www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 KHI NO NGH N NG DNG O HM ? TS. Lờ Thng Nht o hm l mt khỏi nim rt quan trng ca Gii tớch lp 12. Trong cỏc thi tuyn sinh i hc v Cao ng thng xuyờn xut hin cỏc bi toỏn c gii nh ng dng o hm. Bi vit ny giỳp cỏc bn nm vng cỏc loi toỏn s dng o hm nh l mt cụng c hu hiu. 1. Xột nghim phng trỡnh. Trong cỏc bi toỏn v nghim ca phng trỡnh m tham s c lp vi n hoc bin i phng trỡnh, t n ph t c iu ny thỡ cỏc bn hóy ngh n vic s dng o hm. Thớ d 1.1. (Khi A 2008) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sau cú ỳng 2 nghim phõn bit: 4 4 2 2 2 6 2 6 + + - + - = x x x x m Gii: Gi v trỏi l f(x) thỡ tp xỏc nh ca f(x) l x ẻ [0 ; 6]. Ta cú: f(x) = ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 2 6 2 2 2 6 x x ( x) x - + - - - = 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2x 2 2x(6 x) 2 6 x 6 x 6 x 2x 2x ộ ự ổ ử - + + + + ờ ỳ ỗ ữ - - ờ ỳ ố ứ ở ỷ T ú xột du ca f(x) theo 4 4 1 1 6 x 2x - - ta cú bng bin thiờn ca f(x): Do ú phng trỡnh cú ỳng 2 nghim 4 2 6 2 6 m 3 2 6 + Ê < + Thớ d 1.2. (Khi A 2007)Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1 - + + = - Gii: www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Có th thy phng trình có dng đng cp bc hai. Vi điu kin x ³ 1, chia hai v cho x 1 + > 0 ta đc phng trình tng đng: 4 x 1 x 1 3 m 2 x 1 x 1 - - + = + + t 4 4 x 1 2 t 1 x 1 x 1 - = = - + + , ta có 0 £ t < 1. Phng trình trên tr thành: 3t 2 + m = 2t Û m = -3t 2 + 2t (*) Phng trình đã cho có nghim Û phng trình (*) có nghim tha mãn 0 £ t < 1. Xét f(t) = -3t 2 + 2t thì f’(t) = -6t + 2. Ta có bng bin thiên ca f(t) vi t ) 0;1 Î é ë là: T đó ta có kt qu - 1 < m 1 3 £ Thí d 1.3 ( Khi B – 2007). Chng minh vi mi giá tr dng ca tham s m, phng trình sau có hai nghim thc phân bit: x 2 + 2x – 8 = m(x 2) - Gii. iu kin cn thc có ngha x ³ 2. Khi đó bình phng hai v ta có: (x 2 + 2x – 8) 2 = m(x – 2) Û (x – 2) [(x – 2) (x + 4) 2 – m ] = 0 Û 2 x 2 (x 2)(x 4) m (*) = é ê - + = ê ë Xét f(x) = (x – 2) (x + 4) 2 vi x > 2 ta có: f’(x) = 3x 2 + 12x > 0 , " x > 2. Lp bng bin thiên: www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 Chng t vi m > 0 thì (*) luôn có đúng 1 nghim x > 2 tc là phng trình đã cho luôn có đúng 2 nghim 2. Tìm giá tr ln nht, nh nht.  tìm giá tr ln nht, nh nht ca hàm s trên mt min nào đó mà có th dùng đo hàm đ xét chiu bin thiên ca hàm s đó thì đo hàm là mt công c tt. Thm chí có nhng hàm s mà sau phép bin đi bin s đa v hàm s đn gin hn cng có th s dng đo hàm đ tìm giá tr ln nht, nh nht. Thí d 2.1. (khi D – 2003) Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s y = 2 x 1 x 1 + + trên đon [-1; 2]. Gii. Ta có y’ = ( ) 3 2 2 1 x x 1 - + . Ta xét bng bin thiên ca y vi x Î [-1; 2] T đó, vi x Î [-1 ; 2] thì y đt giá tr ln nht là 2 (khi x = 1) và đt giá tr nh nht là 0 (khi x = -1) Thí d 2.2. (Khi B – 2003) Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s y = x + 2 4 x - Gii. Tp xác đnh là x Î [-2 ; 2] Ta có: y’ = 1 - 2 x 4 x - = 2 2 4 x x 4 x - - - . Vì y’ =0 2 2 2 x 0 4 x x x 2 4 x x ³ ì ï Û - = Û Û = í - = ï î . www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 Mt khác y’< 0 2 2 2 2 x 0 4 x x 4 x x 2 x 2 4 x 0 > ì ï ï Û - < Û - < Û < < í ï - > ï î . Do đó ta có bng bin thiên x -¥ 2 - 2 2 +¥ y ’ + 0 - y 2 2 2 - 2 Suy ra [ ] x 2;2 max y 2 2 Î - = và [ ] x 2;2 miny 2 Î - = - . Thí d 2.3 Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s y = 2 1 x 1 x 1 x - + + + - Gii: t t = 1 x 1 x- + + vi x 1;1 Î - é ù ë û thì ( ) 2 2 1 1 1 x 1 x x t ' 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x - - + - = - = = + - - - - + + Lp bng bin thiên ca t: x -¥ 1 - 0 1 +¥ y ’ + 0 - y 2 2 2 1 T đó t 2;2 é ù Î ë û (nhiu bn ch đt điu kin t ³ 0 là sai). Khi đó: t 2 = 2 + 2 2 1 x - nên 2 2 t 2 1 x 2 - - = Do đó: y = t + 2 t 2 2 - = 2 t 2 + t -1 www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 Giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s ó cho chớnh l giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s y = 2 t 2 + t 1 vi t 2;2 ộ ự ẻ ở ỷ . Vỡ y = t + 1 > 0, t 2;2 ộ ự " ẻ ở ỷ nờn y t giỏ tr ln nht l 3 ( t =2) v giỏ tr nh nht l 2 ( t = 2 ) 3. Chng minh bt ng thc. Cú khỏ nhiu dng bt ng thc cú th chng minh bng cụng c o hm. Thớ d 3.1. (khi A 2003) Cho x, y, z l ba s dng v x + y + z 1 Ê . Chng minh rng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z + + + + + . Gii. Xột : 1 1 1 a x; ; b y; ; c z; x y z ổ ử ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ r r r thỡ: A = | a | | b | | c | | a b c | + + + + r uur r r r r tc l: A = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z ổ ử + + + + + + + + + + ỗ ữ ố ứ n õy ta cú hai cỏch i tip: Cỏch 1: p dng bt ng thc Cụ - si ta cú : x + y + z 3 3 xyz 1 1 1 x y z + + 3 . 3 1 xyz Do ú: A 9 9t t + vi t = ( ) 2 3 xyz , trong ú : 0 < t Ê 2 x y z 3 + + ổ ử ỗ ữ ố ứ 1 9 Ê . Khi ú f(t) = 9t + 9 t cú f(t) = 9 - 2 9 t < 0 ị f(t) 1 f 9 ổ ử ỗ ữ ố ứ = 82 A f (t) 82 ị . Cỏch 2: ( x + y + z) 2 + 2 1 1 1 x y z ổ ử + + ỗ ữ ố ứ = 81 ( x + y + z) 2 + 2 1 1 1 x y z ổ ử + + ỗ ữ ố ứ - 80 ( x + y + z) 2 ( ) 2 2 2 1 1 1 2 81(x y z) . 80 x y z x y z ổ ử + + + + - + + ỗ ữ ố ứ 2 1 1 1 18(x y z) 80(x y z) x y z ổ ử + + + + - + + ỗ ữ ố ứ 18 . 9 80 = 82. T ú suy ra iu phi chng minh. Thớ d 3.2. www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 Chng minh: vi x ) 1;1 Î - é ë thì 1 x 1 x 2 - + + ³ Gii. Xét f(x) = 1 x 1 x + + - (xem thí d 2.3) ta có ngay f(x) 2 ³ . Thí d 3.3. Chng minh 2008 2009 > 2009 2008 Gii. Xét hàm s f(x) = ln x x vi x > 0 ta có: f’(x) = 2 1 x. ln x x x - = 2 1 ln x x - Ta có vi x > e thì lnx > 1 nên f’(x) < 0. Do đó f(x) nghch bin vi x > e. Vì 2009 > 2008 > e nên f(2009) < f(2008) Û ln 2009 ln2008 2009 2008 < Û 2008 ln2009 < 2009 . ln 2008 Û ln(2009 2008 )< ln (2008 2009 ) Û 2008 2009 > 2009 2008 Bài tp t luyn 1. (Khi B – 2007). Cho x, y, z là ba s thc dng thay đi. Tìm giá tr nh nht ca biu thc: x 1 y 1 z 1 P x y z 2 yz 2 zx 2 xy æ ö æ ö æ ö = + + + + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Gi ý. 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P 2 2 2 xyz + + = + + + . Vì x 2 + y 2 + z 2 ³ xy + yz + zx nên: 2 2 2 x 1 y 1 z 1 P 2 x 2 y 2 z æ ö æ ö æ ö ³ + + + + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . Xét f(t) = 2 t 1 2 t + vi t > 0. T đó đánh giá tng biu thc ta có điu phi chng minh. 2. Xét chiu bin thiên ca hàm s f(x) = tan x x vi x 0; 2 p æ ö Î ç ÷ è ø . T đó so sánh 10tan 9 0 và 9tan10 0 . 3. Bin lun s nghim phng trình: x + 3 = m 2 x 1 + 4. Tìm m đ phng trình sau có nghim: a. x + 2 1 x - = m b. x 6 x x(6 x) m + - - - = www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 5. Tìm giá tr ln nht và nh nht: a. y = 4 4 2 x 2 x - + + b. y = cos2x + 4cosx c. y = 4 4 x 4 x x 4 x + - + + - . . ca hàm s trên mt min nào đó mà có th dùng đo hàm đ xét chiu bin thi n ca hàm s đó thì đo hàm là mt công c tt. Thm chí có nhng hàm s mà sau phép bin đi bin s đa v hàm. NGH N NG DNG O HM ? TS. Lờ Thng Nht o hm l mt khỏi nim rt quan trng ca Gii tớch lp 12. Trong cỏc thi tuyn sinh i hc v Cao ng thng xuyờn xut hin cỏc bi toỏn c gii nh ng dng o hm. Bi vit. đn gin hn cng có th s dng đo hàm đ tìm giá tr ln nht, nh nht. Thí d 2.1. (khi D – 2003) Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s y = 2 x 1 x 1 + + trên đon [-1;