Sở giáo dục và đào tạo Hà nội Trường THPT Liên Hà ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 **************** Môn : TOÁN; khối: A,B(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 21 1 x y x    2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình 2 17 sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( ) 221 x 2 xxx      2) Giải hệ phương trình : 43 22 32 1 1 xxyxy xy x xy          Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 4 0 tan .ln(cos ) cos xx dx x   Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60 0 . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) . Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3 ab bc ca ab c bc a ca b      PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng  : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  sao cho đường thẳng AB và  hợp với nhau góc 45 0 . Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng 1 (): 12 x 3 y z d    và 14 ('): 12 5 xy z d    Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Câu VIII.a (1 điểm) Giải phương trình: 22 2 (24 1) (24 1) (24 1) log log x xx x x L o g xx   x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 22 (): 1Cx y   , đường thẳng . Tìm để cắt ( tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. (): 0dxym  m ()C )d Câu VII.b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đường thẳng : 1  2 2   x = 1 1 y = 3 z . Gọi 2  là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng , . 1  2  Câu VIII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: log x ( log 3 ( 9 x – 72 ))  1 Hết 63 Đề thi thử Đại học 2011 -134- http://www.VNMATH.com ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu -ý Nội dung Điểm 1.1 *Tập xác định :   \1D   *Tính 2 1 '0 (1) y xD x     Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1)   và (1; )   *Hàm số không có cực trị *Giới hạn 1x Lim y    1x Lim y     2 x Lim y   2 x Lim y   Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 *Bảng biến thiên x  1   y’ - - y *Vẽ đồ thị 0.25 0.25 0.25 0.25 1.2 *Tiếp tuyến của (C) tại điểm 00 (;())()Mx f xC  có phương trình 00 '( )( ) ( ) 0 yf xxx f x Hay (*) 22 000 (1) 2 21xx y x x  0 *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 0 4 0 22 2 1( 1) x x    giải được nghiệm và 0 0x  0 2x  *Các tiếp tuyến cần tìm : và 1 0xy 5 0xy   0.25 0.25 0.25 0.25 2.1 *Biến đổi phương trình đã cho tương đương với os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 6 cx x cx   os(2 ) 5 os( ) 3 0 36 cx cx    2 2os( ) 5os( ) 2 0 66 cx cx    Giải được 1 os( ) 62 cx   và os( ) 2 6 cx    (loại) *Giải 1 os( ) 62 cx   được nghiệm 2 2 x k    và 5 2 6 x k     0.25 0.25 0.25 0.25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -135- http://www.VNMATH.com 2.2 *Biến đổi hệ tương đương với 22 3 32 ()1 () xx 1 y x y xy x xy         *Đặt ẩn phụ 2 3 xx y u xy v        , ta được hệ 2 1 1 uv vu        *Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) 0.25 0.25 0.25 0.25 3 *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , 4 x   thì 1 2 t  Từ đó 1 1 2 22 1 1 2 ln lntt I dt dt tt    *Đặt 2 1 ln ; u t dv dt t  11 ; du dt v tt   Suy ra 1 2 1 2 11 112 ln ln 2 1 2 22 It dt tt      1 1 t *Kết quả 2 21 ln2 2 I  0.25 0.25 0.25 0.25 4 *Vẽ hình *Gọi H là trung điểm BC , chứng minh () S HABC  *Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là 0 60SEH SFH *Kẻ H KSB , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng H KA . *Lập luận và tính được AC=AB=a , 2 2 a HA  , 0 3 tan 60 2 a SH HF *Tam giác SHK vuông tại H có 222 111 10 KH a HK HS HB  3 *Tam giác AHK vuông tại H có 2 20 2 tan 3 3 10 a AH AKH KH a   3 cos 23 AKH 0.25 0.25 0.25 0.25 5 *Biến đổi 11 1(1)(1 ab c c ab c ab b a a b    ) 0.25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -136- http://www.VNMATH.com *Từ đó 111 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) cb VT ab ca cb      a Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 3 111 3. . . (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) cba VT ab ca cb      =3 (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 abc   0.25 0.25 0.25 6.a * có phương trình tham số  13 22 xt y t       và có vtcp ( 3;2)u    *A thuộc  (1 3 ; 2 2 ) A tt *Ta có (AB; )=45 0 1 os( ; ) 2 cABu   . 1 2 . ABu AB u     2 15 3 169 156 45 0 13 13 tt t t *Các điểm cần tìm là 12 32 4 22 32 (;),(; 13 13 13 13 AA) 0.25 0.25 0.25 0.25 7.a *(d) đi qua và có vtcp 1 (0; 1;0)M  1 (1; 2; 3)u     (d’) đi qua và có vtcp 2 (0;1;4)M 2 (1; 2; 5)u    *Ta có , 12 ;(4;8;4)uu O        12 (0;2;4)MM    Xét 12 12 ; . 16 14 0uu MM          (d) và (d’) đồng phẳng . *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt (1; 2; 1)n     và đi qua M 1 nên có phương trình 2 2 0xyz   *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm 0.25 0.25 0.25 0.25 8.a *Điều kiện :x>0 *TH1 : xét x=1 là nghiệm *TH2 : xét 1 x  , biến đổi phương trình tương đương với 12 1 2log (24 1) 2 log (24 1) log (24 1) xxx xx   1 x t Đặt , ta được phương trình log ( 1) x x 12 12 2tt 1 t    giải được t=1 và t=-2/3 *Với t=1 phương trình này vô nghiệm log ( 1) 1 x x *Với t=-2/3 2 log ( 1) 3 x x  (*) 23 .(24 1) 1xx Nhận thấy 1 8 x  là nghiệm của (*) Nếu 1 8 x  thì VT(*)>1 0.25 0.25 0.25 0.25 63 Đề thi thử Đại học 2011 -137- http://www.VNMATH.com Nếu 1 8 x  thì VT(*)<1 , vậy (*) có nghiệm duy nhất 1 8 x  *Kết luận : Các nghiệm của phương trình đã cho là x=1 và 1 8 x  6.b *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ( ; ) 1dOd   *Ta có 11 . .sin .sin 22 OAB S OAOB AOB AOB 1 2  Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ khi 0 90AOB  1 (;) 2 dId 1m 0.25 0.25 0.25 0.25 7.b * có phương trình tham số 1  22 1 3 xt yt zt           * có phương trình tham số 2  2 53 xs y s zs           *Giả sử 12 ;dAd   B 3) (2 2 ; 1 ;3 ) B(2+s;5+3s;s)Attt *(2;36; A Bstst st    , mf(R) có vtpt (1;2; 3)n     * cùng phương () &dR ABn  23 6 3 12 st st st   3  23 24 t *d đi qua 1123 (;;) 12 12 8 A và có vtcp (1;2; 3)n     => d có phương trình 23 11 8 12 12 12 z xy    3 0.25 0.25 0.25 0.25 8.b *Điều kiện : giải được x 3 0 log (9 72) 0 9720 x x x         9 log 73 Vì >1 nên bpt đã cho tương đương với 9 log 73x  3 log (9 72) x x  9 72 3 xx  38 39 x x         2x *Kết luận tập nghiệm : 9 (log 72;2]T  0.25 0.25 0.25 0.25 Lưu ý : Nếu thí sinh làm cách khác đúng thì giám khảo chấm theo các bước làm của cách đó . 63 Đề thi thử Đại học 2011 -138- http://www.VNMATH.com . Sở giáo d c và đào tạo Hà nội Trường THPT Liên Hà ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 **************** Môn : TOÁN; khối: A,B(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG. Đề thi thử Đại học 2011 -1 3 6- http://www.VNMATH.com *Từ đó 111 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) cb VT ab ca cb      a Do a,b,c d ơng và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1 -a,1 -b,1-c. thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng , . 1  2  Câu VIII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: log x ( log 3 ( 9 x – 72 ))  1 Hết 63 Đề thi thử Đại học 2011 -1 3 4- http://www.VNMATH.com