http://www.vnmath.com S Gíao d c & Đào t oở ụ ạ t nh Vĩnh Phúcỉ Tr ng THPT Xuânườ Hoà KỲ THI KSCL THI Đ I H C NĂM 2011 L N TH 1Ạ Ọ Ầ Ứ Đ THI MÔN Toán; Kh i AỀ ố Th i gian làm bài : 180 phút, không k th i gian giao đ .ờ ể ờ ề Đ thi g m 01 trangề ồ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I/- PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (Ầ Ấ Ả 7, 0 đi m)ể Câu I (2,0 đi m)ể : Cho hàm s ố 4 2 2 2 1 (1)y x m x= + + 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố 2. Ch ng minh r ng đ ng th ng y = x + 1 luôn c t đ th c a hàm s (1) t i hai đi m phânứ ằ ườ ẳ ắ ồ ị ủ ố ạ ể bi t v i m i giá tr c a m.ệ ớ ọ ị ủ Câu II (2,0 đi m)ể : 1. Gi i ph ng trình: ả ươ sin 4 cos 4 1 4(sin cos )x x x x− = + − 2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ 3 3 2 2 4 16 1 5(1 ) x y y x y x + = + + + + = + + Câu III (1,0 đi mể ): Tính gi i h n ớ ạ 2 0 1 cos 2 tan lim .sin x x x x x x − + Câu IV (1,0 đi mể ): Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n ạ ề AB = 2a. Trên đ ng th ng ươ ẳ d đi qua A và vuông góc v i m t ph ng ớ ặ ẳ (ABC) l y đi m ấ ể S, sao cho m t ph ng ặ ẳ (SBC) t o v i m t ph ng ạ ớ ặ ẳ (ABC) m t góc ộ 60 0 . Tính di n tích m t c u ngo i ti p tệ ặ ầ ạ ế ứ di n ệ SABC. Câu V (1,0 đi mể ): Tìm giá tr nh nh t c a hàm sị ỏ ấ ủ ố 4 3 2 2 4 8 8 5 ( ) 2 2 x x x x f x x x − + − + = − + II. PH N RIÊNG(Ầ 3,0 đi mể ): Thí sinh ch đ c làm m t trong ph n ( ph n A ho c ph n B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ Câu VIa (2,0 đi m)ể 1. Trong m t ph ng v i h to đ ặ ẳ ớ ệ ạ ộ 0xy, cho elíp (E) có tiêu đi m th nh t ể ứ ấ ( 3; 0)− và đi qua đi m ể 4 33 (1; ) 5 M . Hãy xác đ nh to đ các đ nh c a ị ạ ộ ỉ ủ (E). 2. Gi i ph ng trình: ả ươ 2.27 18 4.12 3.8 x x x x + = + . Câu VII a (1,0 đi mể ): Có bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s khác nhau và khác 0 mà trong m iố ự ữ ố ỗ s luôn có m t hai ch s ch n và hai ch s l .ố ặ ữ ố ẵ ữ ố ẻ B. Theo ch ng trình Nâng caoươ Câu VI.b(2,0 đi m)ể 1. Trong m t ph ng v i h to đ ặ ẳ ớ ệ ạ ộ 0xy, cho đi m ể A(2; 1). L y đi m ấ ể B n m trên tr c hoànhằ ụ có hoành đ không âm sao cho tam giác ộ ABC vuông t i ạ A. Tìm to đ ạ ộ B, C đ tam giác ể ABC có di n tích l n nh t.ệ ớ ấ 2. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau và khác 0 mà trong m i s luôn có m tố ự ữ ố ỗ ố ặ hai ch s ch n và ba ch s l .ữ ố ẵ ữ ố ẻ Câu VII.b(1,0 đi mể ): Tìm m đ hàm s : ể ố 2 1mx y x − = có hai đi m c c tr ể ự ị A, B và đo n ABạ ng n nh t.ắ ấ H t ế Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.ượ ử ụ ệ ộ ả http://www.vnmath.com 1 http://www.vnmath.com H và tên thí sinh:…………………………………; S báo danh:……………… ọ ố ĐÁP ÁN, BI U ĐI M Ể Ể MÔN TOÁN Kh i ố A L u ý :ư H c sinh làm theo cách khác mà đúng v n cho đi m t i đaọ ẫ ể ố Câu Đáp án Đi mể I 1. (1, 0 đi m). ể Kh o sát….