Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 29 a) ( ) ( ) 217452 A B;;,;; b) 432211 AB (;;),(;;) c) 109122034 AB (;;),(;;) - d) 312121 AB (;;),(;;) e) 347532 AB (;;),(;;) f) 423211 AB (;;),(;;) Baøi 8. Cho bốn điểm A, B, C, D. · Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. · Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. · Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. · Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. · Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. a) 253100302312 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 100010001211 A B C D ;;,;;,;;,;; c) ( ) ( ) ( ) ( ) 110021102111 A B C D ;;,;;,;;,;; d) ( ) ( ) ( ) ( ) 200040006246 A B C D ;;,;;,;;,;; e) 231412637548 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) f) 572311944150 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) g) 241101142121 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) h) 324252122423 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) i) 348121526743 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) k) 326244991001 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. · Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. · Tính thể tích khối hộp. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 101212111455 ABDC ;;,;;,;;,';; b) 253100302312 ABCA (;;),(;;),(;;),'(;;) c) 021111000110 ABDA (;;),(;;),(;;;),'(;;) d) 022012111121 ABCC (;;),(;;),(;;),'(;;) Baøi 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. Baøi 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. c) Vẽ SH ^ (ABC). Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều. Baøi 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích các vectơ OIAG , uuruuur theo các vectơ OAOCOD ,, uuuruuuruuur . b) Phân tích vectơ BI uur theo các vectơ FEFGFI ,, uuuruuuruur . Baøi 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phân tích vectơ AE uuur theo các vectơ ACAFAH ,, uuuruuuruuur . b) Phân tích vectơ AG uuur theo các vectơ ACAFAH ,, uuuruuuruuur . Baøi 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng minh rằng MN ^ A¢C. Baøi 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông góc với mặt phẳng (MNP). PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 30 VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): 2222 xaybzcR ()()()-+-+-= Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: 222 ABABAB III xxyyzz xyz;; +++ ===. – Bán kính R = IA = 2 AB . Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J và bán kính R ¢ của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= với 222 0 abcd ++-> thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 222 abcd ++- . Baøi 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 222 8210 xyzxy ++-++= b) 222 48240 xyzxyz ++++ = c) 222 2440 xyzxyz ++ += d) 222 642860 xyzxyz ++-+ = e) 222 1246240 xyzxyz ++-+-+= f) 222 61212720 xyzxyz ++ ++= g) 222 84240 xyzxyz ++-++-= h) 222 340 xyzxy ++-+= i) 222 333631520 xyzxyz +++-+-= k) 222 622100 xyzxyz ++-+-+= Baøi 2. Xác định m, t, a , … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó: a) 2222 2242590 xyzmxmymzm() ++-++-++= b) 2222 23212270 xyzmxmymzm()() ++ +-++= c) 222 2142270 xyzxyz(cos)cos.cos aaa ++++ ++= d) 22222 232412480 xyzxyz(cos)(sin)cos aaa +++-+-+++= e) 222 226380 xyztxyztln.ln ++-+-++= f) 2222 22421580 xyztxtytzt(ln)ln.