TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI Năm học 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN (Khối D) Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm) Câu I (2 ñiểm ) Cho hàm số y = 1 x x − (1) 1. Khả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị (C) c ủ a hàm s ố (1). 2. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n d c ủ a (C) sao cho d và hai ñườ ng ti ệ m c ậ n c ủ a (C) c ắ t nhau t ạ o thành m ộ t tam giác vuông cân. Câu II (2 ñiểm ) 1. Gi ả i ph ươ ng trình: 3 – tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0. 2. Tìm m ñể h ệ ph ươ ng trình: 2 0 1 x y m x xy − − =    + =   có nghi ệ m duy nh ấ t. Câu III (1 ñiểm) Tính tích phân: 2 3 1 1 dx x x Ι = + ∫ Câu IV (1 ñiểm) Cho m ộ t l ă ng tr ụ ñứ ng ABC.A’B’C’ có ñ áy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a 2 . G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung ñ i ể m c ủ a ñ o ạ n AA’và BC’. Ch ứ ng minh MN là ñườ ng vuông góc chung c ủ a các ñườ ng th ẳ ng AA’và BC’. Tính th ể tích c ủ a kh ố i t ứ di ệ n MA’BC’. Câu V (1 ñiểm) Gi ả i ph ươ ng trình : 2 2 1 log 1 2 x x x x − = + − B. PHẦN RIÊNG (3 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) Phần 1 : Theo chương tình chuẩn Câu VI.a (2 ñiểm) 1. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy, tìm to ạ ñộ các ñỉ nh c ủ a tam giác ABC bi ế t r ằ ng ñườ ng th ẳ ng AB, ñườ ng cao k ẻ t ừ A và ñườ ng trung tuy ế n k ẻ t ừ B l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình là x + 4y – 2 = 0, 2x – 3y + 7 = 0, 2x + 3y – 9 = 0. 2. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxyz cho hai ñ i ể m I(0;0;1), K(3;0;0). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ñ i qua hai ñ i ể m I, K và t ạ o v ớ i m ặ t ph ẳ ng (xOy) m ộ t góc b ằ ng 0 30 Câu VII.a (1 ñiểm) Kí hi ệ u k n C là s ố t ổ h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử ( , ; k n N k n ∈ ≤ ). Ch ứ ng minh ñẳ ng th ứ c: 0 2 2 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 .3 .3 .3 2 (2 1) n n n n n n n n C C C C − + + + + = + Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2ñiểm) 1. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy, cho ñườ ng tròn (C): 2 2 1. x y + = ðườ ng tròn tâm (C’) tâm I(2;2) c ắ t (C) t ạ i hai ñ i ể m A, B sao cho AB = 2 . Vi ế t ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng AB. 2. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxyz cho ñ i ể m I(2;2;-2) và m ặ t ph ẳ ng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0. a. L ậ p ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) có tâm là I sao cho giao c ủ a (S) và (P) là ñườ ng tròn (C) có chu vi b ằ ng 8 π b. Tìm to ạ ñộ tâm c ủ a ñườ ng tròn (C) Câu VII.b (1 ñiểm) Cho t ậ p X g ồ m t ấ t c ả các s ố t ự nhiên có 3 ch ữ s ố khác nhau ( , , 6) abc a b c < .Ch ọ n ng ẫ u nhiên m ộ t s ố trong X. Tính xác su ấ t ñể k ế t qu ả ch ọ n ñượ c là m ộ t s ố chia h ế t cho 3. H ế t TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN H Ạ LONG ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI N ă m h ọ c 2009 – 2010 Môn thi : TOÁN ( khối D) Câu N ộ i dung ð i ể m I 2 ñ ’ 1 1 ñ ’ • TX ð : { } \ 1 D R= • S ự bi ế n thiên . ( ) 2 1 ' 0 1 y x = − < − v ớ i x D ∀ ∈ .H/s ngh ị ch bi ế n trên các kho ả ng ( ) ( ) ;1 , 1; −∞ +∞ và không có c ự c tr ị .Tìm ñượ c ti ệ m c ậ n ñứ ng :x=1 ,ti ệ m c ậ n ngang :y=1 ◦ B ả ng bi ế n thiên: x −∞ 1 +∞ y’ _ _ y 1 −∞ +∞ 1 • ðồ th ị : . ðồ th ị nh ậ n ñ i ể m I(1;1) là tâm ñố i x ứ ng và qua O(0;0) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1 ñ ’ • ðồ th ị (C) có 2 ñườ ng ti ệ m c ậ n vuông góc v ớ i nhau ,trong ñ ó có 1ti ệ m c ậ n song song v ớ i tr ụ c Ox nên YCBT ⇔ l ậ p pt ti ế p tuy ế n cúa (C) sao cho tt h ợ p v ớ i Ox 1 góc 0 45 và không ñ i qua giao ñ i ể m 2 ñươ ng ti ệ m c ậ n • L ậ p lu ậ n ñể có h ệ s ố góc c ủ a tt là k=1 ho ặ c k=-1 • Xét k=1 : pt hoành ñộ ti ế p ñ i ể m là y’=1 vô nghi ệ m nên không có tt • Xét k=-1: pt hoành ñộ ti ế p ñ i ể m là , 0 1 2 x y x =  = − ⇔  =  0 0, : 2 2, : 4 x y pttt y x x y pptt y x = ⇒ = = − = ⇒ = = − + (Tmãn không qua giao ñ i ể m 2 ñườ ng ti ệ m c ậ n ) LK:Có 2 pttt c ầ n tìm :y=-x và y=-x+4 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 x y O 1 1 ñ • ð k: Cos x ≠ 0 (*) Khi ñ ó ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 1 2 osx 3 1 2 osx 0 osx osx sin 1 2 osx 3 0 os x -1 osx= ( ) 2 tan 3 ( ) 3 x c pt c c c x c c c tmdk x x k k Z π π +   ⇔ + − =       ⇔ + − =       ⇔  =   ⇔ = ± + ∈ 0,25 0,25 0,25 0,25 II (2 ñ ’) 2 1 ñ ’ • H ệ pt ñ ã cho ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 2 (1) 2 1 0(2) 1 x x y x m y x m x m x xy x   − ≥ ≤    ⇔ = − ⇔ = −     + − − = = −    • Yêu cầu bài toán (2) pt ⇔ có ñúng 1 nghiệm thoả mãn x 1 ≤ (*) • Ta có pt(2)có 2 nghi ệ m trái d ấ u v ớ i m ∀ (do a.c <0 ) (*) (2) pt ⇒ ⇔ có 2nghi ệ m 2 1 2 (2 ) (2 ) 4 1 1 2 2 m m x x m − − + − + < < ⇔ > ⇔ > 0,25 0,25 0,5 III (1ñ’) • Tính I= 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx x x x x = + + ∫ ∫ • ðặt 3 2 1 2 3 1 2, 2 3 x t tdt x dx x t x t + = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = • 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 ln ln ln ln 3 1 3 2 3 2 2 1 dt I dt t t t t t   ⇒ = = −   − − +     − − + = = − =     + +   ∫ ∫ 0,25 0,25 0,25 0,25 VI (1 ñ ’) • NM c ắ t AA’ t ạ i M và BB’ t ạ i N, g ọ i H,K l ầ n l ượ t là trung ñ i ể m c ủ a BC và B’C’ ta có H,N,K th ẳ ng hàng +L ậ p lu ậ n ñể có MNKA’ là hcn ' MN AA ⇒ ⊥ t ạ i M + L ậ p lu ậ n ñể có ' MN BC ⊥ t ạ i N • +L ậ p lu ậ n ñượ c AB là ñườ ng cao c ủ a chóp B.A’MC’ +Tính ñượ c di ệ n tích tam giác A’MC’= 2 2 4 a ( ) 3 2 12 a V dvtt ⇒ = 0,25 0,25 0,25 0,25 N A A' B' C' B C H K M V (1 ñ ’) • ð k 2 1 0 0 0 x x x x  − >  ⇔ >   ≠  • V ớ i ð k trên pt ( ) 2 2 2 2 1 log 1 2 log 2 1 2 1 log x x x x x x x x − ⇔ = − + ⇔ − + − = + (1) • 2 ( ) log f t t t = + là h/s ñ òng bi ế n trên ( ) 0; +∞ nên ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 . , 0 f t f t t t t t = ⇔ = ∀ > (1) 2 1 2 1 0 x x x x ⇔ − = ⇔ − − = (2) x 0 x 0 + ∞ • ðặ t ( ) 2 1 x g x x = − − ,xét CBT c ủ a g(x) trên(0; ) +∞ g’ - 0 + g’= ( ) 2 2 0 2 ln 2 1 0 log log x x e x − = ⇔ = = , g(0)=0 g T ừ BBT ta có pt(2) có t ố i ñ a 1 nghi ệ m x>0 .Ta có x=1 là nghi ệ m c ủ a pt(2) KL :pt ñ ã chocó 1 nghi ệ m duy nh ấ t x=1 0,25 0,25 0,25 0,25 Via (2 ñ ’) 1 1 ñ ’ • To ạ ñộ A là nghi ệ m c ủ a h ệ ( ) 4 2 0 2 2;1 2 3 7 0 1 x y x A x y y + − = = −   ⇔ ⇒ −   − + = =   • To ạ ñộ B là nghi ệ m c ủ a h ệ ( ) 4 2 0 6 6; 1 2 3 9 