ả V i m=1, hàm s tr thành: ớ ố ở 4 2 2 1y x x= + + * T p xác đ nh: Rậ ị * S bi n thiênự ế + 3 2 ' 4 4 4 ( 1) ' 0 0y x x x x y x= + = + = =� � 0, 25 Ta có: ' 0 0; ' 0 0y x y x> > < <� � Hàm s ngh ch bi n trong kho ng ố ị ế ả ( ) ;0−0 và đ ng bi n trong kho ngồ ế ả ( ) 0;+; ; đ t c c ti u t i x=0; y(0)=1ạ ự ể ạ 0, 25 + Gi i h n: ớ ạ lim lim x x y y y −ml +m = = +l B ng bi n thiên: ả ế x −= 0 + y' - 0 + y + + 1 0, 25 * Đ th : Hàm s đã cho là hàm s ch n nên đ th nh n tr c tung làm tr cồ ị ố ố ẵ ồ ị ậ ụ ụ đ i x ng.ố ứ 0,25 2. ((1, 0 đi m).ể Ch ng minh đ ng th ng ….ứ ườ ẳ S giao đi m c a hai đ th t ng ng v i s nghi m c a ph ng trình: ố ể ủ ồ ị ươ ứ ớ ố ệ ủ ươ 4 2 2 2 1 1x m x x+ + = + 3 2 ( 2 1) 0x x m x+ − =� (*) 3 2 0 2 1 0(**) x x m x = = = + − = + Ph ng trình (*) có m t nghi m ươ ộ ệ x = 0 0,25 http://www.vnmath.com 6 4 2 -1 1 2 2 http://www.vnmath.com Ta s đi ch ng minh ph ng trình: ẽ ứ ươ 3 2 2 1 0x m x+ − = (**) có đúng m t nghi mộ ệ khác 0 v i m i giá tr mớ ọ ị * N u m=0 thì pt(**) tr thành: ế ở 3 1 0 1x x− = =� � pt(*) có đúng 2 nghi m.ệ 0,25 • N u ế 0m m , Xét hàm s ố 3 2 ( ) 2 1f x x m x= + − trên R. • Ta có: 2 2 '( ) 3 2 0,f x x m x R= + > ∀x = f(x) luôn đ ng bi n trên Rồ ế ( ) 0f x =� có nhi u nh t m t nghi m.ề ấ ộ ệ 0,25 Ta có: f(0) = -1; f(1) =2m 2 >0 (0). (1) 0f f <� � pt ( ) 0f x = có nhi u nh tề ấ m t nghi m thu c (0; 1).ộ ệ ộ V y pt (**) có đúng m t nghi m khác 0ậ ộ ệ ệ (đpcm) 0,25 II 1. (1, 0 đi m).ể Gi i ph ng trình: ả ươ sin 4 cos 4 1 4(sin cos )x x x x− = + − (1) ĐK: x R∀R [ ] 2 2 2 (1) sin 4 1 cos 4 4(sin cos ) 2sin 2 .cos 2 2 cos 2 4(cos sin ) (cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2(cos sin ) 0 (cos sin ) (cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2 0 (2) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + −� = − −� − − − − =� − + − − =� 0,25 Xét hai kh năng x y ra cho (2):ả ả * TH1: cos sin 0 tan 1 4 x x x x k π π − = = = +� � 0,25 * TH2: (cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2 0 2cos(2 ).cos( ) 2 0 4 4 cos3 cos( ) 2 (*) 2 x x x x x x x x π π π − − − = + − − =� + + =� cos3 1 (3) cos( ) 1 (4) 2 x x π = = = = = + = + + 0,25 Xét: cos( ) 1 2 2 2 x x m π π π + = = − +� 3 3 6 2 x m π π = − +� Lúc đó: 3 cos3 cos( 6 ) 0 2 x m π π = − + = ( Vô lý v i (3))ớ V y (*) vô nghi m., nên (1) có nghi m: ậ ệ ệ 4 x k π π = + 0,25. 2.(1, 0 đi m).