"Toánhọclàvuacủacáckhoahọcnhưng SốhọclàNữhoàng".ĐiềunàynóilêntầmquantrọngcủaSốhọctrongđờisốngvà khoahọc.Sốhọcgiúpconngườitacócáinhìntổngquát,sâurộnghơn,suyluận chặtchẽvàtưduysángtạo. TrongcáckìthichọnhọcsinhgiỏicáccấpTHCS,THPTcấptỉnh,cấpQuốc gia,cấpkhu vực, cấp quốc tế,cácbàitoán về Số họcthườngđóngvaitròquan trọng.ChúngtacóthểlàmquennhiềudạngbàitoánSốhọc,biếtnhiềuphương phápgiải,nhưngcũngcóbàichỉcómộtcáchgiảiduynhất.Mỗikhigặpmộtbài toánmớichúngtalạiphảisuynghĩtìmcáchgiảimới.Sựphongphúđadạngcủa các bàitoánSốhọcluôn làsựhấpdẫnđốivớimỗi giáoviên,họcsinhgiỏi yêu toán.Xuấtpháttừnhữngýnghĩđótôiđãsưutầmvàhệthốnglạimộtsốbàitoán đểviếtlênchuyênđề"Sửdụnghệthặngdưđầyđủ,hệthặngdưthugọn,thặngdư TrungHoađểgiảitoán Sốhọc". Chuyênđềgồmcácphần: PhầnI:Kiếnthứccơbản. PhầnII:Ứng dụnghệthặngdưđểgiảitoán · Ứng dụng1: Sửdụnghệthặngdưđểtínhtổng · Ứng dụng2:Sửdụnghệthặngdưtrongcácbàitoánđathức,dãy sốnguyên. · Ứngdụng3:Sửdụnghệthặngdưtrongtậpcontậpsốnguyêndương,bài toánsốhọcchiahết · Ứng dụng4: Sửdụnghệthặngdưtrongphươngtrình Đi ÔPhăng bậcnhất. Phần III:Bàitậptươngtự. Mụctiêuởđâylàmộtsốbàimẫu,mộtsốbàikhácbiệtcănbảnđãnóilên được phần chính yếu của chuyên đề. Tuy vậy, những thiếu sót nhầm lẫn cũng khôngthểtránhkhỏiđượctấtcả,vềphươngdiệnchuyênmôncũngnhưphương diệnsưphạm.Lốitrìnhbàybàigiảicủatôikhôngphảilàmộtlốiduynhất.Tôiđã cốgắngápdụngcáchgiảichophùhợpvớichuyênđề,họcsinhcóthểtheomà khônglạchướng.Ngoàiralúcviếttôiluônluônchúýđếncácbạnvìnhiềulído phảitựhọc,vìvậygiảndịvàđầyđủlàphươngchâmcủatôikhiviếtchuyênđề này. Tôixintrânthànhcảmơncácthầycôgiáo,cácemhọcsinhgópýthêmcho nhữngchỗthôlâuvàphêbìnhchânthànhđểcódịptôisửachữachuyênđềnày hoànthiệnhơn. VĩnhYên,TrungThu,năm2012 NGUYỄNDUYLIÊN 3 PHẦNI.KIẾNTHỨCCƠBẢN 1.Hệthặngdưđầyđủ Chotập { } 1 2 n A a ,a , ,a . = Giảsử i i r ,0 r n 1 £ £ - làsốdưkhichia i a cho i r. Nếutậpsốdư { } 1 2 n r ,r , ,r trùngvớitập { } 0,1, ,n 1 - thìtanóiAlàmộthệthặng dưđầyđủ(gọitắtlàHĐĐ)modunn. Dễ thấy: Tập A lập thành một HĐĐ(modun n) nếu và chỉ nếu: ( ) i j i j a a modn ¹ Þ ¹ . Nếu { } 1 2 n A a ,a , ,a = làHĐĐmodnthìtừđịnhnghĩadễsuyra · Vớimọi mÎZ tồntạiduynhất i a A Î saocho ( ) i a m modn º . · Vớimọi a ÎZ tập { } 1 2 n a A a a ,a a , ,a a + = + + + làHĐĐmodn · Vớimọi cÎZ, ( ) c,n 1 = ,tập { } 1 2 n cA ca ,ca , ,ca = làHĐĐmodn. Tập { } * A 0,1,2, ,n 1 = - làHĐĐmodnkhôngâmnhỏnhất. SốphầntửcủatậpAbằng A n = 2.Hệthặngdưt hugọn. Chotập { } 1 2 k B b ,b , ,b = làmộttậphợpksốnguyênvà ( ) i b ,n 1 = vớimọi i 1,2, ,k = .Giả