14.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1 231 32. y  tgx − y =1,y  π 2  = 1. (D S. y = 2 sinx − 1) 33. sin y cos xdy = cos y sin ydx, y(0) = π 4 .(D S. cos x = √ 2 cos y) 34. y  sin x = y ln y, y  π 2  = 1. (D S. y =1) 35. xydx +(1+y 2 ) √ 1+x 2 dy =0,y( √ 8) = 1. (D S. 2 √ 1+x 2 +lny 2 + y 2 =7) 14.1.2 Phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p 1. Tru . ´o . chˆe ´ tlu . u´yr˘a ` ng h`am f(x, y)d u . o . . cgo . il`ah`am d ˘a ’ ng cˆa ´ p cˆa ´ p m d ˆo ´ iv´o . i c´ac biˆe ´ ncu ’ an´onˆe ´ u n´o tho ’ a m˜an d ˆo ` ng nhˆa ´ tth´u . c f(tx, ty)= t m f(x, y). Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan dy dx = f(x, y)d u . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ pd ˆo ´ iv´o . i c´ac biˆe ´ n x v`a y nˆe ´ u h`am f(x, y) l`a h`am d ˘a ’ ng cˆa ´ pcˆa ´ p0 d ˆo ´ iv´o . i c´ac biˆe ´ ncu ’ a n´o. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p luˆon luˆon c´o thˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ ndu . ´o . ida . ng dy dx = ϕ  y x  . Nh`o . ph´ep d ˆo ’ ibiˆe ´ n u = y x ta du . ad u . o . . cphu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ pvˆe ` phu . o . ng tr`ınh t´ach biˆe ´ nd ˜abiˆe ´ t c´ach gia ’ i: x du dx = ϕ(u) −u. Nˆe ´ u u = u 0 l`a nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh ϕ(u) − u = 0 th`ı phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p c`on c´o nghiˆe . ml`ay = u 0 x. 2. C´ac phu . o . ng tr`ınh d u . ad u . o . . cvˆe ` phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p 232 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan i) Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan da . ng y = f  a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2  ,a i = const,b i = const,i=1, 2. (14.6) c´o thˆe ’ d u . ad u . o . . cvˆe ` phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ pnˆe ´ u      a 1 b 1 a 2 b 2      = a 1 b 2 − a 2 b 1 =0. D ˆe ’ l`am viˆe . cd´o, ta d˘a . t x = u+ α, y = v + β v`a cho . n α v`a β sao cho vˆe ´ pha ’ icu ’ aphu . o . ng tr`ınh (14.6) c´o da . ng f  a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v  . N´oi c´ach kh´ac α v`a β l`a nghiˆe . mcu ’ ahˆe . phu . o . ng tr`ınh a 1 α + b 1 β + c 1 =0, (14.7) a 2 α + b 2 β + c 2 =0. T`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh dv du = f  a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v  rˆo ` i thay u bo . ’ i x −α, thay v bo . ’ i y − β ta thu d u . o . . c nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.6). ii) Nˆe ´ u      a 1 b 1 a 2 b 2      = a 1 b 2 − a 2 b 1 =0th`ıa 1 x + b 1 y = λ(a 2 x + b 2 y), λ = const. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay phu . o . ng tr`ınh (14.6) d u . ad u . o . . cvˆe ` phu . o . ng tr`ınh t´ach biˆe ´ nb˘a ` ng c´ach d ˘a . t z = a 2 x + b 2 y. C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh 2x 2 dy =(x 2 + y 2 )dx. Gia ’ i. Chia hai vˆe ´ cu ’ aphu . o . ng tr`ınh cho x 2 dx ta thu du . o . . c 2 dy dx =1+  y x  2 . 14.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1 233 D˘a . t y = ux ⇒ y  = xu  + u v`a thu du . o . . c 2xu  +2u =1+u 2 ⇒ 2x dy dx = u 2 − 2u +1⇒ 2du (u − 1) 2 = dx x · T´ıch phˆan phu . o . ng tr`ınh n`ay ta c´o − 2 u − 1 =ln|x|+lnC ⇒− 2 y x −1 =lnCx ⇒ Cx = e − 2x y−x Khi thu . . chiˆe . nviˆe . c chia cho x v`a u −1tacˆa ` n xem x =0v`au =1. Kiˆe ’ m tra tru . . ctiˆe ´ p ta thˆa ´ y x =0v`au =1(t´u . cl`ay = x)c˜ung l`a nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho. Vˆa . y Cx = e − 2x y−x ,y= x, x =0.  V´ı d u . 2. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh xy  = y  1+ln y x  ,y(1) = e − 1 2 . Gia ’ i. Trong phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p y  = y x  1+ln y x  ta d ˘a . t u = y x , y  = u + xu  .Tathudu . o . . cphu . o . ng tr`ınh t´ach biˆe ´ n u + x du dx = u(1 + ln u) ⇒ x du dx = u ln u ⇒  du u ln u =  dx x +lnC ⇒ ln |ln u| =ln|x|+lnC ⇒ ln u = Cx. Thay u bo . ’ i y x ta c´o ln y x = Cx ⇒ y = xe Cx . D ´o l`a nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at. Thay diˆe ` ukiˆe . n ban dˆa ` u y(1) = e − 1 2 ta c´o C = − 1 2 v`a do d ´o nghiˆe . m riˆeng cˆa ` n t`ım l`a y = xe − x 2 .  234 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan V´ı d u . 3. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh (x + y −2)dx +(x −y +4)dy =0. Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho tho ’ a m˜an diˆe ` ukiˆe . n a 1 b 2 −a 2 b 1 = −2 = 0. Ta t`ım c´ac sˆo ´ α v`a β b˘a ` ng c´ach gia ’ ihˆe . x + y − 2=0 x − y +4=0  ⇔ α = x 0 = −1,β = y 0 =3. Thu . . chiˆe . nph´ep d ˆo ’ ibiˆe ´ n x = u − 1, y = v + 3. Khi d´o p h u . o . ng tr`ınh d ˜a cho tro . ’ th`anh (u + v)du +(u − v)dv =0. (14.8) Phu . o . ng tr`ınh (14.8) l`a phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p. D˘a . t v = zu ta thu d u . o . . c (u + uz)du +(u − uz)(udz + zdu)=0, (1 + 2z − z 2 )du + u(1 − z)dz =0, du u + 1 − z 1+2z − z 2 dz =0, ln |u| + 1 2 ln |1+2z − z 2 | =lnC hay l`a u 2 (1 + 2z − z 2 )=C. Tro . ’ vˆe ` biˆe ´ nc˜u x v`a y ta c´o (x +1) 2  1+2 y −3 x +1 − (y −3) 2 (x +1) 2  = C 1 hay l`a x 2 +2xy − y 2 −4x +8y = C. (C = C 1 + 14).  14.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1 235 V´ı d u . 4. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh (x + y +1)dx +(2x +2y −1)dy =0. Gia ’ i. R˜o r`ang l`a d ˆo ´ iv´o . iphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho ta c´o      11 22      =0,t´u . c l`a hˆe . x + y +1 =0 2x +2y − 1=0  vˆo nghiˆe . m. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay ta d ˘a . t z = x + y, dy = dz − dx v`a (2 − z)dx +(2z −1)dz =0⇒ dx − 2z − 1 z − 2 dz =0 ⇒ x − 2z − 3ln|z −2| = C. Tro . ’ vˆe ` biˆe ´ nc˜u ta c´o x +2y +3ln|x + y −2| = C.  B ` AI T ˆ A . P Gia ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh sau 1. (x −y)dx + xdy = 0. (D S. y = x(C − ln x)) 2. xy  = y(ln y − ln x). (DS. y = xe 1+Cx ) 3. (x 2 + y 2 )dx − xydy = 0. (DS. y 2 = x 2 (ln x − C)) 4. xy  cos y x = y cos y x − x.(D S. sin y x +lnx = C) 5. y  = e y x + y x .(D S. ln Cx = −e − y x ) 6. xy  = y ln x y .(D S. y = xe Cx+1 ) 236 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 7. x 2 dy =(y 2 − xy + x 2 )dx.(DS. ( x − y)lnCx = x) 8. xy  = y +  y 2 − x 2 .(DS. y +  y 2 − x 2 = Cx 2 , y = x) 9. (4x − 3y)dx +(2y −3x)dy = 0. (D S. y 2 − 3xy +2x 2 = C) 10. (y −x)dx +(y + x)dy = 0. (D S. x 2 +2xy − x 2 = C) 11. xy  = y(1 + ln y − ln x). (DS. y = xe Cx ) 12. y −xy  = y ln x y .(D S. y = xe Cx ) 13. y −xy  = x + yy  .(DS. arctg y x +lnC  x 2 + y 2 =0) 14. ydy +(x −2y)dx.(D S. x =(y − x)lnC(y −x)) 15. ydx +(2 √ xy −x)dy = 0. (DS. √ x + √ y ln Cy =0) 16. xy  cos y x = y cos y x − x.(D S. sin y x +lnx = C) 17. (y +  x 2 + y 2 )dx − xdy = 0. (DS. y = 1 2C (x 2 − C 2 )) 18. (x + y)dx +(x − y)dy = 0. (D S. x 2 +2xy − y 2 = C) Gia ’ i c´ac phu . o . . ng tr`ınh vi phˆan d u . ad u . o . . cvˆe ` phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p sau 19. y  = − x − 2y +5 2x − y +4 .(D S. y − x −3 (y + x +1) 3 = C) 20. (2x − y +1)dx +(2y −x − 1)dy =0. (D S. x 2 − xy + y 2 − x − y = C) 21. y  = 2x + y − 1 4x +2y +5 . (D S. 10y − 5x + 7 ln(10x +5y +9)=C) 22. (x + y +2)dx +(2x +2y −1)dy =0. (D S. x +2y +5ln|x + y − 3| = C) 23. (x −2y +3)dy +(2x + y −1)dx =0. (D S. x 2 + xy − y 2 − x +3y = C) 24. (x −y +4)dy +(x + y −2)dx =0. 14.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1 237 (DS. x 2 +2xy − y 2 − 4x +8y = C) T`ım nghiˆe . m riˆeng cu ’ a c´ac phu . o . ng tr`ınh d ˘a ’ ng cˆa ´ p ho˘a . cdu . ad u . o . . c vˆe ` d ˘a ’ ng cˆa ´ p sau 25. xdy −ydx = ydy, y(−1) = 1. (D S. x = −y(1 + ln |y|)) 26. xydx +(y 2 −x 2 )dy =0,y(1) = 1. (DS. x 2 + y 2 (ln y 2 − 1) = 0) 27. xy  − y = xtg  y x  , y(1) = π 2 .(D S. y = xarc sin x) 28. x 2 − y 2 +2xyy  =0,y(1) = 1. (DS. x 2 +2x + y 2 =0) 14.1.3 Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh Phu . o . ng tr`ınh da . ng dy dx + P (x)y = Q(x) (14.9) trong d ´o P (x)v`aQ(x) l`a nh˜u . ng h`am liˆen tu . c, d u . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p1.T´ınh chˆa ´ t tuyˆe ´ n t´ınh o . ’ d ˆay c´o ngh˜ıa l `a ˆa ’ n h`am y v`a d a . o h`am y  cu ’ a n´o tham gia trong phu . o . ng tr`ınh l`a tuyˆe ´ n t´ınh, t´u . c l`a c´o bˆa . cb˘a ` ng 1. Nˆe ´ u Q(x) ≡ 0 th`ı (14.9) d u . o . . cgo . il`aphu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t cˆa ´ p1.Nˆe ´ u Q(x) ≡ 0 th`ı (14.9) d u . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t. Phu . o . ng ph´ap gia ’ i. Hai phu . o . ng ph´ap thu . `o . ng d u . o . . csu . ’ du . ng l`a 1 + Phu . o . ng ph´ap biˆe ´ n thiˆen h˘a ` ng sˆo ´ . D ˆa ` utiˆent`ım nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t dy dx + P (x)y =0. (14.10) Sau d ´o trong cˆong th´u . c nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.10) ta xem h˘a ` ng sˆo ´ C l`a h`am kha ’ vi cu ’ a x: C = C(x). Ta thu d u . o . . c h`am C = C(x) t`u . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan t´ach biˆe ´ n sau khi thˆe ´ nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at 238 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cu ’ a (14.10) v`ao (14.9). Phu . o . ng ph´ap v`u . a nˆeu go . i l`a phu . o . ng ph´ap Lagrange. 2 + Phu . o . ng ph´ap d ˆo ’ ibiˆe ´ n c`on go . il`aphu . o . ng ph´ap Bernoulli. D ˆe ’ gia ’ i (14.9) ta t`ım h`am y du . ´o . ida . ng t´ıch cu ’ a hai h`am chu . abiˆe ´ t cu ’ a x: y = u(x)v(x). Thˆe ´ y v`ao (14.9) ta c´o v[u  + P (x)u]+v  u = Q(x). (14.11) V`ı y l`a t´ıch cu ’ a hai h`am nˆen mˆo . t trong hai c´o thˆe ’ cho . nt`uy ´y, c`on h`am kia d u . o . . c x´ac d i . nh bo . ’ i (14.11). Thˆong thu . `o . ng ta cho . n u(x) sao cho biˆe ’ uth´u . c trong dˆa ´ u ngo˘a . c vuˆong b˘a ` ng 0, t´u . cl`au  + P (x)u =0. D ˆe ’ c´o diˆe ` ud´o ta chı ’ cˆa ` nlˆa ´ y u(x) l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh u  + P (x)u = 0. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh n`ay ta thu d u . o . . c u(x). Thˆe ´ u(x) v`ao (14.11) ta c´o v  u = Q(x) v`a thu d u . o . . c nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at v = v(x, C). Nhu . vˆa . y y = u(x)v(x, C) l`a nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.9). Trong nhiˆe ` u tru . `o . ng ho . . pphu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p 1 khˆong tuyˆe ´ n t´ınh d ˆo ´ iv´o . i y m`a l`a tuyˆe ´ nt´ınhd ˆo ´ iv´o . i x,t´u . c l`a phu . o . ng tr`ınh c´o thˆe ’ d u . avˆe ` da . ng dx dy + F (y)x = R(y). (14.12) Viˆe . c gia ’ iphu . o . ng tr`ınh (14.12) tu . o . ng tu . . nhu . gia ’ iphu . o . ng tr`ınh (14.9) v´o . ich´u´yl`a:y l`a d ˆo ´ isˆo ´ , x = x(y) l `a ˆa ’ n h`am. 14.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1 239 C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  +3y = e 2x . Gia ’ i. Ta s˜e gia ’ iphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap biˆe ´ n thiˆen h˘a ` ng sˆo ´ . D ˆa ` u tiˆen gia ’ iphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t y  +3y =0⇒ dy y = −3dx. T`u . d ´othudu . o . . c: ln |y| = −3x +ln|C 1 |⇒y = ±C 1 e −3x = Ce −3x . Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ td ˜a cho s˜e d u . o . . c t`ım du . ´o . ida . ng y = C(x)e −3x .Lˆa ´ yda . o h`am y  rˆo ` ithˆe ´ c´ac biˆe ’ u th ´u . ccu ’ a y v`a y  v`ao phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho ta c´o C  (x)e −3x = e 2x ⇒ C  (x)=e 5x ⇒ C(x)= 1 5 e 5x + C 2 trong d´o C 2 l`a h˘a ` ng sˆo ´ t`uy ´y. T`u . d ´othudu . o . . c nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a phu . o . ng tr`ınh d ˜acho y = C(x)e −3x =  1 5 e 5x + C 2  = 1 5 e 5x + C 2 e −3x .  V´ı d u . 2. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh trong v´ıdu . 1b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap d ˆo ’ i biˆe ´ n. Gia ’ i. D ˘a . t y = uv. Khi d´o y  = u  v + v  u. Thay v`ao phu . o . ng tr`ınh ta thu d u . o . . c u  v + uv  +3uv = e 2x ⇒ u[v  +3v]+u  v = e 2x . (14.13) T`u . d ´o ta c´o hai phu . o . ng tr`ınh d ˆe ’ t`ım u v`a v: v  +3v =0, (14.14) vu  = e 2x . (14.15) 240 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan T`u . (14.14) suy ra dv 3v = −dx ⇒ v = e −3x . Thˆe ´ v = e −3x v`ao (14.15) ta du . o . . c e −3x u  = e 2x → u  = e 5x ⇒ u = 1 5 e 5x + C v`a do d ´o y = e −3x  1 5 e 5x + C  = 1 5 e 2x + Ce −3x . R˜o r`ang l`a ca ’ hai c´ach gia ’ id ˆe ` uchomˆo . tkˆe ´ t qua ’ .  V´ı d u . 3. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh dy dx = 1 x cos y + a sin 2y · (14.16) Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho khˆong pha ’ i l`a phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh d ˆo ´ iv´o . i y. Tuy nhiˆen, b˘a ` ng ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ ido . n gia ’ n ta biˆe ´ nd ˆo ’ in´ovˆe ` phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh d ˆo ´ iv´o . i x v`a x  : dx dy − x cos y = a sin 2y. D ˘a . t x = u(y)v(y) ⇒ dx dy = u dv dy + v du dy .Thˆe ´ x v`ao phu . o . ng tr`ınh v`u . a thu d u . o . . c ta c´o hai phu . o . ng tr`ınh d ˆe ’ x´ac di . nh u v`a v du dy − u cos y =0, (14.17) u dv dy = a sin 2y. (14.18) Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh (14.17) ta thu d u . o . . c u = e sin y .Thˆe ´ kˆe ´ t qua ’ n`ay v`ao (14.18) d ˆe ’ t`ım v.Tac´o e siny dv dy = a sin 2y v(y)=2a  sin y cos ye −siny dy + C = −2a(sin y +1)e −sin y + C. [...]... x) − ) 32 3dy + (1 + ex+3y )dx = 0 3 3 ’ ˜ Chı dˆ n D˘t z(x) = e−3y a a 31 e−x ’ a a a Giai c´c b`i to´n Cauchy sau 33 ydx − (3x + 1 + ln y)dy = 0 y − y3 − 4 1 − ln y) 9 3 ’ ’ ˜ Chı dˆ n Xem x l` ˆn h`m a aa a 1 = 1 3 (DS x = 34 x2 + xy = y, y(1) = 0 (DS y = x − x2) ı a Chu.o.ng 14 Phu.o.ng tr`nh vi phˆn 244 x2 ) 35 y cos x − y sin x = 2x, y(0) = 0 (DS y = cos x 1 sin x , y(0) = 0 (DS y = ) 36 y −... ey − y = C) 3 e−y dx + (1 − xe−y )dy = 0 (DS y + xe−y = C) 4 2x cos2 ydx + (2y − x2 sin 2y)dy = 0 (DS x2 cos2 y + y 2 = C) 5 (3x2 + 2y)dx + (2x − 3) dy = 0 (DS x3 + 2xy − 3y = C) 6 (3x2 y − 4xy 2)dx + (x3 − 4x2 y + 12y 3 )dy = 0 (DS x3y − 2x2 y 2 + 3y 4 = C) x2 cos 2y + x = C) 2 (DS x3ey − y = C) 7 (x cos 2y + 1)dx − x2 sin 2ydy = 0 8 (3x2 ey )dx + (x3ey − 1)dy = 0 (DS 9 (2y − 3) dx + (2x + 3y 2 )dy =... x ⇒ u2 du = xdx x u 3 2 x2 C u 3 3x = + ⇒u= + C ⇒ 3 2 3 2 ’ Do vˆy nghiˆm tˆng qu´t cua phu.o.ng tr` d˜ cho c´ dang a e o a ’ ınh a o y = uv = 3 C 3 + 3 2x x ’ ınh V´ du 2 Giai phu.o.ng tr` y − 2xy = 3x3 y 2 ı o.ng tr` Bernolli Chia hai vˆ cua phu.o.ng tr` ´ ’ Giai D´ l` phu ınh e ’ ınh o a 2 cho y : y −2 y − 2xy −1 = 2x3 D˘t z = y −1 → −y −2 y = z Do d´ a o z + 2xz = −2x3 ı a Chu.o.ng 14 Phu.o.ng... (DS y = ) 36 y − ytgx = 3x cos cos2 x 37 y + y cos x = cos x, y(0) = 1 (DS y = 1) 38 (1 − x)(y + y) = e−x , y(2) = 0 (DS −e−x ln |1 − x|) 1 2 39 y + 3ytg3x = sin 6x, y(0) = (DS y = cos 3x[1 − cos 3x]) 3 3 π = 0 (DS y = − cos x) 40 y sin x − y cos x = 1; y 2 1 x 41 y − ytgx = , y(0) = 1 (DS y = + 1) cos x cos x 42 y + x2y = x2, y(2) = 1 (DS y = 1) √ 2 1 π 1 =− − sin x, y =1+ 43 y − y sin x cos x sin... µ = ex) 27 (2xy 2 − 3y 3 )dx + (7 − 3xy 2 )dy = 0 1 7 (DS x2 − − 3xy = C, µ = 2 ) y y ’ a a a Giai c´c b`i to´n Cauchy sau 28 (2x + yexy )dx + (1 + xexy )dy = 0, y(0) = 1 (DS x2 + y + exy = 2) 29 2x cos2 ydx + (2y − x2 sin 2y)dy = 0, y(0) = 0 (DS 2y 2 + x2 cos 2y + x2 = 0) 30 3x2 ey + (x3ey − 1)y = 0, y(0) = 1 (DS x3 ey − y = −1) 31 2xdx y 2 − 3x2 + dy = 0, y(1) = 1 (DS y = x) y3 y4 14.1.6 Phu.o.ng... cˆp 1 2 53 1 ´ v´ i hai vˆ cua phu.o.ng tr`nh d˜ cho ta thu du.o.c phu.o.ng o e ’ ı a