14.3. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p1v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng 297 Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.70)c´o da . ng y = C 1 e 2t + C 2 e −3t . V`ı x = y − dy dt ⇒ x = −C 1 e 2t +4C 2 e −3t . Nhu . vˆa . y, nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ ahˆe . (14.69) l`a x = −C 1 e 2t +4C 2 e −3t , y = C 1 e 2t + C 2 e −3t . Ta s˜e t`ım nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho du . ´o . ida . ng x = −C 1 (t)e 2t +4C 2 (t)e −3t , (14.71) y = C 1 (t)e 2t + C 2 (t)e −3t . Sau khi thˆe ´ (14.71) v`ao phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho ta thu du . o . . c −C  1 (t)e 2t +4C  2 (t)e −3t =1+4t, C  1 (t)e 2t + C  2 (t)e −3t = 3 2 t 2 . T`u . d ´o suy ra C  1 (t)= (6t 2 − 4t − 1)e −2t 5 , C  2 (t)= (3t 2 +8t +2)e 3t 10 · B˘a ` ng ph´ep t´ıch phˆan ta thu d u . o . . c C 1 (t)=− 1 5 (t +3t 2 )e −2t + C 1 , (14.72) C 2 (t)= 1 10 (2t + t 2 )e 3t + C 2 , 298 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan trong d´o C 1 v`a C 2 l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ t`uy ´y. Thˆe ´ (14.72) v`ao (14.71) ta thu d u . o . . c nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a c h o x = −C 1 e 2t +4C 2 e −3t + t 2 + t, y = C 1 e 2t + C 2 e −3t − 1 2 t 2 .  V´ı du . 3. Gia ’ i c´ac hˆe . phu . o . ng tr`ınh b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap tˆo ’ ho . . p kha ’ t´ıch 1)      dx dt = − y t , dy dt = − x t ,t>0. 2)      dx dt = x 2 y, dy dt = y t − xy 2 . Gia ’ i. 1) Cˆo . ng vˆe ´ v´o . ivˆe ´ hai phu . o . ng tr`ınh cu ’ ahˆe . ,tad u . o . . c d(x + y) dt = − 1 t (x + y). T`u . d ´o x + y = C 1 t .Tr`u . vˆe ´ v´o . ivˆe ´ hai phu . o . ng tr`ınh cu ’ ahˆe . , ta c´o d(x −y) dt = 1 t (x −y). T`u . d ´o x − y = C 2 t.T`u . hˆe . phu . o . ng tr`ınh x + y = C 1 t , x −y = C 2 t, ta thu d u . o . . c x = 1 2  C 1 t + C 2 t  , y = 1 2  C 1 t − C 2 t  . 2) Nhˆan hai vˆe ´ cu ’ aphu . o . ng tr`ınh th´u . nhˆa ´ tv´o . i y,cu ’ aphu . o . ng tr`ınh th ´u . hai v´o . i x,rˆo ` icˆo . ng c´ac phu . o . ng tr`ınh thu d u . o . . c, ta c´o y dx dt + x dy dt = xy t ⇒ d dt (xy)= xy t · 14.3. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p1v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng 299 T`u . d ´o xy = C 1 t (14.73) Thˆe ´ biˆe ’ uth´u . c xy = C 1 t v`ao phu . o . ng tr`ınh th ´u . nhˆa ´ t, ta d u . o . . c dx dt = C 1 tx. T`u . d ´o x = C 2 e C 1 t 2 2 . T`u . (14.73) v´o . i C 2 = 0 ta c´o y = C 1 t x = C 1 C 2 te −C 1 t 2 2 . Ngo`ai ra nˆe ´ u x =0th`ıt`u . phu . o . ng tr`ınh th ´u . hai ta d u . o . . c y = Ct v`a nˆe ´ u y =0th`ıt`u . phu . o . ng tr`ınh th ´u . nhˆa ´ t ta c´o x = C.  B ` AI T ˆ A . P Gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan sau b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap khu . ’ ˆa ’ n h`am: 1.      dx dt = −9y, dy dt = x. (D S.  x =3C 1 cos t −3C 2 sin 3t, y = C 2 cos 3t + C 1 sin 3t. ) 2.      dx dt = y + t, dy dt = x −t. (D S.  x = C 1 e t − C 2 e −t + t −1, y = C 1 e t + C 2 e −t − t +1. ) 3.      4 dx dt − dy dt +3x = sin t, dy dt + y = cos t. (D S.  x = C 1 e −t + C 2 e −3t , y = C 1 e −t +3C 2 e −3t + cost. ) 300 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 4.              dx dt = −y + z, dy dt −z, dz dt = −x + z. (D S.      x =(C 1 −C 2 ) cos t +(C 1 + C 2 ) sin t, y = C 1 sin t − C 2 cos t + C 3 e t , z = C 1 cos t + C 2 sin t + C 3 e t . ) 5.            dx dt +3x +4y =0, dy dt +2x +5y =0, x(0) = 1,y(0) = 4. (D S.  x = −2e −t +3e −7t , y = e −t +3e −7t . ) 6.      dx dt = x sin t, dy dt = xe cost . (D S.  x = C 1 e −cos t , y = C 1 t + C 2 . ) 7.      dx dt = ax + y, dy dt = −x + ay. (D S.  x = e at (C 1 cos t + C 2 sin t), y = e at (−C 1 sin t + C 2 cos t). ) 8.      t dx dt = −x + yt, t 2 dy dt = −2x + yt. (D S.    x = C 1 + C 2 t, y = C 1 t +2C 2 ,t=0. ) Gia ’ i c´ac hˆe . sau b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap tˆo ’ ho . . p kha ’ t´ıch 9.      dx dt = x 2 + y 2 , dy dt =2xy. (D S.        1 x + y + t = C 1 , 1 x − y + t = C 2 . ) 10.        dx dt = − 1 y , dy dt = 1 x · (D S.      x = C 2 e − t C 1 , y = C 1 C 2 e t C 1 . ) 11.        dx dt = x y , dy dt = y x · (D S.    1 x − 1 y = C 1 , 1+C 1 x = C 2 e C 1 t . ) 14.3. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p1v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng 301 12.        dx dt = y x − y , dy dt = x x −y · (D S.  x 2 − y 2 = C 1 , x − y + t = C 2 . ) 13.        e t dx dt = 1 y , e t dy dt = 1 x · (D S.  y = C 1 x, C 1 x 2 = C 2 − 2e −t . ) 14.      dx dt = sin x cos y, dy dt = cos x sin y. (D S.      tg x + y 2 = C 1 e t , tg x −y 2 = C 2 e t . ) 15.              dx dt = y − z, dy dt = x 2 + y, dz dt = x 2 + z. (D S.      x = C 2 e t + C 1 , y = −C 2 1 +(2C 1 C 2 t + C 3 )e t + C 2 2 e 2t , z = −C 2 e t +(2C 1 C 2 t + C 3 )e t + C 2 2 e 2t − C 2 1 . ) Gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan sau b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap Euler: 16.      dx dt =8y − x, dy dt = x + y. (D S.  x =2C 1 e 3t −4C 2 e −3t , y = C 1 e 3t + C 2 e −3t . ) 17.      dx dt = x −y, dy dt = y − x. (D S.  x = C 1 + C 2 e t , y = C 1 . ) 18.            dx dt =2x + y, dy dt = x −3y, x(0) = y(0) = 0. (D S.  x ≡ 0, y ≡ 0. ) 302 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 19.            dx dt = x + y, dy dt =4y − 2x, x(0) = 0,y(0) = −1. (D S.  x = e 2t − e 3t , y = e 2t − 2e 3t . ) 20.            dx dt = −x −2y, dy dt =3x +4y, x(0) = −1,y(0) = 2. (D S.  x = e t − 2e 2t , y = −e t +3e 2t . ) Gia ’ i c´ac hˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t sau b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap biˆe ´ n phˆan h`am sˆo ´ . 21.      dx dt +2x −y = −e 2t , dy dt +3x −2y =6e 2t . (D S.      x = 8 3 e 2t +2C 1 e t + C 2 e −t , y = 29 3 e 2t +3C 1 e t + C 2 e −t . ) 22.            dx dt = x + y − cos t, dy dt = −y − 2x + cos t + sin t, x(0) = 1,y(0) = 2. (D S.  x =(1− t)cos t − sin t, y =(t −2) cos t + t sin t. ) 23.      dx dt = y +tg 2 t − 1, dy dt = −x +tgt. (D S.  x = C 1 cos t + C 2 sin t +tgt, y = −C 1 sin t + C 2 cos t +2. ) 24.      dx dt =3x +2y +3e 2t , dy dt = x +2y + e 2t . (D S.  x = C 1 e t +2C 2 e 4t − e 2t , y = −C 1 e t + C 2 e 4t − e 2t . ) 25.        dx dt = −2x + y − e 2t , dy dt = −3x +2y +6e 2x , (D S.  x =2e 2t + C 1 e t + C 2 e −t , y =9e 2t +3C 1 e t + C 2 e −t . ) 14.3. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p1v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng 303 26.      dx dt = x − y +1, dy dt = y − 4x + t. (D S.      x = C 1 e −t + C 2 e 3t + 1 9 + t 3 , y =2C 1 e −t −2C 2 e 3t + 7 9 + t 3 · ) 27.      dx dt = x − y + e t , dy dt = x − 4y + e 3t . (D S.      x = C 1 e −t + C 2 e 3t + 1 − 4t 16 e 3t , y =2C 1 e −t −2C 2 e 3t + e t + 1 8 (1 + 4t)e 3t . ) Chu . o . ng 15 Kh´ai niˆe . mvˆe ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d a . o h`am riˆeng 15.1 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p1tuyˆe ´ n t´ınh d ˆo ´ iv´o . i c´ac da . o h`am riˆeng . . . . . . . . . . 306 15.2 Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh da . o h`am riˆeng cˆa ´ p2 d o . n gia ’ n nhˆa ´ t 310 15.3 C´ac phu . o . ng tr`ınh vˆa . t l´y to´an co . ba ’ n 313 15.3.1 Phu . o . ng tr`ınh truyˆe ` ns´ong 314 15.3.2 Phu . o . ng tr`ınh truyˆe ` n nhiˆe . t 317 15.3.3 Phu . o . ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . 320 T`ai liˆe . u tham kha ’ o 327 D˘a ’ ng th´u . cch´u . aˆa ’ n h`am (cu ’ a nhiˆe ` ubiˆe ´ nd ˆo . clˆa . p), ch´u . a c´ac biˆe ´ n d ˆo . clˆa . p v`a c´ac da . o h`am riˆeng cu ’ aˆa ’ n h`am theo c´ac biˆe ´ ndˆo . clˆa . pd´o d u . o . . cgo . il`aphu . o . ng tr`ınh vi phˆan d a . o h`am riˆeng. 305 Cˆa ´ p cao nhˆa ´ tcu ’ ada . o h`am riˆeng hiˆe . ndiˆe . n trong phu . o . ng tr`ınh d u . o . . cgo . il`acˆa ´ pcu ’ a phu . o . ng tr`ınh.Mˆo . tphu . o . ng tr`ınh vi phˆan d a . o h`am riˆeng bao gi`o . c˜ung pha ’ ich´u . a ´ıt nhˆa ´ tmˆo . t trong c´ac d a . o h`am riˆeng cu ’ aˆa ’ n h`am. Mˆo . t h`am c´o c´ac d a . o h`am riˆeng tu . o . ng ´u . ng (v´o . i gia ’ thiˆe ´ tch´ung liˆen tu . c) m`a khi thˆe ´ v`ao phu . o . ng tr`ınh d a . o h`am riˆeng th`ı phu . o . ng tr`ınh d ´o tro . ’ th`anh d ˆo ` ng nhˆa ´ tth´u . cd u . o . . cgo . il`anghiˆe . m cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ´o. Qu´a tr`ınh t`ım nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d a . o h`am riˆeng du . o . . cgo . il`a ph´ep t´ıch phˆan phu . o . ng tr`ınh d a . o h`am riˆeng. Thˆong thu . `o . ng viˆe . ct´ıch phˆan mˆo . tphu . o . ng tr`ınh d a . o h`am riˆeng s˜e cho ph´ep thu du . o . . cmˆo . tho . nghiˆe . m phu . thuˆo . c v`ao c´ac h`am t`uy ´y ch´u . khˆong pha ’ i c´ac h˘a ` ng sˆo ´ t`uy ´ynhu . trong tru . `o . ng ho . . pphu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng. Nˆe ´ uphu . o . ng tr`ınh ch´u . aˆa ’ n h`am z chı ’ phu . thuˆo . c hai biˆe ´ nd ˆo . clˆa . p x v`a y th`ı nghiˆe . m z = z(x, y)cu ’ a n´o tu . o . ng ´u . ng v´o . imˆo . tm˘a . t n`ao d ´o trong khˆong gian (x, y, z). M˘a . t n`ay du . o . . cgo . il`am˘a . tt´ıch phˆan cu ’ a phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho. D ˆo ´ iv´o . i tru . `o . ng ho . . p khi ˆa ’ n h`am phu . thuˆo . c hai biˆe ´ nd ˆo . clˆa . p c´ac phu . o . ng tr`ınh sau d ˆay du . o . . c xem l`a nh ˜u . ng phu . o . ng tr`ınh co . ba ’ n: 1 + Phu . o . ng tr`ınh truyˆe ` n s´ong ∂ 2 u ∂t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂x 2 , (d ˆay l`a phu . o . ng tr`ınh da . ng hypecbolic). 2 + Phu . o . ng tr`ınh truyˆe ` n nhiˆe . t ∂u ∂t = a 2 ∂ 2 u ∂x 2 , (phu . o . ng tr`ınh da . ng parabolic) 3 + Phu . o . ng tr`ınh Laplace ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 =0 (phu . o . ng tr`ınh da . ng eliptic). 306 Chu . o . ng 15. Kh´ai niˆe . mvˆe ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d a . o h`am riˆeng Phu . o . ng ph´ap thu . `o . ng d`ung d ˆe ’ gia ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh trˆen d ˆa y l `a phu . o . ng ph´ap Fourier. D ˆa ` u tiˆen, t`ım c´ac nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho du . ´o . ida . ng t´ıch c´ac h`am m`a mˆo ˜ i h`am chı ’ phu . thuˆo . cmˆo . td ˆo ´ isˆo ´ . Sau d´o xuˆa ´ t ph´at t`u . c´ac d iˆe ` ukiˆe . ngo . il`adiˆe ` ukiˆe . nbiˆen ngu . `o . i ta x´ac d i . nh c´ac gi´a tri . cu ’ a c´ac h˘a ` ng sˆo ´ t`uy ´y ch´u . a trong c´ac nghiˆe . m riˆeng d ´o. Sau c`ung nghiˆe . m cˆa ` n t`ım (tho ’ a m˜an phu . o . ng tr`ınh v`a c´ac d iˆe ` ukiˆe . n biˆen) thu du . o . . cdu . ´o . i da . ng chuˆo ˜ ilˆa . pnˆent`u . c´ac nghiˆe . m riˆeng d ´o. 15.1 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p 1 tuyˆe ´ n t´ınh d ˆo ´ iv´o . ic´ac d a . oh`am riˆeng Gia ’ su . ’ x´et phu . o . ng tr`ınh X 1 ∂z ∂x + X 2 ∂z ∂y = R, (15.1) trong d ´o X 1 ,X 2 ,R l`a c´ac h`am cu ’ a x, y, z.Nˆe ´ ubiˆe ´ n z khˆong tham gia trong X 1 , X 2 v`a R ≡ 0 th`ı (15.1) du . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t. Trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . cla . i (15.1) go . i l`a phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t. Trong tru . `o . ng ho . . p thuˆa ` n nhˆa ´ t X 1 ∂z ∂x + X 2 ∂z ∂y = 0 (15.2) th`ı (15.2) luˆon luˆon c´o nghiˆe . m z = C l`a h˘a ` ng sˆo ´ bˆa ´ tk`y. Nghiˆe . m n`ay d u . o . . cgo . il`anghiˆe . mhiˆe ’ n nhiˆen. D ˆe ’ gia ’ i (15.1) dˆa ` u tiˆen ta gia ’ iso . bˆo . phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng dx X 1 = dy X 2 = dz R (15.3) Gia ’ su . ’ nghiˆe . mcu ’ ahˆe . d ´odu . o . . c x´ac d i . nh bo . ’ i c´ac d ˘a ’ ng th´u . c ω 1 (x, y, z)=C 1 ,ω 2 (x, y, z)=C 2 . [...]... Chu.o.ng 15 Kh´i niˆm vˆ phu.o.ng tr` vi phˆn d ao h`m riˆng a e 9 u(x, y) = 2 + 3y (DS u(0, 0) = 2) ´ ´ ’ a a o Giai b`i to´n Dirichlet dˆi v´.i h`nh tr`n x2 + y 2 R2 nˆu cho c´c o o ı e a ´.i dˆy (10- 11): ` diˆu kiˆn biˆn du o a e e e 3x 3x 3 (DS u(r, ϕ) = r cos ϕ = ) 10 u r=R = R R R 11 u r=R = 3 − 5y (DS u = 3 − 5y = 3 − 5r sin ϕ) ’ T`i liˆu tham khao a e ´ ´ ´ ’ o [1] R Ph Apatenok Co so Dai... − 1 πat sin ) sin (2n − 1)2 ´ ’ 3 C˜ng hoi nhu trˆn dˆi v´.i phu.o.ng tr`nh u e o o ı ∂ 2u ∂ 2u =4 2 ∂t2 ∂x v` c´c diˆu kiˆn: a a ` e e 4πx , ut(x, 0) = 0; (i) u(x, 0) = sin 3 (ii) u(0, t) = 0, u (3, t) = 0 (DS u(x, t) = cos 15 .3. 2 4πx 8πt sin ) 3 3 ` ınh truyˆn nhiˆt e e Phu.o.ng tr` ’ ’ ım e ınh B`i to´n co ban T` nghiˆm cua phu.o.ng tr` a a ∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x 31 8 ` a e e ınh a Chu.o.ng 15 Kh´i... y2 x3 y y 2 x ∗ + C1 (x) dx = − + C1 (x) + C2(y), 2 3 2 31 1 31 2 ` a e e ınh a Chu.o.ng 15 Kh´i niˆm vˆ phu.o.ng tr` vi phˆn d ao h`m riˆng a e trong d´ C1 (x) = o ∗ tr` d˜ cho l` ınh a a ’ a e o a ’ C1(x)dx Nhu vˆy nghiˆm tˆng qu´t cua phu.o.ng x3y y 2x ∗ − + C1 (x) + C2(y) 3 2 ’ a u ´ a ∗ o ∗ a a u a a trong d´ C1 (x) v` C2 (y) l` nh˜.ng h`m t`y y v` C1 (x) l` h`m kha vi z(x, y) = ’ V´ du 3 Giai... z(x, y) = C2(x)e2y + C1 (y) a u ´ o a ∗ a u trong d´ C2(x) v` C1 (y) l` nh˜.ng h`m t`y y ` ˆ BAI TAP 2dy dy ’ ınh a y a 15 .3 C´c phu.o.ng tr` vˆt l´ to´n co ban a 31 3 ’ a ınh Giai c´c phu.o.ng tr` sau ∂z = 1 (DS z = x + ϕ(y)) 1 ∂x ∂ 2z 2 = 6y (DS z = y 3 + yϕ(x) + ψ(x)) ∂y 2 3 ∂ 2z = 0 ∂x∂y (DS z = ϕ(x) + ψ(y)) 4 ∂ 2z = 1 ∂x∂y (DS z = xy + ϕ(x) + ψ(y)) ∂ 2z = x2 + y 2 ∂x ∂ 2z = x + y 6 ∂x∂y x4 yx2... u(π, y) = 0 v` diˆu kiˆn ban dˆu u(x, 0) = 3 sin 2x e e a ` (DS u(x, y) = 3e−4y sin 2x) 15 .3. 3 Phu.o.ng tr` ınh Laplace ’ ´ ` ` H`m u(x, y) du.o.c goi l` h`m diˆu h`a trong miˆn ph˘ng D nˆu n´ a e o e a e o a a ´ c´ c´c dao h`m riˆng liˆn tuc cˆp 2 trˆn D v` trˆn D n´ thoa m˜n o a a e e a e a e o ’ a o.ng tr` phu ınh ∆u ≡ ∂ 2u ∂ 2u + = 0 ∂x2 ∂y 2 (15. 