(ln)ln +++-+++++= Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R: a) 1353 IR(;;),-= b) 5372 IR (;;), -= c) 1325 IR (;;), -= d) 2433 IR (;;), -= Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 31 Baøi 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: a) 241523 IA (;;),(;;) - b) 032000 IA (;;),(;;) - c) 321213 IA (;;),(;;) d) 442000 IA (;;),(;;) e) 412124 IA (;;),(;;) Baøi 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) 241523 AB (;;),(;;) - b) 032241 AB (;;),(;;) c) 321213 AB (;;),(;;) d) 433215 AB (;;),(;;) e) 235413 AB (;;),(;;) f) 625407 AB (;;),(;;) Baøi 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 110021102111 A B C D ;;,;;,;;,;; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 200040006246 A B C D ;;,;;,;;,;; c) 231412637548 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) d) 572311944150 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) e) 623016201410 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) f) 010231222112 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) Baøi 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với: a) 120113201 ABC POxz (;;),(;;),(;;) ()() ì í º î b) 201132320 ABC POxy (;;),(;;),(;;) ()() ì í º î Baøi 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: a) 222 511 24650 I Txyzxyz (;;) (): ì - í ++-+-+= î b) 222 322 24850 I Txyzxyz (;;) (): ì - í ++-+-+= î VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 ). · 1212 IIRR <- Û (S 1 ), (S 2 ) trong nhau · 1212 IIRR >+ Û (S 1 ), (S 2 ) ngồi nhau · 1212 IIRR =- Û (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong · 1212 IIRR =+ Û (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngồi · 121212 RRIIRR -<<+ Û (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn. Baøi 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu: a) 222 222 84240 42450 xyzxyz xyzxyz ì ï ++-+ = í +++ += ï î b) 222 222 1239 6106210 xyz xyzxyz ()()() ì ï ++-+-= í ++ = ï î c) 222 222 241050 46220 xyzxyz xyzxyz ì ï ++-+-+= í ++ +-= ï î d) 222 222 842150 4122250 xyzxyz xyzxyz ì ï ++-+ = í +++ += ï î e) 222 222 26450 62420 xyzxyz xyzxyz ì ï ++ ++= í ++-+ = ï î f) 222 222 42230 64220 xyzxyz xyzxyz ì ï +++-+-= í ++-+ = ï î Baøi 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu: a) 222 2222 21364 4232 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï -+-++= í -+++-=+ ï î b) 222 2222 32181 1233 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï -++++= í -+-+-=- ï î c) 222 2222 22125 1231 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï ++-+-= í +++++=- ï î d) 222 2222 32116 1233 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï +++++= í -+-+-=+ ï î PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 32 VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu 1. Tập hợp điểm là mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó. – Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng: 2222 xaybzcR ()()()-+-+-= hoặc: 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu – Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn: xft ygt zht () () () ì = ï = í ï = î (*) – Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm. – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). Baøi 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho: a) 22 30 MAMB += b) 2 MA MB = c) 222 0 MAMBkk () +=> Baøi 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho: a) 22 124 MAMB += b) 3 2 MA MB = c) · 0 90 AMB = d) MA = MB e) 222 