sử i i i i b q n r ,1 r n = + £ < .Khi đó dễ thấy ( ) i r ,n 1 = . N ếu tập { } 1 2 k r ,r , ,r bằngtập K gồmt ất cả các sốnguyêndươngbé hơn nvà nguyên tố cùngnhauvớinthìBđượcgọilàhệthặngdưthugọnmodn,gọitắtlàHTGmod n. Dễthấytập { } 1 2 k B b ,b , ,b = gồmksốnguyênlậpthànhmộtHTGmodn khivàchỉkhi: 1) ( ) i b ,n 1 = ; 2) ( ) i j b b modn ¹ với1 i j k £ ¹ £ ; 3)SốphầntửcủaBlà ( ) n j (trongđó ( ) n j làhàmƠlecủan. Điềukiện3)tươngđươngvới ' 3 )Vớimọi x Î¢ , ( ) x,n 1 = tồntạiduynhất i b B Î saochox º ( ) i b modn . Từ định nghĩa ta suy ra nếu tập { } 1 2 k B b ,b , ,b = là HTG mod n vớic , Î¢ ( ) c,n 1 = thìtập { } 1 2 k B cb ,cb , ,cb = cũnglàHTGmodn. 4 Ngy xa ngi ta ó s dng H,HTG chng minh cỏc nh lớ le,Fộcma.trongchuyờntakhụngnúilina. 2.nhlýthngdTrungHoa. nh lớthng d Trung Hoa l mt trong nhng viờn Kimcngca toỏn hc .nhlớnyvamangtớnhpmtcaToỏnhcthuntuý,vacúngdngsõu xa.Triquanhiuthii,núccibiờndinhiuhỡnhthc,chocToỏnhc cinlnhini. a)nhlýthngdTrungHoadngngin. Gi r v s lcỏcsnguyờndngnguyờntcựngnhau, a v blhaisnguyờn tuý.Khiútntimtsnguyờn N saocho: ( ) ( ) mod mod N a r N b s ỡ ù ớ ù ợ ngoira, N c xỏcnhduynhttheomodulo rs b)nhlýthngdTrungHoadngtngquỏt. Cho k s nguyờn dng 1 2 3 , , , , k n n n n ụi mt nguyờn t cựng nhau v k s nguyờnbtkỡ 1 2 3 , , , , k a a a a .Khiútntisnguyờn a thomónh: ( ) mod i i a a n vi 1,2, ,i k " = (1).S nguyờn btho món (1) khi v ch khi ( ) modb a n trongú 1 2 3 . k n n n n n = . PHNII.NGDNGHTHNGDGIITON ã ngdng1.Sdnghthngd tớnhtng,snghim camtphngtrỡnh. Vớd1.1. Vimicpsnguyờndngnguyờntcựngnhau ( ) p,q t ( ) p 1 q q 2q S p p p - ộ ự ộ ự ộ ự = + + + ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ ở ỷ L ,trong ú [ ] x l s nguyờn ln nht khụng vt quỏx.Hóyxỏcnhcỏcgiỏtrcap,qSlmtsnguyờnt. Ligii: Vimi a ẻĂ t { } [ ] a a a = - .Khiúvi k ẻƠ tacú k kq r p p ỡ ỹ = ớ ý ợ ỵ õy k r lsdtrongphộpchia kq chopdovy: k 0 r p 1 Ê Ê - , ( ) p 1 1 2 r p 1 q q 2q r r S p p p p p p - - ổ ử = + + + - + + + ỗ ữ ố ứ L L 5 vì ( ) p,q 1 = k r 0 k 1,2, ,p 1 Þ ¹ " = - từ đó ta thấy tập { } 1 2 p 1 A r ,r , ,r - = chính là mộthoánvịcủatập { } A 1,2, ,p 1 = - thậyvậyngượclại: { } i, j 1,2, ,p 1 ,i j $ Î - < mà i j r r = ( ) 1 j i p 2 1 j i p 2 j i q p j i p £ - £ - £ - £ - ì ì Þ Û í í - - î î M M vôlí Từđó p 1 1 2 r r r 1 2 p 1 p 1 p p p p 2 - + + + - - + + + = = L L ( )( ) p 1 q 1 S 2 - - Þ = ( ) 1 Từ ( ) 1 đểSlàsốnguyêntốcầncóp 1,q 1 ¹ ¹ vàítnhất1trong2sốp,qlẻ Trườnghợp1:p,qcùnglàsốlẻ p,q 3,p q Þ ³ ¹ do ( ) p,q 1 = ,kếthợp(1) S Þ làsốchẵnlớnhơn2 S Þ khônglàsốnguyêntố. Trườnghợp2: plàsốchẵnqlàsốlẻ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p,q 1 p 1 1 p 2 q 1 q 2h 1 h 2 S q 3 p,q 1 p t 1 t ,t 2 mod3 p 1 q 1 1 2 é ì ê = ï ê ï - = í ê = é ì ï ê - ê í ï ÎÃ ê = + ÎÃ î ê î ê ÎÃÛ Û ê ê = ì ì ï ê ê í = ï ê = + ÎÃ º / ê ï î ï ë - ÎÃ ê í ê ï - ê ï = î ë (2) ởđâykíhiệu Ãlàtậpsốnguyêntố Trườnghợp3:qlàsốchẵnplàsốlẻdotínhđốicủap,qcủabiểuthứcxácđịnhS theotrườnghợp2: ( ) ( ) ( ) p 2m 1 m q 2 p 3 q n 1 n ,n 2 mod3 é = + ÎÃ ì êí = î ê ê = ì ï ê í ê = + ÎÃ º / ï î ë (3) Vậytómlạitấtcảcácgiátrịp,qcầntìmlàcáccặpxácđịnhở(2)và(3). Vídụ1.2.Tínhtổng: k 2006 k 4 17 S 11 = é ù = ê ú ë û å . Lờigiải: Nhậnxét1:nếu ( ) a r modb º ,vớia,b,r ,0 r b 1 Î £ £ - Z thì a a r b b - é ù = ê ú ë û 6 Nhnxột2:Vỡ ( ) 10 17 1 mod11 nờntp { } 10t 10t 1 10t 9 B 17 ,17 , ,17 + + = l HTG mod 11núlmthoỏnvcatp { } 1,2, ,10 . Nhnxột3: mi [ ] i 09 ẻ ầ Z gi i nl s phn t ca tp hp ( ) { } i D k 4 k 2006,k i mod10 = ẻ Ê Ê Z kimtratadthy: 4 5 6 n n n 201, = = = v 0 1 2 3 7 8 9 n n n n n n n 200 = = = = = = = . Tcỏcnhnxộtsuyra: ( ) 2006 k k 2006 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k 4 k 1 17 n 6n 3n 7n 9n 10n 5n 8n 4n 2n 17 11 11 = = - + + + + + + + + + ộ ự = ờ ỳ ở ỷ ồ ồ ( ) 2003 10 4 j 1 17 1 17 . 9 10 15 200 j 17 1 11 = - - + + - - = ồ 2007 17 259905 176 - = . Vy 2007 17 259905 S 176 - = Vớd1.3.Chom,nl2snguyờndngnguyờntcựngnhauvimchnvnl .Chngminhrng:Tng ( ) mk n 1 n k 1 mk S 1 . n - ộ ự ờ ỳ ở ỷ = ỡ ỹ = - ớ ý ợ ỵ ồ 1 2n + khụngphthucvom,n. Ligii: Tachngminhrng ( ) mk n 1 * n k 1 mk 1 1 S 1 . n 2 2n - ộ ự ờ ỳ ở ỷ = ỡ ỹ = - = - ớ ý ợ ỵ ồ Tacú: k mk mk n r n ộ ự = + ờ ỳ ở ỷ trongú { } k 0 r n 1 k 1,2, ,n 1 Ê Ê - " ẻ - . Tathyrng: a) Do ( ) { } k m,n 1 r 0 k 1,2, ,n 1 = ị ạ " ẻ - tútp { } 1 2 n 1 B r ,r , ,r - = lmthoỏnvcatp: { } 1,2, ,n 1 - . b) k mk r n n ỡ ỹ = ớ ý ợ ỵ vik 1,2, ,n 1 = - . c) Vimchnnl ( ) k mk r mod2 n ộ ự ờ ỳ ở ỷ . Tú ( ) ( ) k nk r m 1 1 k 1,2,3, ,n 1 ộ ự ờ ỳ ở ỷ - = - " = - ( ) ( ) ( ) k n 1 r * k k 1 1 S 1 r 2 4 n 1 1,3, ,n 2 n - = = - = + + + - - - ộ ự ở ỷ ồ L L 1 1 2 2n = - (pcm) Vớd1.4. Choplsnguyờnt ( ) ( ) p 3 mod8 p 5 mod8 ,vp=2q+1 ( ) qẻ 7 Tớnhtng p 1 2 4 2 S - = w + w + + w L (vi 1 w ạ lnghimcapt: p 1 w = ) Ligii: ( ) p 3 mod8 ị 2khụnglschớnhphngmodp 2 1 p ổ ử = - ỗ ữ ố ứ ( ) ( ) ( ) ( ) p 1 * q 2q 2 2 1 modp 2 1 modp 2 1 mod p - - - ị .Gihlcpca2theo modp ( ) h 2 1 modp ị .Vytacú h p 1 2q - = doqẻ h 1 h 2 h q h 2q ị = = = = . ã h 1 = ( ) ( ) 