ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 Môn Toán – ĐỀ 03 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình sau:   6 6 8 sin 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11 x cos x x cos x x      . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 2 1 2 2 y x x y y x           . Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = 1 2 1 2 1 ( 1 ) x x x e dx x     . Câu IV(1 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng . Câu V (1 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện   2 2 2 1 x y xy    . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 1 x y P xy    . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa.( 2 điểm) 1. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x 2 +y 2 - 2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A;B sao cho AB = 6. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d 1 : 2 1 4 6 8 x y z       và d 2 : 7 2 6 9 12 x y z      . Xét vị trí tương đối của d 1 và d 2 . Cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa độ điểm I trên đường thẳng d 1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 4 – z 3 +6z 2 – 8z – 16 = 0 . 2. Theo chương trình Nâng cao. Câu VIb.(2điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1 4 3 x y   và đường thẳng  :3x + 4y =12. Từ điểm M bất kì trên  kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Câu VIIb. (1 điểm) Giải phương trình: Hết http://laisac.page.tl P N CHI TIT THI TH 02 Cõu í Ni dung im 1 * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2 x x y y ; tiệm cận ngang: y = 2 ( 1) ( 1) lim ; lim x x y y ; tiệm cận đứng: x = - 1 - Bảng biến thiên Ta có 2 1 ' 0 ( 1) y x với mọi x - 1 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; -1) và ( -1; + ) 1 I 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là một điểm thuộc (C), (x 0 - 1) thì 0 0 0 2 1 1 x y x Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 0 0 2 1 1 x x - 2| = | 0 1 1 x | Theo Cauchy thì MA + MB 2 0 0 1 x 1. 1 x =2 MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x 0 = 0 hoặc x 0 = -2.Nh vậy ta có hai điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3) 0,5 0,5 II 1 6 6 2 3 sin 1 sin 2 (1) 4 x cos x x Thay (1) vào phơng trình (*) ta có : 6 6 8 sin 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11 x cos x x cos x x 2 2 2 3 8 1 sin 2 3 3sin 4 3 3 2 9sin 2 11 4 3 3sin4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3 3sin 4 3 2 2sin 2 3sin 2 1 x x cos x x x cos x x x x cos x x x 0,5 0,5       3 2 . 2sin 2 1 (2sin 2 1)(sin2 1) 2sin 2 1 3 2 sin 2 1 0 cos x x x x x cos x x           2sin 2 1 0 2sin 2 1 (2) 3 2 sin 2 1 0 sin 2 3 2 1 (3) x x cos x x x cos x                 Gi¶i (2) : 12 ( ) 5 12 x k k Z x k                ; Gi¶i (3) 4 ( ) 7 12 x k k Z x k                KÕt luËn : 2 Ta có:     3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 5 0 x y y x y x x x y xy y          . Khi 0 y  thì hệ VN. Khi 0 y  , chia 2 vế cho 3 0 y   3 2 2 2 5 0 x x x y y y                       . Đặt x t y  , ta có : 3 2 2 2 5 0 1 t t t t       . Khi 1 t  ,ta có : HPT 2 1, 1 1 y x x y x y y               . 0,5 0.5 III I = 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ( 1 ) ( ) x x x x x x x e dx e dx x e dx I I x x              . Tính I 1 theo phương pháp từng phần I 1 = 2 1 1 52 2 2 1 1 2 2 1 3 ( ) 2 x x x x xe x e dx e I x        5 2 3 . 2 I e   0,5đ 0,5 IV Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE Ta có ACD cân tại A nên CD AE Tương tự BCD cân tại B nên CD BE Suy ra CD (ABE) CD BH Mà BH AE suy ra BH (ACD) Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là Thể tích của khối tứ diện ABCD là Mà 0,5 0,5 H D E C B A Khi ú : l 2 nghim ca pt: x 2 - x + = 0 trng hp vỡ DE<a Xột BED vuụng ti E nờn BE = Xột BHE vuụng ti H nờn sin = Vy gúc gia hai mp(ACD) v (BCD) l V t t xy . Ta cú: 2 1 1 2 2 4 5 xy x y xy xy xy V 2 1 1 2 2 4 3 xy x y xy xy xy . K: 1 1 5 3 t . Suy ra : 2 2 2 2 2 2 2 7 2 1 2 1 4 2 1 x y x y t t P xy t . Do ú: 2 2 7 ' 2 2 1 t t P t , ' 0 0( ), 1( ) P t th t kth 1 1 2 5 3 15 P P v 1 0 4 P . KL: GTLN l 1 4 v GTNN l 2 15 ( HSLT trờn on 1 1 ; 5 3 ) 0,5 0,5 1 ng trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5 Gi H l trung im AB thỡ AH=3 v IH AB suy ra IH =4 Mt khỏc IH= d( I; ) Vỡ || d: 4x-3y+2=0 nờn PT ca cú dng 3x+4y+c=0 d(I; )= vy cú 2 t tha món bi toỏn: 3x+4y+29=0 v 3x+4y-11=0 0,5 0,5 VIa 2 Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: 1 u ur (4; - 6; - 8) 2 u uur ( - 6; 9; 12) +) 1 u ur và 2 u uur cùng phơng +) M( 2; 0; - 1) d 1 ; M( 2; 0; - 1) d 2 Vậy d 1 // d 2 . *) AB uuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d 1 . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B Khi A 1 , I, B thẳng hàng I là giao điểm của A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung điểm của A 1 B. *) Gọi H là hình chiếu của A lên d 1 . Tìm đợc H 36 33 15 ; ; 29 29 29 A đối xứng với A qua H nên A 43 95 28 ; ; 29 29 29 I là trung điểm của AB suy ra I 65 21 43 ; ; 29 58 29 0,5 0,5 I A H B Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. Hết VII a Xét phương trình z 4 – z 3 +6z 2 – 8z – 16 = 0 . Dễ dàng nhận thấy phương trình có nghiệm Z 1 = –1, sau đó bằng cách chia đa thức ta thấy phương trình có nghiệm thứ hai Z 2 = 2. Vậy phương trình trở thành: (Z + 1)(Z – 2)(Z 2 + 8) = 0 Suy ra: Z 3 = 2 2 i và Z 4 = – 2 2 i Đáp số:      1,2, 2 2i, 2 2i 0,5 0,5 1 Gäi M(x 0 ;y 0 ), A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ) TiÕp tun t¹i A cã d¹ng 1 1 1 4 3 xx yy   . TiÕp tun ®i qua M nªn 0 1 0 1 1 4 3 x x y y   (1) Ta thÊy täa ®é cđa A vµ B ®Ịu tháa m·n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt 0 0 1 4 3 xx yy   do M thc  nªn 3x 0 + 4y 0 =12  4y 0 =12-3x 0  0 0 4 4 4 4 3 xx yy    0 0 4 (12 3 ) 4 4 3 xx y x    Gäi F(x;y) lµ ®iĨm cè ®Þnh mµ AB ®i qua víi mäi M th× (x- y)x 0 + 4y – 4 = 0   0 1 4 4 0 1 x y y y x         . VËy AB lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh F(1;1) 0,5 0,5 VIb 2 MỈt ph¼ng c¾t 3 tia Ox,Oy,Oz t¹i A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) cã d¹ng     : 1, , , 0 x y z a b c a b c       Do M     nªn: cos 3 1 2 3 6 1 3. 162 y abc a b c abc        ThĨ tÝch: min 3 1 27 27 6 6 9 a V abc V b c              MỈt ph¼ng cÇn t×m: 6x+3y+2z-18=0 0,5 0,5 VII b  ĐK: x > 1  Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương Vậy phương trình đã cho có một nghiệm : 0,5 0,5 . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 Môn Toán – ĐỀ 03 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C) 1.Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị. định. Hết VII a Xét phương trình z 4 – z 3 +6z 2 – 8z – 16 = 0 . Dễ dàng nhận thấy phương trình có nghiệm Z 1 = –1 , sau đó bằng cách chia đa thức ta thấy phương trình. giá trị nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 4 – z 3 +6z 2 – 8z – 16 = 0 . 2. Theo chương trình Nâng cao. Câu VIb.(2điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy cho