23) ` ’ a a e e o ı a a Tˆp ho.p c´c h`m diˆu... = −λ2 ⇒ X + λ2 X = 0 ⇒ X = A cos λx + B sin λx, (15.12) X T = −λ2 ⇒ T + a2λ2 T = 0 ⇒ T = C cos aλt + D sin aλt, a2T (15. 13) ’ ınh a y a 15 .3 C´c phu.o.ng tr` vˆt l´ to´n co ban a 31 5 ` ´ a o u ´ u a trong d´ A, B, C, D l` nh˜.ng h˘ng sˆ t`y y T` (15.12), (15. 13) v` o a u ` (15 .10) suy r˘ng a u(x, t) = (A cos λx + B sin λx)(C cos aλt + D sin aλt) (15.14) ´ ` e e e Ap dung diˆu kiˆn biˆn u(0, t) =... v = rn sin nϕ 3 u − x3 − 3y 2x 4 u = x+ ’ ˜ x2 + y 2 Chı dˆ n D˘t t = x + a a x2 + y 2 5 u = arctg y x ` o T` gi´ tri cua h`m diˆu h`a u(x, y) tai tˆm h`nh tr`n x2 +y 2 ım a ’ a e ı o a ´ nˆu trˆn biˆn h` tr`n n´ nhˆn c´c gi´ tri chı ra: e e e ınh o o a a a ’ y2 1 (DS u(0, 0) = ) 2 R 2 7 u(x, y) = R + x (DS u(0, 0) = R) 6 u(x, y) = 8 u(x, y) = |x| + |y| (DS u(0, 0) = 4R ) π R2 32 6 ` a e e ınh... 3 H˜y t` gi´ tri cua h`m diˆu h`a u(x, y) tai tˆm h` tr`n ı a ım a ’ a a 2 2 2 ´ x +y R nˆu e u(x, y) x2 +y 2 =R2 = xy + x − 1 ’ ’ ´ o Giai Ap dung dinh l´ trung b`nh d˜ ph´t biˆu o trˆn ta c´ y ı a a e ’ e u(0, 0) = 1 2πR u(x, y)ds x2 +y 2 =R2 ’ Chuyˆn sang toa dˆ cu.c: x = R cos ϕ, y = R sin ϕ ta thu du.o.c e o u x2 +y 2 =R2 = f(ϕ); ds = Rdϕ v` do d´ a o 2π 1 u(0, 0) = 2π f (ϕ)dϕ 0 32 3 32 4... Ia S Bugrov, S M Nikolski Co so Dai sˆ tuyˆn t´ v` H`nh e ınh a ı ´ ’ ıch, hoc giai t´ M 1988 (tiˆng Nga) e ´ [3] Ia S Bugrow, S, M Nikolski B`i tˆp To´n cao cˆp, M 1987 a a a a ´ (tiˆng Nga) e ´ ’ a [4] P E Danko v` c´c t´c gia kh´c B`i tˆp to´n cao cˆp T1, 2 H` a a a a a a a a Nˆi 19 83 o ´ ´ [5] V˜ V˘n Khu.o.ng Dai sˆ tuyˆn t´ u a e ınh, H` Nˆi 2002 a o o ’ a ınh a [6] M L Krasnov v` c´c t´c... gia kh´c B`i tˆp giai t´ a a a a a ´ 1985 (tiˆng Nga) e ´ ´ ´ [8] L Ia Okunev B`i tˆp dai sˆ cao cˆp, M 1964 (tiˆng Nga) a a o a e ´ ´ ´ [9] L B Sneperman B`i tˆp dai sˆ v` l´ thuyˆt sˆ, Minsk 1982 a a e o o a y ´ (tiˆng Nga) e ´ ´ [10] V S Sipatchev B`i tˆp to´n cao cˆp, M 1997 (tiˆng Nga) a a a a e 32 8 ’ T`i liˆu tham khao a e ’ ’ ıch, T1, 2, M [11] I Ia Vilenkin v` c´c t´c gia kh´c B`i tˆp . C 1 e −t + C 2 e 3t + 1 9 + t 3 , y =2C 1 e −t −2C 2 e 3t + 7 9 + t 3 · ) 27.      dx dt = x − y + e t , dy dt = x − 4y + e 3t . (D S.      x = C 1 e −t + C 2 e 3t + 1 − 4t 16 e 3t , y =2C 1 e −t −2C 2 e 3t +. . . . . . . . . 30 6 15.2 Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh da . o h`am riˆeng cˆa ´ p2 d o . n gia ’ n nhˆa ´ t 31 0 15 .3 C´ac phu . o . ng tr`ınh vˆa . t l´y to´an co . ba ’ n 31 3 15 .3. 1 Phu . o . ng. tr`ınh truyˆe ` ns´ong 31 4 15 .3. 2 Phu . o . ng tr`ınh truyˆe ` n nhiˆe . t 31 7 15 .3. 3 Phu . o . ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . 32 0 T`ai liˆe . u tham kha ’ o 32 7 D˘a ’ ng th´u . cch´u . aˆa ’ n