Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm: Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0) ∀ x ∈ (a;b) ( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)) 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x): * PP1: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn 0 x ( 0 x ∈ TXĐ mà y ' ( 0 x ) = 0 hoặc y ' ( 0 x ) không XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Tìm cực trị nếu có Chú ý: Khi x vượt qua 0 x mà / y đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại 0 x hs đạt giá trị cực đại / y đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại 0 x hs đạt giá trị cực tiểu / y không đổi dấu thì tại 0 x hs không đạt cực trị. * PP2: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn 0 x ( 0 x ∈ TXĐ mà y ' ( 0 x ) = 0 hoặc y ' ( 0 x ) không XĐ) B3: Tìm y”, y”( 0 x ) và tìm cực trị nếu có Chú ý: Nếu y”( 0 x ) < 0 thì tại 0 x hs đạt giá trị cực đại Nếu y”( 0 x ) > 0 thì tại 0 x hs đạt giá trị cực tiểu Nếu y”( 0 x ) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị 3. Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị <=> / y = 0 có n nghiệm phân biệt . 4. f(x) đạt cực đại tại 0 x nếu / 0 // 0 ( ) 0 ( ) 0 f x f x  =   <   ; f(x) đạt cực tiểu tại 0 x nếu / 0 // 0 ( ) 0 ( ) 0 f x f x  =   >   5. f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại / 0 0 0 ( ) 0 ( ) f x x x f x c  =  = =>  =   * BÀI TẬP: (1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau: 1/ y = 4 3 x 8x 5+ + 2/ y = 16x + 2x 2 - 3 4 16 3 x x− 3/ y = 2 3 (1 )x− 4/ y = 2 ( 1) (5 )x x+ − 5/ y = (x + 2) 2 (x – 3) 3 6/ y = 2 1 8 x x + + 7/ y = 2 2 1 x x x − + + 8/ y = 4 48x x + 9/ y = 3 2 .( 5)x x − 10/ y = 3 2 x - 6. x 11/ y = 3 (7 ). 5x x− + 12/ y = .( 3)x x − 13/ y = 2 2x 3x − − 14/ y = 2 25 x− 15/ y = 2 20x x− − 16/ y = 100 x x + 17/ y = 3 2 x 6x − 18/ y = 2 10 x x− 19/ y = cosx - sinx 20/ y = sin 2x (2) Chứng minh bất đẳng thức: 1 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương a/ tanx > x ( 0 < x < 2 π ) b/ tanx > x + 3 3 x ( 0 < x < 2 π ) c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x < 2 π ) d/ 3x 1 2sinx tanx 2 2 2 2 + + > ( 0 < x < 2 π ) e/ 2 1 1 1 1 2 8 2 x x x x+ − < + < + ( 0 < x < + ∞ ) g/ a - 3 6 a < sina < a ( a∀ >0 ) (3) Cho hàm số: y = 3 2 xx m m− + (m: tham số) a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y. b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2) (4) Tìm m để hàm số: a/ y = 3 2 ( 2) (2 7) 3 3 x m x m x m− + + + − đồng biến trong khoảng (0; + ∞ ) b/ y = 3 2 2 (3 1) (2 2 ) 3 2 x x m m m x m− + − − − + đồng biến trong khoảng (0; 2) (5) Tìm m để hàm số: a/ y = 2 (2 1) 2 2 x +m 1 m x m m + − − − nghịch biến trên từng KXĐ của nó b/ y = 2 2 x 2 4x m m x m − − + + nghịch biến trong khoảng (0;2) c/ y = 2 2 (2 1) 1 1 x m x m x + − + + − đồng biến trong khoảng (- ∞ ; -1) (6) Tìm m để hs: a/ y = 3 2 2 2 ( 2) (3 1) 3 x m m x m x m− − − + − + − đạt cực trị tại x = -2 b/ y = 2 4 2 2 ( 1) 3 x 8m x m m− + + − có ba điểm cực trị c/ y = 3 2 2 1 x ( 1) 1 3 x m m m x− + − + + đạt cực đại tại x = 1 d/ y = 2 x +1 x +m x m+ đạt cực tiểu tại x = 2 (7) Tìm a ; b để hs : y = x 4 + ax 2 + b có một cực trị bằng 3 2 khi x = 1 (8) Cho hàm số 3 2 1 1 ( ) 3 m y x mx x m C= − − + + . a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị . b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất (9) Cho hàm số 4 2 4 2 2y x mx m m= − + + . Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều (10) Tìm m để hàm số 4 2 ( 1) 1y x m x m= + − + − có một cực trị (11) Cho hàm số 4 2 2y x mx m= − + . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn a) Lập thành một tam giác đều b) Lập thành một tam giác vuông c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4 (12) Cho hàm số 2 2 1 x mx y mx + − = − . Xác định m để 2 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x 1 + x 2 = 4x 1 x 2 c) Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương (13) Cho hàm số 2 1x mx y x m + + = + . Xác định m để a. Hàm số có cực trị b. Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0) c. Hàm số có cực đại tại x = 2 (14) Cho hàm số 2 2 x mx m y x m − + − = − . Xác định m để a. Hàm số có cực trị b. Với m vừa tìm được ở câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (15) Cho hàm số 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − . Xác định m để Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của trục Ox (16) Cho hàm số 2 8 1 x mx m y x + − + = − . Xác định m để Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0. (17) Cho hàm số 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − . Xác định m để a. Hàm số có cực trị b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. (18) Tìm a; b để hs : y = 2 3 2 5 2ax 9x + b 3 a x + − có cực đại, cực tiểu là những số dương và x 0 = - 5 9 là điểm cực đại. (19) Cho hàm số: y = 2 3 2 ( 1) 2 x - m 2 ( ) m x m m f x x m + − + + = − với m ≠ -1 a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu. b/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2). (20) Cho hàm số: y = 2 3 1 x x + + a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m 2 1x + (21) Cho hàm số: y = 2 1 x m x + + a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m 2 1x + (22) Tìm a để hàm số: y = 4 3 2 8 3(1 2 ) 4x ax a x+ + + − chỉ có cực tiểu mà không có cực đại (23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a 2 4 5x x− + có cực đại (24) Cho hàm số: f(x) = ( ) n n x c x+ − trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1 a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số. 3 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương b/ Từ kết quả trên hãy chứng minh: ( ) 2 2 n n n a b a b+ + ≤ với a, b ∈ R thỏa a + b ≥ 0, n ∈ Z + . Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra. (25) CMR pt: 2 1 2 ( 1) 3( 2) 0 n n n n x n x a + + + + − + + = không có nghiệm khi n chẵn và a > 3. (26) Biện luận theo a số nghiệm của pt: 2 2 2 0 2 2 2 2 n n x x x a n n + + + + + = + + (27) Chứng minh: 2 2 2 2 3( ) 8( ) 10 32 x y x y y x y x + − + + ≥ với x.y < 0 (28) Cho x, y, z dương thỏa 2 2 2 1x y z+ + = . C/m: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 x y z y z z x x y + + ≥ + + + CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ * HÀM BẬC BA: 3 2 ( ) ( 0)y f x ax bx cx d a= = + + + ≠ (C) / / 2 ( ) 3 2y f x ax bx c= = + + . Để Hs có cực trị thì y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ( 'y ∆ > 0) Chia f(x) cho f / (x) ta được / ( ) ( ). ( )y f x f x q x x α β = = + + Gọi (x 1 ;y 1 ), (x 2 ;y 2 ) là hai điểm cực trị, ta có: 1 1 2 2 y x y x α β α β = +   = +  => Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y x α β = + . * HÀM HỮU TỈ: 2 1 1 1 ( 0) ax bx c y aa a x b + + = ≠ + Ta có: 2 / 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) aa x ab x bb a c y a x b + + − = + Hàm số có cực trị khi phương trình g(x) = 2 1 1 1 1 2aa x ab x bb a c+ + − = 0 có hai nghiệm phân biệt khác x 0 = 1 1 b a − <=> / 0 0 ( ) 0g x  ∆ >  ≠  Gọi (x 1 ;y 1 ), (x 2 ;y 2 ) là hai điểm cực trị, ta có: 1 1 1 2 2 1 2 2 ax b y a ax b y a +  =    +  =   => Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: 1 2ax b y a + = * BÀI TẬP: (29) Tìm cực trị của Hs sau: a/ y = 3 2 2x 1 3 x x− + + b/ y = 2 2x+3 x-1 x + (30) Cho hàm số : y = 3 2 3 9 3 5x mx x m− + + − a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị. b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị. (31) Cho hàm số : y = 2 ( 1) 1x m x m x m + + − + − a/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. 