Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 21 *) 4 42 , x x x > 0 x x x      Khi đó : 2 3 3 2 3 + 26 4 xx 4 4 5 5 4 5 3 5 4 9x 1 1 4 1 9 9 0 3 xx x x x L lim lim 2 16 0 3 16x 3 1 7 x x x x x 14 x 17 16 x                  *) 4 42 , x x x < 0 x x x       Khi đó ta có : 2 2 4 4 4 2 2 3 33 3 33 26 xxx 44 44 4 5 55 5 55 1 x x 3 x x 9x 1 1 4 9x 1 1 4 1 4 9 x x x x x xx L lim lim lim 17 16x 3 1 7 16x 3 1 7 16 x x x x x xx                             2 4 3 3 4 4 5 5 x 1 x 3 x 14 9 9 0 3 x x 2 1 7 16 0 16 x x lim                Vì + 26 26 LL   nên ta có : 26 3 L 2  Kết luận : So với dạng vô định 0 0 , dạng vô định   “dễ tìm” hơn. Học sinh cần xác định đúng dạng và chỉ cần quan tâm đến bậc của tử và mẫu để từ đó phán đoán kết quả giới hạn cần tìm. Chú ý đối với giới hạn dạng   của hàm số có chứa căn thức ta không nhân liên hợp. Đây là điểm khác biệt cân phân biệt để tránh nhầm lẫn. Với giới hạn khi x  , cần lƣu ý hai khả năng x  và x  trong phép lấy giới hạn có chứa căn bậc chẵn. Nếu học sinh không để ý đến vấn đề này thì rất dễ mắc phải sai lầm. Hơn nữa trƣờng hợp này còn liên quan tới bài toán tìm tiệm cận của hàm số chứa căn thức. Bài tập tự luyện 1)        23 22 x 2x 3 4x+7 lim 3x 1 10x 9    2) 20 30 50 x (2x 3) (3x+2) lim (2x+1)   Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 22 3) 2n n+1 x n 2 (x+1)(x 1) (x 1) lim (nx) 1      4) 2 x 2 x 2x 3x lim 4x 4 x+2    5) 3 4 52 4 x 43 x 1 x 2 lim x 1 x 2        6) 3 3 4 x ln(1 x x) lim ln(1 x x)    III. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH  Dạng tổng quát của giới hạn này là : 0 x x (x ) lim f(x) g(x)      trong đó 00 x x x x (x ) (x ) lim f(x) lim f(x)      Phƣơng pháp chủ yếu để khử dạng vô định này là biến đổi chúng về dạng vô định 0 , 0   bằng cách đổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt, … Ví dụ áp dụng : Ví dụ 27 :   2 27 x L lim x x x     Bài giải : Nhân và chia biểu thức liên hợp tƣơng ứng là : 2 x x+x , ta đƣợc :   22 2 27 x 2 x ( x x x)( x x+x) L lim x x x x x+x lim            22 22 xx x x x+x x x+x x x x lim lim       Vì x  nên chia cả tử và mẫu cho x ta có : 2 xx 11 2 1 x x+x 11 x x lim lim       Vậy 27 1 L 2  Trong ví dụ này, bằng cách nhân liên hợp, ta đã chuyển giới hạn cần tìm từ dạng  sang dạng   . Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 23 Ví dụ 28 : 28 x L lim x+ x x      Bài giải : 28 xx ( x+ x x)( x+ x x) L lim x+ x x lim x+ x x          xx x+ x x x lim lim x+ x x x+ x x      xx 1 x 1 1 lim lim 2 x+ x x 1+ 1 x        ( chia cả tử và mẫu cho x ) Vậy 28 1 L 2  Ví dụ 29 : 2 29 x L lim x x 3 x         Bài giải : Trong ví dụ này cần lƣu ý khi x cần xét hai trƣờng hợp x và x +) Khi x thì : 2 2 x x 3 xx x 3     Do đó 2 x lim x x 3 x          +) Khi x thì giới hạn có dạng  . Ta khử bằng cách nhân liên hợp bình thƣờng 22 2 x x 2 ( x x 3 x)( x x 3 x) lim x x 3 x lim x x 3 x                      22 x x x 2 2 2 3 1 x x 3 x x 3 lim lim lim x x 3 x x x 3 x x x 3 1 x x                       Khi x thì x < 0, do đó 2 xx Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 24 x x 2 2 33 11 11 xx lim lim 22 13 x x 3 11 1 x x x                   Vậy 2 x lim x x 3 x          , 2 x 1 lim x x 3 x 2          Qua ví dụ này một lần nữa nhấn mạnh cho học sinh chú ý với giới hạn khi x cần xét x và x đối với hàm số chứa căn thức bậc chẵn. Ví dụ 30 : 3 3 2 2 30 x L lim x 3x x 2x         Bài giải : Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa các căn thức không cùng bậc nên ta thêm bớt để có thể nhân liên hợp. 33 3 2 2 3 2 2 30 xx )L lim x 3x x 2x lim ( x 3x x ( x 2x x)                         xx 3 2 2 3 12 lim limx 3x x x 2x x G G                      +)   3 2 3 2 1 3 2 3 2 2 33 32 3 xx x 3x G x 3x x x 3x x x lim x 3x x lim                 22 3 2 3 2 2 33 33 xx 3 3 3 1 3 33 x 3x x x 3x x 1 1 1 xx x lim lim                  +) 22 2 2 xx 2 x 2x x x 2x x G lim x 2x x lim           2 xx 2 2 2 1 2 2 x 2x x 11 x x lim lim             Vậy L 30 = G 1 - G 2 = 2 Ví dụ 31 : * 31 mn x1 mn L lim , (m, n N ) 1 x 1 x         Bài giải : Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 25 31 m n m n x 1 x 1 m n m 1 n 1 L lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x                                   12 mn x 1 x 1 m 1 n 1 lim lim G G 1 x 1 x 1 x 1 x                        +) 2 m 1 1 mm x 1 x 1 m 1 m (1 x x x ) G lim lim 1 x 1 x 1 x                  2 m 1 m x1 (1 x) (1 x ) (1 x ) lim 1x           m2 m1 x1 (1 x) 1 (1 x) (1 x x ) lim (1 x)(1 x x )                   m2 m1 x1 1 (1 x) (1 x x ) 1 2 m 1 m 1 lim 1 x x m 2                      Tƣơng tự ta tính đƣợc 2 n1 G 2   Vậy 31 1 2 m 1 n 1 m n L G G 2 2 2         Trong bài tập này ta sử dụng thuật toán thêm, bớt để tách giới hạn cần tìm thành hai giới hạn và tính các giới hạn này bằng cách biến đổi về dạng 0 0 . Việc thêm bớt biểu thức phải tinh tếvà phụ thuộc vào đặc điểm từng bài. Kết luận : Đối với dạng vô định   , ta phải tuỳ vào đặc điểm từng bài mà vận dụng linh hoạt các kỹ năng thêm bớt, nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử để biến đổi và khử dạng vô định. Ta thƣờng chuyển chúng về các dạng vô định dễ tính hơn là 0 0 ,   . Bài tập tự luyện 1) x lim x x x x        2) 22 33 x lim (x 1) (x 1)       3) x lim x x x x x x          4) 3 2 x lim x 1 x     Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 26 5)   x lim ln(5x 8) ln(3x 5)     6) 5 x lim (x 1)(x 2) (x 5) x        IV. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0. Dạng tổng quát của giới hạn này là :   0 x (x x ) lim f(x).g(x)   trong đó 00 xx (x x ) (x x ) lim f(x) 0, lim g(x)       Để khử dạng vô định này, ta thƣờng tìm cách chuyển chúng về dạng giới hạn khác dễ tình hơn nhƣ 0 0 ,   bằng cách nhân liên hợp, thêm bớt, đổi biến … Ví dụ áp dụng : Ví dụ 32 :   2 32 x L lim x x 5 x        Bài giải : Ta khử dạng vô định này bằng cách nhân liên hợp để đƣa về dạng vô định     22 2 32 2 xx x( x 5 x)( x 5 x) L lim x x 5 x lim x 5 x                Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 27 22 2 2 2 x x x x(x 5 x ) 5x 5 lim lim lim x 5 x x 5 x x 5 x x              2 x x > 0 x x    Do đó : 2 xx 2 5 5 5 lim lim 2 5 x 5 x 11 x x      Vậy 32 5 L 2  Ví dụ 33 : 33 x1 x L lim(1 x)tg 2    Bài giải : Đặt t 1 x ta có : x 1 t 0   33 t 0 t 0 (1 t) t L lim t.tg lim t.tg 2 2 2                        t 0 t 0 t 0 t t t 2 2 2 lim t.cotg lim lim tt 2 tg tg 22               Vậy 33 2 L   Bài tập tự luyện 1)   2 x lim x 4x 9 2x      2)   2 4 4 x lim x 3x 5 3x 2        3)   23 3 x lim x 4x 5 8x 1        4) x 4 lim tg2x.tg x 4            5)   22 xa x lim a x tg 2a       6) 11 2 xx x lim x e e 2          V. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 1  Dạng tổng quát của giới hạn này là : Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 28   0 g(x) xx lim f(x)  , trong đó 00 x x x x limf(x) 1, limg(x)     Hai giới hạn cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng khi tính giới hạn dạng vô định 1  là : +) x x 1 lim 1 x e      (1) +)   1 x x lim 1 x e   (2) Trong quá trình vận dụng, học sinh biến đổi về dạng 0 xx f(x) 1 lim 1 f(x) e       nếu 0 xx lim f(x)     0 1 g(x) xx lim 1 g(x) e   nếu 0 xx lim g(x) 0   Để biến đổi giới hạn cần tìm, học sinh vận dụng mệnh đề sau (dựa vào tính liên tục của hàm số mũ). “ Nếu hai hàm số f(x), g(x) thoả mãn các điều kiện : 1) 0 xx limf(x) a 0   2) 0 xx lim g(x) b   thì   0 g(x) b xx lim f(x) a   ” Hai giới hạn cơ bản và mệnh đề trên là cơ sở để tính các giới hạn dạng vô định 1  Ví dụ áp dụng Ví dụ 34 :   1 x 34 x 0 L lim 1+ sin2x   Bài giải :       sin2x 1 1 sin 2x 1 x . x sin 2x x sin2x 34 x 0 x 0 x 0 L lim 1+ sin2x lim 1+ sin2x lim 1+ sin2x          Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 29 Ta có :   1 sin2x x 0 lim 1+ sin2x e   ( để học sinh dễ hiểu nên đặt t = sin2x) x 0 x 0 sin2x sin2x lim 2lim 0 x 2x   Do đó :   sin2x 1 x 2 sin2x 34 x 0 L lim 1+ sin2x e      Ví dụ 5 : 4 3x 35 x x1 L lim x2         Bài giải : Để sử dụng giới hạn cơ bản ta biến đổi : x 1 1 1 x 2 (x 2)      4 3x (x 2). 4 3x (x 2) 35 xx x 1 1 L lim lim 1 x 2 (x 2)                    Vì (x 2) x x x x 1 lim 1 e (x 2) 4 3 4 3x 3x 4 x lim lim lim 3 2 (x 2) x 2 1 x                             nên 3 35 Le Bài 36 : tg2 y 4 36 t0 L lim tg y 4                Bài giải : Đặt y x , x y 0 44       .Ta có : 2 1 tg y tg2 y 2tgy 4 36 t 0 t 0 1 tgy L lim tg y lim 4 1 tgy                         2 2 2tgy 1 tg y . 1 tg y 1 tgy 1 tgy 2tgy 2tgy 2tgy t 0 t 0 2tgy 2tgy lim 1 lim 1 1 tgy 1 tgy                              Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 30 Vì 1 tgy 2tgy y0 2tgy lim 1 e 1 tgy          và   2 y 0 y 0 2tgy 1 tg y . 1 tgy 1 1 tgy 2tgy lim lim             nên 1 36 Le   Kết luận : Với dạng vô định 1  , việc nhận dạng không khó khăn đối với học sinh. Tuy nhiên, để làm đƣợc bài tập, học sinh phải vận dụng tốt các kỹ năng để đƣa các giới hạn cần tìm về một trong hai giới hạn cơ bản (1) và (2). Hai kỹ năng chủ yếu đƣợc sử dụng là đổi biến và thêm bớt. Bài tập tự luyện 1)   2 cotg x 2 x0 lim 1 x   2) 1 sin x x0 1 tgx lim 1 sin x       3) 2 x 2 2 x x3 lim x2       3)   cotg x x1 lim 1 sin x    5) 2 1 x x0 lim(cos2x)  6) x x 11 lim sin cos xx      . e 2          V. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 1  Dạng tổng quát của giới hạn này là : Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ. dạng vô định 0 0 , dạng vô định   “dễ tìm” hơn. Học sinh cần xác định đúng dạng và chỉ cần quan tâm đến bậc của tử và mẫu để từ đó phán đoán kết quả giới hạn cần tìm. Chú ý đối với giới hạn. IV. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0. Dạng tổng quát của giới hạn này là :   0 x (x x ) lim f(x).g(x)   trong đó 00 xx (x x ) (x x ) lim f(x) 0, lim g(x)       Để khử dạng vô định