Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu ôn tập môn Xác suất thống kê.
HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Dùng cho sinh viên ngành CNTT ĐTVT hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biên soạn : Ts LÊ BÁ LONG LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất thống kê phận toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Ta hiểu tượng ngẫu nhiên tượng khơng thể nói trước xảy hay không xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên phép thử nhau, ta rút kết luận khoa học tượng Lý thuyết xác suất sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu các phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút kết luận định cần thiết Ngày nay, với hỗ trợ tích cực máy tính điện tử cơng nghệ thơng tin, lý thuyết xác suất thống kê ngày ứng dụng rộng rãi hiệu lĩnh vực khoa học tự nhiên xã hội Chính lý thuyết xác suất thống kê giảng dạy cho hầu hết nhóm ngành đại học Có nhiều sách giáo khoa tài liệu chuyên khảo viết lý thuyết xác suất thống kê Tuy nhiên, với phương thức đào tạo từ xa có đặc thù riêng, đòi hỏi học viên phải làm việc độc lập nhiều hơn, cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập mơn học thích hợp cho đối tượng Tập tài liệu “Hướng dẫn học mơn tốn xác suất thống kê” biên soạn nhằm mục đích Tập tài liệu biên soạn cho hệ đại học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông theo đề cương chi tiết chương trình qui định Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng Nội dung sách bám sát giáo trình trường đại học khối kỹ thuật theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trường, ngành đại học cao đẳng khối kỹ thuật Giáo trình gồm chương tương ứng với đơn vị học trình (60 tiết): Chương I: Các khái niệm xác suất Chương II: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên đặc trưng chúng Chương IV: Luật số lớn định lý giới hạn Chương V:.Thống kê tốn học Chương VI: Q trình ngẫu nhiên chuỗi Markov Điều kiện tiên môn học hai mơn tốn cao cấp đại số giải tích chương trình tốn đại cương Tuy nhiên hạn chế chương trình tốn dành cho hình thức đào tạo từ xa, nhiều kết định lý phát biểu minh họa khơng có điều kiện để chứng minh chi tiết Giáo trình trình bày theo cách thích hợp người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu chương để thấy mục đích ý nghĩa, u cầu chương Trong chương, nội dung, người đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt dẫn rõ ràng Đặc biệt bạn đọc nên ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu mở rộng tổng quát kết hướng ứng dụng vào thực tế Hầu hết toán xây dựng theo lược đồ: đặt toán, chứng minh tồn lời giải lý thuyết cuối nêu thuật toán giải tốn Các ví dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp người đọc dễ dàng tiếp thu học Sau chương có phần tóm tắt nội dung cuối câu hỏi luyện tập Có khoảng từ 20 đến 30 tập cho chương, tương ứng vói -5 câu hỏi cho tiết lý thuyết Hệ thống câu hỏi bao trùm toàn nội dung vừa học Có câu kiểm tra trực tiếp kiến thức vừa học có câu đòi hỏi học viên phải vận dụng cách tổng hợp sáng tạo kiến thức để giải Vì việc giải tập giúp học viên nắm lý thuyết kiểm tra mức độ tiếp thu lý thuyết Tuy tác giả cố gắng, song thời gian bị hạn hẹp với yêu cầu cấp bách Học viện, thiếu sót cịn tồn giáo trình điều khó tránh khỏi Tác giả mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần xin cám ơn điều Cuối chúng tơi bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thơng bạn bè đồng nghiệp khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệu Hà Nội, đầu năm 2006 Lê Bá Long Khoa Học Viện CNBCVT Chương 1: Các khái niệm xác suất CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT GIỚI THIỆU Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết xảy ra) Chẳng hạn ta biết chắn lơng quạ có mầu đen, vật thả từ cao chắn rơi xuống đất Đó tượng diễn có tính quy luật, tất định Trái lại tung đồng xu ta mặt sấp hay mặt ngửa xuất Ta khơng thể biết có gọi đến tổng đài, có khách hàng đến điểm phục vụ khoảng thời gian Ta khơng thể xác định trước số chứng khốn thị trường chứng khốn… Đó tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hoàn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu qui luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế-xã hội Chương trình bày cách có hệ thống khái niệm kết lý thuyết xác suất: - Các khái niệm phép thử, biến cố - Quan hệ biến cố - Các định nghĩa xác suất: định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo thống kê - Các tính chất xác suất: cơng thức cộng cơng thức nhân xác suất, xác suất biến cố đối - Xác suất có điều kiện, cơng thức nhân trường hợp không độc lập Công thức xác suất đầy đủ định lý Bayes - Dãy phép thử Bernoulli xác suất nhị thức Khi nắm vững kiến thức đại số tập hợp hợp, giao tập hợp, tập con, phần bù tập … học viên dễ dàng việc tiếp thu, biểu diễn mơ tả biến cố Để tính xác suất biến cố theo phương pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số trường hợp thuận lợi biến cố số trường hợp Vì học viên cần nắm vững phương pháp đếm - giải tích tổ hợp (đã học lớp 12 chương toán đại số A2) Tuy nhiên để thuận lợi cho người học chúng tơi nhắc lại kết mục Một khó khăn tốn xác suất xác định biến cố sử dụng cơng thức thích hợp Bằng cách tham khảo ví dụ giải nhiều tập rèn luyện tốt kỹ Chương 1: Các khái niệm xác suất NỘI DUNG 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử (Experiment) Trong thực tế ta thường gặp nhiều thí nghiệm, quan sát mà kết khơng thể dự báo trước Ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ C Tuy kết xảy nào, ta liệt kê biểu diễn tất kết phép thử C Mỗi kết phép thử C gọi biến cố sơ cấp Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu, ký hiệu Ω Ví dụ 1.1: Phép thử tung đồng xu có không gian mẫu Ω = {S, N } Với phép thử tung xúc xắc, biến cố sơ cấp xem số nốt mặt xuất Vậy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Phép thử tung đồng thời đồng xu có khơng gian mẫu Ω = {( S , S ), ( S , N ), ( N , S ), ( N , N )} Chú ý chất biến cố sơ cấp khơng có vai trị đặc biệt lý thuyết xác suất Chẳng hạn xem khơng gian mẫu phép thử tung đồng tiền Ω = {0, 1}, biến cố sơ cấp mặt sấp xuất để mặt ngửa xuất 1.1.2 Biến cố (Event) Với phép thử C ta thường xét biến cố (còn gọi kiện) mà việc xảy hay không xảy hoàn toàn xác định kết C Mỗi kết ω C ω C gọi kết thuận lợi cho biến cố A A xảy kết Ví dụ 1.2: Nếu gọi A biến cố số nốt xuất chẵn phép thử tung xúc xắc ví dụ 1.1 A có kết thuận lợi 2, 4, Tung hai đồng xu, biến cố xuất mặt sấp mặt ngửa (xin âm dương) có kết thuận lợi ( S , N ) ; ( N , S ) Như biến cố A đồng với tập không gian mẫu Ω bao gồm kết thuận lợi A Mỗi biến cố xảy phép thử thực hiện, nghĩa gắn với khơng gian mẫu Có hai biến cố đặc biệt sau: • Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử, biến cố trùng với không gian mẫu Ω • Biến cố biến cố định không xảy thực phép thử Biến cố ký hiệu φ Chương 1: Các khái niệm xác suất Tung xúc xắc, biến cố xuất mặt có số nốt nhỏ biến chắn, biến cố xuất mặt có nốt biến cố 1.1.3 Quan hệ biến cố Trong lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho biến cố a Quan hệ kéo theo Biến cố A kéo theo biến cố B , ký hiệu A ⊂ B , A xảy B xảy b Quan hệ biến cố đối Biến cố đối A biến cố ký hiệu A xác định sau: A xảy A không xảy c Tổng hai biến cố Tổng hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A ∪ B Biến cố A ∪ B xảy có A B xảy Tổng dãy biến cố {A1 , A2 , , An } biến cố n ∪ Ai Biến cố xảy có i =1 biến cố Ai xảy d Tích hai biến cố Tích hai biến cố A, B biến cố ký hiệu AB Biến cố AB xảy hai biến cố A , B xảy Tích dãy biến cố {A1 , A2 , , An } biến cố n ∏ Ai Biến cố xảy tất i =1 biến cố Ai xảy e Biến cố xung khắc Hai biến số A, B gọi xung khắc biến cố tích AB biến cố khơng thể Nghĩa hai biến cố đồng thời xảy Chú ý biến cố với phép tốn tổng, tích lấy biến cố đối tạo thành đại số Boole phép tốn định nghĩa có tính chất phép tốn hợp, giao, lấy phần bù tập không gian mẫu f Hệ đầy đủ biến cố Dãy biến cố A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ biến cố nếu: i Xung khắc đôi một, nghĩa Ai A j = φ với i ≠ j = 1, , n , n ii Tổng chúng biến cố chắc, nghĩa ∪ Ai = Ω i =1 { } Đặc biệt với biến cố A , hệ A, A hệ đầy đủ Chương 1: Các khái niệm xác suất Ví dụ 1.3: Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Giả sử sản phẩm nhà máy ba phân xưởng sản xuất Chọn ngẫu nhiên sản phẩm, gọi A1 , A2 , A3 biến cố sản phẩm chọn phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba sản xuất Khi hệ ba biến cố A1 , A2 , A3 hệ đầy đủ g Tính độc lập biến cố Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố Tổng quát biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập việc xảy hay khơng xảy nhóm k biến cố, ≤ k ≤ n , không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay khơng xảy biến cố cịn lại Định lý 1.2: Nếu A, B độc lập cặp biến cố: A, B ; A, B ; A, B độc lập Ví dụ 1.4: Ba xạ thủ A, B, C người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A, B, C biến cố A, B, C bắn trúng mục tiêu a Hãy mô tả biến cố: ABC , A B C , A ∪ B ∪ C b Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C : - D : Có xạ thủ bắn trúng - E : Có nhiều xạ thủ bắn trúng - F : Chỉ có xạ thủ C bắn trúng - G : Chỉ có xạ thủ bắn trúng c Các biến cố A, B, C có xung khắc, có độc lập khơng ? Giải: a ABC : bắn trúng A B C : bắn trượt A ∪ B ∪ C : có người bắn trúng b D = AB ∪ BC ∪ CA Có nhiều xạ thủ bắn trúng có nghĩa có hai xạ thủ bắn trượt, E = AB ∪ BC ∪C A F = ABC G = ABC ∪ ABC ∪ ABC c Ba biến cố A, B, C độc lập không xung khắc 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT VÀ CÁC TÍNH CHẤT Việc biến cố ngẫu nhiên xảy hay không kết phép thử điều biết đoán trước Tuy nhiên cách khác ta định lượng khả xuất biến cố, xác suất xuất biến cố Chương 1: Các khái niệm xác suất Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Dựa vào chất phép thử (đồng khả năng) ta suy luận khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển Khi thực nhiều lần lặp lại độc lập phép thử ta tính tần suất xuất biến cố Tần suất thể khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo thống kê 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử phép thử C thoả mãn hai điều kiện sau: (i) Khơng gian mẫu có số hữu hạn phần tử (ii) Các kết xảy đồng khả Khi ta định nghĩa xác suất biến cố A P ( A) = sè tr−êng hỵp thn lỵi đèi víi A sè tr−êng hỵp cã thĨ (1.1) Nếu xem biến cố A tập không gian mẫu Ω P ( A) = A sè phÇn tư cđa A = sè phÇn tư cđa Ω Ω (1.1)’ Ví dụ 1.5: Biến cố A xuất mặt chẵn phép thử gieo xúc xắc ví dụ 1.1 có 3 trường hợp thuận lợi ( A = ) trường hợp ( Ω = ) Vậy P( A) = = Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm giải tích tổ hợp 1.2.2 Các qui tắc đếm a Qui tắc cộng Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng x1 , m cách chọn loại đối tượng x , , mn cách chọn loại đối tượng x n Các cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn x j i ≠ j có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng cho b Qui tắc nhân Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H1 , H , , H k cơng đoạn H i có ni cách thực có tất n1 × n2 × × nk cách thực cơng việc H c Hốn vị Mỗi phép đổi chỗ n phần tử gọi phép hoán vị n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính được: Có n ! hoán vị n phần tử Chương 1: Các khái niệm xác suất d Chỉnh hợp Chọn k phần tử khơng hồn lại tập n phần tử ta chỉnh hợp chập k n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank = n! (n − k )! (1.2) e Tổ hợp Một tổ hợp chập k n phần tử tập k phần tử tập n phần tử Cũng xem tổ hợp chập k n phần tử cách chọn đồng thời k phần tử tập n phần tử Hai chỉnh hợp chập k n phần tử khác nếu: có phần tử chỉnh hợp chỉnh hợp phần tử thứ tự khác Do với tổ hợp chập k n phần tử có k! chỉnh hợp tương ứng Mặt khác hai chỉnh hợp khác ứng với hai tổ hợp khác khác Vậy số tổ hợp chập k n phần tử Ank k Cn = = k! n! k!(n − k )! (1.3) Ví dụ 1.6: Tung xúc xắc hai lần Tìm xác suất để có lần nốt Giải: Số trường hợp 36 Gọi A biến cố “ lần tung xúc xắc có lần mặt 6” Nếu lần thứ mặt lần thứ hai mặt từ đến 5, nghĩa có trường hợp Tương tự có trường hợp xuất mặt lần tung thứ hai Áp dụng 10 quy tắc cộng ta suy xác suất để có lần mặt tung xúc xắc lần 36 Ví dụ 1.7: Cho từ mã bit tạo từ chuỗi bit bit đồng khả Hãy tìm xác suất từ có chứa k bit 1, với k = , , Giải: Số trường hợp Ω = Đặt Ak biến cố " từ mã có chứa k bit 1" Có thể xem từ mã có chứa k bit tổ hợp chập k phần tử, số trường hợp thuận lợi 6! Ak số tổ hợp chập k Do Ak = C 6k = k!(6 − k )! Vậy xác suất biến cố tương ứng P ( Ak ) = 6! k!(6 − k )!2 , k = , , Ví dụ 1.8: Một người gọi điện thoại quên hai số cuối số điện thoại nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi ... định mức xác suất gọi nhỏ phụ thuộc vào toán cụ thể Chẳng hạn xác suất để máy bay rơi 0,01 xác suất chưa thể coi nhỏ Song xác suất chuyến tàu khởi hành chậm 0,01 coi xác suất nhỏ Mức xác suất nhỏ... nghĩa thống kê xác suất Xác suất biến cố A P ( A) ≈ f n ( A) = k n ( A) k n ( A) số lần xuất biến n cố A n phép thử 17 Chương 1: Các khái niệm xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ Nếu biến cố có xác suất. .. 1.2.6 Các tính chất định lý xác suất 1.2.6.1 Các tính chất xác suất Các định nghĩa xác suất thoả mãn tính chất sau: Với biến cố A : ≤ P( A) ≤ (1.5) Xác suất biến cố 0, xác suất biến cố chắn P (φ)