CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) và vuông góc với đường thẳng d. 0 0 0 HD P d Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n a   →  =   uur uur Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT. Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: x 1 2t y 3t z 2 = +   = −   =  Bài giải HD P d Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT n a   →  =   uur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P d n a 2; 3;0= = − uur uur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) 2 x 2 3 y 2 0 z 1 0 2x 4 3y 6 0 2x 3y 2 0 ⇔ − − − + + = ⇔ − − + = ⇔ − + = Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ d a uur làm vectơ pháp tuyến. Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y 2 z 1 2 2 − + = = − Bài giải HD P d Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT n a   →  =   uur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1). 1 1. Kiến thức cần nhớ: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n 0≠ r được gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của n r vuông góc với (P), viết tắt là n (P)⊥ r . - Nếu hai vectơ a, b r r không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: P n a,b   =   uur r r . - Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với 2 2 2 A B C 0+ + ≠ - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) có vectơ pháp tuyến ( ) P n A;B;C= uur có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x x B y y C z z 0− + − + − = . Cần nhớ: - Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: ( ) 0 0 0 moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp moät VTPT n A;B;C    =   r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P d n a 1;2; 2= = − uur uur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 2 2 y 2 2 z 1 0 x 2 2y 4 2z 2 0 x 2y 2z 8 0 ⇔1 − + − − + = ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ d a uur làm vectơ pháp tuyến. Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n AC   →  =   uur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n AC 2;0;2= = − uur uuur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 0 0 y 2 2 z 0 0 x +2z = 0 x+z=0 ⇔ −2 − + − + − = ⇔ −2 ⇔ − Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC uuur làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n BC   →  =   uur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n BC 0; 2;2= = − uur uuur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 0 2 y 2 2 z 0 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0 ⇔ 0 − − − + − = ⇔ −2 ⇔ −2 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC uuur làm vectơ pháp tuyến. Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài giải HD P Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) VTPT n AB   →  =   uur uuur - Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. - Gọi I là trung điểm của AB ( ) I 2;2;2⇒ - Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n AB 2;2;2= = uur uuur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 2 2 y 2 2 z 2 0 y+2y+2z-12=0⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB. 2 Kiến thức không được quên - Trục Ox có VTCP là ( ) i 1;0;0= r . - Trục Oy có VTCP là ( ) j 0;1;0= r . - Trục Oz có VTCP là ( ) k 0;0;1= r . - Mp (Oxy) có VTPT: ( ) n i,j k 0;0;1   = = =   r r r r . - Mp (Oxz) có VTPT: ( ) n i,k j 0;1;0   = = =   r r r r . - Mp (Oyz) có VTPT: ( ) n j,k i 1;0;0   = = =   r r r r Bài 5: Cho điểm M(1;2;3). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox. Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i 1;0;0   →  = =   uur r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n i 1;0;0= = uur r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 0 z 3 0 x-1=0 ⇔1 − + − + − = ⇔ Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i r làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy. Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n j 0;1;0   →  = =   uur r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n j 0;1;0= = uur r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 2 0 z 3 0 y-2=0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j r làm vectơ pháp tuyến. 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz. Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n k 0;0;1   →  = =   uur r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n k 0;0;1= = uur r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 1 z 3 0 z =0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ −3 . Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k r làm vectơ pháp tuyến. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C 0 0 0 HD P Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z ) VTPT n AB,AC   →    =     uur uuur uuur 3 Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P n AB,AC   =   uur uuur uuur Với ( ) ( ) AB 1;1;0 AC 1;0;1 = − = − uuur uuur ( ) P n AB,AC 1;1;1   ⇒ = =   uur uuur uuur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 0 1 z 0 0 x 1 y z 0 x y z 1 0 ⇔1 − + − + − = ⇔ − + + = ⇔ + + − = Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN). Bài giải HD P Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON   → =   uur uuuur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P n OM,ON   =   uur uuuur uuur Với ( ) ( ) OM 1;1;1 ON 1; 1;1 = = − uuuur uuur ( ) P n OM,ON 2;0; 2   ⇒ = = −   uur uuuur uuur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 0 0 y 0 2 z 0 0 x 2z 0 ⇔ 2 − + − − − = ⇔ 2 − = Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) và song song với mp(Q) 0 0 0 HD P Q Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n n   →  =   uur uur Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0. Bài giải HD P Q Ñieåm ñi qua A(1;2;3) VTPT n n   →  =   uur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P Q n n 2;2;1= = uur uur . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 2 y 2 1 z 3 0 x 2 2y 4 z 3 0 x 2y z 9 0 ⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 + + − = Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT. 4 Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC) Bài giải HD P ABC Ñieåm ñi qua M VTPT n n AB,AC   →    = =     uur uuuur uuur uuur - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P ABC n n AB,AC   = =   uur uuuur uuur uuur Với ( ) ( ) AB 1;1;0 AC 1;0;1 = − = − uuur uuur ( ) P n AB,AC 1;1;1   ⇒ = =   uur uuur uuur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 2 1 z 3 0 x 1 y 2 z 3 0 x y z 6 0 ⇔1 − + − + − = ⇔ − + − + − = ⇔ + + − = Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy). Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i,j k 0;0;1   →    = = =     uur r r r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n i,j k 0;0;1   = = =   uur r r r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 1 z 3 0 z-3=0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz). Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i,k j 0;1;0   →    = = =     uur r r r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n i,k j 0;1;0   = = =   uur r r r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 1 y 2 0 z 3 0 y-2=0 ⇔ 0 − + − + − = ⇔ Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz). Bài giải ( ) HD P Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n j,k i 1;0;0   →    = = =     uur r r r - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). 5 - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P n j,k i 1;0;0   = = =   uur r r r . - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 1 0 y 2 0 z 3 0 x-1=0 ⇔1 − + − + − = ⇔ Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q) HD P Q Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n   →    =     uur uuur uur Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0 Bài giải HD P Q Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n   →    =     uur uuur uur - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: ( ) ( ) Q AB 1; 2;5 n 2; 1;3 = − − = − uuur uur - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ( ) P Q : n AB,n 1;13;5   = = −   uur uuur uur - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 3 13 y 1 5 z 1 0 x-13y-5z+5=0 ⇔ −1 − + − + + = ⇔ Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy) Bài giải HD P Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,k   →    =     uur uuur r - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: ( ) ( ) AB 1; 2;5 k 0;0;1 = − − = uuur r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P n AB,k   =   uur uuur r =(-2;1;0) - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − = ( ) ( ) ( ) x 3 1 y 1 0 z 1 0 x+y+5=0 ⇔ −2 − + − + + = ⇔ −2 Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) Bài giải HD P Ñieåm ñi qua O VTPT n OA,i   →    =     uur uuur r - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). 6 - Hai vect khụng cựng phng cú giỏ song song hoc nm trờn (P) l: ( ) ( ) OA 1;1;1 i 1;0;0 = = uuur r - Mt phng (P) cú vect phỏp tuyn l P n OA,i = uur uuur r =(0;1;-1) - ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Pt mp(P): A x x B y y C z z 0 + + = ( ) ( ) ( ) x 0 1 y 0 1 z 0 0 y-z=0 0 + = Vn 2: Phng trỡnh ng thng. 2. Cỏc dng toỏn. Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A, B. HD AB ẹieồm ủi qua A VTCP a AB = uuur uuur Cn nh: ng thng AB cú vect ch phng l vect AB uuur . Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A(1;2;3), B(2;1;4). Bi gii HD AB ẹieồm ủi qua A VTCP a AB = uuur uuur - ng thng AB qua im A(1;2;3). - ng thng AB cú vect ch phng l: AB a AB= uuur uuur =(1;-1;1). - Pt tham s ca AB l: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 t z 3 t z z ct = + = + = + = = + = + . Bi 2: Cho ba im A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Vit phng trỡnh ng thng OG. Bi gii HD OG ẹieồm ủi qua O VTCP a OG = uuur uuur 7 1. Kin thc cn nh: - Vect ch phng ca ng thng l vect cú giỏ song song vi t hoc trựng vi t. - ng thng d qua im 0 0 0 M(x ;y ;z ) cú vect ch phng ( ) d a a;b;c= uur : Cú pt tham s: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + . Cú phng trỡnh chớnh tc: 0 0 0 x x y y z z , a.b.c 0 a b c = = Cn nh: vit pt ng thng ta tỡm: ( ) 0 0 0 d moọt ủieồm M(x ;y ;z ) thuoọc ủửụứng thaỳng moọt VTCP a a;b;c = uur - Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0). - Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: OG a OG= uuur uuur =(2;3;4). - Pt tham số của OG là: 0 0 0 x x at x 0 2t y y bt y 0 3t z 0 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = +     = + = +   . Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG uuur Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P). HD d P Ñieåm ñi qua M VTCPa n   →  =   uur uur Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0. Bài giải HD d P Ñieåm ñi qua M VTCP a n   →  =   uur uur - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d P a n= uur uur =(1;-2;-1). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 2t z 3 t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = − = +   . Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC). Bài giải HD d ABC Ñieåm ñi qua O VTCP a n AB,AC   →    = =     uur uuuur uuur uuur - Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d ABC a n AB,AC   = =   uur uuuur uuur uuur =(1;1;1). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x t y y bt y t z t z z ct = + =     = + ⇔ =     = = +   . Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy). Bài giải HD d Ñieåm ñi qua M VTCP a i, j k   →    = =     uur r r r - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a k= uur r =(0;0;1). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 y y bt y 2 z 3 t z z ct = + =     = + ⇔ =     = + = +   . 8 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz). Bài giải ( ) HD d Ñieåm ñi qua M VTCP a i,k j 0;1;0   →    = = =     uur r r r - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a j= uur r =(0;1;0). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 y y bt y 2 t z 3 z z ct = + =     = + ⇔ = +     = = +   . Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz). Bài giải ( ) HD d Ñieåm ñi qua M VTPCP a j,k i 1;0;0   →    = = =     uur r r r - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a i= uur r =(1;0;0). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 z 3 z z ct = + = +     = + ⇔ =     = = +   . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x 1 t y 2 3t z 3 4t = +   = −   = +  Bài giải HD d d' Ñieåm ñi qua M VTCP a a   →  =   uur uur - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d d' a a= uur uur =(1;-3;4). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 3t z 3 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = + = +   . Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x 12 y 23 z 1 3 4 − + = = − Bài giải HD d d' Ñieåm ñi qua M VTCP a a   →  =   uur uur - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d d' a a= uur uur =(1;-3;4). 9 - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 3t z 3 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = + = +   . Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a BC   →  =   uur uuur - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a BC= uur uuur =(1;-3;4). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 3t z 3 4t z z ct = + = +     = + ⇔ = −     = + = +   . Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a i   →  =   uur r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a i= uur r =(1;0;0). - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 t y y bt y 2 z 3 z z ct = + = +     = + ⇔ =     = = +   . Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a j   →  =   uur r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ( ) d a j 0;1;0= = uur r . - Pt tham số của d là: 0 0 0 x x at x 1 y y bt y 2 t z 3 z z ct = + =     = + ⇔ = +     = = +   . Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz. Bài giải HD d Ñieåm ñi qua A VTCP a k   →  =   uur r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là ( ) d a k 0;0;1= = uur r x 1 Pt : y 2 z 3 t =   ⇒ =   = +  10 [...]... d và d’ song song với nhau  ba t bằng nhau ⇒ A ∈ d' Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’   ba t không bằng nhau ⇒ A ∉ d' Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng khơng thuộc đường thẳng kia Đề thi Tốt nghiệp năm 2008 Cho điểm M(-2;1;-2) và đt d: x −1 y +1 z = = CMR đường thẳng OM song song đt d 2 −1 2 Bài giải... đề 2: Các dạng tốn khác Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng x = −1 + t  Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d: y = −1 + t và mp(P):x+y-2z-4=0 z = −2t  Bài giải - Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 ⇔ −2 + 2t+4-4=0 ⇔ -2+2t=0 ⇔ 2t=2 ⇔ t=1 x=-1+1=0  ⇒ y=-1+1=0 ⇒ H(0;0; −2) z=-2.1=-2  Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính... = ( 1;1;1) u r - Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a' = ( 2;2;2 ) + Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: 1 1 1 = = 2 2 2 u r r r u r Cách 2: Do a' =2 a nên a và a' cùng phương ru r r r u r Cách 3: Do  a,a'  = ( 0;0;0 ) = 0 nên a và a' cùng phương   r u r Cách 1: a và a' cùng phương do + Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng khơng thuộc d’ 0 = 2t t = 0   Thế tọa độ điểm A vào pt của...Phương trình các trục tọa độ x = t r  Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i = ( 1;0;0 ) có pt tham số là: y = 0 z = 0  x = 0 r  Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là j = ( 0;1;0 ) có pt tham số là: y = t z = 0  x = 0 r  Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là k = ( 0;0;1) có pt tham số là: y = 0 z = t  Phương trình các mặt phẳng tọa độ r rr r n =  i, j... có vectơ chỉ phương: i = ( 1;0; 0 ) rr - Ta có: a.i = 0.1 + 8.0 + 10.0 = 0 - Vậy: Đường thẳng d vng góc với trục Ox Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau Cần nhớ: Hai đt song song khơng có điểm chung:  hai VTCP cùng phương Ta chứng minh   → 1 điểm ∈ đt này không ∈ đt kia x = t  Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y = 2 + t và d’: z = 1 + t  Bài giải - Đường thẳng d qua... uuuu r r Ta có: OM và a cùng phương do thẳng OM nhưng khơng thuộc đt d Vậy: Đt OM song song đường thẳng d  ba phân số bằng nhau ⇒ Ο ∈ d Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d   ba phân số không bằng nhau ⇒ Ο ∉ d Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp: rr Ta chứng minh a.n = 0 và một điểm thuộc đt nhưng khơng thuộc mp x = 1 − 2t  Bài 1: Chứng minh đường thẳng d: y = 2 + 3t song song mp(P):... vectơ chỉ phương: a = ( 1;2;3) r - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n = ( 2;4;6 ) r 1r 2 - Ta có: a = n r r ( hoặc n = 2a ) nên a, n r r cùng phương với nhau - Vậy: ĐT d vng góc mp(P) Vấn đề 4: Các bài tốn về tam giác 15 Dạng 1: Chứng minhr uuu uuuba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác r Ta chứng minh: AB,AC khơng cùng phương Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh ba điểm A, B, C là ba... xét:   đỉnh một tam giác Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng uuu uuu r r Ta chứng minh: AB,AC cùng phương Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Bài giải uuu r AB = ( 1;1;1) r - Ta có: uuu AC = ( 8;8;8 ) uuu uuu r r r uuu uuu r r  AB,AC  = ( 0;0;0 ) = 0 nên AB,AC cùng phương nên A, B, C thẳng hàng - Nhận xét:   Dạng 3: Chứng minh tam giác... tại A Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân tại A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1) Bài giải uuu r uuu r AB = ( −2;0; −1) ⇒ AB = 3 - Ta có: uuu r uuu r AC = ( 2;1;0 ) ⇒ AC = 3 uuu uuu r r AB = AC = 3 nên ∆ ABC cân tại A - Do Cần nhớ: • Tam giác vng có hai cạnh góc vng vng góc với nhau • Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau • Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau Dạng 5:... phẳng (P) - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 ⇔ −2 + 2t+4-4=0 ⇔ -2+2t=0 ⇔ 2t=2 ⇔ t=1 x=-1+1=0  ⇒ y=-1+1=0 ⇒ H(0;0; −2) z=-2.1=-2  Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số x +1 y +1 z = = Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0 1 1 −2 Bài giải • Viết phương trình tham số của đường thẳng d - Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0) 11 uu r - Đường . CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0 M(x ;y ;z ) và vuông góc. = =   r r r r có pt: x=0. Kiến thức không được quên: • Pt mp(Oxy) là: z=0 • Pt mp(Oxz) là: y=0 • Pt mp(Oyz) là: x=0 Vấn đề 2: Các dạng toán khác. Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt. nhau. - Vậy: ĐT d vuông góc mp(P). Vấn đề 4: Các bài toán về tam giác. 15 Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác. Ta chứng minh: AB,AC uuur uuur không cùng phương. Bài