210 MAMBkk ()() +=+> Baøi 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi: a) 222 46231920 xyzxymzm() ++ +-+-= b) 222 2242240 xyzmxyzm() +++-+-++= c) 2222 2421260 xyzxymzm() +++-++++= d) 222 422526210 xyzmxmyzm(cos)(sin)cos ++-+-+-++= e) 2222 2342414520 xyzmxmyzm(cos)(sin)sin +++ + = Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 33 1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng · Vectơ 0 n ¹ r r là VTPT của (a) nếu giá của n r vuông góc với (a). · Hai vectơ ab , r r không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (a). Chú ý: · Nếu n r là một VTPT của ( a ) thì kn r (k ≠ 0) cũng là VTPT của ( a ). · Nếu ab , r r là một cặp VTCP của ( a ) thì [ ] nab , = r rr là một VTPT của ( a ). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 222 00 AxByCzDvôùiABC +++=++> · Nếu (a) có phương trình 0 AxByCzD +++= thì nABC (;;) = r là một VTPT của (a). · Phương trình mặt phẳng đi qua 0000 Mxyz (;;) và có một VTPT nABC (;;) = r là: 000 0 AxxByyCzz ()()() -+-+-= 3. Các trường hợp riêng Chú ý: · Nếu trong phương trình của ( a ) không chứa ẩn nào thì ( a ) song song hoặc chứa trục tương ứng. · Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 xyz abc ++= ( a ) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a): 1111 0 AxByCzD +++= (b): 2222 0 AxByCzD +++= · ( a ), ( b ) cắt nhau Û 111222 ABCABC :::: ¹ · ( a ) // ( b ) Û 1111 2222 ABCD ABCD ==¹ · ( a ) º ( b ) Û 1111 2222 ABCD ABCD === · ( a ) ^ ( b ) Û 121212 0 AABBCC ++= 5. Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng ( a ): Ax + By + Cz + D = 0 ( ) 000 0 222 AxByCzD dM ABC ,() a +++ = ++ III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Các hệ số Phương trình mặt phẳng (a) Tính chất mặt phẳng (a) D = 0 0 AxByCz ++= (a) đi qua gốc toạ độ O A = 0 0 ByCzD ++= (a) // Ox hoặc (a) É Ox B = 0 0 AxCzD ++= (a) // Oy hoặc (a) É Oy C = 0 0 AxByD ++= (a) // Oz hoặc (a) É Oz A = B = 0 0 CzD += (a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy) A = C = 0 0 ByD += (a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz) B = C = 0 0 AxD += (a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz) PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 34 VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng ( a ) ta cần xác định một điểm thuộc ( a ) và một VTPT của nó. Dạng 1: ( a ) đi qua điểm ( ) 000 Mx;y;z có VTPT ( ) nA;B;C = r : ( a ): ( ) ( ) ( ) 000 0 AxxByyCzz -+-+-= Dạng 2: ( a ) đi qua điểm ( ) 000 Mx;y;z có cặp VTCP ab , r r : Khi đó một VTPT của ( a ) là [ ] nab , = r rr . Dạng 3: ( a ) đi qua điểm ( ) 000 Mx;y;z và song song với mặt phẳng ( b ): Ax + By + Cz + D = 0: ( a ): ( ) ( ) ( ) 000 0 AxxByyCzz -+-+-= Dạng 4: ( a ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C: Khi đó ta có thể xác định một VTPT của ( a ) là: nABAC , éù = ëû uuuruuur r Dạng 5: ( a ) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP u r . – Một VTPT của ( a ) là: nAMu , éù = ëû uuur rr Dạng 6: ( a ) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): VTCP u r của đường thẳng (d) là một VTPT của ( a ). Dạng 7: ( a ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d 1 , d 2 : – Xác định các VTCP ab , r r của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( a ) là: [ ] nab , = r rr . – Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2 Þ M Î ( a ). Dạng 8: ( a ) chứa đường thẳng d 1 và song song với đường thẳng d 2 (d 1 , d 2 