ðỀ THI TH Ử ðẠ I H Ọ C L Ầ N TH Ứ NH Ấ T N ă m h ọ c 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN (Kh ố i D) T h ờ i gian làm bài: 180 phút A. PH Ầ N CHUNG CHO T Ấ T C Ả THÍ SINH (7 ñ i ể m) Câu I (2 ñ i ể m ) Cho hàm s ố x x x y 9 6 23 + − = (1) 1. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị (C) c ủ a hàm s ố (1). 2. Tìm m ñể ñườ ng th ẳ ng mx y = c ắ t (C) t ạ i ba ñ i ể m phân bi ệ t O ( ) 0;0 ,A và B. Ch ứ ng t ỏ r ằ ng khi m thay ñổ i, trung ñ i ể m I c ủ a ñ o ạ n th ẳ ng AB luôn n ằ m trên cùng m ộ t ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i Oy. Câu II (2 ñ i ể m ) 1. Gi ả i ph ươ ng trình : 3 tan 2 2 sin = + x x 2. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình : ( ) ( ) ( ) x x x 4 log 1 log 4 1 3 log 2 1 2 8 4 2 ≥ − + + Câu III (1 ñ i ể m) Tìm gi ớ i h ạ n sau : 2 2 0 cos 1 lim x x x x − + → Câu IV (1 ñ i ể m) Cho hình chóp S.ABCD có ñ áy là hình thang vuông t ạị A, AB =AD=a, DC=2a , ,SA=a 3 (alà s ố d ươ ng cho tr ướ c ), hai m ặ t bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD) . 1. Tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp S.ABCD theo a . 2. G là tr ọ ng tâm c ủ a tam giác DBC . Tính kho ả ng cách t ừ G ñế n m ặ t ph ẳ ng (SBC) Câu V (1 ñ i ể m) Tìm m ñể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m : m x x x x = + − − + + 1 1 2 2 B. PH Ầ N RIÊNG (3 ñ i ể m) Thí sinh ch ỉ ñượ c làm m ộ t trong hai ph ầ n (ph ầ n 1 ho ặ c ph ầ n 2) Ph ầ n 1 : Theo ch ươ ng tình chu ẩ n Câu VI.a (2 ñ i ể m) 1. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC. ðườ ng trung tuy ế n qua ñỉ nh B, ñườ ng cao qua ñỉ nh A và ñườ ng trung tr ự c c ủ a c ạ nh AB l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình là 03 = +y , 0 1 2 = + − y x và 0 2 = + + y x .Tìm t ọ a ñộ các ñỉ nh c ủ a tam giác ABC . 2.Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy, cho ñườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình 0 15 6 2 2 2 = − + − + y x y x . Vi ế t ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng ñ i qua g ố c t ọ a ñộ và c ắ t ñườ ng tròn (C) t ạ i hai ñ i ể m E, F sao cho EF có ñộ dài b ằ ng 8 . Câu VII.a (1 ñ iểm) Kí hi ệ u k n C là s ố t ổ h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử ( , ;k n N k n∈ ≤ ). Tìm h ệ s ố c ủ a 10 x trong khai tri ể n nh ị th ứ c Niut ơ n c ủ a ( ) n x+ 2 , bi ế t 12 20 1 2 2 1 2 1 1 2 −= +++ + + + n n n n CC C . Phầ n 2: Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 ñ i ể m) 1. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy, cho elip(E) có ph ươ ng trình 1 16 25 2 2 = + y x . Tìm ñ i ể m M n ằ m trên elip(E) sao cho 2 1 4MF MF = , trong ñ ó 2 1 , F F l ầ n l ượ t là các tiêu ñ i ể m trái, ph ả i c ủ a elip(E). 2. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC ,cho bi ế t ñỉ nh C( ( ) 3;4 , ñườ ng phân giác trong và ñườ ng trung tuy ế n k ẻ t ừ m ộ t ñỉ nh c ủ a tam giác l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình là 0 5 2 = − + y x và 0 10 13 4 = − + y x .Vi ế t ph ươ ng trình ba c ạ nh c ủ a tam giác ABC . Câu VII.b (1 ñiểm) T ừ m ộ t nhóm h ọ c sinh g ồ m 7 nam và 6 n ữ , th ầ y giáo c ầ n ch ọ n ng ẫ u nhiên 5 em ñể tham d ự l ễ mít tinh t ạ i tr ườ ng . Tính xác su ấ t ñể k ế t qu ả th ầ y giáo ch ọ n ñượ c là có c ả nam và n ữ . H ế t S Ở GD & ĐT QU Ả NG N I NH THPT CHUYÊN HẠ  L ONG www.laisac.page.tl ð ÁP ÁN VÀ BI Ể U ð I Ể M ðỀ THI TH Ử ðẠ I H Ọ C L Ầ N TH Ứ NH Ấ T N ă m h ọ c 2010 – 2011 Môn thi : TOÁN ( kh ố i D) Câu N ộ i dung ð i ể m I 2 ñ ’ 1 1 ñ ’ • *TX ð : R D = *S ự bi ế n thiên . +∞ = +∞ → y lim , −∞ = −∞ → y lim . 9 12 3 ' 2 + − = x x y ,    = = ⇔ = 3 1 0 ' x x y • .H/s ñ b trên các kho ả ng ( ) ( ) +∞ ∞ − ;3 ,1; và nb trên kho ả ng ( ) 3;1 .H/s có 4 ,1 = = c ñ c ñ y x và 0 ,3 = = ct ct y x • . B ả ng bi ế n thiên: x ∞ − 1 3 ∞ + ' y + 0 - 0 + y • * ðồ th ị : ð t ñ i qua các ñ i ể m O(0;0), A(4;4) , ñ u’U(2;2) 0,25 0,25 0,25 0,25 ∞ − 4 0 ∞+ 2 1 ñ ’ • Ptrình hoành ñộ giao ñ i ể m c ủ a ñườ ng th ẳ ng mx y = )( d và ñồ th ị (C) là    =−+− = ⇔=+− )2(096 0 )1(96 2 23 mxx x mxxxx • )(d c ắ t (C)t ạ i 3 ñ i ể m phân bi ệ t O(0;0),A,B ⇔ pt(1) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ pt(2)có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 09 09 0' 0 >≠⇔    ≠− >∆ ⇔≠ m m x (*) • V ớ i ñ k(*)A,B là 2 ñ i ể m có hoành ñộ l ầ n l ượ t là BA xx , là 2 nghi ệ m c ủ a pt(2),I là trung ñ i ể m c ủ a ñ o ạ n th ẳ ng AB nên hoành ñộ c ủ a I là 3 2 = + = BA I xx x • ∈ ⇒ I ∆ có pt là 3 = x , ∆ song song v ớ i oy khi m thay ñổ i ( 09 > ≠ m ) 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 ñ • ð k: Cos x ≠ 0 (*) .V ớ i ñ k trên pt ñ ã cho ( ) 0tan122sin1 = − + − ⇔ xx • ( ) ( ) 0 cos 2 sincossincos0 cos sincos 2sincos 2 =       +−−⇔= − +−⇔ x xxxx x xx xx •     =+− =− ⇔ )2(0 cos 2 sincos )1(0sincos x xx xx • Lập luận ñể có pt(2)vônghiệm ,pt(1) có nghiệm Zkkx ∈+= , 4 π π thỏa mãn ñk(*) Vậy pt ñã cho có nghiệm là Zkkx ∈+= , 4 π π 0,25 0,25 0,25 0,25 II (2 ñ ’) 2 1 ñ ’ • ð k: 01 04 01 03 >≠⇔      > ≠− >+ x x x x .V ớ i ð k trên bpt (1) ñ ã cho ( ) )4(log1log3log 222 xxx ≥−++⇔ • ( ) [ ] ( ) ( ) xxxxxx 41.34log1.3log 22 ≥−+⇔≥−+⇔ (2) • N ế u 1 > x (*):bpt (2) ⇔ ( ) ( ) xxx 413 ≥ − +    −≤ ≥ ⇔ 1 3 x x k ế t h ợ p v ớ i (*) có 3 ≥ x • N ế u 0< x <1(**) :bpt(2) ( ) ( ) 323323413 −−≥≥+−⇔≥−+−⇔ xxxx k ế t h ợ p v ớ i (**) có 3230 +−≤< x .KL:T ậ p nghi ệ m c ủ a bpt (1) là ( ] [ ) +∞∪+−= ;3323;0S 0,25 0,25 0,25 0,25 III (1 ñ ’) • 22 2 2 2 cos111cos1 x x x x x xx − + −+ = −+ • = 2 2 2 2 2 2 sin 11 1       + ++ x x x 0,25 0,25 • 0 lim →x 2 1 11 1 2 = ++x , 2 0 2 2 sin lim             → x x x = 1 • 1 2 1 2 1cos1 lim 2 2 0 =+= −+ =⇒ → x xx x 0,25 0,25 VI (1ñ’) • Lập luận ñể có SD là chiều cao của chóp và tính ñược 2aSD = • Tính ñược diện tích ñáy 2 2 3 aABCD = và 2 2 3 . a V ABCDS = • Lập luận ñể có ( ) ( ) ( ) SBCGdSBCDd ,3),( = và chứng minh ñược hình chiếu của D trên mp )(SBC là H SB ∈ • Tính ñược ( ) 3 )(, a SBCGdaDH =⇒= 0,25 0,25 0,25 0,25 V (1ñ’) • pt(1) ñã cho có nghiệm ⇔ ðồ thị hàm số ( ) 11 22 +−−++== xxxxxfy và ñường thẳng m y = có ñiểm chung • .ðường thẳng m y = cùng phương với ox .Xét cbt của hàm số ( ) 11 22 +−−++== xxxxxfy Txd : R D = 0,25 B A G M S D C H ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rxyy VN x xx xxxxxx xx y xx x xx x y ∈∀>⇒>= ⇔      = −≤∨≥ ⇔    ++−=+−+ ≥−+ ⇔= +− − − ++ + = ,0'010' 0 2 1 2 1 112112 01212 0' 12 12 12 12 ' 2 2 2 2 22 • ⇒ HSy=f(x) ñồng biến và liên tục trên R lại có 1lim;1lim − = = −∞→+∞→ xx y • ⇒ PT ñã cho có nghiệm khi 11 < < − m 0,25 0,25 0,25 VIa (2ñ’) 1 1ñ’ • Có ( ) 12:)(12; = − ∆ ∈ + yxaaA Và ( ) 03:)(3; = + ∈ − ybB δ ( ) 42; −−− ⇒ aabAB . ðường thẳng ( ) 02: = + + yxd có ( ) 1;1 −u là 1 véc tơ chỉ phương Gọi NABdN ⇒ ∩ = )( là trung ñiểm của cạnh AB ,       − + 1; 2 a ba N . • Ta có hệ • ( ) ( ) ( ) 3;5,3;1 5 1 042 021 2 0. )( −−⇒    −= = ⇔      =++− =+−+ + ⇔    = ∈ BA b a aab a ba uAB dN • Gọi ).3;5();( ++ ⇒ yxBCyxC Một véc tơ cp của )( ∆ là )2;1('u .Trung ñiểm của AC là ) 2 3 ; 2 1 ( + + yx M .Ta có hệ ⇔      =+++ =+ + ⇔    = ∂∈ 0)3(25 03 2 3 0'. )( yx y uBC M    −= = 9 7 y x )9;7( − ⇒ C 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1ñ’ • .Tìm ñược tâm Ivà bán kính R của ñtròn (C): I(1;-3) ,R=5 .ðường thẳng (d) qua O(0;0) có pt : 0 = + ByAx với 0 22 ≠+ BA • .Gọi H là trung ñiểm của ),()( dIdIHdIHEF = ⇒ ⊥ ⇒ .Lập luận ,tính dược 3 = IH • 3 3 3),(3 22 = + − ⇔=⇔= BA BA dIdIH    =+ = ⇔⇔ 034 0 BA A • . THợp : 0 = A có pt (d) ; 0 = y . THợp : 034 = + BA cho 43 − = ⇒ = BA (tm) có pt (d) ; 043 = − yx *KL Có 2 ñường thẳng cần tìm : 0430 = − = yxvày 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa (1ñ’) • .Có 121212 12 1 12 0 12 2)11( +++ +++ =+=+++ nnn nnn CCC Với , , k n k n N ≤ ∈ • . 12 12 0 12 + ++ = n nn CC , n nn CC 2 12 1 12 ++ = , 12 12 2 12 − ++ = n nn CC 12 1212 − ++ = n n n n CC = ⇒ S 12 2 22 2 12 12 1 12 −= − =++ + ++ n n n nn CC (1) .Lại có 12 20 −=S (2) 0,25 0,25 .Từ (1)và (2) ⇒ 10 = n • ( ) kk k k xCx − = ∑ =+ 10 10 0 10 10 22 • Lập luận ñể có hệ số của 10 x là 12. 010 10 =C 0,25 0,25 VIb (2ñ) 1 1ñ’ • Từ gt có a=5,b=4 nên )0;3(),0;3(39 21 222 =−= ⇒ = ⇒ =−= FFcbac • Từ dịnh nghĩa elip ta có 10 21 = + MFMF kết hợp với gt có 21 4MFMF = ∈ ⇒ = ⇒ MMF 1 2 ñường tròn tâm )0;3( 2 F bán kính R=2 : 4)3( 22 =+− yx • ðiểm M cần tìm có tọa ñộ là nghiệm của hệ      =+− =+ 4)3( 1 1625 22 22 yx yx • Giải hệ có )0;5( 0 5 M y x ⇒    = = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1ñ’ • Thấy )3;4(C không phải là ñiiểm thuộc ñường phân giác(d) và trung tuyến(t) ñã cho.Gọi )()( tdA ∩ = ⇒ tọa ñộ A là nghiệm của hệ    =−+ =−+ 010134 052 yx yx 07 5 3 5 4 :)2;9( =−+⇔ − − = − ⇒−⇒ yx yx ptACA  .Gọi );( yxE là ñiểm ñối xứng của C qua (d) ABE ∈ ⇒ .Có )3;4( −− yxCE là 1 véc tơ pháp tuyến của(d)và trung ñiểm của )(dCE ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 057 1 1 7 2 : 1;2 053 2 4 0342 =++⇔ − + = − ⇒ − ⇒      =−++ + =−−− ⇒ yx yx ptAB E y x yx • Gọi );( 00 yxB .Trung ñiểm của )(tBC ∈ và AB B ∈ nên ta có 0208 2 1 16 12 :)1;12( 010 2 3 13 2 4 4 057 00 00 =+−⇔ − = + ⇒ − ⇒      =−       + +       + =++ yx yx ptBCB yx yx 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIb (1ñ’) • Lập luận ñược số phần tử của không gian mẫu 1287 5 67 ==Ω + C • Gọi biến cố A: “Kết quả chọn ñược có cả nam và nữ ” .Số cách chọn 5 học sinh từ (7+6) hs là 1287 5 13 =C .Số cách chọn 5hs toàn là nam cả là 21 5 7 =C . Số cách chọn 5hs toàn là nữ cả là 6 5 6 =C • Vậysố cách chọn 5hs có cả nam và nữ là : 1287-(21+6)=1260 A Ω ⇒ =1260 • ( ) 143 140 1287 1260 == Ω Ω = A A P 0,25 0,25 0,25 0,25 . (1 ’) • .Có 12 1 212 12 1 12 0 12 2 )11 ( +++ +++ =+=+++ nnn nnn CCC Với , , k n k n N ≤ ∈ • . 12 12 0 12 + ++ = n nn CC , n nn CC 2 12 1 12 ++ = , 12 12 2 12 − ++ = n nn CC 12 12 12 − ++ = n n n n CC. ) Rxyy VN x xx xxxxxx xx y xx x xx x y ∈∀>⇒>= ⇔      = −≤∨≥ ⇔    ++−=+−+ ≥−+ ⇔= +− − − ++ + = ,0' 010 ' 0 2 1 2 1 112 112 012 12 0' 12 12 12 12 ' 2 2 2 2 22 • ⇒ HSy=f(x) ñồng biến và liên tục trên R lại có 1lim;1lim − = = −∞→+∞→ xx y • ⇒ PT ñã cho có nghiệm khi 11 < < − m . ðỀ THI TH Ử ðẠ I H Ọ C L Ầ N TH Ứ NH Ấ T N ă m h ọ c 2 010 – 2 011 Môn thi : TOÁN ( kh ố i D) Câu N ộ i dung ð i ể m I 2 ñ ’ 1 1 ñ ’ • *TX ð : R D =