Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 84 1. Khái niệm tích phân · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là () b a fxdx ò . ()()() b a fxdxFbFa =- ò · Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: ()()() ()() bbb aaa fxdxftdtfuduFbFa ====- òòò · Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: () b a Sfxdx = ò 2. Tính chất của tích phân · a a fxdx ()0 = ò · ()() ba ab fxdxfxdx =- òò · ()() bb aa kfxdxkfxdx = òò (k: const) · [ ] ()()()() bbb aaa fxgxdxfxdxgxdx ±=± òòò · ()()() bcb aac fxdxfxdxfxdx =+ òòò · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì ()0 b a fxdx ³ ò · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì ()() bb aa fxdxgxdx ³ òò 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số [ ] () () ().'()() ubb aua fuxuxdxfudu = òò trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Î K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì: bb b a aa udvuvvdu =- òò Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b a vdu ò dễ tính hơn b a udv ò . II. TÍCH PHÂN Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 85 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: ()()() b a fxdxFbFa =- ò Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò ++ 2 1 3 )12( dxxx b) x xedx x 2 231 1 3 + æö ++ ç÷ èø ò c) ò - 2 1 2 1 dx x x d) 2 2 1 2 x dx x - + ò e) ( ) ò - - + 1 2 2 2 4 4 dx x x f) e xxdx x x 2 2 1 11 æö +++ ç÷ èø ò g) ( )( ) xxxdx 2 1 11+-+ ò h) ( ) xxxxdx 2 2 3 1 ++ ò i) ( ) ò -+ 4 1 43 42 dxxxx k) 2 2 3 1 2 xx dx x - ò l) 2 1 257 e xx dx x +- ò m) 8 3 2 1 1 4 3 xdx x æö ç÷ - ç÷ èø ò Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) 2 1 1 xdx + ò b) dx xx 5 2 22 ++- ò c) x dx x 2 2 0 2 + ò d) x dx x 2 2 0 1+ ò e) x dx x 2 2 3 3 0 3 1+ ò f) xxdx 4 2 0 9. + ò Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) xdx 0 sin2 6 p p æö + ç÷ èø ò b) xxxdx 2 3 (2sin3cos) p p ++ ò c) ( ) xxdx 6 0 sin3cos2 p + ò d) 4 2 0 tan. cos xdx x ò p e) 3 2 4 3tan xdx ò p p f) 4 2 6 (2cot5) xdx + ò p p g) 2 0 1sin dx x + ò p h) 2 0 1cos 1cos x dx x - + ò p i) 2 22 0 sin.cos xxdx ò p k) 3 2 6 (tancot) xxdx - - ò p p l) x dx x 2 2 sin 4 sin 4 p p p p - æö - ç÷ èø æö + ç÷ èø ò m) 4 4 0 cos xdx ò p Baøi 4. Tính các tích phân sau: a) 1 0 dx xx xx ee ee - - - + ò b) 2 2 1 (1). ln xdx xxx + + ò c) x x e dx e 1 2 0 4 2 - + ò Nguyờn hm Tớch phõn Trn S Tựng Trang 86 d) x x e dx e ln2 0 1 + ũ e) x x e edx x 2 1 1 - ổử - ỗữ ốứ ũ f) x x e dx 1 0 2 ũ g) x exdx 2 cos 0 .sin p ũ h) x e dx x 4 1 ũ i) e x dx x 1 1ln+ ũ k) e x dx x 1 ln ũ l) x xedx 2 1 0 ũ m) 1 0 1 1 x dx e+ ũ VN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s Dng 1: Gi s ta cn tớnh () b a gxdx ũ . Nu vit c g(x) di dng: [ ] ()().'