2 1 mod p 1 0 modp ị (loi) ã h 2 = ( ) 2 2 1 mod p p 3 q 1 ị ị = ị = khụnglsnguyờnt(loi) ã h q = ( ) ( ) ** q 2 1 modp ị t(*),(**) ( ) 2 0 modp ị p 2 ị = (loi) ã h 2q p 1 = = - ị 2lcnnguyờnthumodp ị { } 1 2 p 1 A 2 ,2 , ,2 - = lHTG modpnúlmthoỏnvcatp { } 1,2,3, ,p 1 - tútacútng ( ) p 1 p 1 2 4 2 2 p 1 1 S 1 - - - w w - = w + w + + w = w+ w + + w = w - L L p 1 1 1 1 w -w - w = = = - w - w- Vớd1.5. Cho p l s nguyờn t l vi mi i 1,2, ,p 1 = - .Kớ hiu: ( ) p i i r modp ( i rphn d ca p i khi chia cho p).Tớnh tng : 1 2 p 1 S r r r - = + + + L . Ligii: ( ) ( ) ( ) 1 p 1 2 p 2 p 1 1 2S r r r r r r - - - = + + + + + + L tacú ( ) p p i p i r r i p i i 1,2, ,p 1 - + = + - " = - m ( ) p p p 1 p 1 2 p 2 2 p 11 p 1 p p p i p i p C p i C p i C pi - - - - + - = - + + + L do ( ) i p p C 0 modp i 1,2, ,p 1 ẻị " = - ( ) 2 i p i r r 0 mod p - ị + m 2 2 2 i p i i p i 0 r p ,0 r p r r p i 1,2, ,p 1 - - < < < < ị + = " = - .Tútathuc ( ) 2 3 2 p 1 p p p S 2 2 - - = = . Vớd1.6 Tỡmsnguyờndngnhnhtcútớnhcht:Chia7d5,chia11d7vchia13d3. Gii 8 Xét hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 5 mod7 7 mod11 3 mod13 x x x º ì ï º í ï º î ta có ( ) ( ) ( ) 7,11 11,13 13,7 1 = = = nên theo địnhlýthăngdưTrunghoahệtrêncó1nghiệmlà 3 1 j j j j a N b a = = å trongđó 1 1 2 2 3 3 7, 11 13143, 11, 13.7 91, 13, 7.11 77n N n N n N = = × = = = = = = .Nêntacó: ( ) 1 1 1 1 3 1 mod7 2N b b b º º Þ = - tươngtự 2 3 4, 1b b = = - vậy ( ) ( ) 143. 2 .5 91.4.7 77. 1 .3 887a = - + + - = .Tấtcảcácnghiệmcủahệcódạng ( ) 887 1001b t t = + Î¥ .Vậysốcầntìmlà887. Vídụ1.7. Cho m làmộtsốnguyêndương,tìmsốnghiệmcủaphươngtrình: ( ) 2 modx x m º . Giải.Giảsử ( ) 1 2 1 2 , k k i i m p p p p a a a = ÎÃ a Î¥ .Tacó ( ) 2 modx x m º khivàchỉkhi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 mod 1,2, , 1 0 mod 1,2, , i i i i x x p i k x x p i k a a º " = Û - º " = Vì ( ) ( ) ( ) , 1 1 : 1 0 mod i i x x pt x x p a - = Þ - º cóhainghiệmmodulo i i p a là ( ) 0 mod i i x p a º và ( ) 1 mod i i x p a º .TheođịnhlíthặngdưTrungHoa,vớimỗibộ 1 2 , , , k a a a .Hệphươngtrình ( ) mod 1,2, , i i i x a p i k a ì º ï í = ï î luôncónghiệmduynhấtmodulo m . Do mỗiphương trình. ( ) ( ) 1 0 mod i i x x p a - º đềucó hai nghiệm modulo i i p a nên phươngtrìnhđãchocó 2 k nghiệm. Vídụ1.8(VMO2008) Cho 2008 2007 .m = Hỏicóbaonhiêusốnguyêndương n m £ thoảmãn điềukiện: ( )( ) 2 1 5 2n n n m + + M . Giải: Tacó 2008 2008 4016 2008 1 2 9 .223 3 .223 . .m n n = = = Do ( ) 10, 1m = nên ( )( ) 2 1 5 2n n n m + + M ( )( ) ( )( ) ( )( ) |10.5.2 . 