chéo nhau): – Xác định các VTCP ab , r r của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( a ) là: [ ] nab , = r rr . – Lấy một điểm M thuộc d 1 Þ M Î ( a ). Dạng 9: ( a ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 : – Xác định các VTCP ab , r r của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( a ) là: [ ] nab , = r rr . Dạng 10: ( a ) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b): – Xác định VTCP u r của (d) và VTPT n b r của ( b ). – Một VTPT của ( a ) là: nun , b éù = ëû rrr . – Lấy một điểm M thuộc d Þ M Î ( a ). Dạng 11: ( a ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g): – Xác định các VTPT nn , bg rr của ( b ) và ( g ). – Một VTPT của ( a ) là: nun , bg éù = ëû rrr . Dạng 12: ( a ) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử ( a ) có phương trình: 0 AxByCz+D ++= ( ) 222 0 ABC ++¹ . – Lấy 2 điểm A, B Î (d) Þ A, B Î ( a ) (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách dMk (,()) a = , ta được phương trình (3). – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). Dạng 13: ( a ) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H: – Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của ( a ) là: nIH = uur r Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 35 Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT n r cho trước: a) ( ) ( ) =- M3;1;1,n1;1;2 r b) ( ) ( ) -= M2;7;0,n3;0;1 r c) ( ) ( ) = M4;1;2,n0;1;3 r d) ( ) ( ) -= M2;1;2,n1;0;0 r e) ( ) ( ) = M3;4;5,n1;3;7 r f) ( ) ( ) =- M10;1;9,n7;10;1 r Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: a) 211211 AB (;;),(;;) b) 114205 AB (;;),(;;) c) 234410 AB (;;),(;;) d) 11 A;1;0,B1;;5 22 æöæö ç÷ç÷ èøèø e) 211 A1;;,B3;;1 323 æöæö - ç÷ç÷ èøèø f) 256132 AB (;;),(;;) Baøi 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP ab , r r cho trước, với: a) 123212321 Ma b (;;),(;;),(;;) -==- r r b) 123312034 Mab (;;),;;),(;;) -= = r r c) 134272324 Mab (;;),(;;),(;;) -== r r d) 405613321 Ma b (;;),(;;);(;;) -=-= r r Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( ) b cho trước, với: a) ( ) ( ) ( ) 215 MOxy ;;, b = b) ( ) ( ) 121230 Mxy;;,: b += c) ( ) ( ) 1102100 Mxyz;;,: b +-= d) ( ) ( ) 36510 Mxz;;,: b +-= e) 235250 Mxyz (;;),(): b -+-+= f) 111101020400 Mxyz (;;),(): b -+-= Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) ( ) 215 M ;; b) ( ) 121 M ;; - c) ( ) 110 M ;; - d) ( ) 365 M ;; - e) 235 M (;;) - f) 111 M (;;) g) 110 M (;;) - h) 365 M (;;) - Baøi 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) 124321213 ABC (;;),(;;),(;;) b) 000213421 ABC (;;),(;;),(;;) c) 123243456 ABC (;;),(;;),(;;) d) 352120037 ABC (;;),(;;),(;;) e) 240517111 ABC (;;),(;;),(;;) f) 300050007 ABC (;;),(;;),(;;) Baøi 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C cho trước, với: a) 124321213 ABC (;;),(;;),(;;) b) 000213421 ABC (;;),(;;),(;;) c) 123243456 ABC (;;),(;;),(;;) d) 352120037 ABC (;;),(;;),(;;) e) 240517111 ABC (;;),(;;),(;;) f) 300050007 ABC (;;),(;;),(;;) Baøi 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (b) cho trước, với: a) ( ) 311214 2310 AB xyz (;;),(;;) : b ì í -+-= î b) ( ) 213421 23250 AB xyz (;;),(;;) : b ì í +-+= î c) ( ) 213479 34850 AB xyz (;;),(;;) : b ì í + = î d) ( ) 312312 22250 AB xyz (;;),(;;) : b ì í += î Baøi 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g) cho trước, với: a) ( ) ( ) 12523102310 Mxyzxyz(;;),:,: bg +-+=-++= b) ( ) ( ) 10222030 Mxyzxyz(;;),:,: bg -+ = = c) ( ) ( ) 2402325034850 Mxyzxyz(;;),:,: bg -+-+=+ = d) ( ) ( ) 5173436032530 Mxyzxyz(;;),:,: bg -++=-+-= Baøi 10. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) ( ) ( ) ( ) 123235032510 MPxyzQ: xyz;;,:, +-=-+-= PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 36 b) ( ) ( ) ( ) 21140310 MPxyzQ: xyz;;,:, +-=-+-= c) ( ) ( ) ( ) 34119642704283110 MPxyzQ:xyz;;,:, +=-++= d) ( ) ( ) ( ) 00153250210 MPxyzQxyz;;,:,: -+-= = Baøi 11. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) 2403020 PyzQxyzRxyz ():,():,(): +-=+ =++-= b) 42504502190 PxyzQyzRxy ():,():,(): -+-=+-=-+= c) 320450270 PxyzQxyRxz ():,():,(): -+-=+-=-+= Baøi 12. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) 234023502320 PxyQyzRxyz ():,():,(): +-= =+ = b) 2403020 PyzQxyzRxyz ():,():,(): +-=+-+=++-= c) 2402502360 PxyzQxyzRxyz ():,():,(): + =+++= += d) 320450270 PxyzQxyRxz ():,():,(): -+-=+-=-+= Baøi 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với: a) 20513201232 PxyQxyzMk ():,():,(;;), =-+== VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Baøi 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: a) 23250 34850 xyz xyz ì +-+= í + = î b) 34360 32530 xyz xyz ì -++= í -+-= î c) 55510 33370 xyz xyz ì + = í +-+= î d) 64650 1281250 xyz xyz ì += í = î e) 22450 25 55100 2 xyz xyz ì += ï í += ï î f) 326230 326330 xyz xyz ì = í += î Baøi 2. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: · song song · cắt nhau · trùng nhau a) 3270 7640 xmyz nxyz ì + = í +-+= î b) 52110 350 xymz xnyz ì -+-= í ++-= î c) 2350 6620 xmyz nxyz ì ++-= í += î d) 390 2230 xymz xnyz ì -+-= í ++-= î e) 2350 6620 xyz mxyz ì ++-= í = î f) 3530 2310 xymz xyz ì -+-= í +-+= î g) 20 2430 xmyz xynz ì +-+= í ++-= î h) 2210 320 xnyz xymz ì -+-= í -+-= î i) 33250 22100 xmyz mxymz () () ì +-= í +-+-= î Baøi 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau a) 2720 32150 xymz xyz ì -++= í +-+= î b) 213230 1450 mxmyz mxmyz () () ì ++= í +-+-= î c) 2120 70 mxymz xmyz ì ++-= í +++= î d) 33250 22100 xmyz mxymz () () ì +-= í +-+-= î e) 4330 2710 xyz mxyz ì = í + = î f) 3530 3250 xymz xyz ì -+-= í +++= î Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 37 VN 3: Khong cỏch t mt im n mt mt phng. Khong cỏch gia hai mt phng song song. Hỡnh chiu ca mt im trờn mt phng . im i xng ca mt im qua mt phng. ã Khong cỏch t im M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) n mt phng ( a ): Ax + By + Cz + D = 0 ( ) 000 0 222 AxByCzD dM ABC ,() a +++ = ++ ã Khong cỏch gia hai mt phng song song bng khong cỏch t mt im bt kỡ trờn mt phng ny n mt phng kia. Chỳ ý: Nu hai mt phng khụng song song thỡ khong cỏch gia chỳng bng 0. ã im H l hỡnh chiu ca im M trờn (P) MHncuứngphửụng HP , () ỡ ớ ẻ ợ uuuur r ã im M  i xng vi im M qua (P) 2 MMMH  = uuuuuruuuur Baứi 1. Cho mt phng (P) v im M. ã Tớnh khong cỏch t M n (P). ã Tỡm to hỡnh chiu H ca M trờn (P). ã Tỡm to im M i xng vi M qua (P). a) 2260235 PxyzM ():,(;;) -+-=- b) 5140142 PxyzM ():,(;;) ++-= c) 623120312 PxyzM ():,(;;) -++=- d) 24430234 PxyzM ():,(;;) -++=- e) 40211 PxyzM ():,(;;) -+-=- f) 320124 PxyzM ():,(;;) -+-= Baứi 2. Tỡm khong cỏch gia hai mt phng: a) 2310 2350 xyz xyz ỡ -++= ớ -++= ợ b) 6210 6230 xyz xyz ỡ -++= ớ -+-= ợ c) 2450 3510 xyz xyz ỡ -++= ớ + = ợ d) 4810 4850 xyz xyz ỡ -++= ớ -++= ợ e) 2450 3510 xyz xyz ỡ -++= ớ + = ợ f) 36370 210 xyz xyz ỡ +-+= ớ +-+= ợ Baứi 3. Tỡm tp hp cỏc im cỏch mt phng