TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 Trn S Tựng Khi a din Trang 1 1. Hai ng thng song song a) nh ngha: abP ab ab ,() ỡ è ớ ầ=ặ ợ P b) Tớnh cht ã ()()() ()(),, ()() ()() PQR PQaabcủongqui PRbabc QRc ỡ ạạ ù ù ộ ầ= ị ớ ờ ầ= ở ù ầ= ù ợ PP ã ()() (),() () PQd dab PaQb dadb ab ỡ ầ= ù ộ ẫẫị ớ ờ ở ù ợ PP P ã , ab ab acbc ỡ ạ ị ớ ợ P PP 2. ng thng v mt phng song song a) nh ngha: d // (P) d ầ (P) = ặ b) Tớnh cht ã (),'() () ' dPdP dP dd ỡ ậè ị ớ ợ P P ã () (),()() dP da QdQPa ỡ ị ớ ẫầ= ợ P P ã ()() (),() PQd da PaQa ỡ ầ= ị ớ ợ P PP 3. Hai mt phng song song a) nh ngha: (P) // (Q) (P) ầ (Q) = ặ b) Tớnh cht ã (), ()() (),() Pab abMPQ aQbQ ỡ ẫ ù ầ=ị ớ ù ợ P PP ã ()() ()()()() ()() PQ PRPQ QR ỡ ạ ù ị ớ ù ợ PP P ã ()() ()() ()() QR PQaab PRb ỡ ù ầ=ị ớ ù ầ= ợ P P 4. Chng minh quan h song song a) Chng minh hai ng thng song song Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau: ã Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, ) ã Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba. ã p dng cỏc nh lớ v giao tuyn song song. b) Chng minh ng thng song song vi mt phng chng minh () dP P , ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi mt ng thng d  no ú nm trong (P). c) Chng minh hai mt phng song song Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi hai ng thng trong mt phng kia. CHNG 0 ễN TP HèNH HC KHễNG GIAN 11 I. QUAN H SONG SONG Khi a din Trn S Tựng Trang 2 1. Hai ng thng vuụng gúc a) nh ngha: a ^ b ả ( ) 0 ,90 ab = b) Tớnh cht ã Gi s u r l VTCP ca a, v r l VTCP ca b. Khi ú .0 abuv ^= rr . ã bc ab ac ỡ ÔÔ ị^ ớ ^ ợ 2. ng thng v mt phng vuụng gúc a) nh ngha: d ^ (P) d ^ a, " a è (P) b) Tớnh cht ã iu kin ng thng ^ mt phng: abPabO dP dadb ,(), () , ỡ èầ= ị^ ớ ^^ ợ ã ab Pb Pa () () ỡ ị^ ớ ^ ợ P ã ab ab aPbP(),() ỡ ạ ị ớ ^^ ợ P ã PQ aQ aP ()() () () ỡ ị^ ớ ^ ợ P ã PQ PQ PaQa ()() ()) (),() ỡ ạ ị( ớ ^^ ợ P ã aP ba bP () () ỡ ị^ ớ ^ ợ P ã aP aP abPb () ) ,() ỡ ậ ị( ớ ^^ ợ P ã Mt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti trung im ca nú. Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca on thng ú. ã nh lớ ba ng vuụng gúc Cho (),() aPbP ^è, a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ a 3. Hai mt phng vuụng gúc a) nh ngha: (P) ^ (Q) ã ( ) 0 90 PQ(),()= b) Tớnh cht ã iu kin hai mt phng vuụng gúc vi nhau: () ()() () Pa PQ aQ ỡ ẫ ị^ ớ ^ ợ ã ()(),()() () (), PQPQc aQ aPac ỡ ^ầ= ị^ ớ è^ ợ ã ()() ()() ,() PQ APaP aAaQ ỡ ^ ù ẻịè ớ ù '^ ợ ã ()() ()()() ()() PQa PRaR QR ỡ ầ= ù ^ị^ ớ ù ^ ợ 4. Chng minh quan h vuụng gúc a) Chng minh hai ng thng vuụng gúc chng minh da ^ , ta cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau: ã Chng minh gúc gia a v d bng 90 0 . ã Chng minh 2 vect ch phng ca a v d vuụng gúc vi nhau. ã Chng minh db ^ m ba P . ã Chng minh d vuụng gúc vi (P) v (P) cha a. ã S dng nh lớ ba ng vuụng gúc. II. QUAN H VUễNG GểC Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 3 · Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: · Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). · Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). · Chứng minh d // a và a ^ (P). · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) và (R) ^ (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: · Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q). · Chứng minh · ( ) 0 (),()90 PQ= 1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ ¶ ( ) · ( ) ,',' abab = Chú ý: 0 0 £ ¶ ( ) ab , £ 90 0 b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: · Nếu d ^ (P) thì · ( ) ,() dP = 90 0 . · Nếu () dP ^ thì · ( ) ,() dP = · ( ) ,' dd với d¢ là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 0 0 £ · ( ) ,() dP £ 90 0 c) Góc giữa hai mặt phẳng · ( ) ¶ ( ) () (),(), () aP PQab bQ ì ^ Þ= í ^ î · Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng (), (), aPac bQbc ì Ì^ í Ì^ î Þ · ( ) ¶ ( ) (),(), PQab = Chú ý: · ( ) 00 0(),()90 PQ££ d) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H) trên (Q), j = · ( ) (),() PQ . Khi đó: S ¢ = S.cos j 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng: · Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. · Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất. · Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. III. GÓC – KHOẢNG CÁCH Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 4 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH. · 222 ABACBC += · 22 ABBCBHACBCCH .,. == · 222 111 AHABAC =+ · ABBCCBCBACCACB .sin.cos.tan.cot ==== b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. · Định lí hàm số cosin: 222222 22 222 a=bc2bccosA;bcacaBcababC – cos;.cos +=+-=+- · Định lí hàm số sin: R C c B b A a 2 sin sin sin === · Công thức độ dài trung tuyến: 222222222 222 242424 abc bcacababc mmm;; +++ =-=-=- 2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: · cba hchbhaS . 2 1 . 2 1 . 2 1 === · CabBcaAbcS sin 2 1 sin. 2 1 sin 2 1 === · R abc S 4 = · prS = · ( ) ( ) ( ) Sppapbpc = · DABC vuông tại A: 2 SABACBCAH == · DABC đều, cạnh a: 2 3 4 a S = b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = · ABADsinBAD e) Hình thoi: · 1 2 SABADsinBADACBD == f) Hình thang: ( ) hbaS . 2 1 += (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1 2 SACBD . = IV. Nhắc lại một số công thức trong Hình học phẳng Trn S Tựng Khi a din Trang 5 1. Th tớch ca khi hp ch nht: Vabc = vi a, b, c l ba kớch thc ca khi hp ch nht. 2. Th tớch ca khi chúp: 1 3 ủaựy VSh . = vi S ỏy l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi chúp 3. Th tớch ca khi lng tr: ủaựy VSh . = vi S ỏy l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi lng tr 4. Mt s phng phỏp tớnh th tớch khi a din a) Tớnh th tớch bng cụng thc ã Tớnh cỏc yu t cn thit: di cnh, din tớch ỏy, chiu cao, ã S dng cụng thc tớnh th tớch. b) Tớnh th tớch bng cỏch chia nh Ta chia khi a din thnh nhiu khi a din nh m cú th d dng tớnh c th tớch ca chỳng. Sau ú, cng cỏc kt qu ta c th tớch ca khi a din cn tớnh. c) Tớnh th tớch bng cỏch b sung Ta cú th ghộp thờm vo khi a din mt khi a din khỏc sao cho khi a din thờm vo v khi a din mi to thnh cú th d tớnh c th tớch. d) Tớnh th tớch bng cụng thc t s th tớch Ta cú th vn dng tớnh cht sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz khụng ng phng. Vi bt kỡ cỏc im A, A trờn Ox; B, B' trờn Oy; C, C' trờn Oz, ta u cú: OABC OABC V OAOBOC VOAOBOC ''' ''' = * B sung ã Din tớch xung quanh ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch cỏc mt bờn ã Din tớch ton phn ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch xung quanh vi din tớch cỏc ỏy. Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gúc gia mt bờn v mt ỏy bng a (45 0 < a < 90 0 ). Tớnh th tớch hỡnh chúp. HD: Tớnh h = 1 2 a tan a ị Va 3 1 tan 6 =a Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn SA = a 5 . Mt mt phng (P) i qua AB v vuụng gúc vi mp(SCD) ln lt ct SC v SD ti C v DÂ. Tớnh th tớch ca khi a din ADDÂ.BCCÂ. HD: Ghộp thờm khi S.ABC'D' vo khi ADD'.BCC' thỡ c khi SABCD ị a V 3 53 6 = Baứi 3. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1. Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y. HD: Chia khi SABC thnh hai khi SIBC v AIBC (I l trung im SA) CHNG I KHI A DIN V TH TCH CA CHNG Khi a din Trn S Tựng Trang 6 ị xy Vxy 22 4 12 = Baứi 4. Cho t din ABCD cú cỏc cnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tớnh th tớch t din theo a, b, c. HD: Trong mp(BCD) ly cỏc im P, Q, R sao cho B, C, D ln lt l trung im ca PQ, QR, RP. Chỳ ý: V APQR = 4V ABCD = 1 6 APAQAR ị Vabcbcacab 222222222 2 ()()() 12 =+-+-+- Baứi 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC).Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th tớch khi chúp A.BCNM. HD: 2 2 2 16 25 SAMN SABC V SASMSNSA VSASBSC SB ổử === ỗữ ỗữ ốứ ị a V 3 33 50 = Baứi 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = 7 3 cm. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD. Baứi 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A vi AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA = 5cm. Tớnh th tớch khi chúp S.ABC. Baứi 8. Cho hỡnh t din ABCD cú AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. a) Tớnh khong cỏch t A n mp(BCD). b) Tớnh th tớch t din ABCD. Baứi 9. Cho lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂC cú mp(ABCÂ) to vi ỏy mt gúc 45 0 v din tớch DABC bng 49 6 cm 2 . Tớnh th tớch lng tr. Baứi 10. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cỏc na ng thng Bx, Dy vuụng gúc vi mp(ABCD) v v cựng mt phớa i vi mt phng y. Trờn Bx v Dy ln lt ly cỏc im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y. Baứi 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB =a, AD = a 2 , SA ^ (ABCD). Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC. a) Chng minh mp(SAC) ^ BM. b) Tớnh th tớch ca khi t din ANIB. Baứi 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC). Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB, SC. Tớnh th tớch khi chúp A.BCNM. Trn S Tựng Khi a din Trang 7 Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v ã ASB a = . a) Tớnh din tớch xung quanh hỡnh chúp. b) Chng minh chiu cao ca hỡnh chúp bng 2 1 22 a cot a - c) Tớnh th tớch khi chúp. HD: a) S xq = 2 2 a cot a c) V = 32 1 1 62 acot a - Baứi 2. Cho hỡnh chúp SABC cú 2 mt bờn (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi ỏy. ỏy ABC l tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi mp(SAD) gúc b. a) Xỏc nh cỏc gúc a, b. b) Chng minh: SB 2 = SA 2 + AD 2 + BD 2 . c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp. HD: a) ã ã SBABSD; ab == c) S tp = 22 22 22 1 22 2 aasin (sinsin) cossin cossin b ab ab ab ++ - - V = 3 22 3 asin.sin (cossin) ab ab - Baứi 3. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Mt bờn SAB l tam giỏc u v vuụng gúc vi ỏy. Gi H l trung im ca AB v M l mt im di ng trờn ng thng BC. a) Chng minh rng SH ^ (ABCD). Tớnh th tớch khi chúp SABCD. b) Tỡm tp hp cỏc hỡnh chiu ca S lờn DM. c) Tỡm khong cỏch t S n DM theo a v x = CM. HD: b) K thuc ng trũn ng kớnh HD c) SK = 22 22 744 2 aaaxx ax -+ + Baứi 4. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta ly im S vi SA = 2a. Gi BÂ, D l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABÂDÂ) ct SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ. HD: 8 15 SABC SABC V V  = ị V SAB  C  D  = 3 16 45 a Baứi 5. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) ct SA, SB, SC, SD ln lt ti AÂ, BÂ, CÂ, DÂ. Chng minh: SASCSBSD SASCSBSD +=+  HD: S dng tớnh cht t s th tớch hỡnh chúp Baứi 6. Cho t din u SABC cú cnh l a. Dng ng cao SH. a) Chng minh SA ^ BC. b) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC. ễN TP KHI A DIN Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 8 c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. HD: b) V = 3 2 12 a ; S tp = 2 3 a . Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 và cạnh đáy bằng a. a) Tính thể tích khối chóp. b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. HD: a) V = 3 6 6 a b) S = 2 3 3 a Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là a. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h. b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB). HD: a) S xq = 2 2 4 1 h tan tan a a - ; V = 3 2 4 31 h (tan) a - Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0). a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc. b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC). c) Tính thể tích khối chóp SABCM. d) Với giả thiết 222 xya += . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM. e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên đoạn AD. HD: b) d = 2 2 x c) V = 1 6 ayxa () + d) V max = 3 1 3 24 a Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b. a) Chứng minh: SC 2 = 2 22 a cossin ab - . b) Tính thể tích khối chóp. HD: b) V = 3 22 3 asin.sin (cossin) ab ab - Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF). Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD. Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD) và SD = a . a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). . 3 22 3 asin.sin (cossin) ab ab - Baøi 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. b) Hạ AE. động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB). HD: a) S xq = 2 2 4 1 h tan tan a a - ; V = 3 2 4 31 h (tan) a - Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta. 2 3 4 a S = b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = · ABADsinBAD e) Hình thoi: · 1 2 SABADsinBADACBD