Luận văn Đề tài: Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng Lời cảm ơn Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Kiều Thanh Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn “Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng” được hoàn thành, không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Kiều Thanh Hà Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . 6 1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . 6 1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Hàm biến phức . . . 9 1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Khai triển tiệm cận. . 21 1.3.1. Một số khái niệm bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.5. Tính chất của khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 2. HÀM SINH BỞI CHUỖI VÔ HẠN . . . . . . . . . 39 2.1. Lý thuyết cơ bản về phân hoạch . . . 39 2.1.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2. Các hàm sinh bởi tích vô hạn một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.3. Biểu diễn đồ thị của các phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Các hàm sinh bởi chuỗi vô hạn . 49 1 2.3. Ứng dụng của phân hoạch . . 57 Chương 3. TIỆM CẬN CỦA HÀM SINH BỞI TÍCH VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1. Biến đổi Mellin . . . 62 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Định lý của Meinardus . . . 65 3.3. Các ứng dụng của định lý 3.1. . . 75 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết phân hoạch có lịch sử khá lâu trong những thời kỳ hình thành của lý thuyết số Toán học. Tuy nhiên, những phát hiện mang tính chất đột phá diễn ra ở thế kỷ XVIII, xuất phát từ những công trình nghiên cứu của nhà toán học vĩ đại Leonard Euler. Ngay sau thời kỳ đó lý thuyết phân hoạch đã được nhiều nhà toán khác góp sức nghiên cứu và phát triển. Chúng ta có thể kể ra ở đây để minh chứng cho vấn đề đã nêu qua các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng Cayle, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanu- jan, Schur và Sylvester Lý thuyết phân hoạch có nhiều áp dụng trong những vấn đề lớn của toán học, đáng kể ở đây ta có thể nói đến bài toán kinh điển về phân tích số nguyên dưới dạng tổng các bình phương, định lý số nguyên tố, tổng các số nguyên khác, Cùng với sự phát triển trên đây của lĩnh vực lý thuyết số, một hướng nghiên cứu cũng được hình thành từ khá sớm là lý thuyết giải tích tiệm cận. Trong giải tích toán học nhiều chuỗi số ta có thể chứng minh hội tụ của nó một cách đơn giản, tuy nhiên để tính tổng của nó thì không hề đơn giản. Giải tích tiệm cận và một phần trong lĩnh vực là lý thuyết chuỗi tiệm cận. Ở đây, ngoài việc quan tâm đến việc tính tổng của các chuỗi số hội tụ, trong lý thuyết số các nhà toán học còn nghiên cứu đến chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị của một đại 3 lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" của chuỗi. Trường hợp điển hình là đối với chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự mang đến hiệu quả mong muốn. Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhưng những số hạng bắt đầu tăng trở lại. Một trong các hướng nghiên cứu vấn đề này được gọi là lý thuyêt chuỗi tiệm cận. Việc nghiên cứu sự xấp xỉ tiệm cận của các hàm sinh bởi phân hoạch của số nguyên là một hướng thu hút sự chú ý của các nhà Toán học. Để hoàn thành luận văn đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích và được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài "Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận. Vấn đề khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một cách cụ thể về một số khái niệm, tính chất của phân hoạch. Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số ứng dụng của nó. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phân hoạch số nguyên. Vấn đề khai triển tiện cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Trình bày về lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận. Nghiên cứu một cách có hệ thống về khai triẻn tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số áp dụng. 5 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Số phức và mặt phẳng phức 1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i 2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu x = Rez, y = Imz. Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng nhất với mặt phẳng R 2 bởi phép tương ứng C → R 2 z = x + iy → (x, y). Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i 2 = −1. Ta có z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) và z 1 .z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ). 6 Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là |z| =  x 2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là ¯z = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez = z + ¯z 2 ; Imz = z − ¯z 2i và |z| 2 = z.¯z; 1 z = ¯z |z| 2 với z = 0. Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e iθ với r > 0, θ ∈ R được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2π) và e iθ = cos θ + i sin θ. Bởi vì   e iθ   = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng z = r.e iθ và w = s.e iϕ thì z.w = r.s.e i(θ+ϕ) . 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức Dãy số phức {z n } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là w = lim n→∞ z n ⇔ lim n→∞ |z n − w| = 0. Dễ dàng kiểm tra rằng w = lim n→∞ z n ⇔      lim n→∞ Rez n = Rew, lim n→∞ Imz n = Imw. 7 [...]... được cho bởi phương trình tham số z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π] 19 và hướng âm được cho bởi phương trình z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương Định nghĩa 1.1 Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ Tích phân của hàm f dọc theo γ được xác định bởi b f (z)dz = γ f (z(t)).z (t)dt a Chúng ta thấy tích phân vế... liên tục vì tích phân này là O b1 = 0 và ∞ f (t) − b0 − a0 − f (x) = b1 dt t x Từ (v), ta có ∞ a0 − f (x) ∼ n=1 bn+1 nxn khi x → +∞ Nhưng chúng ta biết rằng ∞ a0 − f (x) ∼ − n=1 an xn Bởi vì một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận là duy nhất, nên ta có bn+1 = −nan , nghĩa là ∞ f (x) ∼ − n=2 30 (n − 1)an−1 xn khi x → +∞ Nói cách khác, khai triển tiệm cận được xác định bởi các số hạng của khai triển của... dùng phép đổi biến thành điểm giới hạn vô cùng bởi 1 Chúng ta sẽ giả thiết rằng điều này luôn đúng và chỉ xét z∗ = z − z0 những khai triển tiệm cận khi z → ∞ trong góc α < phz < β; hoặc trong trường hợp f (z) là một hàm số biến số thực x, khi x → +∞ hoặc x → −∞ Trường hợp đơn giản nhất của dãy khai triển tiệm cận khi z → ∞ là φ(z) Nếu một hàm f (z) có một khai triển tiệm cận tương ứng với zn ∞ a n dãy... t > a và là O t t → +∞, tích phân của F (x) tồn tại với x > a Bởi vì Từ f (t) − a0 − ∞ m F (x) = x n=2 an +O tn 1 1 t2 khi dt tm+1 nên với mỗi số nguyên m ≥ 2, ta có m F (x) = n=2 an +O (n − 1)xn−1 1 xm m−1 = n=1 an+1 +O nxn 1 xm khi x → +∞ và ta có các kết quả sau (vi) Nếu f (x) là một hàm có đạo hàm liên tục f (x) và f (x) có một chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → +∞, thì khai triển tiệm cận của nó là... nó không hội tụ Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm cận Chẳng hạn, khi z → ∞ thì 1 ∼ z−1 ∞ n=1 1 1 và ∼ zn z−1 ∞ n=1 z+1 z 2n Trong các ví dụ này các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận Ví dụ nếu 1 1 1 − π + δ ≤ phz ≤ π − δ, với 0 < δ < π; 2 2 2 hai hàm 1 1 , + e−z z+1 z+1 có cùng khai triển tiệm cận ∞ n=1 (−1)... (hoặc có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa ∞ an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho n=0 ∞ an (z − z0 )n f (z) = n=0 với mọi z trong lân cận của điểm z0 Nếu f (z) có khai triển chuỗi lũy thừa tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f (z) giải tích trên Ω Từ định lý 1.6, ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh hình trên đó 1.2.4 Tích phân phức... |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối (ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được tính bởi công thức 1 1 = lim sup |an | n R n→∞ Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là đĩa hội tụ Chú ý Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng có thể phân kỳ Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn... cùng được coi là một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy 1 1 Một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy được gọi là zn zn một chuỗi lũy thừa tiệm cận Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận Các chuỗi lũy thừa tiệm cận và các chuỗi lũy thừa hội tụ có các tính chất tương tự nhau Các kết quả chính được trình bày dưới đây, trước hết cho trường hợp biến thực Giả sử f (x) và g(x) có các khai triển tiệm cận... + a1 bn−1 + · · · + an−1 b1 + an b0 xn n=0 Thật vậy, với mỗi số nguyên dương N ta có f (x) = a0 + a1 aN + ··· + N + O x x g(x) = b0 + b1 bN + ··· + N + O x x 1 , xN +1 1 xN +1 Do đó, bằng phép nhân thông thường ta nhận được f (x).g(x) = c0 + cN c1 + ··· + N + O x x 1 xN +1 Cũng từ điều này mỗi lũy thừa nguyên dương của f (x) có một khai triển tiệm cận là một chuỗi lũy thừa và vì vậy mỗi một đa thức... = F (ω2 ) − F (ω1 ) γ Hệ quả 1.2 Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω Nếu hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì f (z)dz = 0 γ Hệ quả 1.3 Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f = 0 thì f là hàm hằng 1.3 Khai triển tiệm cận 1.3.1 Một số khái niệm bậc Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E Landau và P Du Bois Reymond và chúng được định nghĩa như sau 21 Định nghĩa 1.2 Giả sử f (z) và . của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một cách cụ thể về một số khái niệm, tính chất của phân hoạch. Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. chọn đề tài " ;Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận. Vấn đề khai triển tiệm. số ứng dụng của nó. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phân hoạch số nguyên. Vấn đề khai triển tiện cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài