1 LỜI NÓI ĐẦU Kể từ khi Hertz bằng thực nghiệm đã chứng tỏ năng lượng điện có thể bức xạ trong không gian và sự tồn tại của trường điện từ đã mở đầu kỷ nguyên ứng dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện, điều khiển từ xa Hệ thống thông tin vô tuyến này ngày càng trở nên quan trọng và thiết yếu trong xã hội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản chất của sóng điện từ, tính chất lan truyền của trường điện từ cũng như các ứng dụng của nó là rất cần thiết. Để tích luỹ phần kiến thức này người học cần phải có kiến thức nền tảng về giải tích vector, phép tính tensor, phương trình vi phân và đạo hàm riêng, giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến trong Toán học cao cấp; quang học sóng và điện học trong Vật lý đại cương. Giáo trình Lý thuyết trường điện từ được biên soạn trong khuôn khổ của chương trình hoàn thiện bộ sách giáo trình dùng để giảng dạy và học tập của Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao gồm các nội dung được trình bày trong 5 chương như sau: Chương 0 Một số công thức toán học Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell Chương 3 Sóng điện từ phẳng Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ Do thời gian và tài liệu tham khảo còn nhiều hạn chế, cho nên chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong có sự đóng góp, phê bình của bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn. Tác giả Võ Xuân Ân 2 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1 Chương 0 Một số công thức toán học 3 Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ 8 Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell 32 Chương 3 Sóng điện từ phẳng 60 Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ 90 Tài liệu tham khảo 107 3 Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1. Vector { } zyxzyx akajaia,a,aa r r r r ++== { } zyxzyx bkbjbib,b,bb r r r r ++== { } zyxzyx ckcjcic,c,cc r r r r ++== • zzyyxx bababab.a ++= r r • ( ) ( ) ( ) xyyxzxxzyzzy zyx zyx babakbabajbabai bbb aaa kji ba −+−+−==× rrr r r r r r • ( ) b,acosbab.a r r r r r r = • c b a r r r =× Phương: ( ) b,ac r r r ⊥ Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn: ( ) b,asinbac r r r r r = • ( ) ( ) ( ) b.a.cc.a.bcba r r r r r r r r r −=×× 2. Toán tử nabla       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =∇ z , y , x 3. Gradient z U k y U j x U iU.gradU ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= r r r 4. Divergence z a y a x a a.adiv z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= rr 5. Rotary 4         ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =×∇= y a x a k x a z a j z a y a i aaa zyx kji aarot x y zx y z zyx rrr r r r rr Số phức Hàm mũ ( ) ysiniycoseee xiyxz +== + Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có 1k2sinik2cose ik2 =π+π= π Suy ra zik2zik2z ee.ee == ππ+ Công thức Euler e iy = cosy +isiny Khi đó số phức z = r e iϕ = r(cosϕ +isinϕ) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21 = + ′ + ′ ′ (1) Trong đó: a 1 , a 2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a 1 , a 2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0yayay 21 = + ′ + ′ ′ (2) a 1 , a 2 là các hàm của biến x 5 Định lí 1. Nếu y 1 = y 1 (x) và y 2 = y 2 (x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (trong đó C 1 , C 2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi ( ) ( ) const xy xy 2 1 ≠ , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính Định lí 2. Nếu y 1 (x) và y 2 (x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (trong đó C 1 , C 2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y 1 (x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y 2 (x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y 1 (x) bằng cách đặt y 2 (x) = y 1 (x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21 = + ′ + ′ ′ (3) Trong đó: a 1 và a 2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất )x(f)x(fyayay 2121 + = + ′ + ′ ′ (4) Nếu y 1 (x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 121 = + ′ + ′ ′ (5) và y 2 (x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 221 = + ′ + ′ ′ (6) thì y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi 6 Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0qyypy = + ′ + ′ ′ (7) p, q là các hằng số Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng kx ey = (8) Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định Suy ra kx key = ′ , kx2 eky = ′′ (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có ( ) 0qpkke 2kx =++ (10) Vì e kx ≠ 0 nên 0qpkk 2 =++ (11) Nếu k thoả mãn (11) thì y = e kx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k 1 và k 2 như sau - k 1 và k 2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là xk 1 1 ey = , xk 2 2 ey = (12) Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì ( ) conste y y xkk 2 1 21 ≠= − (13) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là xk 2 xk 121 21 eCeCyyy +=+= (14) - k 1 và k 2 là 2 số thực trùng nhau: k 1 = k 2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: xk 1 1 ey = , xk 2 1 xey = 7 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là ( ) xk 21 xk 2 xk 1 111 exCCxeCeCy +=+= (15) - k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 = α αα α + iβ ββ β và k 2 = α αα α - iβ ββ β Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là ( ) ( ) xixxi 2 xixxi 1 eeey eeey β−αβ−α • βαβ+α • == == (16) Theo công thức Euler ta có xsinixcose xsinixcose xi xi β−β= β+β= β− β (17) Suy ra ( ) ( ) xsinixcoseeey xsinixcoseeey xxix 2 xxix 1 β−β== β+β== αβ−α • αβα • (18) Nếu • 1 y và • 2 y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm xsine i 2 yy y xcose 2 yy y x 21 2 x 21 1 β= + = β= + = α •• α •• (19) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì constxtg y y 2 1 ≠β= (20) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là ( ) xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21 xx 2 x 1 β+β=β+β= ααα (21) 8 Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1. Vector cường độ điện trường • Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường EqF r r = (1.1) Hay: q F E r r = (1.2) • Cđđt E r tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó • Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q 2 0 0 r r 4 Qq F r r πεε = (1.3) - m/F10.854,8 12 0 − =ε - hằng số điện - ε - độ điện thẩm tương đối - 0 r r - vector đơn vị chỉ phương • Hệ đt điểm n21 q, ,q,q ∑∑ == πεε == n 1i 2 i i0i 0 n 1i i r rq 4 1 EE r r r (1.4) i0 r r - các vector đơn vị chỉ phương • Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó: ∫ ρ πεε = l 2 l 0 l r r dl 4 1 E r r (1.5) 9 ∫ ρ πεε = S 2 S 0 S r r dS 4 1 E r r (1.6) ∫ ρ πεε = V 2 V 0 V r r dV 4 1 E r r (1.7) 1.1.2. Vector điện cảm • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm D r ED 0 r r εε= (1.8) 1.1.3. Vector từ cảm • Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz BvqF r r r ×= (1.9) • Từ trường do phần tử dòng điện l Id r tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL ( ) rlId r 4 Bd 2 0 r r r × π µµ = (1.10) - m/H10.257,110.4 67 0 −− =π=µ - hằng số từ - µ - độ từ thẩm tương đối • Từ trường của dây dẫn có chiều dài l ∫ × π µµ = l 2 0 r rlId 4 B r r r (1.11) 1.1.4. Vector cường độ từ trường • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường H r [...]