ể Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ 3 3 2 2 4 16 1 5(1 ) x y y x y x y + = + + + + = + + + HPT 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 16) ( 4) ( 16) 5 (1) 4 5 4 5 (2) x x y y x x x y y x y x � � − = − − = � � � � � � − = − = � � � � 0,25 Pt (1) 2 0 16 5 (3) x x xy = = = = − = − +) x = 0 thay vào (2) ta đ c ượ 2y == +) 0x x , pt (3) 2 16 5 x y x − =� thay vào (2) ta đ c:ượ 0,5 http://www.vnmath.com 3 S A C B http://www.vnmath.com 4 2 2 124 132 256 0 1x x x+ − = =� • N u x = 1 thì y = -3ế • N u x =-1 thì y = 3.ế V y HPT có các nghi m: (x; y) =( 0; 2); (0; -2); (1; -3); (-1; 3).ậ ệ 0,25 III (1, 0 đi mể ) Tính gi i h n: I= ớ ạ 2 0 1 cos 2 tan lim .sin x x x x x x − + 2 2 2 0 sin 2sin cos lim .sin x x x x I x x x + = 0,5 2 0 2sin sin lim( ) 2 1 3 .cos x x x I x x x x = + = + = 0,5 IV (1 đi m):ể Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n ệ ặ ầ ạ ế ứ ệ SABC. T gi thi t suy ra ừ ả ế ABC ∆ vuông t i C k t h p v i ạ ế ợ ớ ( )d SAC⊥ . Suy ra ( )BC SAC⊥ Do đó D 0 60SCA = Do ABC∆ vuông t i C và ạ AB =2a 2AC BC a= =� Trong tam giác vuông SAC ta có 0 .tan 60 6SA AC a= = 0,5 Trong tam giác SAB có: 2 2 10SB SA AB a= + = Do D D 0 90SCB SAB= = nên t di n SABC n i ti p trong m t c u đ ng kínhứ ệ ộ ế ặ ầ ườ SB. 0,25 Suy ra bán kính m t c u b ngặ ầ ằ 10 2 2 SB a = V y Sậ 2 2 4 10 mc R a π π = = (Đ.V.D.T) 0,25 V (1 đi m):ể Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : ị ỏ ấ ủ ố 4 3 2 2 4 8 8 5 ( ) 2 2 x x x x f x x x − + − + = − + T p xác đ nh c a hàm s là R. ậ ị ủ ố Ta có: 4 3 2 2 4 8 8 5 ( ) 2 2 x x x x f x x x − + − + = − + = 2 2 2 2 ( 2 ) 4( 2 ) 4 1 2 2 x x x x x x − − − + + − + 0,5 2 2 2 2 2 2 ( 2 2) 1 1 ( ) 2 2 2( 2 2 0 2 2 2 2 x x f x x x do x x x x x x − + + = = − + +o − + > − + − + ) 0,25 Đ ng th c x y ra ẳ ứ ả 2 2 2 1 1x x x− + = =� � . V y Minf(x) = 2 khi x =1ậ 0,25 Vi.a 1.(1 đi m):ể Hãy xác đ nh to đ các đ nh c a ị ạ ộ ỉ ủ (E). (E) có tiêu đi m ể 1 ( 3;0)F − nên 3c = Ph ng trình chính t c c a (E) có d ng: ươ ắ ủ ạ 2 2 2 2 1 x y a b + = (a>b>0) 0,25 http://www.vnmath.com 4 http://www.vnmath.com Ta có: 4 33 (1; ) 5 M 2 2 1 528 ( ) 1(1) 25 E a b + =� � và 2 2 2 2 3a b c b= + = + thay vào (1) ta đ c: ượ 4 2 2 2 1 528 1 25 478 1584 0 3 25 b b b b + = − − =� + 2 22 22b b= =� � 0,5 Suy ra: 2 25 5a a= =� . V y (E) có b n đ nh là: (-5;0); (5; 0); (0;- ậ ố ỉ 22 ); (0; 22 ) 0,25 2. (1,0 đi m): ể Gi i ph ng trình: ả ươ 2.27 18 4.12 3.8 x x x x + = + . Ta có PT 3 2 2 3 2.3 2 .3 4.2 3 3.2 x x x x x x + = +� . 0,25 Chia c hai v cho ả ế 3 2 0 x > : PT 3 2 3 3 3 2 4 3 0 2 2 2 x x x � � � � � � + − − =� � � � � � � � � � � � � . 0,25 Đ t ặ 3 2 x t � � = � � � � , đk: t>0. PT tr thành:ở ( ) ( ) 3 2 2 2 4 3 0 1 2 3 0 1 3 2 t t t t t t t t + − − = + − − =� = − = = = = = = . Do t >0 nên t= 3 2 0,25 Khi 3 2 t = , ta có: 3 3 1 2 2 x x � � = =� � � � � . KL: Nghi m PT là ệ 1x = . 0,25 ViIa (1,0 đi m).