Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 49 b) { { 12 1322123 dxtytzmtdxtytzt :;;;:';';' =-=+=+=+=+=- c) 12 240230 30260 xyzxymz dd xyxyz :;: ìì + =++-= íí +-=++-= îî VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng. · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng: a) { 213100 dxtytztPxyz:;;;(): ==-=+++-= b) { 32144543650 dxtytztPxyz:;;;(): =-=-= = c) 1291 3520 431 xyz dPxyz:;(): ==+ = d) 113 33250 243 xyz dPxyz:;(): +- ==-+-= e) 1314 2410 823 xyz dPxyz:;(): ==+-+= f) 357160 540 260 xyz dPxz xyz :;(): ì +++= = í -+-= î g) 236100 4170 50 xyz dPyz xyz :;(): ì ++-= ++= í +++= î Baøi 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ^ (P). iv) d Ì (P). a) 123 3250 212 xyz dPxyz mm :;(): -++ ==+ = - b) 131 3250 22 xyz dPxyz mm :;(): + ==++-= - c) 3230 2320 43420 xyz dPxymz xyz :;():() ì -++= -++-= í -++= î d) { 3414312490 dxtytztPmxyzn:;;;():() =+=-=-+-+-+-= e) { 32532223350 dxtytztPmxnyz:;;;():()() =+=-=-++++-= Baøi 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: a) { 23 dxmtytzt :;; =+=-= cắt 250 Pxyz (): -+-= tại điểm có tung độ bằng 3. b) 230 250 xy d yz : ì = í ++= î cắt 2220 Pxyzm (): ++-= tại điểm có cao độ bằng –1. c) 230 3270 xy d xz : ì +-= í = î cắt 0 Pxyzm (): +++= PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 50 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: · Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính. · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng: a) 222 12 2410 211 xyz dSxyzxz:;(): ==++-++= - b) 222 210 1216 230 xyz dSxyz xz :;():()() ì + = -+-+= í = î c) 222 210 22140 20 xyz dSxyzxy xy :;(): ì = ++-+-= í ++= î d) 222 210 421080 20 xyz dSxyzxyz xy :;(): ì = +++ = í ++= î e) { 222 2324220 dxtytztSxyzxyz:;;;(): = ==-++ +-= f) { 222 122324620 dxtytztSxyzxyz:;;;(): =-=+=+++ +-= g) { 222 12424620 dxtytzSxyzxyz:;;;(): =-=-=++ +-= Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S): a) 222 20 1218 20 xyzm dSxyz xy :;():()()() ì += -+-++= í ++= î b) { 222 122410 dxt ymt z tSxyzxz:;;;(): =-=+=+++-++= c) 222 230 2240 210 xy dSxyzxyzm xz :;(): ì = +++-++= í +-= î Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d: a) { 121143242 Idxtytzt (;;);:;; -=+=-=- b) { 121122 Idxtyzt (;;);:;; -=-== c) 211 421 212 xyz Id(;;);: -+- -== d) 12 121 213 xyz Id(;;);: -== - e) 210 121 10 xy Id z (;;);: ì = - í -= î Baøi 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (S), biết: a) d đi qua A(0; 0; 5) Î (S) và có VTCP 122 a (;;) = r . b) d đi qua A(0; 0; 5) Î (S) và vuông góc với mặt phẳng: 32230 xyz ():. a -++= Baøi 5. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với: a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3). b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1). d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2). Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 51 VN 5: Khong cỏch 1. Khong cỏch t im M n ng thng d ã Cỏch 1: Cho ng thng d i qua M 0 v cú VTCP a r . 0 MMa dMd a , (,) ộự ởỷ = uuuuur r r ã Cỏch 2: Tỡm hỡnh chiu vuụng gúc H ca M trờn ng thng d. d(M,d) = MH. ã Cỏch 3: Gi N(x; y; z) ẻ d. Tớnh MN 2 theo t (t tham s trong phng trỡnh ng thng d). Tỡm t MN 2 nh nht. Khi ú N H. Do ú d(M,d) = MH. 2. Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau Cho hai ng thng chộo nhau d 1 v d 2 . ã Cỏch 1: d 1 i qua im M 1 v cú VTCP 1 a r , d 2 i qua im M 2 v cú VTCP 2 a r 1212 12 12 aaMM ddd aa ,. (,) , ộự ởỷ = ộự ởỷ uuuuuur rr rr ã Cỏch 2: Gi A ẻ d 1 , B ẻ d 2 . AB l ng vuụng gúc chung 1 2 ABa ABa ỡ ^ ù ớ ^ ù ợ uuur r uuur r . T ú ta tỡm c A, B. 12 dddAB (,)= Chỳ ý: Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau d 1 , d 2 bng khong cỏch gia d 1 vi mt phng ( a ) cha d 2 v song song vi d 1 . 