Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn . b 2 2 2 3 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + . . c 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + . Hướng dẫn : . a 2 3 3( ) ( ) 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca      + + = + + ≤ + + ⇒ + + ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 1 2 1 1 2 a b ab a ab a a ab b b b a b b b   ⇒    + − = = − + + + ≥ − + + ≥ Tương tự : 2 2 2 2 2 2 , 2 2 1 1 1 1 b bc bc c ca ca b b c c c c a a = − ≥ − = − ≥ − + + + + Cộng vế theo vế : 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca a b c b c a ≥ − = + + + + ≥ + + − + + + . Cho 3 số thực dương , , a b c thoả mãn . . 1 a b c = . Chứng minh rằng : . a 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + + . . b 1 1 1 1 2 2 2 a b c + + ≤ + + + Hướng dẫn : . a Cho 3 số thực dương , , a b c thoả mãn 1 a b c + + = . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Giải : 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a b c a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ + + + + + + + + + www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 a a b c b b c a c c a b b c c a a b + + + + + + ⇔ + + ≥ + + + + ( ) ( ) ( ) 3 2 a a b c b b c a c c a b b c c a a b + + + + + + ⇔ + + ≥ + + + 3 2 a b c b c c a a b ⇔ + + ≥ + + + vì 1 a b c + + = . Cho 3 số thực dương , , a b c thoả mãn 1 a b c + + = . Chứng minh rằng : . a 1 2 2 2 4 ab bc ca a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + + . Hướng dẫn : . a Dùng bất đẳng thức 1 1 4 a b a b + ≥ + . Cho 3 số thực dương , , a b c . Chứng minh rằng : . a ( ) 3 3 3 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ≥ + + + + + + + + . b 3 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + ≥ + + + + + Hướng dẫn : . a Cách 1 : 3 3 3 3 ( )( ) 8 8 4 3 ( )( ) 8 8 4 3 ( )( ) 8 8 4 a a b b c a a b b c b b c c a b b c c a c c a a b c c a a b            + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + . b Cách 1: 3 3 3 4 2 ( ) 6 ( ) 4 2 ( ) 6 ( ) 4 2 ( ) 6 ( ) a b c a a b c a b c a b b c a b c a b c c a b c            + + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + Cách 2: 3 3 3 8 ( ) ( ) 6 ( )( ) 8 ( ) ( ) 6 ( )( ) 8 ( ) ( ) 6 ( )( ) a a b b c a a b b c b b c c a b b c c a c c a a b c c a a b            + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + Cách 2: 3 3 3 3 ( ) 2 4 2 3 ( ) 2 4 2 3 ( ) 2 4 2 a b c a a b c a b c a b b c a b c a b c c a b c            + + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho 3 số thực dương , , x y z thoả : 3 x y z + + ≥ .Tìm GTNN của 2 2 2 A x y z x yz y zx z xy = + + + + + ( ) 2 2 2 2 x y z x y z x yz y zx z xy x y z yz zx xy + + + + ≥ + + + + + + + + . Ta có : yz zx xy x y z + + ≤ + + . Suy ra : ( ) 2 2 2 2 3 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z x yz y zx z xy + + + + + + ≥ = ≥ + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi: 3 1 x y z x y z x y z x y z x yz y zx z xy          + + = = = ⇔ = = = = = + + + Cho ba số dương , , x y z thỏa mãn: 2 2 2 3 x y z + + = .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 3 x y z S x y z y z z x x y = + + + + + + + + Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số ta có : 5 3 2 4 3 3 2 3 4 2 2 x y z x x y z + + + ≥ + tương tự 5 3 2 4 5 3 2 4 3 3 3 2 3 2 3 3 , 4 2 2 4 2 2 y z x y z x y z y z z x x y + + + + ≥ + + ≥ + + 4 2 1 2 2 x x + ≥ tương tự 4 2 1 2 2 y y + ≥ , 4 2 1 2 2 z z + ≥ Cộng vế với vế các BĐT trên ta được ( ) ( ) 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 5 3 3 4 4 2 x y z S x y z x y z x y z y z z x x y = + + + + + ≥ + + + + + − + + + Mà 3 3 2 1 3 x x x + + ≥ hay 3 2 2 1 3 x x + ≥ tương tự 3 2 2 1 3 y y + ≥ , 3 2 2 1 3 z z + ≥ Do đó , ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 3 3 9 2 3 3 6 3 2 x y z x y z x y z S + + ≥ + + − = ⇒ + + ≥ ⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra 1 x y z ⇔ = = = www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho 3 số thực dương , , x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) M x y z y z z y z x x z x y y x = + + + + + + + + . Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 13 25 (2 3 )(2 3 ) 6 13 6 2 2 y z z y y z yz y z y z y z = + + = + + ≤ + + + + 2 2 2 2 2 (2 3 )(2 3 ) 25( ) x x y z z y y z ⇒ ≥ + + + Tương tự : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) 25( ) 25( ) y y z z z x x z x y y x z x x y ≥ ≥ + + + + + + . ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ; ; min 25 25 25( ) 25( ) 25( ) M x y z M f x y z y z z x x y + +≥ ⇒ ≥ ⇒ = + + + . Với , , x y z là số dương và . . 1 x y z ≥ .Chứng minh rằng: 3 2 x y z x yz y zx z xy + + ≥ + + + Hướng dẫn. Đặt , , a x b y c z = = = Bài toán trở thành : , , a b c là số dương và . . 1 a b c ≥ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 2 a b c a bc b ac c ab + + ≥ + + + Dễ thấy : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * a b c a b c a bc b ac c ab a bc b ac c ab + + + + ≥ + + + + + + + + Bình phương hai vế bất đẳng thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 * a b c a b c VT a bc b ac c ab a bc b ac c ab   + + + +   ≥ =   + + + + +   + + + + +         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 3( ) 3 3 3 3 a b c a b c a b c a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b c + + + + + + ≥ ≥ ≥     + + + + + + + − + + + + −         ( Vì ( ) ( ) 2 2 3 3 3 t 9 ab bc ac abc a b c + + ≥ ≥ ⇒ = + + ≥ ) Ta có: ( ) 2 2 3 15 3 3 3.9 15 3 3 9 9 2 . * 3( 3) 12 12 3 12 12 3 2 2 t t t t VT t t t + − + − = + + ≥ + = ⇒ ≥ − − − Dấu bằng xảy ra khi 1 x y z = = = ⇒ điều phải chứng minh Tổng quát : ta có bài toán sau: với ( ) 1 2 , , , 2 n x x x n ≥ là số dương và 1 2 . 1 n x x x ≤ www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cmr: 1 2 1 2 3 2 3 4 1 2 1 2 . . . n n n n n x x x n x x x x x x x x x x x x − + + + ≥ + + + . Cho 3 số thực dương , , a b c . Chứng minh rằng : . a 1 1 1 1 1 1 3 3 3 4 4 4 a b b c c a a b c + + ≤ + + + + + . . b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 4 a b c b c a c a b a b c + + ≤ + + + + + + + + . . c ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b a c b c b a c a c b       + + ≤ + + + + + + + + . . d 0 a d b b b c c a d b b c c a a d − − − − + + + ≥ + + + + Cho [ ] 0;1 ; ; x y z ∈ . Chứng minh rằng : ( ) 1 1 1 81 2 2 2 2 2 2 8 x y z x y z       + + + + < Giải : Đặt [ ] 1;2 2 , 2 , 2 , , x y z a b c a b c = = = ⇒ ∈ Bài toán trở thành : Cho [ ] 1;2 , , a b c ∈ . Chứng minh rằng : ( ) 1 1 1 81 8 a b c a b c       + + + + < . Thật vậy : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 81 2 2 2 81 2 2 2 9 8 4 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c                   + + + + < ⇔ + + + + < ⇔ + + + + < ( )( ) 2 2 2 1 2 1 2 0 3 2 0 2 3 3 a a a a a a a a a ≤ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ Tương tự : 2 2 3, 3 b c b c + ≤ + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 9 1 a b c a b c       ⇒ + + + + + ≤ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c             ⇒ + + + + + ≥ + + + + Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 81 2 9 3 a b c a b c a b c a b c             + + + + ≤ ⇔ + + + + ≤ Đẳng thức không xảy ra . ( ) ( ) 1 1 1 81 3 8 a b c a b c       ⇔ + + + + < (đpcm). www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho , , a b c là 3 số dương thoả mãn 3 ab bc ca abc + + = . Chứng minh rằng: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 ab bc ca a b a c b c b c b a c a c a c b a b + + ≤ + + + + + + + + + Trích http://www.maths.vn Giải : 1 1 1 3 3 ab bc ca abc a b c + + = ⇔ + + = Với , 0 a b > ta luôn có ( ) 3 3 , 1 1 1 1 . 4 a b ab a b a b a b       + ≥ + ≤ + + và với mọi , a b ta luôn có 2 2 2 a b ab + ≥ . 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ab ab ab ab a b a b a c b c ab a b a b c a b c   ≤       ≤ + + + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 2 ( ) ( ) ( ) ab ab a b a b c ab a b a b c a b c     ⇒ ≤ + ≤ +     + +   + + + +   ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 . 1 16 8 ab a b c a b a c b c   ≤ + +     + + + Tương tự : ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 . 2 16 8 bc b c a b c b a c a   ≤ + +     + + + ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 . 3 16 8 ca c a b c a c b a b       ≤ + + + + + Cộng vế theo vế đẳng thức ( ) 1 , ( ) 2 và ( ) 3 ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 a b c = = = . Cho tam giác ABC có 3 cạnh : , , AB c BC a AC b = = = thoả mãn 3 3 3 a b c = + .Chứng minh rằng : A là góc nhọn và thoả : 0 0 60 90 A < < . Giải : 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 3 0 1 , , 0 0 0 0 1 b b b a b c b a b c b c a a a c a a a a c a a b c c c a a a                                                                       < < < > < < ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + < + < < = + < < < 0 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 0 2 1 cos 90 bc b c b c b c b c a a b c A A a a a + + + + − ⇒ < ⇒ < ⇒ < + ⇒ = > ⇒ < ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c b bc c a b bc c a b bc c = + = + − + > − + ⇒ > − + 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 cos 60 bc bc b c a b c a A A + − + − ⇒ < ⇒ = < ⇒ > Vậy 0 0 60 90 A < < . www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 15 10 2007 ab bc ca a b c     + + = + + +         Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 2 2 5 2 2 5 2 2 P a ab b b bc c c ca a = + + + + + + + + Áp dụng đẳng thức : 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + . Đẳng thức xảy ra khi x y z = = . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5 2 2 (2 ) ( ) (2 ) 2 9 5 2 2 a ab b a b a b a b a b a a b a ab b   + + = + + − ≥ + ⇒ ≤ ≤ + +   +   + + . Đẳng thức xảy ra khi a b = Tương tự : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 9 5 2 2 1 1 1 1 1 1 2 9 5 2 2 b c b b c b bc c c a c c a c ca a    ≤ ≤ + +    +    + +     ≤ ≤ + +    +   + +  Do đó 1 1 1 1 3 P a b c   ≤ + +     Mặt khác : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3 a b c a b c ab bc ca a b c     + + ≥ + +          + + ≤ + +       Mà giả thiết : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 15 10 2007 ab bc ca a b c     + + = + + +         Do đó : 1 1 1 6021 5 a b c + + ≤ Đẳng thức xảy ra khi : 1 6021 1 1 1 6021 3 5 5 a b c a b c a b c  = =  ⇔ = = =  + + =   Vậy max 1 6021 3 5 P = , khi 1 6021 3 5 a b c= = = www.mathvn.com