ể Có bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s khác nhau và khác 0 màố ự ữ ố trong m i s luôn có m t hai ch s ch n và hai ch s l .ỗ ố ặ ữ ố ẵ ữ ố ẻ T gi thi t bài toán ta có ừ ả ế 6 2 4 = C cách ch n 2 ch s ch n (vì không có s 0)ọ ữ ố ẵ ố và 10 2 5 = C cách ch n hai ch s l => cã ọ ữ ố ẻ 2 5 C . 2 5 C = 60 b 4 s tho mãn bàiộ ố ả toán. 0,5 M i b 4 s nh th có 4! s đ c thành l p. V y có t t c ỗ ộ ố ư ế ố ượ ậ ậ ấ ả 2 4 C . 2 5 C .4! = 1440 s .ố 0,5 VI.b 1. (1 đi m):ể Tìm to đ ạ ộ B, C đ tam giác ể ABC có di n tích l n nh t.ệ ớ ấ G i A(2; 1); B(b; 0); C(0; c); b, c > 0.ọ Theo gi thi t ta có tam giác ABC vuông t i A nênả ế ạ 5 . 0 2 5 0 2 AB AC c b O b= = − +� � � � � uuur uuur 0,25 2 2 2 1 1 . ( 2) 1. 2 ( 1) 2 2 ABC S AB AC b c ∆ = = − + + − 2 2 ( 2) 1 4 5b b b= − + = − + 0,5 Do max 5 0 2 b SbSx khi b =0. Suy ra B(0; 0); C(0; 5). 0,25 2.(1 đi m):ể Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau và khác 0 mà trong m i số ự ữ ố ỗ ố luôn có m t hai ch s ch n và hai ch s lặ ữ ố ẵ ữ ố ẻ http://www.vnmath.com 5 http://www.vnmath.com T gi thi t bài toán ta th y có ừ ả ế ấ 10 2 5 = C cách ch n 2 ch s ch n (k c sọ ữ ố ẵ ể ả ố có ch u s 0 đ ng đ u ) vµ ữ ố ứ ầ 3 5 C =10 cách ch n hai ch s l => cã ọ ữ ố ẻ 2 5 C . 3 5 C = 100 b 5 s đ c ch n.ộ ố ượ ọ 0,5 M i b 5 s nh th có 5! s đ c thành l p => có t t c ỗ ộ ố ư ế ố ượ ậ ấ ả 2 5 C . 3 5 C .5! = 12000 s .ố M t khác s các s đ c l p nh trên mà có ch s 0 đ ng đ u làặ ố ố ượ ậ ư ữ ố ứ ầ 960!4 3 5 1 4 = CC . V y có t t c 12000 – 960 = 11040 s tho mãn YCBT.ậ ấ ả ố ả 0,5 VII.b (1 đi m):ể Tìm m đ hàm s : ể ố 2 1mx y x − = có hai đi m c c tr ể ự ị A, B và đo n AB ng n nh t.ạ ắ ấ Ta có: 2 2 1 ' mx y x + = . 0,25 Hàm s có hai c c tr ố ự ị ' 0y =� có hai nghi m phân bi t khác 0 ệ ệ 0(*)m <� . 0,25 Khi m<0 đ th hàm s có hai đi m c c tr là: ồ ị ố ể ự ị ( ) ( ) 2 1 1 4 ; 2 , ; 2 16A m B m AB m m m m � � � � − − − − = + −� � � � � − − − � � � � . 0,25 ( ) ( ) 2 4 2 .16 16AB m m m − = − ( không đ i).ổ 1 4 2 4 16( ) 1 2 m AB m m m m = − = = = −� � � − − = = = K t h p v i đi u ki n (*) ta đ c ế ợ ớ ể ệ ượ 1 2 m = − . KL: 0,25 http://www.vnmath.com 6 . cã ọ ữ ố ẻ 2 5 C . 2 5 C = 60 b 4 s tho mãn bàiộ ố ả toán. 0,5 M i b 4 s nh th có 4! s đ c thành l p. V y có t t c ỗ ộ ố ư ế ố ượ ậ ậ ấ ả 2 4 C . 2 5 C .4! = 144 0 s .ố 0,5 VI.b 1. (1 đi m):ể. 0 đi m).ể Gi i ph ng trình: ả ươ sin 4 cos 4 1 4( sin cos )x x x x− = + − (1) ĐK: x R∀R [ ] 2 2 2 (1) sin 4 1 cos 4 4(sin cos ) 2sin 2 .cos 2 2 cos 2 4( cos sin ) (cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2(cos. Phúcỉ Tr ng THPT Xuânườ Hoà KỲ THI KSCL THI Đ I H C NĂM 2011 L N TH 1Ạ Ọ Ầ Ứ Đ THI MÔN Toán; Kh i AỀ ố Th i gian làm bài : 180 phút, không k th i gian giao đ .ờ ể ờ ề Đ thi g m 01 trangề ồ _ _ _