() gxfuxux = thỡ () () ()() ubb aua gxdxfudu = ũũ Dng 2: Gi s ta cn tớnh () fxdx ũ b a . t x = x(t) (t ẻ K) v a, b ẻ K tho món a = x(a), b = x(b) thỡ [ ] ()()'()() bb aa fxdxfxtxtdtgtdt == ũũũ b a [ ] ( ) ()().'() gtfxtxt = Dng 2 thng gp cỏc trng hp sau: Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (i bin s dng 1): a) ũ - 1 0 19 )1( dxxx b) x dx x 1 3 23 0 (1) + ũ c) ũ + 1 0 2 5 1 dx x x d) ũ + 1 0 12x xdx e) 1 2 0 1 xxdx - ũ f) 1 32 0 1 xxdx - ũ g) ũ + 32 5 2 4xx dx h) ũ + + 3 0 2 35 1 2 dx x xx i) ln2 0 1 x x e dx e+ ũ f(x) cú cha Cỏch i bin 22 ax - sin, 22 xatt =-ÊÊ pp hoc cos,0xatt =ÊÊ p 22 ax + hoc ax 22 1 + tan, 22 xatt =-<< pp hoc cot,0xatt =<< p 22 xa - {} ,;\0 sin22 a xt t ộự =ẻ- ờỳ ởỷ pp hoc [ ] ,0;\ cos2 a xt t ỡỹ =ẻ ớý ợỵ p p Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 87 k) ( ) x x edx e ln3 3 0 1 + ò l) ò + e x dxx 1 2 ln2 m) ò + e dx x xx 1 lnln31 n) ò + 2 0 22 sin4cos 2sin p dx xx x o) ò + 2 0 2 3 sin1 sin.cos p dx x xx p) ò + 6 0 22 cossin2 2sin p dx xx x Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a) ò - 2 1 0 2 1 x dx b) ò - 1 0 2 2 4 x dxx c) ò - 2 1 22 4 dxxx d) ò + 3 0 2 3x dx e) ò ++ 1 0 22 )2)(1( xx dx f) ò ++ 1 0 24 1xx xdx g) 0 2 1 22 dx xx - ++ ò h) ò - 2 1 3 2 1 dx x x i) ( ) ò + 1 0 5 2 1 x dx k) 2 3 2 2 1 dx xx - ò l) 2 2 2 2 0 1 x dx x- ò m) 2 2 0 2 xxxdx - ò VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò 4 0 2sin p xdxx b) ò + 2 0 2 cos)sin( p xdxxx c) ò p 2 0 2 cos xdxx d) xxdx 2 4 0 cos p ò e) 3 2 4 tan xxdx ò p p f) ò - 1 0 2 )2( dxex x g) dxxe x ò 2ln 0 h) dxxx e ò 1 ln i) ò - 3 2 2 )ln( dxxx k) ò 2 0 3 5sin p xdxe x l) ò 2 0 cos 2sin p xdxe x m) ò e xdx 1 3 ln o) dxxx e ò 1 23 ln p) ò e e dx x x 1 2 ln q) dxxex x )1( 0 1 3 2 ò - ++ (). b x a Pxedx ò ().cos b a Pxxdx ò ().sin b a Pxxdx ò b a Pxxdx ().ln ò u P(x) P(x) P(x) lnx dv x edx cos xdx sin xdx P(x)dx Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 88 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò - 2 0 2 dxx b) xxdx 2 2 0 - ò c) xxdx 2 2 0 23 +- ò d) xdx 3 2 3 1 - - ò e) ( ) xxdx 5 2 22 - + ò f) x dx 3 0 24 - ò g) 4 2 1 69 xxdx -+ ò h) ò +- 3 0 23 44 dxxxx i) 1 1 4 xdx - - ò Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) ò - p 2 0 2cos1 dxx b) 0 1sin2. xdx p - ò c) xdx 2 2 sin p p - ò d) 1sin xdx - - ò p p e) 2 0 1cos xdx + ò p f) 0 1cos2 xdx + ò p g) 3 22 6 tancot2 xxdx +- ò p p h) 3 3 2 coscoscos xxxdx - - ò p p i) 2 0 1sin xdx + ò p VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò + 3 1 3 xx dx b) ò +- 1 0 2 65xx dx c) ò ++ 3 0 2 3 12xx dxx d) ( ) ò + 1 0 3 21 dx x x e) ( ) ò - 3 2 9 2 1 x dxx f) ò + 4 1 2 )1( xx dx g) ò - 4 2 )1(xx dx h) ( ) ò ++ + 1 0 2 65 114 xx dxx i) 1 3 0 1 1 xx dx x ++ + ò k) 0 32 2 1 2699 32 xxx dx xx - -++ -+ ò l) 3 2 3 2 333 32 xx dx xx ++ -+ ò m) 1 2 3 0 (31) x dx x + ò Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) ò +- 2 0 2 22xx dx b) ( ) ò + + 3 0 2 2 1 23 dx x x c) ò + +++ 2 0 2 23 4 942 dx x xxx d) 1 22 0 1 (2)(3) dx xx++ ò e) 1 3 2 0 1 1 xx dx x ++ + ò f) 1 4 0 1 x dx x+ ò Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 89 g) 2 4 1 1 (1) dx xx+ ò h) 2 2008 2008 1 1 (1) x dx xx - + ò i) 3 4 22 2 (1) x dx x - ò k) 2 2 0 1 4 dx x+ ò l) 2 2 4 1 1 1 x dx x - + ò m) 1 4 2 0 2 1 x dx x - + ò VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) 2 2 0 1 1 x dx x + - ò b) ò + + 3 7 0 3 13 1 dx x x c) 10 5 21 dx xx ò d) ò ++ - 1 0 132 34 dx x x e) 6 2 2141 dx xx +++ ò f) ò -+ 2 1 11 dx x x g) ò ++ 1 0 1 xx dx h) ò ++ 1 0 2 3 1 dx xx x i) ò + 2 0 5 4 1 dx x x k) ò + 22 0 2 1dxxx l) ò + 1 0 23 1dxxx m) 3 53 2 0 1 xx dx x + + ò n) 23 2 5 4 dx xx + ò o) 2 3 2 2 1 dx xx - ò p) 2 3 1 1 dx xx + ò Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) 1 22 0 1 xxdx + ò b) 3 2 22 1 1 1 x dx xx + + ò c) 1 23 0 (1) dx x+ ò d) 2 2 1 2008 xdx + ò e) 3 32 0 10 xxdx - ò f) 1 2 0 1 xdx + ò g) 1 2 1 11 dx xx - +++ ò h) 2 2 1 2008 dx x + ò i) 1 3 2 0 1 xdx xx ++ ò k) 2 2 23 0 (1) dx x- ò l) 2 2 2 2 0 1 xdx x - ò m) 5 4 2 1 1248 xxdx ò Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) 2 0 cos 7cos2 xdx x + ò p b) 2 2 0 sincoscos xxxdx - ò p c) 2 2 0 cos 2cos xdx x + ò p d) 2 6 35 0 1cossincos xxxdx - ò p e) 2 0 sin2sin 13cos xx dx x + + ò p f) 3 0 cos 2cos2 xdx x + ò p Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 90 g) 2 2 0 cos 1cos xdx x + ò p h) 3 2 4 tan cos1cos x dx xx p p + ò i) 2 0 sin2sin 13cos xx dx x p + + ò Baøi 4. Tính các tích phân sau: a) ln3 0 1 x dx e + ò b) ln2 2 0 1 x x edx e + ò c) 1 13lnln e xx dx x + ò d) ln3 2 ln2 ln ln1 x dx xx+ ò e) 0 23 1 (1) x xexdx - ++ ò f) ln2 3 0 (1) x x edx e + ò g) ln3 0 (1)1 x xx e dx ee+- ò h) 1 0 x xx e dx ee - + ò i) ln2 0 1 x edx - ò VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò 4 0 cos.2sin p xdxx b) ò 4 0 tan p xdx c) dxx ò p 0 2 sin d) ò 2 0 3 sin p xdx e) 2 33 0 (sincos) xxdx + ò p f) xdx 2 0 cos3 p ò g) 2 24 0 sincos xxdx ò p h) ò 2 0 32 cossin p xdxx i) 2 45 0 sincos xxdx ò p k) ò + 2 0 cos31 sin p dx x x l) dx x 2 0 1 cos1 p + ò m) ò + 2 0 cos1 cos2sin p dx x xx n) 3 2 0 cos 1cos x dx x + ò p o) p p ò 3 4 6 sin.cos dx xx p) 3 3 4 sin.cos dx xx p p ò q) 3 2 2 0 sin 1cos x dx x + ò p r) 4 3 0 tan xdx ò p s) p ò 3 4 0 tan xdx Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) ò - 2 0 53 cossincos1 p xdxxx b) ò + ++ 2 6 cossin 2cos2sin1 p p dx xx xx c) dx xx x ò + 3 4 2 cos1cos tan p p d) 2 44 0 cos2(sincos) xxxdx + ò p e) ò + 4 0 sin )cos(tan p dxxex x f) ( ) dxxx ò + 2 0 3 2 2sinsin1 p Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 91 g) 3 0 sin.ln(cos) xxdx p ò h) 3 4 225 0 sin (tan1).cos x dx xx p + ò i) 3 22 3 1 sin9cos dx xx p p - + ò Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) 2 3 1 sin dx x ò p p b) 2 0 2cos dx x - ò p c) 2 0 cos 2cos x dx x - ò p d) 2 0 cos 1cos x dx x + ò p e) 2 0 1 2sin dx x + ò p f) 2 0 sin 2sin x dx x + ò p g) 2 0 1 sincos1 dx xx++ ò p h) 2 2 sincos1 sin2cos3 xx dx xx - -+ ++ ò p p i) p p æö + ç÷ èø ò 4 0 coscos 4 dx xx k) 2 2 0 (1sin)cos (1sin)(2cos) xx dx xx - +- ò p l) p p p æö + ç÷ èø ò 3 4 sincos 4 dx xx m) p p p æö + ç÷ èø ò 3 6 sinsin 6 dx xx Baøi 4. Tính các tích phân sau: a) ò - 2 0 cos)12( p xdxx b) ò + 4 0 2cos1 p x xdx c) ò 3 0 2 cos p dx x x d) 2 3 0 sin xdx ò p e) 2 2 0 cos xxdx ò p f) 2 21 0 sin2. x xedx + ò p g) 2 1 cos(ln) xdx ò h) x dx x 3 2 6 ln(sin) cos p p ò i) 2 2 0 (21)cos xxdx - ò p k) 22 0 sin x exdx ò p l) 4 2 0 tan xxdx ò p m) 2 0 sincos xxxdx ò p n) 2 2 sin3 0 sincos x exxdx ò p o) 4 0 ln(1tan) xdx + ò p p) ò 4 0 4 cos p x dx VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò + 1 0 1 x x e dxe b) ò + 2ln 0 5 x e dx c) 1 0 1 4 x dx e + ò Nguyờn hm Tớch phõn Trn S Tựng Trang 92 d) ũ + 8ln 3ln 1 dx e e x x e) ln8 2 ln3 1. xx eedx + ũ f) ũ + - 2ln 0 1 1 dx e e x x g) 2 1 1 1 x dx e - - ũ h) 2 2 0 1 x x e dx e + ũ i) 1 0 1 x x e dx e - - + ũ k) 2 1 ln (ln1) e x dx xx+ ũ l) 1 2 0 1 x x e dx e - - + ũ m) ln3 0 1 1 x dx e + ũ Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau: a) ũ 2 0 sin p xdxe x b) ũ 2 0 2 dxxe x c) ũ - 1 0 dxxe x d) ũ + 2 0 cos)cos( p xdxxe x e) ( ) ũ + 1 0 1ln dxxx f) 2 1 1ln e x dx x + ũ g) 2 lnln(ln) e e xx dx x + ũ h) ũ ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + + e dxx xx x 1 2 ln 1ln ln i) 3 2 ln(ln) e e x dx x ũ k) 