y ` tr` vi phˆn to`n phˆn ınh a a a Nhˆn µ = a 2xy ln ydx x2 + y 2 y 2 + 1 + dy = 0 y y hay l` a d(x2 ln y) + y 1 y 2 + 1dy = 0 ⇒ x2 ln y + (y 2 + 1 )3/ 2 = C 3 ` ˆ BAI TAP ’ a ınh Giai c´c phu.o.ng tr` sau 1 (3x2 + 6xy 2 )dx + (6x2y + 4y 3 )dy = 0 (DS x3 + 3x2y 2 + y 4 = C) 2 3xey dx + (x3 ey − 1)dy = 0 (DS x3 ey −... TAP ’ a Giai c´c phu.o.ng tr` Bernoulli sau ınh 1 (DS y = ) 1 y + 2xy = 2xy 2 1 + Cex2 (DS y 3 = x3 + Cx2) 2 3xy 2y − 2y 3 = x3 ´ ınh a a 14.1 Phu.o.ng tr` vi phˆn cˆp 1 3 (x3 + ey )y = 3x2 247 (DS x3 e−y = C + y) 2 e−x ) (DS y = C−x 2 x2 4 y + 2xy = y e 5 y − y cos x = y 2 cos x 6 2y sin x + y cos x = y 3 sin2 x 1 ) −1 (DS y 2(C − x) sin x = 1) (DS y = Ce− sin x ’ ´ ´ ’ e o e a ı e Su dung ph´p... x − y 2 + 3 ∂y T` 1) thu du.o.c u V = P (x, y)dx + ϕ(y) = (x + y + 1)dx + ϕ(y) x2 + yx + x + ϕ(y) 2 ’ ´ ` ’ u Dˆ t`m ϕ(y) ta cˆn su dung 2) v` kˆt qua v`.a thu du.o.c a e e ı a ’ = (*) ∂ x2 + yx + x + ϕ(y) = x − y 2 + 3 ⇒ ϕ (y) = −y 2 + 3 ∂y 2 y3 ⇒ ϕ(y) = (−y 2 + 3) dy ⇒ ϕ(y) = − + 3y + C1 3 ´ ’ a Thˆ biˆu th´.c ϕ(y) v`o (*) ta thu du.o.c e e u V (x, y) = y3 x2 + xy + x − + 3y + C1 2 3 ’ ınh a... dao h`m ´ ´ dˆn cˆp 3 Do d´ ta d˘t e a o a y (4) = p 261 ı a Chu.o.ng 14 Phu.o.ng tr`nh vi phˆn 262 v` thu du.o.c a x dp − p = 0 ⇒ p = C1 x ⇒ y (4) = C1x dx ´ T´ phˆn liˆn tiˆp ta c´ ıch a e e o x2 + C2 , 2 x3 y (2) = C1 + C2 x + C3, 6 x4 x2 y = C1 + C2 + C3x + C4 , 24 2 x5 x3 x2 + C2 + C3 + C4 x + C5 y = C1 120 6 2 5 3 2 = C 1x + C 2 x + C 3 x + C4 x + C5; C1 C2 C3 , C2 = , C3 = · C1 = 120 6 2 ´... − 9)dx + (5x + 2y − 4)dy = 0 (DS 6x2 + 5xy + y 2 − 9x − 4y = C) 16 (3xy 2 − x2)dx + (3x2 y − 6y 2 − 1)dy = 0 (DS 6y + 12y 3 − 9x2 y 2 + 2x3 = C) x − 2y dy = 0 17 (ln y − 2x)dx + y (DS x ln y − x2 − y 2 = C) 18 sin2 x sin 2x + x dx + y − dy = 0 y y2 sin2 x x2 + y 2 + = C) (DS y 2 19 (3x2 − 2x − y)dx + (2y − x + 3y 2)dy = 0 (DS x3 + y 3 − x2 − xy + y 2 = C) 20 1 1 dx + x cos y − cos x + dy = 0 x y (DS . z(x)=e −y . 32 . 3dy +(1+e x+3y )dx = 0. (DS. y = − 1 3 ln(C + x) − x 3 ) Chı ’ dˆa ˜ n. D ˘a . t z(x)=e −3y . Gia ’ i c´ac b`ai to´an Cauchy sau 33 . ydx −(3x +1+lny)dy =0. y  − 1 3  =1. (D S. x = y 3 −. =2xy 2 .(DS. y = 1 1+Ce x 2 ) 2. 3xy 2 y  − 2y 3 = x 3 .(DS. y 3 = x 3 + Cx 2 ) 14.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1 247 3. (x 3 + e y )y  =3x 2 .(DS. x 3 e −y = C + y) 4. y  +2xy = y 2 e x 2 .(DS ϕ(y)  = x − y 2 +3 ϕ  (y)=−y 2 +3 ⇒ ϕ(y)=  (−y 2 +3) dy ⇒ ϕ(y)=− y 3 3 +3y + C 1 . Thˆe ´ biˆe ’ uth´u . c ϕ(y) v`ao (*) ta thu d u . o . . c V (x, y)= x 2 2 + xy + x − y 3 3 +3y + C 1 . Phu . o . ng