... các h t mang i n - Phương trình Maxwell-Faraday D ng tích phân r r r  ∂B  r ∫l Ed l = ∫  − ∂t dS   S  (1.53) r r ∂B ∇×E = − ∂t (1.54) D ng vi phân Di n t lu n i m th nh t c a Maxwell v m i liên h gi a t trư ng bi n thiên và i n trư ng xoáy - Phương trình Maxwell-Ampere D ng tích phân r v r  r ∂D  r ∫l Hd l = ∫  J + ∂t dS   S  (1.55) r r r ∂D ∇×H = J + ∂t (1.56) D ng vi phân 21 Di n t lu... dòng i n d n - nh lí OG i v i i n trư ng D ng tích phân r r (1.57) ∫ DdS = q S r r r Theo gi i tích vector: ∫ DdS = ∫ ∇.DdV và q = ∫ ρdV , ta có S V V D ng vi phân r ∇.D = ρ (1.58) Di n t tính không khép kín c a các ư ng s c i n trư ng tĩnh luôn t các i n tích dương i ra và i vào các i n tích âm: trư ng có ngu n - nh lí OG i v i t trư ng D ng tích phân r r BdS = 0 ∫ (1.59) S D ng vi phân r ∇.B = 0... = σE , còn i n trư ng tĩnh thì không t n t i bên trong v t d n 31 Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 2.1 Phương trình sóng i v i các vector cư ng trư ng Lưu ý: - ε là i n th m t - µ là t th m t i i i v i môi trư ng i v i môi trư ng t ε’ = εε0 và µ’ = µµ0 - ε’ là - µ’ là i n th m tuy t t th m tuy t i i H phương trình Maxwell trong môi trư ng ng nh t và ng hư ng có c ngu n i n và t ngoài r r... bán d n: 1 0-1 0 < σ < 104 12 Ch t cách i n: σ < 1 0-1 0, σ = 0 : i n môi lý tư ng Không khí là i n môi lý tư ng: ε = µ = 1, σ = 0 1.4 • nh lí Ostrogradski-Gauss i v i i n trư ng ư c tìm ra b ng th c nghi m, là cơ s c a các phương trình Maxwell r • Thông lư ng c a vector i n c m D qua m t S là xác i lư ng vô hư ng ư c nh b i tích phân r r Φ E = ∫ DdS (1.26) S r dS r D r r dΩ q S r dS : vi phân di n tích... tích vector (công th c Green-Stock) r r r r Ed l = ∫ ∇ × E dS ∫ ( l ) (1.39) S Theo các phương trình (1.38) và (1.39) r r ∂B ∇×E = − ∂t (1.40) ây là phương trình Maxwell-Faraday dư i d ng vi phân, có th áp d ng i v i t ng i m m t trong không gian có t trư ng bi n thiên 1.6 Lu n i m th hai - Phương trình Maxwell-Ampere Theo lu n i m I, t trư ng bi n thiên theo th i gian sinh ra i n trư ng xoáy V y ngư... ∂t (1.51) ây là phương trình Maxwell-Ampere dư i d ng vi phân, cũng là m t phương trình cơ b n c a trư ng i n t N u môi trư ng có i n d n su t σ = 0 ( i n môi lí tư ng và chân không) r r thì do J = σE = 0 , ta có: r r ∂E r ∇ × H = ε0 = Jd0 ∂t 20 (1.52) V y: dòng i n d ch hay i n trư ng bi n thiên theo th i gian cũng t o ra t trư ng như dòng i n d n 1.7 Trư ng i n t và h phương trình Maxwell Theo các... vi phân • Cư ng dòng i n I ch y qua m t S t vuông góc v i nó b ng lư ng i n tích q chuy n qua m t S trong m t ơn v th i gian I=− (1.13) dq dt D u tr ch dòng i n I ư c xem là dương khi q gi m • mô t y s chuy n ng c a các h t mang i n trong môi trư ng d n i n, ngư i ta ưa ra khái ni m m t dòng i n r r r r J = n 0 ev = ρv = σE d ng vi phân c a (1.14) nh lu t Ohm - n0 - m t h t i n có i n tích e - -m t... ng 1 và 2 có m t phân cách S, xét tính liên t c ho c gián o n c a các vector c a trư ng i n t và ã xác - nh ư c i v i thành ph n pháp tuy n c a i n trư ng (1.70) D1n - D2n = ρS ρS m t i nm t 25 Khi ρS = 0 ta có: D1n = D2n hay - E1n ε 2 = E 2 n ε1 i v i thành ph n ti p tuy n c a i n trư ng E1τ = E2τ, - (1.71) D1τ ε 2 = D 2 τ ε1 i v i thành ph n pháp tuy n c a t trư ng B1n = B2n, - (1.72) H 1n µ 2 =... trư ng (1.73) H1τ - H2τ = IS IS dòng i n m t Khi IS = 0 ta có: H1τ = H2τ hay - Trư ng h p B1τ µ 2 = B 2 τ µ1 c bi t môi trư ng 1 là i n môi và môi trư ng 2 là v t d n lí tư ng có σ2 = ∞ Trong v t d n lí tư ng trư ng i n t không t n t i, có nghĩa r r là E 2 = H 2 = 0 r r Th c v y, n u v t d n lí tư ng t n t i trư ng i n t E 2 ; H 2 ≠ 0 thì dư i tác d ng c a trư ng các i n tích t do s phân b l i i n tích... s trong môi trư ng ng nh t và ng hư ng, ngu n i n và t 1 phân b trong V1, ngu n i n và t 2 phân b trong V2 và 2 th tích này không có mi n chung Do ó v trái c a phương trình (1.80) tích phân trong mi n V → ∞ chia thành 3 mi n V1, V2 và mi n còn l i Tuy nhiên tích phân trong mi n còn l i b ng 0 vì mi n này không t n t i ngu n cho nên phương trình (1.80) ư c vi t l i (1.81) • • • • • • • • r r  r r r . sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng. mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện EvvenJ 0 r r r r σ=ρ== (1.14) dạng vi phân của định luật Ohm - n 0 - mật độ hạt điện có điện tích e - ρ -. phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là