2 2 1 ln x dx x ũ l) 3 2 6 ln(sin) cos x dx x ũ p p m) 1 0 ln(1) 1 x dx x + + ũ VN 9: Mt s tớch phõn c bit Dng 1. Tớch phõn ca hm s chn, hm s l ã Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s l trờn [a; a] thỡ ()0 a a fxdx - = ũ ã Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s chn trờn [a; a] thỡ 0 ()2() aa a fxdxfxdx - = ũũ Vỡ cỏc tớnh cht ny khụng cú trong phn lý thuyt ca SGK nờn khi tớnh cỏc tớch phõn cú dng ny ta cú th chng minh nh sau: Bc 1: Phõn tớch 0 0 ()()() aa aa Ifxdxfxdxfxdx ==+ ũũũ 0 0 ();() a a JfxdxKfxdx - ổử ỗữ == ỗữ ốứ ũũ Bc 2: Tớnh tớch phõn 0 () a Jfxdx - = ũ bng phng phỏp i bin. t t = x. Nu f(x) l hm s l thỡ J = K ị I = J + K = 0 Nu f(x) l hm s chn thỡ J = K ị I = J + K = 2K Dng 2. Nu f(x) liờn tc v l hm chn trờn R thỡ: 0 () () 1 x fx dxfxdx a - = + ũũ aa a (vi a ẻ R + v a > 0) chng minh tớnh cht ny, ta cng lm tng t nh trờn. 0 0 ()()() 111 xxx fxfxfx Idxdxdx aaa ==+ +++ ũũũ aa aa 0 0 ()() ; 11 xx fxfx JdxKdx aa - ổử ỗữ == ỗữ ++ ốứ ũũ a a tớnh J ta cng t: t = x. Trn S Tựng Nguyờn hm Tớch phõn Trang 93 Dng 3. Nu f(x) liờn tc trờn 0; 2 ộự ờỳ ởỷ p thỡ 22 00 (sin)(cos) fxdxfxdx = ũũ pp chng minh tớnh cht ny ta t: 2 tx =- p Dng 4. Nu f(x) liờn tc v ()() fabxfx +-= hoc ()() fabxfx +-=- thỡ t: t = a + b x c bit, nu a + b = p thỡ t t = p x nu a + b = 2 p thỡ t t = 2 p x Dng 5. Tớnh tớch phõn bng cỏch s dng nguyờn hm ph xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x) ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm ca cỏc hm s f(x) g(x) d xỏc nh hn so vi f(x). T ú suy ra nguyờn hm ca f(x). Ta thc hin cỏc bc nh sau: Bc 1: Tỡm hm g(x). Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f(x) g(x), tc l: 1 2 ()()() (*) ()()() FxGxAxC FxGxBxC ỡ +=+ ớ -=+ ợ Bc 3: T h (*), ta suy ra [ ] 1 ()()() 2 FxAxBxC =++ l nguyờn hm ca f(x). Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 1): a) 753 4 4 4 1 cos xxxx dx x - -+-+ ũ p p b) ( ) p p - ++ ũ 2 2 2 cosln1 xxxdx c) 1 2 1 2 1 cos.ln 1 x xdx x - ổử - ỗữ + ốứ ũ d) ( ) 1 2 1 ln1 xxdx - ++ ũ e) - -+ ũ 1 42 1 1 xdx xx f) 1 4 2 1 sin 1 xx dx x - + + ũ g) 5 2 2 sin 1cos x dx x - + ũ p p h) 2 2 2 4sin xdx x p p - - ũ i) 2 2 2 cos 4sin xx dx x p p - + - ũ Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 2): a) 1 4 1 21 x x dx - + ũ b) 1 2 1 1 12 x x dx - - + ũ c) 1 2 1 (1)(1) x dx ex - ++ ũ d) 2 sin 31 x x dx - + ũ p p e) ũ - + + 3 3 2 21 1 dx x x f) 1 2 1 (41)(1) x dx x - ++ ũ g) 2 2 sinsin3cos5 1 x xxx dx e - + ũ p p h) 66 4 4 sincos 61 x xx dx - + + ũ p p i) 22 2 2 sin 12 x xx dx - + ũ p p Baứi 3. Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 3): a) 2 0 cos cossin n nn x dx xx + ũ p (n ẻ N * ) b) 7 2 77 0 sin sincos x dx xx + ũ p c) 2 0 sin sincos x dx xx + ũ p [...]... -3 x - 1 b) y = x , y = 2 - x , y = 0 a) y = , y = 0, x = 0 x -1 c) y = e x , y = 2, x = 1 d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0 e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2 f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11 g) y = x 2 , y = x2 27 , y= x 27 h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8 k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15 i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0 Baứi 3 Tớnh din tớch... cos x.sin 2 xdx l) 0 p 2 0 1 n) sin x ũ sin x - cos x dx ũ ex x -x -1 e + e p 2 cos x ũ sin x - cos x dx 0 p 2 sin 4 x ũ sin 4 x + cos4 x 0 p 2 0 dx f) ũ sin6 x + cos6 x dx p 2 cos 4 x ũ sin 4 x + cos4 x dx 0 i) p 2 0 1 ũ x -x -1 e - e 1 dx o) ex ũ dx e- x x -x -1 e + e sin x ũ sin x + cos x dx c) 6 cos x p 2 ũ 2sin 2 x.sin 2 xdx 0 1 m) ũ e- x -x x -1 e - e dx dx VN 10: Thit lp cụng thc truy hi b Gi... 1 a) y = x, y = , y = 0, x = e b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p x c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x, x = 0 d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4 e) y = x, y = 0, y = 4 - x f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1 g) y = x , y = 2 - x , y = 0 h) y = a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 1 -2 x , y = e- x , x = 1 e Baứi 4 Tớnh din tớch hỡnh phng... sau: a) y = x 2 - 4 x - 5, y = 0, x = -2 , x = 4 c) y = 1 + ln x , y = 0, x = 1, x = e x ln x 1 , y = 0, x = , x = e x e b) y = ln x d) y = 2 x , y = 0, x = e, x = 1 1 f) y = x 3 , y = 0, x = -2 , x = 1 e) y = ln x, y = 0, x = , x = e e x 1 1 g) y = , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 2 1- x4 Baứi 2 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: -3 x - 1 b) y = x , y = 2 - x , y = 0 a)... = tan n-2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x n ỡ ã t ớu = x ợdv = cos x.dx n ỡ ã t ớu = x ợdv = sin x.dx e) I n = ũ x n e x dx ỡu = x n ù ã t ớ x ùdv = e dx ợ f) I n = ũ ln n x.dx n ỡ ã t ớu = ln x ợdv = dx g) I n = ũ (1 - x 2 )n dx ã t x = cos t 0 e 1 1 0 1 h) I n = ũ dx 0 (1 + x 2 )n ã Phõn tớch 1 Tớnh J n = ũ 1 1 k) I n = 0 p 4 dx ũ cosn x dx 0 = (1 + x 2 )n x2 2 n 0 (1 + x ) i) I n = ũ x n 1 - x dx... y = x 2 - 2 x b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 1 -2 x , y = e- x , x = 1 e Baứi 4 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: c) y = 1 2 1 x , y = - x2 + 3 4 2 e) y = x , y = 2 - x 2 d) y = 1 1+ x2 ,y = x2 2 f) y = x 2 - 2 x, y = - x 2 + 4 x Trang 97 ... yờu cu sau: ã Thit lp mt cụng thc truy hi, tc l biu din In theo cỏc In-k (1 Ê k Ê n) ã Chng minh mt cụng thc truy hi cho trc ã Tớnh mt giỏ tr I n c th no ú 0 Baứi 1 Lp cụng thc truy hi cho cỏc tớch phõn sau: Trang 94 Trn S Tựng Nguyờn hm Tớch phõn p 2 a) I n = ũ sin n xdx n -1 ỡ ã t ớu = sin x ợdv = sin x.dx b) I n = ũ cos n xdx n -1 ỡ ã t ớu = cos x ợdv = cos x.dx 0 p 2 0 p 4 c) I n = ũ tan n xdx d)... 2009 x ũ sin2009 x + cos2009 x Trn S Tựng p 2 4 cos x sin 4 x 0 e) 0 ũ cos4 x + sin 4 x dx p dx ũ cos4 x + sin 4 x p 2 p 2 dx f) 0 Baứi 4 Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 4): p a) d) ũ 0 4 - cos p 4 k) 2 x dx b) ũ 0 x + cos x 4 - sin 2 x 2p ũ ln(1 + tan x )dx 0 p g) x.sin x ũ e) 0 p x ũ 1 + sin x dx h) ũ sin 4 x ln(1 + tan x )dx l) 0 p 4 dx 0 p x cos3 xdx 0 p x sin x i) 0 0 ũ x sin x 2 0 9 + 4 cos x ũ x.sin... Tớnh J n = ũ 1 1 k) I n = 0 p 4 dx ũ cosn x dx 0 = (1 + x 2 )n x2 2 n 0 (1 + x ) i) I n = ũ x n 1 - x dx 2n ỡ t ớu = sin t ợdv = sin t.dt đ 1 + x2 (1 + x 2 )n dx - x2 (1 + x 2 )n ỡu = x ù x t ớ dv = dx ù (1 + x 2 )n ợ ỡu = x n ù ã t ớ ùdv = 1 - x dx ợ ã Phõn tớch 1 cos n x = cos x cos n+1 x Trang 95 đ t t = 1 cosn +1 x Nguyờn hm Tớch phõn Trn S Tựng III NG DNG TCH PHN 1 Din tớch hỡnh phng ã Din tớch... honh Hai ng thng x = a, x = b b S = ũ f ( x ) dx l: (1) a ã Din tớch S ca hỡnh phng gii hn bi cỏc ng: th ca cỏc hm s y = f(x), y = g(x) liờn tc trờn on [a; b] Hai ng thng x = a, x = b b S = ũ f ( x ) - g( x ) dx l: (2) a Chỳ ý: ã Nu trờn on [a; b], hm s f(x) khụng i du thỡ: b ũ f ( x ) dx = a b ũ f ( x )dx a ã Trong cỏc cụng thc tớnh din tớch trờn, cn kh du giỏ tr tuyt i ca hm s di du tớch phõn Ta . 1 1 x xx e dx ee - - - ò m) 1 1 x xx e dx ee - - - - ò n) 1 1 x xx e dx ee - - + ò o) 1 1 x xx e dx ee - - - + ò VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi Giả sử cần tính tích phân (,) b n a Ifxndx = ò . các tích phân sau: a) ò - 2 0 2 dxx b) xxdx 2 2 0 - ò c) xxdx 2 2 0 23 +- ò d) xdx 3 2 3 1 - - ò e) ( ) xxdx 5 2 22 - + ò f) x dx 3 0 24 - ò g) 4 2 1 69 xxdx -+ ò h) ò +- 3 0 23 44. ,20,0 yxxyy = +-= = e) 22 2,21,2 yxyxxy == = f) 2 45,24,411 yxxyxyx =-+ =-+ =- g) 2 2 27 ,, 27 x yxyy x === h) 22 2,44,8 yxyxxy == = i) 2 2,2210,0 yxxyy =++== k) 22 65,43,315 yxxyxxyx =-+ - =-+ - =-