0 1 x y x B x y y + − = =   ⇔ ⇒ −   + − = = −   • .L ậ p lu ậ n ñể có pt c ủ a BC:3x+2y-16=0 .M là trung ñ i ể m c ủ a AC 2 2 2 1 2 2 A C C M A C C M x x x x y y y y + − +  = =   ⇔  + +  = =   ,L ạ i có M thu ộ c trung tuy ế n qua B nên : 2 3 19 0 C C x y + − = • To ạ ñộ c ủ a C tho ả mãn ( ) 3 2 16 0 2 2;5 2 3 19 0 5 x y x C x y y + − = =   ⇔ ⇒   + − = =   0,25 0,25 0,25 0,25 2 1 ñ ’ • Gi ả s ử ( ) ; ; n A B C r làvéct ơ pháp tuy ế n c ủ a mp’(P) c ầ n tìm (A,B,C không ñồ ng th ờ i =0) .Vì , ( ) (3;0; 1) . 0 3 0 3 ( ) K I P IK IK n A C C A n P ∈   − ⇒ = ⇔ − = ⇔ =   ⊥  uur uur r r (1) • (P) h ợ p v ớ i (xOy) 1góc 0 30 0 2 2 2 3 os30 os(n, ) (2) 2 C c c k A B C ⇔ = ⇔ = + + r r • T ừ (1) và (2) 2 2 2 2 2 B A A B B A  = ⇒ = ⇔  = −   . .V ớ i 2 B A = ch ọ n A=1 ⇒ B= 2 ,C=3 (1; 2;3) n⇒ r .V ớ i 2 B A =− ch ọ n A=1 ⇒ B=- 2 ,C=3 (1; 2;3) n⇒ − r • mp’có vt ơ pt (1; 2;3) n r và qua I(0;0;1) có pt: 2 3 3 0 x y z + + − = mp’có vt ơ pt (1; 2;3) n − r và qua I(0;0;1) có pt: 2 3 3 0 x y z − + − = C ả 2 mp’ có pt trên tho ả mãn qua K và là mp’ c ầ n tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa (1 ñ ’) • ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 4 1 3 3 2 1 3 1 3 n n n k k n k n n k n k k n k C C = = = + = = − = − ∑ ∑ V ớ i , , k n k n N ≤ ∈ • 2 2 0 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 (2 1) 2 n n n n n n n n C C C − + ⇒ + + + = = + 0,25 0,25 0,5 VIb (2 ñ ) 1 1 ñ ’ • ðườ ng tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R=1 , ñườ ng tròn (C’) c ắ t (C) t ạ i A,B nên AB OI ⊥ t ạ i H là trung ñ i ể m c ủ a AB suy ra (2;2) OI uur là véc t ơ pháp tuy ế n Pt AB có dang :2x+2y+C=0 • 2 2 2 ( , ) 2 2 2 2 C d O AB OH OB HB C = = − ⇔ = ⇔ = ± • KL: x+y+1=0 và x+y-1=0 là pt ñườ ng th ẳ ng c ầ n tìm 0,25 0,5 0,25 2 1 ñ ’ • L ậ p lu ậ n ñể có bk c ủ a (C) là r =4, d(I,(P)) =11/3 suy ra bbk c ủ a m ặ t c ầ u R= 265 3 Pt m ặ t c ầ u : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 265 2 2 2 9 x y z− + − + + = …………………… • G ọ i H là tâm c ủ a ñườ ng tròn (C) thì H là hình chi ế u c ủ a I trên m ặ t ph ẳ ng(P) ( ) ( ) 11 9 2 2 5 0 4 2 2 4 4 29 9 ; ; 2 2 4 9 9 9 9 2 29 9 H P IH P t x y z x x t H y t y z t z ∈   ⇔  ⊥    = −   + + + =   = −  = +     ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − − −     = +     = −   = −    = −  uuur 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIb (1 ñ ’) • L ậ p lu ậ n ñượ c s ố ph ầ n t ử c ủ a không gian m ẫ u 5.5.4 100 Ω = = • G ọ i bi ế n c ố A: “S ố l ấ y ñượ c chia h ế t cho 3” { } 3 , A abc X abc n n N ⇒ Ω = ∈ = ∈ . L ậ p lu ậ n ñượ c 4.4 4.3! 40 A Ω = + = • ( ) 40 2 100 5 A A P Ω ⇒ = = = Ω 0,25 0,5 0,25 . TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI Năm học 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN (Khối D) Thời gian làm bài: 180 phút A chia h ế t cho 3. H ế t TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN H Ạ LONG ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI N ă m h ọ c 2009 – 2010 Môn thi : TOÁN ( khối D) Câu N ộ i dung ð i ể m. tìm :y=-x và y=-x+4 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 x y O 1 1 ñ • ð k: Cos x ≠ 0 (*) Khi ñ ó ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 1 2 osx 3 1 2 osx 0 osx osx sin 1 2 osx 3 0 os x -1 osx= (