T T r r ờ ờ n n g g t t h h p p t t c c ầ ầ u u x x e e n n ă ă m m 2 2 0 0 1 1 1 1 đ ề chí nh thức đ đ ề ề t t h h i i t t h h ử ử đ đ ạ ạ i i h h ọ ọ c c M M ô ô n n t t h h i i : : T T O O á á N N ; ; K K h h ố ố i i A A P P h h ầ ầ n n c c h h u u n n g g c c h h o o t t ấ ấ t t c c ả ả c c á á c c t t h h í í s s i i n n h h ( ( 7 7 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) C C â â u u I I ( ( 2 2 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) C C h h o o h h à à m m s s ố ố 3 32yxx=-+ 1 1 . . K K h h ả ả o o s s á á t t s s ự ự b b i i ế ế n n t t h h i i ê ê n n v v à à v v ẽ ẽ đ đ ồ ồ t t h h ị ị ( ( C C ) ) c c ủ ủ a a h h à à m m s s ố ố . . 2 2 . . V V i i ế ế t t p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h đ đ ờ ờ n n g g t t h h ẳ ẳ n n g g c c ắ ắ t t đ đ ồ ồ t t h h ị ị ( ( C C ) ) t t ạ ạ i i 3 3 đ đ i i ể ể m m p p h h â â n n b b i i ệ ệ t t ,,ABC s s a a o o c c h h o o đ đ i i ể ể m m A đ đ ộ ộ b b ằ ằ n n g g 2 v v à à 22BC = . . C C â â u u I I I I ( ( 2 2 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) 1 1 . . G G i i ả ả i i p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h 2 2 . . G G i i ả ả i i h h ệ ệ p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h C C â â u u I I I I I I ( ( 1 1 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) C C â â u u I I V V ( ( 1 1 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) C C h h o o h h ì ì n n h h c c h h ó ó p p . SABCD c c ó ó đ đ á á y y ABCD l l à à h h ì ì n n h h t t h h a a n n g g v v u u ô ô n n g g t t ạ ạ i i A v v à à B v v ớ ớ i i BC đ đ á á y y n n h h ỏ ỏ , , H l l à à t t r r u u n n g g đ đ i i ể ể m m c c ủ ủ a a AB . . B B i i ế ế t t r r ằ ằ n n g g t t a a m m g g i i á á c c SAB l l à à t t a a m m g g i i á á c c đ đ ề ề u u c c ó ó c c ạ ạ n n h h v v ớ ớ i i đ đ ộ ộ d d à à i i b b ằ ằ n n g g v v à à n n ằ ằ m m t t r r o o n n g g m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g v v u u ô ô n n g g g g ó ó c c v v ớ ớ i i đ đ á á y y , , 5SCa= v v à à k k h h o o ả ả n n g g c c á á c c h h t t ừ ừ D t t ớ ớ i i m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g ( ) SHC b b ằ ằ n n g g a . . T T í í n n h h t t h h ể ể t t í í c c h h c c ủ ủ a a k k h h ố ố i i c c h h ó ó p p . SABCD T T h h í í s s i i n n h h c c h h ỉ ỉ đ đ ợ ợ c c l l à à m m m m ộ ộ t t t t r r o o n n g g h h a a i i p p h h ầ ầ n n ( ( p p h h ầ ầ n n A A h h o o ặ ặ c c B B ) ) A A . . T T h h e e o o c c h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h C C h h u u ẩ ẩ n n C C â â u u V V I I . . a a 2 2 . . T T r r o o n n g g k k h h ô ô n n g g g g i i a a n n t t o o ạ ạ đ đ ộ ộ Oxyz , , c c h h o o m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g ( ) a c c ó ó p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h : : 230xyz += v v à à h h a a i i đ đ i i ể ể m m (0;2;1)A - , , (1;0;3)B . . G G ọ ọ i i 'A l l à à đ đ i i ể ể m m đ đ ố ố i i x x ứ ứ n n g g v v ớ ớ i i A q q u u a a m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g ( ) a , , C C â â u u V V I I I I . . a a ( ( 1 1 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) T T ì ì m m s s ố ố p p h h ứ ứ c c l l i i ê ê n n h h ợ ợ p p c c ủ ủ a a s s ố ố p p h h ứ ứ c c z b b i i ế ế t t (1)1zi-+= v v à à 2 zi - l l à à m m ộ ộ t t s s ố ố t t h h ự ự c c . . B B . . T T h h e e o o c c h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h N N â â n n g g c c a a o o T T h h ờ ờ i i g g i i a a n n l l à à m m b b à à i i : : 1 1 8 8 0 0 p p h h ú ú t t , , k k h h ô ô n n g g k k ể ể t t h h ờ ờ i i g g i i a a n n p p h h á á t t đ đ ề ề C C â â u u V V I I . . b b ( ( 2 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) 1 1 . . T T r r o o n n g g m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g t t o o ạ ạ đ đ ộ ộ Oxy , , c c h h o o E E l l i i p p ( ) E c c ó ó p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h : : 22 1 94 xy += v v à à h h a a i i đ đ i i ể ể m m (3;2),A - (3;2)B - . . T T ì ì m m t t o o ạ ạ đ đ ộ ộ đ đ i i ể ể m m C c c ó ó h h o o à à n n h h đ đ ộ ộ v v à à t t u u n n g g đ đ ộ ộ d d ơ ơ n n g g t t h h u u ộ ộ c c E E l l i i p p ( ) E s s a a o o c c h h o o t t a a m m g g i i á á c c ABC c c ó ó d d i i ệ ệ n n t t í í c c h h l l ớ ớ n n n n h h ấ ấ t t . . 2 2 . . T T r r o o n n g g k k h h ô ô n n g g g g i i a a n n t t o o ạ ạ đ đ ộ ộ Oxyz , , c c h h o o đ đ i i ể ể m m (10;2;1)A - v v à à đ đ ờ ờ n n g g t t h h ẳ ẳ n n g g c c ó ó p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h : : C C â â u u V V I I I I . . b b ( ( 1 1 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) G G i i ả ả i i p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h 22 log(24)3log(212) xx x+=-++ ( ( xẻĂ ) ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - H H ế ế t t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T T h h í í s s i i n n h h k k h h ô ô n n g g đ đ ợ ợ c c s s ử ử d d ụ ụ n n g g t t à à i i l l i i ệ ệ u u . . C C á á n n b b ộ ộ c c o o i i t t h h i i k k h h ô ô n n g g g g i i ả ả i i t t h h í í c c h h g g ì ì t t h h ê ê m m . . H H ọ ọ v v à à t t ê ê n n t t h h í í s s i i n n h h : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; ; s s ố ố b b á á o o d d a a n n h h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 12 1 - == - zyx . . L L ậ ậ p p p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g ( ( P P ) ) đ đ i i q q u u a a A A , , s s o o n n g g s s o o n n g g v v ớ ớ i i d d v v à à k k h h o o ả ả n n g g c c á á c c h h t t ừ ừ d d t t ớ ớ i i m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g ( ( P P ) ) l l à à l l ớ ớ n n n n h h ấ ấ t t . . c c ó ó h h o o à à n n h h 44 sincos 1tantansin 2cos xxx xx x + +=+ 2a là C C â â u u V V ( ( 1 1 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) T T ì ì m m g g i i á á t t r r ị ị n n h h ỏ ỏ n n h h ấ ấ t t c c ủ ủ a a b b i i ể ể u u t t h h ứ ứ c c : : 1 1 . . Tính tích phân I = 2 1 ln - ổử + ỗữ ốứ ũ x x eex exdx x 2 3 2 2 1 + 21 = 1 2 . 22 ỡ +- ù ớ + ù -=- ợ yx y yxx x ( ,xy ẻĂ ) 22 ( ( 2 , , 0 0 đ đ i i ể ể m m ) ) d t h eo . a Cho x, y ,z, là các số thực d ơng thoả mãn điều kiện : xyz3++= 222 222 xyyzzx Pxyz xyyzzx ++ =+++ ++ hãy tính độ dài đoạn thẳng AC . Biết rằng điểm C thuộc đ ờng thẳng 'AB và đ ờng thẳng AC song song với mặt phẳng ( ) a . Phần tự chọn (3,0 điểm) T T r r o o n n g g m m ặ ặ t t p p h h ẳ ẳ n n g g t t o o ạ ạ đ đ ộ ộ Oxy , , c c h h o o t t a a m m g g i i á á c c ABC c c ó ó d d i i ệ ệ n n t t í í c c h h b b ằ ằ n n g g 2 2 v v à à đ đ ờ ờ n n g g t t h h ẳ ẳ n n g g AB c c ó ó p p h h ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h xy0-= . . B B i i ế ế t t r r ằ ằ n n g g đ đ i i ể ể m m I(2;1) l l à à t t r r u u n n g g đ đ i i ể ể m m c c ủ ủ a a đ đ o o ạ ạ n n t t h h ẳ ẳ n n g g BC , , h h ã ã y y t t ì ì m m t t o o ạ ạ đ đ ộ ộ t t r r u u n n g g đ đ i i ể ể m m K c c ủ ủ a a đ đ o o ạ ạ n n t t h h ẳ ẳ n n g g AC. vanhiencauxe@gmail.com sent to www.laisac.page.tl đáp án và biểu điểm Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Câu Đáp án Biểu điểm 1 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 32yxx=-+ Ta có: TXĐ: D = Ă Sự biến thiên 2 '33=-yx , 2 '03301=-==yxx Bảng biến thiên: x -Ơ -1 1 + Ơ y + 0 - 0 + y 4 + Ơ 0 - Ơ Hàm số đồng biến trên khoảng (- Ơ;-1) và (1; + Ơ), hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1). Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và y CĐ =y(-1) =4, hàm số đạt cực tiểu tại x =1 và y CT = y(1) =0. Giới hạn: tính đúng Đồ thị: Đồ thị không có đ ờng tiệm cận Nhận điểm I( 0; 2) làm tâm đối xứng -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 0.25 0.25 0.25 0.25 I. 2 Ta có: Hoành độ điểm A là 2 nên tung độ điểm A là 4 vậy A(2;4) Ph ơng trình đ ờng thẳng d qua A và có hệ số góc k là: y = k(x-2) + 4 Ta có ph ơng trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C) là: 0.25 x 3 -3x+2 = k(x-2) + 4 (x-2)( x 2 +2x +1- k) = 0 . Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì pt: x 2 +2x +1- k = 0 có 2 nghiệm pb khác 2 Do đó: k0k0 9k0k9 >> ỡỡ ớớ -ạạ ợợ 0.25 O 1 -1 Page 1 M M ô ô n n t t h h i i : : T T O O á á N N ; ; K K h h ố ố i i A A Khi đó toạ độ điểm B(x 1 ;y 1 ) và C(x 2 ;y 2 ) thoả mãn hệ ph ơng trình: ( ) 2 x2x 1 k 0 y kx2 4 ỡ ++-= ù ớ =-+ ù ợ Ta có: BC 2 = (x 2 x 1 ) 2 + k 2 ((x 2 x 1 ) 2 =(k 2 +1)[ (x 2 + x 1 ) 2 - 4x 1 .x 2 ] = (k 2 +1)[4 4(1 k)] = 4k(k 2 +1) Theo bài ra: BC = 2 2 nên 4k(k 2 +1) = 8 k = 1 ( thoả mãn) Vậy đ ờng thẳng d cần tìm là: y = x + 2 0.25 0.25 1. Giải ph ơng trình 44 sincos 1tantansin 2cos xxx xx x + +=+ 1,0 (điểm) II 1 ĐK: cosx0 xk (k) 2 x cos0 xk2 2 ạp ỡỡ ạ+p ùù ẻ ớớ ạ ùù ạp+p ợợ Â Ta có: cos.cossin.sincos 1 222 1tantan 2cos cos.coscos.cos 22 + +=== xxx xx x x xx x xx 442 1 sincos1sin2 2 +=- x xx Khi đó ph ơng trình trở thành: 22 1 11sin2 sin.cossin2sin20 2 sin20 sin21 =-+-= = ộ ờ = ở xxxxx x x 2xk xk. 2 (k) 2xk2 xk 2 4 p ộ =p = ộ ờ ờ ẻ ờ p ờ p =+p ờ =+p ở ờ ở Â Kết hợp với điều kiện ta đ ợc nghiệm của pt là: x = k2 p hoặc xk (k) 4 p =+pẻÂ 0.25 0.25 0.25 0.25 Giải hệ ph ơng trình 2 2 (1) 2 . 22 (2) ỡ ù ớ + ù -=- ợ y yxx x ( ,xyẻĂ ) 1,0 (điểm) 2 ĐK: x > 0 . Chia cả hai vế của pt(1) cho x ta đ ợc: 22 22 2 = 0 ++ yy xx (vì x > 0) 2 22 y2 4y24xy14x1 x + =+=+=- thay vào pt(2) ta đ ợc: 3 41 + 21 = 1 xx ( đk 1 x 4 ) 0.25 Page 2 2 3 1 + 21 = 1 (1) +-yx Đặt 41 (u0)=-ux và 3 v= 21 -x Khi đó ta có hệ pt: 23 uv1 u2v1 += ỡ ớ -= ợ Giải hệ pt ta đ ợc u =1 và v = 0. Thay vào tìm đ ợc nghiệm 1 x 2 = và y =0 Kết luận : nghiệm của hệ pt là: 1 ;0 2 ổử ỗữ ốứ 0.25 0.25 0.25 Tính tích phân I = 2 1 ln - ổử + ỗữ ốứ ũ x x eex exdx x 1,0 (điểm) III 22 11 1ln - + =+ ũũ x x Ixedxdx x 12 II=+ Tính đúng I 1 = 2 2e3 e - Tính đúng I 2 = 2 1 ln2ln2 2 + Vậy I = 2 2e3 e - + 2 1 ln2ln2 2 + 0.25 0.25 0.25 0.25 I V 4a 2a 2 2a 2a a a a 5 C'C a a a a a 45 45 H E A D C B H B A C D S E Tgithitsuyra ( ) SH A BCD ^ v 2 3 3 2 a SH a = = 0.25 TheonhlýPythagorasta cú 2 2 2CH SC SH a = - = . Doú tamgiỏc HBC vuụngcõntiB v B C a = 0.25 Gi D E HC A = ầ ththỡ tam giỏc HAE cngvuụngcõnvdoú ( ) ( ) ( ) 2 2 CE a d D HC d D SHC = = = suyra 2 2 2 4 3 .DE a a AD a = ì = ị = 0.25 Suyra ( ) 2 1 4 2 ABCD S B C DA AB a = + ì = (.v.d.t.).Vy 3 . D 1 4 3 3 S ABC ABCD a V SH S = ì ì = (.v.t.t.) 0.25 Page 3 suyra khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC) bằng độ dài đoạn DC V Ta có : 3(x 2 + y 2 + z 2 ) =(x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 ) ( vì : x + y + z =3) ị 3(x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 3 + xy 2 ) + (y 3 + yz 2 ) + (z 3 + zx 2 ) + x 2 y + y 2 z + z 2 x Mặt khác ta có: x 3 + xy 2 2 x 2 y y 3 + yz 2 2 y 2 z z 3 + zx 2 2 z 2 x Từ đó ta có: 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3(x 2 y + y 2 z + z 2 x) hay x 2 + y 2 + z 2 x 2 y + y 2 z + z 2 x Vậy: P 222 xyz++ + 222 xyyzzx xyz ++ ++ Đặt: t = 222 xyz++ theo giải thiết ta có: 9 =(x + y + z) 2 Ê 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ị t 3 và xy + yz + zx = 9t 2 - . Suy ra: P 9t t 2t - + Đặt 9t f(t)t 2t - =+ với t 3 . Ta có: 2 2 4t18 f'(t) 4t - = ; 3 f'(t)0t 2 == Bảng biến thiên: x - Ơ 3 2 - 3 2 3 + Ơ y + 0 - 0 + y + Ơ 4 Vậy t 3 Min f(t)4 = Dấu = xảy ra t = 3 Vậy: Min P = 4 khi x = y =z =1 0.25 0.25 0.25 0.25 VIa 1 0.25 0.25 0.25 Tìm đ ợc toạ độ điểm A(-2;2;3) Viết đ ợc ptđt AB: x13t y2t (t) z3 =+ ỡ ù =-ẻ ớ ù = ợ Ă 0.25 0.25 0.25 + Page 4 2 IK qua I v song song vi AB cú phng trỡnh 1 0x y ng thng Chiu cao k t C ca ABC bng h= 2 2 2 1 2. 2 1 ( 1) 2. 4 2 2 2 ABC S AB h 2 2 AB IK suy ra K nm trờn ng trũn (C ) tõm I bỏn kớnh 2 cú phng trỡnh 2 2 ( 2) ( 1) 2x y Ta im K l nghim ca h 2 2 ( 2) ( 1) 2 1 0 x y x y Tỡm c 1;0K hoc 3;2K . Vì C ẻ AB suy ra: C( 1+3t; -2t; 3) vì AC vuông góc với mp( a ) nên ta Từ đó tìm đ ợc Vậy AC = 0.25 0.25 VIIa Giả sử số phức z = a + bi Từ giải thiết ta có: ( ) ( ) 22 a1b11 b20 a1 b2 ỡ -+-= ù ớ -= ù ợ = ỡ ớ = ợ Suy ra: z =1 + 2i Vậy: Số phức liên hợp của số phức z là: 1 - 2i 0.25 0.25 0.25 0.25 VIb 1 Giả sử C(a ;b) theo bài ra Cẻ(E) nên ta có: 22 ab 1 94 += Ta có : ptđt AB là: 2x + 3y =0 K/c từ C đến đ ờng thẳng AB là: 2a3b h 13 + = Diện tích tam giác ABC là: 2a3b S522a3b 213 + ==+ Ta có: ( ) 2 22 2 abab 2a3b6.6.66 3294 ổử ổử +=+Ê+= ỗữ ỗữ ốứ ốứ Do đó: S 6Ê Dấu = xảy ra khi: ab 32 = Từ đó tìm đ ợc: a = 32 2 và b = 2 KL: C 32 ;2 2 ổử ỗữ ỗữ ốứ ( vì C có hoành độ và tung độ đều d ơng) 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HAHI => HI lớn nhất khi I A Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. )31;;21( tttHdH ++ịẻ vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. ==ị^ uuAHdAH là véc tơ chỉ ph ơng của d) )5;1;7()4;1;3( ịị AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 ú 7x + y -5z -77 = 0 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIb Biến đổi pt về dạng: xx x 242 2128 + = + Đặt t = x 2 ( t > 0) Suy ra t = 4 Kết luận nghiệm của pt đã cho là: x = 2 0.25 0. 5 0.25 THE END 2210 ;;3 77 C ổử - ỗữ ốứ 696 7 . 22 log(24)3log(212) xx x+ =-+ + ( ( xẻĂ ) ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - H H ế ế t t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - H H ế ế t t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T T h h í í s s i i n n h h k k h h ô ô n n g g đ đ . số: 3 32yxx =-+ Ta có: TXĐ: D = Ă Sự biến thi n 2 '33=-yx , 2 '03301 =-= =yxx Bảng biến thi n: x - -1 1 + Ơ y + 0 - 0 + y 4 + Ơ 0 - Ơ Hàm số đồng