mt khong bng k cho trc: a) 632703 xyzk , -+-== b) 326504 xyzk , +== c) 6231202 xyzk , -++== d) 2441403 xyzk , -+-== Baứi 4. Tỡm tp hp cỏc im cỏch u hai mt phng: a) 2310 2350 xyz xyz ỡ -++= ớ -++= ợ b) 6210 6230 xyz xyz ỡ -++= ớ -+-= ợ c) 2450 3510 xyz xyz ỡ -++= ớ + = ợ d) 4810 4850 xyz xyz ỡ -++= ớ -++= ợ e) 2450 3510 xyz xyz ỡ -++= ớ + = ợ f) 36370 210 xyz xyz ỡ +-+= ớ +-+= ợ Baứi 5. Tỡm tp hp cỏc im cú t s cỏc khong cỏch n hai mt phng bng k cho trc: a) 22100 24430 2 3 xyz xyz k ỡ + = ù ù +-+= ớ ù = ù ợ b) 6210 6230 1 2 xyz xyz k ỡ -++= ù ù -+-= ớ ù = ù ợ c) 63210 2260 4 7 xyz xyz k ỡ + = ù ù +-+= ớ ù = ù ợ Baứi 6. Tỡm im M trờn trc Ox (Oy, Oz) cỏch u im N v mt phng (P): a) 2250122 PxyzN ():,(;;) ++-=- b) 5140142 PxyzN ():,(;;) ++-= c) 623120312 PxyzN ():,(;;) -++=- d) 24430234 PxyzN ():,(;;) -++=- e) 40211 PxyzN ():,(;;) -+-=- f) 320124 PxyzN ():,(;;) -+-= Baứi 7. Tỡm im M trờn trc Ox (Oy, Oz) cỏch u hai mt phng: a) 10 50 xyz xyz ỡ +-+= ớ -+-= ợ b) 2210 2250 xyz xyz ỡ +-+= ớ ++-= ợ c) 2450 4210 xyz xyz ỡ -++= ớ + = ợ PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 38 d) 4810 4850 xyz xyz ì -++= í -++= î e) 2450 3510 xyz xyz ì -++= í + = î f) 36370 210 xyz xyz ì +-+= í +-+= î Baøi 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q): a) ( ) 1232440 AQxyz;;–,(): += . b) ( ) 312623120 A Qxyz;;–,(): -++= . Baøi 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A một khoảng k cho trước: a) 22502144 QxyzAk ():,(;;), +-+=-= b) 244302343 QxyzAk ():,(;;), -++=-= Baøi 10. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k: a) 323014 Qxyzk():,-+-== b) 4325029 Qxyzk():,+-+== VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( a ), ( b ) có phương trình: ( a ): 1111 0 AxByCzD +++= ( b ): 2222 0 AxByCzD +++= Góc giữa ( a ), ( b ) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT 12 nn , rr . ( ) 12121212 222222 12 111222 nnAABBCC nn ABCABC . cos(),() . . ab ++ == ++++ rr rr Chú ý: · · ( ) 00 090 (),() ab ££. · 121212 0 AABBCC()() ab ^Û++= Baøi 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng: a) 10 50 xyz xyz ì +-+= í -+-= î b) 2210 2250 xyz xyz ì +-+= í ++-= î c) 2450 4210 xyz xyz ì -++= í + = î d) 44270 2450 xyz xz ì +-+= í +-= î e) 2230 22120 xyz yz ì += í ++= î f) 33320 42490 xyz xyz ì -++= í ++-= î Baøi 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng a cho trước: a) 0 213230 1450 90 mxmyz mxmyz () () a ì ++= ï +-+-= í ï = î b) 0 2120 70 45 mxymz xmyz a ì ++-= ï +++= í ï = î c) 0 2250 3230 90 mxmymz mxmyz () () a ì ++-+= ï +-+-= í ï = î d) 0 30 211160 30 mxymz mxmymz()()() a ì -++= ï ++-+ = í ï = î Baøi 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi g b a ,, lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) 1coscoscos 222 =++ gba . 2260235 PxyzM ():,(;;) -+ - =- b) 5 140 142 PxyzM ():,(;;) + +-= c) 62 3120 312 PxyzM ():,(;;) -+ + =- d) 244 302 34 PxyzM ():,(;;) -+ + =- e) 40 211 PxyzM ():,(;;) -+ - =- f) 32 01 24 PxyzM ():,(;;) -+ -= Baứi. a) 222 46 231920 xyzxymzm() ++ +-+ -= b) 222 2 242 240 xyzmxyzm() ++ +-+ -+ += c) 2222 24 2126 0 xyzxymzm() ++ +-+ +++= d) 222 42 2526210 xyzmxmyzm(cos)(sin)cos + +-+ - +-+ += e) 2222 2 342 4 145 20 xyzmxmyzm(cos)(sin)sin +++. = c) 222 244 0 xyzxyz ++ += d) 222 642 860 xyzxyz + +-+ = e) 222 1 24 6 240 xyzxyz + +-+ -+ = f) 222 6121 2720 xyzxyz ++ ++= g) 222 842 40 xyzxyz + +-+ +-= h) 222 340 xyzxy + +-+ = i) 222 333631520 xyzxyz ++ +-+ -=