2 1 5 2 10 10 5 10 4 | 5 4m n n n n n n m x x x Û + + = + + Û + + trong đó 10x n = .Tacó ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 0 mod10 | 5 4 5 4 0 mod 5 4 0 mod x m x x x x x x n x x x n º ì ï + + Û + + º í ï + + º î Vì3khônglàướcchungcủa , 4, 5x x x + + nên ( )( ) ( ) 1 5 4 0 modx x x n + + º khivà chỉkhi ( ) 1 1 modx r n º ởđó { } 1 0, 4, 5r Î - - .Tươngtự ( )( ) ( ) 2 5 4 0 modx x x n + + º khivàchỉkhi ( ) 2 2 modx r n º ởđó { } 1 0, 4, 5r Î - - . Vậy ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 | 2 5 5 4 0 mod10 ; mod ; modm n n n x x r n x r n + + Û º º º .(1) 9 Vậycácsố n m £ thoảmãn điềukiện bằngsốcácsố 1 2 10 .x n n £ thoảmãn(1).Với mỗicáchchọn { } { } 1 2 0, 4, 5 & 0, 4, 5r r Î - - Î - - theođịnhlíTrungHoatacóduy nhấtmộtsố 1 2 10 .x n n £ thoảmãn(1).Vậycó9sốthoảmãn điềukiệnbàira. · Ứngdụng2 :Sửdụngh ệthặngdưtrong cácbàitoánđa thức,dãysống uyên… Vídụ2.1.Chosốnguyêndươngnvàsốnguyêntốplớnhơnn+1.Chứngminh rằngđathức ( ) 2 p x x x P x 1 n 1 2n 1 pn 1 = + + + + + + + L khôngcónghiệmnguyên. Lờigiải: ( ) p p 1 2 p p 1 2 1 0 P x 0 a x a x a x a x a 0 - - = Û + + + + + = L (*)trongđó ( )( ) ( ) ( ) i n 1 2n 1 pn 1 a i 0,1,2, ,p in 1 + + + = Î = + Z .Từgiảthiết ( ) p,n 1 = Þ Tập { } A 1.n 1,2.n 1, ,p.n 1 = + + + là HĐĐ mod p k Þ $ duy nhất { } k 1,2, ,p Î saocho ( ) kn 1 0 modp + º hơnnữa 2 k 1,0 kn 1 p kn 1 ¹ < + < Þ + M 2 p . Vìvậyvớisốkđócó k a M pđồngthờiphệsốcònlạitrongđócó 0 1 a ,a của pt(*)đềuchiahếtchopnhưngkhôngchiahếtcho 2 p (**). Giảsửpt(*)cónghiệmnguyên x c = .Khiđó: p p 1 2 p p 1 2 1 0 a c a c a c a c a 0 - - Þ + + + + + = L , theo(**)thì { } i a p i 0,1,2, ,0 ,i k,k 0;1 " Î ¹ ¹ M .Từđósuyra k k a c pM (do p ) ÎÃ { } ( ) k i 2 2 i 1 c p c p a c p i 2,3, p & a c p Þ Þ Þ " Î M M M M vì 1 a p,c pM M .Từđósuy ra 2 0 a pM mâuthuẫnvới(**)vậyđiềugiảsửlàsai,tứclàpt(*)khôngcónghiệm nguyên ( ) P x Û khôngcónghiêmnguyên(đpcm). Vídụ2.2.Chođathức ( ) 3 2 P x x 11x 87x m = - - + trongđó mÎZ.Chứng minh rằngvớimọimtồntạisốnguyênnsaocho ( ) P n 191M . Lờigiải: Bổđề:Cho ( ) ( ) ( ) 3 3 p ,p 2 mod3 , x,y ,x y modp x y modp ÎÃ º " Î º Þ º Z Thậtvậy: · Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x 0 modp y 0 modp y 0 modp x y mod p º Þ º Þ º Û º · Nếu x p y p / / Þ M M ,do ( ) ( ) p 2 mod3 p 3k 2 k º Þ = + Î¥ ,theođịnh lí Fécma: ( ) ( ) p 1 3k 1 p 1 3k 1 x x 1 mod p , y y 1 mod p - + - + = º = º 10 ( ) 3k 1 3k 1 x y modp + + Þ º theogiảthiết ( ) ( ) 3 3 3k 3k x y modp x y mod p º Þ º Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 3k 1 3k 3k y x.x x.y modp x y modp do y,p 1 + º º Û º = Trởlạibàitoán: ( ) 3 2 P n n 11n 87n m = - - + Tachứngminh ( ) ( )( ) 1 2 P n P n mod191 º với 1 2 n ,n ÎZ thì ( ) 1 2 n n mod191 º .Thật vậydo ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 P n P n mod191 27P n 27P n mod191 º Û º Û ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 2 2 3n 11 18.191n 11 27m 3n 11 18.191n 11 27m mod191 - - + + º - - + + ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 3n 11 3n 11 mod191 Û - º - theobổđềtacó: ( ) ( ) 1 2 1 2 3n 11 3n 11 mod191 n n mod191 - º - Û º (do(27,191)=(3,191)=1) { } 1 2 n ,n A 1,2, ,191 " Î = A là HĐĐ mod191 thoả mãn 1 2 n n ¹ thì ( ) ( )( ) 1 2 P n P n mod191 º / . ( ) ( ) ( ) { } * A P 1 ,P 2 , ,P 191 Û = làHĐĐmod191 Từđósuyra { } n A 1,2, ,191 $ Î = saocho ( ) ( ) P n 191 mod191 º ( ) P n 191 Û M .Vậyvớimọimtồntạisốnguyênnsaocho ( ) P n 191M . Vídụ2.3. Chodãysố { } n n 1 a +¥ = đượcxácđịnhbởi 1 n n 1 n 2 a 1,a a a - é ù ê ú ë û = = + với n 2,3, " = Chứngminhrằngdãy { } n n 1 a +¥ = chứavôsốsốnguyênchiahếtcho7. Lờigiải: Phảnchứng.Giảsửchỉcóhữuhạnsốtrongdãychiahếtcho7và k a làsố cuốicùngcủadãychiahếtcho7,khiđótừcôngthứcxácđịnhcủadãytacó: 2k 2k 1 k 2k 1 2k k a a a ;a a a - + = + = + nên ( ) 2k 1 2k 2k 1 a a a b mod7 - + º º º , ( ) b 0 mod7 º / ( ) bÎZ Mặtkhác: 4k 3 4k 3 a a 0.b - - = + ( ) 4k 2 4k 3 2k 1 4k 3 a a a a 1.b mod7 - - - - = + º + ( ) 4k 1 4k 2 2k 1 4k 3 a a a a 2.b mod7 - - - - = + º + ( ) 4k 4k 1 2k 4 k 3 a a a a 3.b mod7 - - = + º + ( ) 4k 1 4k 2 k 4k 3 a a a a 4.b mod7 + - = + º + ( ) 4k 2 4k 1 2k 1 4k 3 a a a a 5.b mod7 + + + - = + º + ( ) 4k 3 4k 2 2k 1 4k 3 a a a a 6.b mod7 + + + - = + º + do ( ) b,7 1 = Þtập { } 6 4k 3 i 0 A a ib - = = + làHĐĐmod7 nêntrongbảysố: 4k 3 4k 2 4 k 1 4k 4k 1 4 k 2 4 k 3 a ;a ;a ;a ;a ;a ;a - - - + + + tồntaimộtsốchiahết cho7màsốnàylạilớnhơn k a mâuthuẫnvới k a làsốcuốicùngcủadãychiahết cho7.Điềugiảsửsainêntacóđpcm.

Ngày đăng: 31/07/2014, 07:45

Xem thêm: sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, thặng dư thu gọn, thặng dư trung hoa để giải toán số họ, sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, thặng dư thu gọn, thặng dư trung hoa để giải toán số họ

sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, thặng dư thu gọn, thặng dư trung hoa để giải toán số họ

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan