TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 TỔ TOÁN -TIN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC: 2010 -2011 Môn: TOÁN; Khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm). Câu I ( 2 điểm) Cho hàm số 4 2 2 3 1 y x mx m     (C), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1. 2. Tìm tham số m để hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; 2). Câu II (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình:   2 3 3 4 3 2 2 3 y y x y x y               2. Giải phương trình: 2sin 2 cos2 7sin 2cos 4 x x x x     Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I 1 2 0 1 1 dx x x     . Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 0 60 DAB  . Chiều cao SO của chóp bằng 3 2 a , ( O là giao của hai đường chéo đáy). Gọi M là trung điểm cạnh AD, ( )  là mặt phẳng đi qua BM và song song với SA, cắt SC, SD lần lượt tại K, P. Tính thể tích khối KPBCDM theo a. Câu V(1 điểm) Cho , , a b c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện: 1 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu th ức: 2 2 2 . P a b b c c a    PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ). A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) 1. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật là 16. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng 1 1 : 1 2 1 x y z d       . Viết phương trình đường thẳng  qua A và cắt d, sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến  nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm) Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật ? B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Elíp có phương trình 2 2 ( ) : y 1 4 x E   và hai điểm A(0; 2), B(-2; 1). Tìm điểm ( ) C E  sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ): 5 0 x y     , ( ) : 3 0 y z     , điểm M(1; 1; 0). Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với giao tuyến của ( )  và ( )  , đồng thời d cắt ( )  và ( )  lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB. Câu VII.b (1 điểm) Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức:   13 13 12 11 0 1 2 12 13 ( ) 2 1 . P x x a x a x a x a x a         Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: www.laisac.page.tl Đ Ề CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM I 1 (1điểm).Khảo sát khi m=1 Khi m=1, hàm số trở thành 4 2 2 2 y x x    . -Tập xác định: D=R - lim ; lim x x y y       - Sự biến thiên:   ' 3 2 0 4 4 0 4 1 0 1 x y x x x x x              - Bảng biến thiên: x  -1 0 1  y’ - 0 + 0 - 0 + y   -2 -3 -3 - Hàm số đạt cực đại (0;-2), cực tiểu (-1;-3) và (1;3) - Hàm số đồng biến trên ( 1;0) (1; )    ; Nghịch biến trên ( ; 1) (0;1)    - Đồ thị: 0.25 0.5 0.25 2 (1 điểm) Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;2) Ta có 3 2 ' 4 4 4 ( ) y x mx x x m     0 m  , ' 0, y x   Suy ra 0 m  thoả mãn. 0 m  , ' 0 y  có 3 nghiệm phân biệt: , 0, m m  . Để hàm số đồng biến trên (1;2) khi chỉ khi 1 1 m m    . Vậy 0 1 m   . Kết hợp ta có   ;1 m   . 0.5 0.5 II 1 (1 điểm). Giải hệ. Đk: ; 2. x R y    Biến đổi (1) về pt ẩn y:   2 3 4 3 y y x y      3 (L); 1 y y x     Thay vào (2). 3 2 1 3 x x     . VT là hàm đồng biến trên   1;   nên pt có nghiệm duy nhất x=3. Với x=3 suy ra y = -2. Vậy hệ đã cho có nghiệm (3;-2) 0.25 0.5 0.25 2 (1 điểm)Phương trình lượng giác. 2 2sin 2 cos2 7sin 2cos 4 4sin .cos 2cos 2sin 7sin 3 0 x x x x x x x x x               2sin 1 2cos sin 3 0 x x x      0.5 x y -2 -1 O 1 -3 2sin 1 0 2cos sin 3 0 (VN) x x x          1 5 sin 2 ; 2 . 2 6 6 x x k x k            0.25 0.25 III (1 điểm).Tính tích phân. Đặt 2 2 2 1 2 1 1 dx dt t x x x t x x          . Đổi cận : 0 1; 1 1 3 x t x t         1 3 1 3 1 1 2 3 2 3 ln 2 1 ln 2 1 3 dt I t t          0.25 0.25 0.5 IV R I P K N M O C B A D S 0.25 0.25 0.25 0.25 V (1 điểm). Tìm GTLN của 2 2 2 . P a b b c c a    với , , 0; 1 a b c a b c     Giả sử   max ; ; a a b c  Khi đó:         2 2 2 3 2 2 2 1 . . . 2 2 1 2 4 2 3 27 a c ac P a b abc ac P ab a c a c P a c a b c a c a b c P                        Dấu bằng khi 2 1 ; ; 0 3 3 a b c    và các hoán vị. 0.25 0.25 0.25 0.25 VIA. 1 (1 điểm) Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật. Nhận thấy phương trình cạnh AB không thể là x = 4. Gọi pt cạnh AB: 2 2 ( 4) ( 5) 0. ( 0) a x b y a b       . Suy ra pt cạnh BC: ( 6) ( 5) 0. b x a y     Diện tích hình chữ nhật là:     2 2 2 2 3 4 4 ; . ; . 16 a b b a d P AB d Q BC a b a b        2 2 ( 3 ) ) 4( ) a b a b a b      1, 1 1, 1/3 b a b a           Vậy pt AB là: 1 0 x y     hoặc 3 11 0 x y     0.25 0.25 0.25 0.25 Kẻ NK, MP // SA; KP, BM, CD kéo dài cắt nhau tại I. Suy ra M, D là trung điểm BI và CI. Do N là trọng tâm ABD  nên:   2 2 ;( ) 3 3 CK d K ABC SO a CS     . 2 1 3 . .sin 2 2 IBC a S IC BC C    3 3 6 IBCK a V  Kẻ KR// DC. 1 3 KP KR KR SK PI ID DC SC     Suy ra: 3 4 IP IK  3 3 13 13 3 . 16 16 96 IMDP KPBCDM IBCK IBCK V IM ID IP a V V V IB IC IK      2 (1 điểm) Viết pt đt  qua A và cắt d, s/c khoảng cách từ gốc toạ độ O đến  nhỏ nhất. Đường thẳng  thuộc mp (P) qua A và chứa d, nên (P): 3 2 4 0 x y z     . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Toạ độ H t/m hệ: 3 2 6 4 2 ; ; 7 7 7 3 2 0 x t y t H z t x y z                       Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên  : ( ; ) d A AK AH    Để khoảng cách nhỏ nhất thì K H H     . Suy ra  qua A,H nên có pt : 1 2 1 : 1 3 9 x y z       , dễ thấy  cắt d nên  là đt cần tìm. 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIA. (1 điểm). Chia đồ vật. TH1: Mỗi người được 2 đồ vật: 2 2 6 4 . C C TH2: Một người được 1, một người được 2, một người được 3 đồ vật: 1 2 6 5 . .3! C C TH3: Hai người được 1, một người được 4 đồ vật: 1 1 6 5 . .3 C C . Theo quy tắc cộng có 540 cách chia. 0.25 0.25 0.25 0.25 VI.B 1 (1 điểm) Tìm C thuộc (E) để tam giác có diện tích lớn nhất. Phương trình cạnh AB: 2 4 0 x y    . Gọi     2cos ;sin , 0;2 C t t t   . Diện tích  ABC lớn nhất   ; d C AB  lớn nhất.   4 2 2 cos 2cos 2sin 4 4 2 2 4 ; 5 5 5 t t t d C AB                Dấu = khi 7 cos 1 4 4 t t             . Vậy 2 2; 2 C          0.25 0.25 0.25 0.25 2 (1 điểm) Viết pt đường thẳng d. Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với giao tuyến của ( )  và ( )  . Phương trình (P): 0 x y z    . Lấy đối xứng ( )  qua M được ( '): 1 0 x y     . Suy ra B là giao điểm của ba mặt phẳng ( ) P , ( )  và ( ')  . Toạ độ B t/m hệ: 0 1 4 5 3 0 ; ; 3 3 3 1 0 x y z y z B x y                        Vậy đường thẳng qua B, M là đường thẳng d cần tìm: 1 1 2 7 5 x y z     . 0.25 0.25 0.25 0.25 VII.B (1 điểm) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất. Ta có:   13 13 13 13 0 ( ) 2 1 (2 ) n n n P x x C x       Vậy 13 1 14 13 1 13 2 2 (n=1,2, ,13) n n n n n n a C a C        Xét bpt: 1 2.13! 13! 14 5 ( 1)!(14 )! !(13 )! 3 n n a a n n n n n           Do đó 1 n n a a   đúng với   1,2,3,4, n  và dấu đẳng thức không xảy ra. Suy ra: 0 1 2 3 4 a a a a a     và 4 5 6 13 a a a a     . Vậy hệ số có GTLN là 4 9 4 13 2 366080. a C  0.25 0.25 0.25 0.25 HẾT (Nếu thí sinh làm cách khác đúng, thì vẫn cho điểm tối đa). . TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 TỔ TOÁN -TIN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC: 2010 -2 011 Môn: TOÁN; Khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. .           - Bảng biến thi n: x  -1 0 1  y’ - 0 + 0 - 0 + y   -2 -3 -3 - Hàm số đạt cực đại (0 ;-2 ), cực tiểu (-1 ;-3 ) và (1;3) - Hàm số đồng biến trên. 1 (1điểm) .Khảo sát khi m=1 Khi m=1, hàm số trở thành 4 2 2 2 y x x    . -Tập xác định: D=R - lim ; lim x x y y       - Sự biến thi n:   ' 3 2 0 4 4 0 4 1 0 1 x y