Chương I BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài TÍNH CHẤT CỦA TẬP PHƯƠNG ÁN VÀ TẬP PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tập hợp lồi a) Khái niệm tổ hợp lồi: Giả sử x , x , , x ∈ R Điểm x ∈ R gọi tổ hợp lồi điểm m x , x , , x tồn λ , λ , , λ m ≥ 0, λ + λ + + λ m = 1 m n n x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λm xm Ví dụ 1:Trong R, cho x1=1; x2= Điểm x=3 tổ hợp lồi hai điểm 1; 2 Thật vậy, = + 4, ; ≥ 0; + = 3 3 3 Ví dụ 2: Trong R2, cho tam giác ABC, với A(1,1); B(1,2); C(3;4) Khi trọng tâm G tổ hợp lồi đỉnh A, B, C Vì ta có trọng tâm G(5/3, 7/3) 1 5 7  , ÷ = (1,1) + (1, 2) + (3, 4) 3 3 3 1 1 1 , , ≥ 0; + + = 3 3 3 b) Định nghĩa tập lồi: Tập L ⊆ R gọi tập lồi, ∀ x, y ∈ L ⇒ λ x + (1 − λ ) y ∈ L, ∀ λ ;0 ≤ λ ≤ n Nói cách khác, tập L tập lồi, đoạn thẳng nối hai điểm L nằm gọn L Ví dụ: Trong mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tia, toàn mặt phẳng, nửa mặt phẳng, đa giác lồi, tam giác, hình trịn, hình elip tập lồi Trong không gian, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng, đa diện lồi, hình cầu… tập lồi c) Điểm cực biên tập lồi: Điểm x0 gọi điểm cực biên tập lồi L, nếu: x0 = λ x + (1 − λ ) x , x ; x ∈ L ⇒ x0 = x = x 2 < λ < Ví dụ 1:Trong R, cho đoạn [1, 4] Hai điểm 1; hai điểm cực biên Giải: Giả sử = λ x + (1 − λ ) y, x, y ∈ [1; 4], < λ < Ta chứng minh x=y=1 Thật vậy, từ : x, y ≥ λ ,1 − λ > ⇒ λ x + (1 − λ ) y ≥ λ1 + (1 − λ )1 = Dấu xảy x=y=1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy ta xét tam giác OAB, với O(0;0), A(4;1), B(1,4) Khi điểm O, A, B điểm cực biên Giải: Có thể thấy phương trình cạnh OA, AB, BC là: x − y = 0, x − y = 0, x + y − = Miền tam giác OAB tập điểm (x,y) thỏa hệ bất phương trình: 4 x − y ≥  x − y ≤ x + y ≤  Chẳng hạn chứng minh điểm B(4,1) điểm cực biên B = λ X + (1 − λ )Y , X , Y ∈ ∆OAB, < λ < (4,1) = λ ( x1 , y1 ) + (1 − λ )( x2 , y2 ) Trong ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) thỏa hệ phương trình Từ ta có: 4 = λ x1 + (1 − λ ) x2  1 = λ y1 + (1 − λ ) y2 Có thể chứng minh ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) = (4,1) Ví dụ 3: Hình đa giác lồi; đa diện lồi, đỉnh điểm cực biên Tính chất tốn Quy hoạch tuyến tính: a) Định lý 1: Tập hợp phương án tốn Quy hoạch tuyến tính tập lồi b) Định lý 2: Tập hợp phương án tối ưu toán Quy hoạch tuyến tính tập lồi Tính chất tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tắc: Xét tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tắc: f ( x) → Ax = b x ≥ 0, Trong A ma trận cấp m × n x1 A + x2 A + + xn A = b n a) Định nghĩa 1: Giả sử x = ( x10 , x20 , , xn ) phương án toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc Khi x10 A + x20 A + + xn A = b Ứng với n x j > hệ véctơ { A } gọi hệ véctơ liên kết với x0 j c) Hệ 1: Số phương án cực biên toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc hữu hạn d) Định nghĩa 2: Một phương án cực biên tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tắc gọi không suy biến số thành phần dương m Nếu số thành phần dương m phương án cực biên gọi suy biến Ví dụ: Xét tốn Quy hoạch tuyến tính f = x1 + x2 + x3 →  x1 + x2 − x3 =   x1 − x2 + x3 = x j ≥ 0, j = 1,3 Ta có x = (0,5,5) phương án cực biên tốn, hệ véctơ liên kết 2   −1 với A =  −1÷; A =  ÷ hai véctơ     độc lập tuyến tính phương án cực biên tốn, hệ véctơ liên kết với  1 A =  ÷ hệ véctơ độc lập tuyến tính x = (5, 0, 0) 1   Nhưng phương án cực biên khơng suy biến số thành phần dương x = (1, 4, 4) phương án tốn Nhưng khơng phải phương án cực biên, hệ véctơ liên kết với 1    −1 A =  ÷; A =  ÷; A =  ÷  1  −1 2  hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính e) Hệ 2: Số thành phần dương phương án cực biên toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc tối đa m (m số dòng matrận A) f) Định lý 4: Nếu tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tắc có tập phương án khác rỗng có phương án cực biên Các định lý cho cách thành lập phương án cực biên toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc là: - Xác định hệ gồm m véctơ độc lập tuyến tính, hệ véctơ cột A Hệ n! hữu hạn tối đa C = m!(n − m)! hệ - Biểu diễn véctơ b theo hệ trên, ta hệ số biểu diễn Thành lập véctơ x có thành phần hệ số biểu diễn Khi x phương án m n - Loại véctơ x có thành phần âm, véctơ lại phương án cực biên Ví dụ: Tìm tất phương án cực biên tập phương án toán f = x1 + x3 + x4 →  x1 + x3 + x4 =   x2 − x3 + x4 = x j ≥ 0, j = 1, Giải: Có tất véctơ cột A 1  0    1 A =  ÷, A =  ÷, A =  ÷, A =  ÷ 0 1  −1  2 Từ lấy hệ độc lập tuyến tính { A ; A },{ A ; A },{ A ; A }, { A ; A } , { A ; A } ,{ A ; A } 2 3 4 5  b =  ÷theo 1  Biểu diễn véctơ lập tuyến tính này, ta có hệ độc 1 b = 5A + A b = 6A − A b = A + A 2 b = A2 + A3 b = −9 A2 + A4 b = A3 + A4 Từ ta có véctơ thỏa hệ phương trình x = (5,1, 0, 0) x = (6, 0, −1, 0) 1 9 x =  , 0, 0, ÷ 2 2 x = (0, 6,5, 0) x = (0, −9, 0,5) x = (0, 0,3, 2) Loại bỏ véctơ có thành phần âm ta phương án cực biên x = (5,1, 0, 0) x = (0, 6,5, 0) 1 9 x =  , 0, 0, ÷ 2 2 x = (0, 0,3, 2) g) Định lý 5: Nếu toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc có phương án tối ưu có phương án cực biên phương án tối ưu h) Định lý 6: Nếu tập phương án toán Quy hoạch tuyến tính khơng rỗng đa diện lồi tốn có phương án tối ưu phương án cực biên i) Định lý 7: Điều kiện cần đủ để toán Quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu tập phương án không rỗng hàm mục tiêu bị chặn (nếu toán min) bị chặn ( toán max) j) Ghi chú: Từ định lý 7, định lý 5, định lý ta giải tốn QHTT dạng tắc sau: - Kiểm chứng tập phương án khơng rỗng hàm mục tiêu bị chặn - Tìm phương án cực biên - Lần lượt thử phương án cực biên ta suy phương án tối ưu giá trị tối ưu hàm mục tiêu Ví dụ: Giải tốn QHTT f = x1 + x3 + x4 →  x1 + x3 + x4 =   x2 − x3 + x4 = x j ≥ 0, j = 1, Giải: Ví dụ ta xét - Tập phương án không rỗng hiển nhiên - Hàm mục tiêu bị chặn 0, f = x1 + x3 + x4 > Theo định lý tốn có phương án tối ưu Theo định lý toán có phương án cực biên phương án tối ưu Theo ví dụ có tất phương án cực biên là: x = (5,1, 0, 0) 1 9 x =  , 0, 0, ÷ x = (0, 6,5, 0) x = (0, 0,3, 2) 2 2 f ( x ) = f (5,1,0,0) = 2.5 + 1.0 + 5.0 = 10 1 23 9 f ( x ) = f  , 0, 0, ÷ = + 1.0 + = 2 2 2 f ( x ) = 2.0 + + 5.0 = f ( x ) = + 5.2 = 13 Vậy x4 phương án tối ưu toán, giá trị tối ưu Bài tập 1) Cho toán (P) f ( x ) = x1 + x2 →max x1 + x2 ≤  2 x1 +3 x2 ≤12 x1 ; x2 ≥ a) Đưa toán (P) dạng tắc; ta gọi tốn (Q) b) Liệt kê tất phương án cực biên (Q) c) Tìm phương án tối ưu (Q) 2) Tương tự 1) với toán: a) f (x) = 3x1 + 4x + 5x → 6x1 + 3x + 2x ≥ 18  2x1 + 6x + 3x ≥ 23 x j ≥ 0; j = 1,3 b) f ( x) = x1 − x2 → max 3 x1 + x2 ≥   x1 + x2 ≥ 3 x + x ≥  x j ≥ 0; j = 1, ... tốn Quy hoạch tuyến tính: a) Định lý 1: Tập hợp phương án tốn Quy hoạch tuyến tính tập lồi b) Định lý 2: Tập hợp phương án tối ưu tốn Quy hoạch tuyến tính tập lồi 3 Tính chất tốn Quy hoạch tuyến. .. Nếu toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc có phương án tối ưu có phương án cực biên phương án tối ưu h) Định lý 6: Nếu tập phương án toán Quy hoạch tuyến tính khơng rỗng đa diện lồi tốn có phương án. .. phương án tối ưu phương án cực biên i) Định lý 7: Điều kiện cần đủ để toán Quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu tập phương án không rỗng hàm mục tiêu bị chặn (nếu toán min) bị chặn ( toán max)