3. Khong cỏch gia hai ng thng song song bng khong cỏch t mt im thuc ng thng ny n ng thng kia. 4. Khong cỏch gia mt ng thng v mt mt phng song song Khong cỏch gia ng thng d vi mt phng ( a ) song song vi nú bng khong cỏch t mt im M bt kỡ trờn d n mt phng ( a ). Baứi 1. Tớnh khong cỏch t im A n ng thng d: a) 14 23122 41 xt Adyt zt (;;),: ỡ =- ù =+ ớ ù =- ợ b) 22 1261 3 xt Adyt zt (;;),: ỡ =+ ù -=- ớ ù =- ợ c) 21 100 121 xyz Ad(;;),: == d) 211 231 122 xyz Ad(;;),: +-+ == - e) 211 111 122 xyz Ad(;;),: +-+ -== - f) 210 231 3220 xyz Ad xyz (;;),: ỡ + = - ớ +++= ợ Baứi 2. Chng minh hai ng thng d 1 , d 2 chộo nhau. Tớnh khong cỏch gia chỳng: a) { { 12 123232132 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' =-=+= ==+=- b) { { 12 12222534 dxtytztdxtytz:;;;:';'; =+=-=-==-= c) { { 12 32144223412 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' =-=+=-=+=-=- d) 12 2111 322124 xyzxyz dd:;: -+-+ ==== - e) 12 739311 121723 xyzxyz dd:;: ==== PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 52 f) 12 213311 212221 xyzxyz dd:;: +- ==== g) 12 2220220 2240210 xyzxyz dd xyzxyz :;: ìì -+-=+-+= íí +-+=-+-= îî Baøi 3. Chứng minh hai đường thẳng d 1 , d 2 song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a) { { 12 32432445632 =+=+=+=+=+=+ dxt yt zt dxt yt zt :,,;:',',' b) 12 123231 2683912 xyzxyz dd:;: -+-+-+ ==== c) 11 312151 213426 xyzxyz dd:;: +++- ==== d) 12 759 22100 220 314 xyz xyz dd xyz :;: + ì + = == í = - î Baøi 4. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng: a) { 32144543650 dxtytztPxyz:;;;(): =-=-= = b) { 122280 dxtytztPxz:;;;(): =-==+++= c) 210 22450 230 xyz dPxyz xyz :;(): ì -++= -++= í + = î d) 3230 2220 43420 xyz dPxyz xyz :;(): ì -++= = í -++= î VẤN ĐỀ 6: Góc 1. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP 12 aa , rr . Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa 12 aa , rr . ( ) 12 12 12 aa aa aa . cos, . = rr rr rr 2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP 123 aaaa (;;) = r và mặt phẳng ( a ) có VTPT nABC (;;) = r . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( a ) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d ¢ của nó trên ( a ). · ( ) 123 222222 123 AaBaCa d ABCaaa sin,() . a ++ = ++++ Baøi 1. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) { { 12 1213421342 =+=+=+==+=+ dxt yt ztd xt yt zt :,–,;:–',–',' b) 12 124234 212362 xyzxyz dd:;: -+-+-+ ==== c) { 12 23390 953 230 xyz ddxt yt zt xyz :;:;;– ì = ===+ í -++= î d) { 12 220 2314 73170 xz ddxt y zt xyz :;:;–;– ì -+= =+== í -+-= î Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 53 e) 12 122 210 2320 314 xyz xyz dd xz :;: -++ ì + = == í +-= î f) 1 312 211 xyz d : + == và d 2 là các trục toạ độ. g) 12 402310 2100 xyzxyz dd xyzxyz :;: ìì -+-=-+-= íí -++=++= îî h) 12 2340230 32704370 xyzxyz dd xyzxyz :;: ìì -+-=+-+= íí +-+=-++= îî Baøi 2. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: a) 12 7215070 7534034110 xzxyz dd yzxy :;: ìì = = íí ++= = îî b) Baøi 3. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng a: a) { { 0 12 122212260 a =-+=-=+=+=+=+=dxtytztdxtytzmt:;;;:';';'; . b) Baøi 4. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):: a) 113 22100 123 xyz dPxyz:;():––– + === - . b) { 44 1253540 dxytztPxz:;;;(): ==+=+++= c) 4270 310 3720 xyz dPxyz xyz :;():– ì +-+= ++= í +-= î d) 230 34250 2350 xyz dPxyz xyz :;():–– ì +-+= += í -++= î Baøi 5. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1). a) Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau. b) Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC). c) Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD. d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD. Baøi 6. Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5). a) Viết phương trình của các mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC). b) Tính góc tạo bởi SC và (ABC) và góc tạo bởi SC và AB. c) Tính các khoảng cách từ C đến (SAB) và từ B đến (SAC). d) Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC. Baøi 7. Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5). a) Tìm phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính góc tạo bởi SM và NP và góc tạo bởi SM và (ABC). c) Tính các khoảng cách giữa SM và NP, SP và MN. PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 54 VN 7: Mt s vn khỏc 1. Vit phng trỡnh mt phng ã Dng 1: Mt phng (P) i qua im A v ng thng d: Trờn ng thng d ly hai im B, C. Mt VTPT ca (P) l: nABAC , ộự = ởỷ uuuruuur r . ã Dng 2: Mt phng (P) cha hai ng thng song song d 1 , d 2 : Xỏc nh VTCP a r ca d 1 (hoc d 2 ). Trờn d 1 ly im A, trờn d 2 ly im B. Suy ra A, B ẻ (P). Mt VTPT ca (P) l: naAB , ộự = ởỷ uuur rr . ã Dng 3: Mt phng (P) cha hai ng thng ct nhau d 1 , d 2 : Ly im A ẻ d 1 (hoc A ẻ d 2 ) ị A ẻ (P). Xỏc nh VTCP a r ca d 1 , b r ca d 2 . Mt VTPT ca (P) l: [ ] nab , = r rr . ã Dng 4: Mt phng (P) cha ng thng d 1 v song song vi ng thng d 2 (d 1 , d 2 chộo nhau): Xỏc nh cỏc VTCP ab , r r ca cỏc ng thng d 1 , d 2 . Mt VTPT ca (P) l: [ ] nab , = r rr . Ly mt im M thuc d 1 ị M ẻ (P). ã Dng 5: Mt phng (P) i qua im M v song song vi hai ng thng chộo nhau d 1 , d 2 : Xỏc nh cỏc VTCP ab , r r ca cỏc ng thng d 1 , d 2 . Mt VTPT ca (P) l: [ ] nab , = r rr . 2. Xỏc nh hỡnh chiu H ca mt im M lờn ng thng d ã Cỏch 1: Vit phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d. Khi ú: H = d ầ (P) ã Cỏch 2: im H c xỏc nh bi: d Hd MHa ỡ ẻ ớ ^ ợ uuuur r 3. im i xng M' ca mt im M qua ng thng d ã Cỏch 1: Tỡm im H l hỡnh chiu ca M trờn d. Xỏc nh im M Â sao cho H l trung im ca on MM Â . ã Cỏch 2: Gi H l trung im ca on MM Â . Tớnh to im H theo to ca M, M Â . Khi ú to ca im M Â c xỏc nh bi: d MMa Hd ' ỡ ^ ớ ẻ ợ uuuuur r . 4. Xỏc nh hỡnh chiu H ca mt im M lờn mt phng (P) ã Cỏch 1: Vit phng trỡnh ng thng d qua M v vuụng gúc vi (P). Khi ú: H = d ầ (P) ã Cỏch 2: im H c xỏc nh bi: P HP MHncuứngphửụng () , ỡ ẻ ớ ợ uuuur r 5. im i xng M' ca mt im M qua mt phng (P) ã Cỏch 1: Tỡm im H l hỡnh chiu ca M trờn (P). Xỏc nh im M Â sao cho H l trung im ca on MM Â . ã Cỏch 2: Gi H l trung im ca on MM Â . Tớnh to im H theo to ca M, M Â . Khi ú to ca im M Â c xỏc nh bi: P HP MHncuứngphửụng () , ỡ ẻ ớ ợ uuuur r . Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 55 Baøi 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: a) 42 23123 3 xt Adyt zt (;;),: ì =+ ï -=- í ï =+ î b) 2 14312 13 xt Adyt zt (;;),: ì =- ï -=-+ í ï =- î c) 125 423 342 xyz Ad(;;),: -+- -== d) 321 215 213 xyz Ad(;;),: ++- -== e) 210 214 2250 xyz Ad xyz (;;),: ì -+-= - í +++= î f) 3210 324 230 xyz Ad xyz (;;),: ì +-+= - í -+-= î Baøi 2. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d 1 , d 2 : a) { 12 213 23421 321 xyz dxtytztd:;;;: +-+ =+=+=-== b) 12 132214 234234 xyzxyz dd:,: -+-+ ==== c) 12 123231 2683912 xyzxyz dd:;: -+-+-+ ==== d) 12 312151 213426 xyzxyz dd:;: +++- ==== Baøi 3. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d 1 , d 2 : a) { { 12 3123124 dxtytztdxtytzt :;;;:';';' ==-=+=+==+ b) { 12 30 123 210 xyz ddxtytzt xy :;:;; ì +++= =+=-+=- í -+= î c) 12 24020 260270 xyzxz dd xyzyz :;: ìì = = íí +++=++= îî d) 12 210330 10210 xyxyz dd xyzxy :;: ìì ++=+-+= íí -+-=-+= îî Baøi 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2 : a) { { 12 123232132 =-=+= ==+=- dxtytztdxtytzt :;;;:';';' b) { { 12 12222534 =+=-=-==-= dxtytztdxtytz:;;;:';'; c) { { 12 32144223412 =-=+=-=+=-=- dxtytztdxtytzt :;;;:';';' d) 12 2111 322124 -+-+ ==== - xyzxyz dd:;: e) 12 739311 121723 ==== xyzxyz dd:;: f) 12 213311 212221 +- ==== xyzxyz dd:;: g) 12 2220220 2240210 ìì -+-=+-+= íí +-+=-+-= îî xyzxyz dd xyzxyz :;: Baøi 5. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M¢ đối xứng với M qua đường thẳng d: a) 22 1261 3 xt Mdyt zt (;;),: ì =+ ï -=- í ï =- î b) 14 23122 41 xt Mdyt zt (;;),: ì =- ï =+ í ï =- î PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 56 c) 2 2131 12 xt Mdyt zt (;;),: ì = ï -=- í ï =-+ î d) 2 12112 3 xt Mdyt zt (;;),: ì =- ï -=+ í ï = î e) 122 121 212 xyz Md(;;),: -+- -== f) 123 252 221 xyz Md(;;),: ++- == - g) 20 213 250 xyz Md xyz (;;),: ì = - í + = î h) 40 213 220 yz Md xyz (;;),: ì +-= - í += î Baøi 6. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M¢ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): a) 2260235 PxyzM ():,(;;) -+-=- b) 5140142 PxyzM ():,(;;) ++-= c) 623120312 PxyzM ():,(;;) -++=- d) 24430234 PxyzM ():,(;;) -++=- e) 40211 PxyzM ():,(;;) -+-=- f) 320124 PxyzM ():,(;;) -+-= BÀI TẬP ÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Baøi 1. Tìm trên trục Ox điểm M cách đều đường thẳng D : 2 2 2 1 1 + == - zyx và mặt phẳng 220 xyz (): a = . Baøi 2. Cho 2 điểm A(1; 0; 0) và B(0; 2; 0). Viết phương trình của mp )( a qua AB và tạo với mp(Oxy) một góc 60 0 . Baøi 3. Viết phương trình của đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm trong mp )( a : x – y + z – 5 = 0 và hợp với đường thẳng D : 2 2 2 1 zyx = - = một góc 0 45 . Baøi 4. Gọi )( a là mặt phẳng qua A(2; 0; 1) và B(–2; 0; 5) và hợp với mp(Oxz) một góc 45 0 . Tính khoảng cách từ O đến mp )( a . Baøi 5. Chứng minh rằng 2 đường thẳng 1 D : 4 5 3 2 2 1 - = - + = - zyx và 2 D : ï î ï í ì = += += tz ty tx 31 22 37 cùng nằm trong một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng ấy. Baøi 6. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng 122 322 xyz d: + == - a) Chứng minh rằng đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng. b) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA + IB nhỏ nhất. Baøi 7. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3). 1) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó. 2) Tìm điểm M sao cho : 2230 MAMBMCMD +-+= uuuruuuruuuruuuur r . 3) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD. 4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, BC. 5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oz. 6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và B và vuông góc với mặt phẳng 230 xyz – += . 7) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0, x + 2y – 3z = 0. 8) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm I , J, K sao cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ nhất. 9) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 57 các điểm I , J, K sao cho OI + OJ + OK nhỏ nhất. 10) Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng x + 2y – 3z = 0. 11) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và qua giao tuyến của hai mặt phẳng : (P): 40 xyz – ++= , (Q): 310 xyz –– += . 12) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng : 131 342 xyz + == - . 13) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: 211 321 xyz ++- == và tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d. 14) Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P): 31030 xy ++= . 15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): 40 xyz ––– = và vuông góc với đường thẳng D: 131 213 xyz + ==. 16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng: 3 24 xy z ==+ . 17) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P): 2320 xyz –– += sao cho PA + PB nhỏ nhất. 18) Chứng minh rằng đường thẳng AB và đường thẳng d : 31 313 xyz == cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm N thuộc d sao cho NA + NB nhỏ nhất. 19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng d 1 : 31 121 xyz == và cắt đường thẳng d 2 : 15 33 xytzt ;; ì =-=-+= í î . 20) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): 30 xyz – += . 21) Tính góc tạo bởi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD). 22) G là trọng tâm DABC, G’ là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P): 2330 xyz – ++= . Chứng minh rằng: 222 GAGBGC ¢¢¢ ++ nhỏ nhất khi và chỉ khi G' là hình chiếu của G lên (P). Tìm toạ độ điểm G’. 23) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc mp(Oxy) 24) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): 222 24650 xyzxyz ++ = tại B. 25) Lập phương trình mặt phẳng qua A, B và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: 222 42650 xyzxyz ++-+-+= . 26) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 58 Để giải các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. Bước 2: Dựa vào giả thiết bài toán xác định tọa độ các điểm có liên quan. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán. Chú ý: Thông thường ta dựa vào các yếu tố đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chọn hệ trục Oxyz sao cho dễ xác định toạ độ các điểm liên quan. Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu của O trên (ABC). 1. Chứng minh DABC có ba góc nhọn. 2. Chứng minh H là trực tâm DABC. 3. Chứng minh 2222 1111 OHOAOBOC =++. 4. Gọi · ( ) · ( ) · ( ) OABABCOBCBCAOACACB (),(),(),(),(),() abg ===. Chứng minh 222 1 coscoscos. abg ++= Giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0) 1. Chứng minh DABC có ba góc nhọn: Ta có  2 000 ABACabaca.(;;)(;;)= => uuuruuur  · BAC Þ nhọn Tương tự: · · ABCACB , nhọn. Vậy DABC có ba góc nhọn. 2. Chứng minh H là trực tâm DABC: Ta có phương trình mp (ABC): 10 xyz bcxacyabzabc abc ++=Û++-= OHABC OHABCunbcacab () ()(;;) ^Þ== rr Þ Phương trình đường thẳng OH: xbct yacttR zabt () ì = ï =Î í ï = î Thay x, y, z vào phương trình mp(ABC): 222222 bcacabtabc ()++= V. GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ MỘT SỐ VÍ DỤ C B A x z y H O . thẳng d: a) { 121 143242 Idxtytzt (;;);:;; -= + =-= - b) { 121 122 Idxtyzt (;;);:;; -= -= = c) 211 421 212 xyz Id(;;);: -+ - -= = d) 12 121 213 xyz Id(;;);: -= = - e) 210 121 10 xy Id z (;;);: ì . d) 12 2111 32 2124 -+ -+ ==== - xyzxyz dd:;: e) 12 739311 121 723 ==== xyzxyz dd:;: f) 12 213311 2122 21 +- ==== xyzxyz dd:;: g) 12 2220220 2240210 ìì -+ -= +-+ = íí +-+ =-+ -= îî xyzxyz dd xyzxyz :;:. (P): a) 2 260 235 PxyzM ():,(;;) -+ - =- b) 5140142 PxyzM ():,(;;) + +-= c) 62 3120 312 PxyzM ():,(;;) -+ + =- d) 24430234 PxyzM ():,(;;) -+ + =- e) 40211 PxyzM ():,(;;) -+ - =- f) 32 0124 PxyzM ():,(;;) -+ -=