4 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu. c/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. (32) Cho hàm số : y = 2 3 4 x x m x − + + − Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ax min 4 m y y− = (33) Cho hàm số : y = 2 2 3x x m x m − + − Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ax min 8 m y y− > (34) Cho hàm số : y = 3 2 6 3( 2) 6x x m x m− + + − − Xác định m để : a/ Hàm số có 2 cực trị. b/ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu c/ Phương trình 3 2 6 3( 2) 6x x m x m− + + − − = 0 có ba nghiệm phân biệt. (35) Cho y = f(x) = 3 3 3 ( ) ( )x a x b x+ + + − a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu. b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình: 3 3 3 ( ) ( )x a x b x+ + + − = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt. CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x) 1/ Phương pháp tìm tiệm cận: - Đứng: - Ngang: - Xiên: 2/ BÀI TẬP: (36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 2 2x 5x +1 x -2 − d) y = 2x + 2 1x + b) y = 3 2 3x 4 ( 1).( 2)x x + − − e) y = 2 1x x+ + c) y = 2 x 2 + 2 x -1 x− g) y = 2 3x +1 x 1x+ + (37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 2 x + 2 x 4x + m− b) y = 2 2 m x 2 x 3 x 1 m− − + (38) Tìm m để đồ thị hs: b) y = 2 2 x 2 ( 1) 3 2 2 m m m x m m x − − − + − + có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3) c) y = 2 x x 1 x -1 m+ − có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 d) y = 2 -3x x 4 4x m m + + + có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 (39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số : y = 2 2x 3x +6 x 2 + + đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó. 5 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương (40) Cho hs : y = 2 x 1 1 x x − + − có đồ thị (C) Tìm M ∈ (C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất (41) Tìm a, b, c để hs: y = 2 ax +bx + x -2 c có một cực trị bằng 1 khi x = 1 và t/c xiên vuông góc với đường thẳng y = 1 2 (1- x) CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x) B1: Tập xác định B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có) B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm của y’; lập bảng biến thiên) B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn) B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị) CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho 2 đường: (C 1 ) : y = f(x) và (C 2 ) : y = g(x). Pt hoành độ giao điểm của hai đường là : f(x) = g(x) (*) Số nghiệm của Pt (*) là số giao điiểm của hai đường (C 1 ) & (C 2 ) Điều kiện tiếp xúc: để (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ), điều kiện là hệ Pt : ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  có nghiệm * BÀI TẬP: (42) Cho (C) : y = x 4 - 5x 2 + 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x 2 + m . Tìm tọa độ các tiếp điểm (43) Cho (C) : y = x 4 - (m 2 + 10)x 2 + 9 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0 b) CMR với m ≠ 0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3) (44) Cho (C m ) : y = 2x 3 + 3(m – 3)x 2 + 11 – 3m a) Tìm pt các đường thẳng qua A( 19 12 ; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C 2 ) của hs b) Tìm m để (C m ) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M 1 ; M 2 và B(0 ; -1) thẳng hàng (45) Cho (C) : y = 2x 3 - x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 . Tính tổng: 2 2 2 1 2 3 x x x+ + ? (46) Cho (C) : y = 2 1 1 x x + − + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh. (47) Cho hs : y = x +1 x -1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 6 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất (48) Cho (C) : y = 2 1 1 x x − + + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 2 . Tìm tọa độ của A ; B (49) Cho (C) : y = 2 1 2 x x + + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ). Tìm hệ thức giữa x 1 ; x 2 độc lập với m (50) Cho hàm số 2 2 4 2 x x y x − + = − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d m : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. (51) Cho (C) : y = 2 x x m x m − + + + a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2 ;0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm được. b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ). Tìm hệ thức giữa y 1 ; y 2 không phụ thuộc vào m (52) Cho (C) : y = 2 2 2 x x x + − − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Gọi A là điểm cực đại của (C). Tìm m để đường thẳng (d) : x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại hai điểm B ; C sao cho ∆ ABC vuông ở A. (53) Cho (C) : y = 2 2 3 2 x x x − − − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng thời độ dài AB ngắn nhất (54) Cho (C) : y = 2 2 2 1 2 1 x x x − + − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho ∆ OAB có diện tích bằng 10 9 (đvdt) CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x) 1. Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). 7 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương (C) tiếp xúc với (C’) <=> ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  có nghiệm x 0 (x 0 là hoành độ tiếp điểm) 2. Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt) : Dạng 1 : Viết pttt với (C) : y = f(x) tại điểm 0 0 0 ( ; )M x y PPG : - Tìm y’(x 0 ) => Pttt : y = y’(x 0 ).(x - x 0 ) + y 0 Dạng 2 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt đi qua điểm ( ; ) A A A x y PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x A ) + y A - Áp dụng điều kiện tiếp xúc A A ( ) k.(x - x ) + y '( ) k f x f x =   =  để tìm k => Pttt Dạng 3 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b - Áp dụng điều kiện tiếp xúc ( ) k.x + b '( ) k f x f x =   =  để tìm b => Pttt * BÀI TẬP : (55) a. Cho hàm số 3 2 3 2 ( )y x x C= − + Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với :3 5 4 0x y∆ − − = b. Cho hàm số 4 2 2 ( )y x x C= + − Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với : 6 1 0x y∆ + − = c. Cho hàm số 4 2 1 1 ,( ) 2 2 y x x C= − . Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị của hàm số d. Cho hàm số 2 ,( ) 2 x y C x + = − . Viết pttt đi qua điểm A(-6;5) với đồ thị của hàm số (56) Cho hàm số 3( 1) , ( ) 2 x y C x + = − . a. Viết pttt đi qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị của hàm số b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên (57) a. Cho hàm số 2 3 4 1 x x m y x + + = + Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất? b. Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số 2 2 2 1 x x y x + + = + sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). c. Cho hàm số 3 3 ,( )y x x C= − . Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó c1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) c2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) c3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d. Cho hàm số 4 2 2 1,( )y x x C= − − . Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó d1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) d2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) d3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d4. Kẻ được 4 tiếp tuyến với (C) (58) Cho hàm số 3 2 1 1 ( ) 3 2 3 m m y x x C= − + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2 8 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương b) Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. (59) Cho hs : y = 3 4x 3x 1− + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(- 3 2 ; 1) và tìm giao điểm B (khác A) của (d) và (C) (60) Cho hàm số 4 2 1 5 3 2 2 y x x= − + c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M = a . Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại hai điểm khác M. (61) Cho hs : y = 3 2 2x 3x 1− − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) CMR qua điểm A(- 2 27 ; -1) ta kẻ được ba tiếp tuyến với (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (62) Cho hs : y = 3 2 3xx + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C) ; trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (63) Cho hs : y = 3 2 3x 2x − + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Lập Pttt với (C) đi qua điểm A( 23 9 ; -2) c) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (64) Cho hs : y = 3 2 x 3x x +1m+ + có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0 ; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau (65) Cho hs : y = 3 2 x 3x 2− + − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm điểm M ∈ (C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C) (66) Cho hs : y = 2 1 x x − + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Viết Pttt ( ∆ ) với (C) tại điểm A(a ; y) với a ≠ -1 c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới ( ∆ ). Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất (67) Cho hs : y = 3 1 x x + + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tiếp tuyến tại điểm S ∈ (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm của PQ (68) Cho 2 hs : y = 3 1 x 3x 3 m− + và y = x 2 a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc nhau b) Viết Pttt chung của hai đồ thị ứng với m tìm được. 9 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương (69) Cho hs : y = 2 2 xx m m x m − + + a) CMR nếu đồ thị hs cắt Ox tại x = x 0 thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là : k = 0 0 2 2x m x m − + b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 2 điểm và hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. CHỦ ĐỀ 7 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ * Chú ý : Số nghiệm của pt : f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) (70) Cho hs : y = 3 2 x 2x x− + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt : 3 2 x 2x 0m− − = (71) Cho hs : y = 2 - (x +1) (x +4) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt : 2 (x +1) (x + 4) = 2 (m +1) (m+4) (72) Cho hs : y = 2 (x +1) (2 x )− a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt : 2 (x +1) (2 x)− = 2 (m +1) (2 m)− CHỦ ĐỀ 8 : ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Từ đồ thị (C) của hàm số ( )y f x= , suy ra: 1. Đồ thị hàm số (C 1 ): 1 ( )y f x= . Ta có 1 ( ) ( )y f x f x= = − : đây là hàm số chẵn nên (C 1 ) nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị (C 1 ) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy • Bỏ phần đồ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải của (C) qua trục Oy. 2. Đồ thị hàm số (C 1 ): 1 ( )y f x= Ta có: 1 y nêu f(x) 0 y -y nêu f(x) 0 ≥  =  ≤  Vì 1 0y ≥ nên (C 1 ) ở phía trên của trục Ox. Đồ thị (C 1 ) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục Ox • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox và lấy đối xứng của phần đồ thị này qua trục Ox 3. Đồ thị hàm số 1 ( )y f x= • Nếu 1 1 1 0 ( ):( ) ( )y y f x C C≥ => = ≡ ở trên trục Ox. • Nếu 1 1 1 0 ( ):( )y y f x C≤ => = − đối xứng với (C) ở trên trục Ox qua Ox. Đồ thị (C 1 ) được suy ra từ (C) bằng cách • Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox • Bỏ phần đồ thị ở dưới Ox và lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở trên trục Ox qua trục Ox. 4. Cho hàm số ( ) ( ) P x y Q x = có đồ thị (C) a. Vẽ đồ thị (C 1 ): 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 P x nêu Q(x)>0 Q x P x y P(x) Q x - nêu Q x Q(x)    = =   <   10 [...]... liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương Đờ thi (C1) được suy ra từ đờ thi (C) bằng cách: • Phần đờ thi (C) ở miền Q( x) > 0 giữ ngun • Bỏ phần đờ thi (C) ở miền Q( x) < 0 và lấy đới xứng của phần này qua trục Ox  P( x) nêu P(x) ≥ 0 P ( x)  Q( x)  = b Vẽ đờ thi (C1): y1 = Q( x)  P(x) nêu P ( x ) ≤ 0  Q(x)  Đờ thi (C1) được suy ra từ đờ thi ... (x + 1) 2010  1+ x  ÷  1− x  b/ y = log  c/ y = sinx + cosx (97) CM đồ thị hs : b 2a a/ y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có trục đối xứng là đường thẳng x = - b/ y = (x – a) 2010 + (x – b) 2010 có trục đối xứng là đường thẳng x = a+b 2 c/ y = (x – a) 2010 + (x – b) 2010 có trục đối xứng là đường thẳng x = a+b 2 d/ y = (x – a) 2011 + (x – b) 2011 có tâm đối xứng là I( a+b ; 0) 2 e/ y = x 4 - 4x 3 - 2x 2... + x +1 2 2x + 4x+5 b/ y = x2 +1 2 + cosx c/ y = 2 - cosx - sinx 2sinx + 3cosx - 1 8d/ y = sinx + 2 189.a/ y = 2 22 Tài liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương 2x 2 + ax + b (28) Tìm a, b để hs y = có GTLN bằng 5 và GTNN bằng 1 x2 − x +1 m.cosx + sinx - 3 (29) Tìm m để hs y = có GTNN bằng -2 cosx - 2sinx + 4 m.cosx + m - 1 < 1 nghiệm đúng ∀x ∈ R 9(30) Tìm m để BPT 3 + cosx + sinx... Phần đờ thi (C) ở miền P( x) ≥ 0 giữ ngun • Bỏ phần đờ thi (C) ở miền P( x) ≤ 0 và lấy đới xứng của phần này qua trục Ox * BÀI TẬP: (73) Cho hs : y = x 3 - 3x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 3 b) Tìm m để Pt : x - 3x + 1 - 2m 2 + m = 0 có 6 nghiệm phân biệt (74) Cho hs : y = - x 4 + 2x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để Pt : 1 - 3m 3 + 2m 2 - (1 - x 2 ) 2... ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương * BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2 x 5 2 x2 − 6 x − 2) 2 3) 2 x +1.5 x = 2.102 x +5 4) 2 x.3x −1.5x − 2 = 12 5) 7 3 x+1 - 5 x+ 2 = 3 x+ 4 - 5 x+3 6) 3 x+1 + 3 x− 2 - 3 x−3 + 3 x− 4 = 750 7) 2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 3x − 3x −1 + 3x −2 8) 9 x − 2 x + 2 = 2 x + 2 − 32 x −1 9) 7 3x + 9.5 2x = 5 2x + 9.7 2x 10) 2 x −1 - 3 x = 3 x −1 -. .. tại 3 điểm phân biệt PP1:  y / = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2 ĐK   f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 Giải hệ này tìm m 11 Tài liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 PP2: Nguyễn Hùng Cương - Đốn nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1) - Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; ∆ > 0  g ( x0 ) ≠ 0 trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa  Giải hệ này tìm m 2 Tìm m để (C) cắt... m = -1 b Tìm m để đờ thi hàm sớ (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành đợ dương Câu 17B03) Cho hàm sớ y = x 3 − 3x 2 + m(1) 18 Tài liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương a Tìm m để đờ thi hàm sớ (1) có hai điểm phân biệt đới xứng nhau qua gớc tọa đợ O b Khảo sát sự biến thi n và vẽ đờ thi của hàm sớ (1)... m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x ∈ [- 2; 4] 276.(18) Cho pt : (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3) x +1 =m x−3 (1) a/ Giải pt khi m = -3 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm 525.(19) Cho pt : 2x 2 − ( m + 2) x + 8 = 2 - x (1) a/ Giải pt khi m = 7 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm 21 Tài liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 ( Nguyễn Hùng Cương ) 298.(20) Cho BPT: 2x + 1 ≥ a x -1 + 1 a/ Giải Bpt khi a = 1 b/ Tìm a...  2 5 Tìm m để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt  y / = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2 PP1: ĐK  PP2: - Đốn nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1) Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; Giải hệ này tìm m  f ( x1 ) f ( x2 ) = 0 - 12 Tài liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương ∆ = 0 hoac trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa   g ( x0 ) ≠ 0 ∆... cực đại cực tiểu c) CMR ∀ a, b phương trình (x + a) 3 + (x + b) 3 - x 3 = 0 khơng thể có 3 nghiệm phân biệt (87) Cho hs : y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 3(m – 1) 14 Tài liệu ơn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó (88) Cho hs : y = - . Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. 4 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu m. 11 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương PP2: - Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1) - Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) =. tìm m. PP2: - Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1) - Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; 12 Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn