đề thi thử đại học lần thứ nhất khối A Trờng THPT Trần Hng Đạo Môn: Toán Thời gian: 180 phút I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) 1 Câu I (2 điểm). Cho hm số 2 12 x x y có đồ thị l (C) 1.Khảo sát sự biến thiên v vẽ đồ thị của hm số 2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ di nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 8 2.Giải bất phơng trình )3(log53loglog 2 4 2 2 2 2 xxx Câu III (1 điểm). Tìm nguyên hm x x dx I 53 cos.sin Câu IV (1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên v mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đờng thẳng B 1 C 1 . Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA 1 v B 1 C 1 theo a. Câu V (1 điểm). Cho a, b, c v 0 222 3abc . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 33 22 111 abc P bc 3 2 a II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chơng trình chuẩn Câu VIa (2 điểm). 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1) 2 + (y+2) 2 = 9 v đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A m từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C l hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) v đờng thẳng d có phơng trình . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d v khoảng cách từ d tới (P) l lớn nhất. tz ty tx 31 21 Câu VIIa (1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau v khác 0 m trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn v hai chữ số lẻ. 2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 v đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A m từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C l hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) v đờng thẳng d có phơng trình 3 1 12 1 zyx . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d v khoảng cách từ d tới (P) l lớn nhất. Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau m trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn v ba chữ số lẻ. -Hết- 63 thi th i hc 2011 -173- http://www.VNMATH.com đáp án đề thi thử đại học lần 1 khối a môn toán I.Phần dnh cho tất cả các thí sính Câu Đáp án Điể m 1. (1,25 điểm) a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên +Giới hạn: 22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hm số có một tiệm cận đứng l x = -2 v một tiệm cận ngang l y = 2 0,5 + Dx x y 0 )2( 3 ' 2 Suy ra hm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;( v );2( 0,25 +Bảng biến thiên x -2 y + + 2 y 2 0,25 c.Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) v cắt trục Ox tại điểm( 2 1 ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) lm tâm đối xứng 0,25 2. (0,75 điểm) Honh độ giao điểm của đồ thị (C ) v đờng thẳng d l nghiệm của phơng trình )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x Do (1) có nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B mmmvam 0321)2).(4()2(01 22 0,25 I (2 điểm) Ta có y A = m x A ; y B = m x B nên A B 2 = (x A x B ) 2 + ( y A y B ) 2 = y 2 -2 O x 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất AB 2 nhỏ nhất m = 0. Khi đó 0,5 2 63 thi th i hc 2011 -174- http://www.VNMATH.com 24AB 1. (1 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin 2 x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin 2 x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 0,5  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0       )(07sin2cos6 0sin1 VNxx x 0,25    2 2 kx  0,25 2. (1 ®iÓm) §K:      03loglog 0 2 2 2 2 xx x BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng ví i )1()3(log53loglog 2 2 2 2 2  xxx ®Æt t = log 2 x, BPT (1)  )3(5)1)(3()3(532 2  tttttt 0,5                         4log3 1log 43 1 )3(5)3)(1( 3 1 2 2 2 x x t t ttt t t 0,25 II (2 ®iÓm)        168 2 1 0 x x VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lμ: )16;8(] 2 1 ;0(    x x dx x x x dx I 23233 cos.2sin 8 cos.cos.sin ®Æt tanx = t dt t t t t dt I t t x x dx dt        3 32 3 2 22 )1( ) 1 2 ( 8 1 2 2sin; cos 0,5 III 1 ®iÓm C x xxxdtt t tt dt t ttt       2 2433 3 246 tan2 1 tanln3tan 2 3 tan 4 1 ) 3 3( 133 0,5 3 63 Đề thi thử Đại học 2011 -175- http://www.VNMATH.com Do nên góc )( 111 CBAAH HAA 1 l góc giữa AA 1 v (A 1 B 1 C 1 ), theo giả thiết thì góc bằng 30 HAA 1 HAA 1 0 . Xét tam giác vuông AHA 1 có AA 1 = a, góc =30 0 2 3 1 A a H . Do tam giác A 1 B 1 C 1 l tam giác đều cạnh a, H thuộc B 1 C 1 v 2 3 1 HA 11 CB 1 CB a nên A 1 H vuông góc với B 1 C 1 . Mặt khác nên AH )H( 1 AA 1 0,5 Kẻ đờng cao HK của tam giác AA 1 H thì HK chính l khoảng cách giữa AA 1 v B 1 C 1 0,25 Câu IV 1 điểm Ta có AA 1 .HK = A 1 H.AH 4 3 . 1 1 a AA AHHA HK 0,25 0,5 Câu V 1 điểm Ta cú: P + 3 = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 111 a a c c c b b b a 24 1 1212 24 6 2 2 2 2 3 b b a b a P 24 1 1212 2 2 2 2 3 c c b c b 24 1 1212 2 2 2 2 3 a a c a c 3 6 3 6 3 6 216 3 216 3 216 3 cba 6 222 3 82 9 )( 222 3 22 3 cbaP 2 3 22 3 22 9 22 3 22 9 6 3 P P Min khi a = b = c = 1 0,5 4 Phần riêng. 1.Ban cơ bản 1.( 1 điểm) Câu VIa 2 điểm Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn v ACAB => tứ giác ABIC l hình vuông cạnh bằng 3 23 IA 0,5 A 1 A B C K C H B 1 63 thi th i hc 2011 -176- http://www.VNMATH.com 7 5 6123 2 1 m m m m 0,5 2. (1 điểm) Gọi H l hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A v (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d v (P) l khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I l hình chiếu của H lên (P), ta có H I A H => HI lớn nhất khi I A Vậy (P) cần tìm l mặt phẳng đi qua A v nhận AH lm véc tơ pháp tuyến. 0,5 )31;;21( tttHdH vì H l hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. uuAHdAH l véc tơ chỉ phơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0,5 Từ giả thiết bi toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)v cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 60 bộ 4 số thỏa mãn bi toán 6 2 4 C 10 2 5 C 2 5 C 2 5 C 0,5 Câu VIIa 1 điểm Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thnh lập. Vậy có tất cả . .4! = 1440 số 2 4 C 2 5 C 0,5 2.Ban nâng cao. 1.( 1 điểm) Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn v ACAB => tứ giác ABIC l hình vuông cạnh bằng 3 23 IA 0,5 7 5 6123 2 1 m m m m 0,5 2. (1 điểm) Gọi H l hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A v (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d v (P) l khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I l hình chiếu của H lên (P), ta có H I A H => HI lớn nhất khi I A Vậy (P) cần tìm l mặt phẳng đi qua A v nhận AH lm véc tơ pháp tuyến. 0,5 Câu VIa 2 điểm )31;;21( tttHdH vì H l hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. uuAHdAH l véc tơ chỉ phơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0,5 Từ giả thiết bi toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) v =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số đợc chọn. 10 2 5 C 3 5 C 2 5 C 3 5 C 0,5 Câu VIIa 1 điểm Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thnh lập => có tất cả . .5! = 12000 số. 2 5 C 3 5 C Mặt khác số các số đợc lập nh trên m có chữ số 0 đứng đầu l . Vậy có tất cả 12000 960 = 11040 số thỏa mãn bi toán 960!4 3 5 1 4 CC 0,5 5 63 thi th i hc 2011 -177- http://www.VNMATH.com . C x xxxdtt t tt dt t ttt       2 2433 3 246 tan2 1 tanln3tan 2 3 tan 4 1 ) 3 3( 133 0,5 3 63 Đề thi thử Đại học 2011 -1 7 5- http://www.VNMATH.com Do nên góc )( 111 CBAAH HAA 1 l góc gi a AA 1 v (A 1 B 1 C 1 ), theo giả thi t thì. bằng 30 HAA 1 HAA 1 0 . Xét tam giác vuông AHA 1 có AA 1 = a, góc =30 0 2 3 1 A a H . Do tam giác A 1 B 1 C 1 l tam giác đều cạnh a, H thuộc B 1 C 1 v 2 3 1 HA 11 CB 1 CB a nên A 1 H. số lẻ. -Hết- 63 thi th i hc 2011 -1 7 3- http://www.VNMATH.com đáp án đề thi thử đại học lần 1 khối a môn toán I.Phần dnh cho tất cả các thí sính Câu Đáp án Điể m 1. (1,25 điểm) a. TXĐ: