Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp GV. Trần Thị XuyênBài giảng Toán cao cấp do giảng viên Trần Thị Xuyên biên soạn trình bày và giới thiệu học phần toán cao cấp về 6 chương như: hàm số và giới hạn, đạo hàm, hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến, tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân.
HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Trần Thị Xuyến HÀ NỘI - 2013 GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Số tín chỉ: 3. Phân bố thời gian: Lý thuyết 60 % Bài tập 40 % Chương 1: Hàm số và giới hạn Chương 2: Đạo hàm Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến. Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương trình vi phân Chương 6: Phương trình sai phân TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Điểm chuyên cần: 10 % Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 % Thi hết học phần: 60% Thang điểm 10. Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3 Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6 1 CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A. Biến số Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên một tập số X = ∅. Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z và X gọi là miền biến thiên. Các biến số kinh tế hay gặp p: giá cả. Q S : Lượng cung. Q D : Lượng cầu. π: Lợi nhuận T C: Tổng chi phí V C: Chi phí biến đổi F C: Chi phí cố định AT C: Tổng chi phí bình quân AV C: Chi phí biến đổi bình quân T R: Tổng doanh thu K: Vốn L: Lao động C: Lượng tiêu dùng S: Lượng tiết kiệm. Y : Thu nhập. B.Hàm số Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y. Kí hiệu: y = f(x) 2 x gọi là biến độc lập. X gọi là miền xác định. y gọi là biến phụ thuộc. f(X) = {y ∈ R|y = f(x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số. Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f(x), x ∈ X} C. Các cách cho hàm số 1. Hàm số cho bởi bảng. 2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích. Ví dụ 1.1.1. y = √ 5 − x 2 hay y = x 3 − 1, x > 3 5 + x, x ≤ 3 3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số. D. Hàm ẩn Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0 thì y gọi là hàm ẩn của x. Ví dụ 1.1.2. x 2 + y 2 − 1 = 0 hay x 3 − y 3 + 1 = 0 E. Hàm ngược Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f(x) với miền xác định X, miền giá trị Y. Nếu ∀y 0 ∈ Y , phương trình f(x) = y 0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y 0 ∈ Y một và chỉ một x 0 ∈ X sao cho f(x 0 ) = y 0 . Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f(x), kí hiệu là: f −1 . Cách tìm hàm ngược • Viết f(x) = y và tìm x theo y • Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f −1 như là hàm của x. Ví dụ 1.1.3. Tìm hàm ngược của hàm sau y = (x −1) 2 , ∀x ≥ 1 3 Các hàm ngược của các hàm số cơ bản 1. Khi xét hàm số y = sin x xác định trên X = − π 2 , π 2 và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là − π 2 , π 2 . 2. Khi xét hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π]. 3. Khi xét hàm số y = tan x xác định trên X = − π 2 , π 2 và có MGT R có hàm ngược là y = arctan x xác định trên R và có MGT là − π 2 , π 2 . 4. Khi xét hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược là y = arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π). 5. Khi xét hàm số y = a x xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là y = log a x xác định trên (0; +∞) và có MGT là R. F. Một số đặc trưng của hàm số Hàm số đơn điệu • Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x 1 < x 2 thì f (x 1 ) < f(x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ X. • Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu giảm trên miền X nếu x 1 > x 2 thì f (x 1 ) < f(x 2 ); ∀x 1 , x 2 ∈ X. Hàm số bị chặn • Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ X. • Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao cho f(x) ≥ m, ∀x ∈ X. • Hàm số f (x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn. f(x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f(x)| ≤ a, ∀x ∈ X Hàm số chẵn, hàm số lẻ • Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X và f (−x) = f (x). • Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X và f(−x) = −f (x). 4 Hàm số tuần hoàn Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X, ta có x + T ∈ X và f (x + T) = f (x). Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất. G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp Các hàm số sơ cấp cơ bản 1. f (x) = C, C là hằng số. 2. Hàm lũy thừa f(x) = x α , α là hằng số. • α ∈ N thì TXĐ D = R. • α là số nguyên âm thì TXĐ D = R\{0}. • α không là số nguyên thì TXĐ D = (0; +∞). Chú ý: x 1 2 = √ x khi x > 0. 3. Hàm số mũ f(x) = a x (a > 0, a = 1). TXĐ: D = R. 4. Hàm số logarit f(x) = log a x (a > 0, a = 1). Khi a = 10, ta có hàm f(x) = lgx. TXĐ: D = (0; +∞). 5. Các hàm lượng giác: y = sin x có tập xác định là R y = cos x có tập xác định là R y = tan x có tập xác định là x = π 2 + kπ, k ∈ Z y = cot x có tập xác định là x = kπ, k ∈ Z 6. Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x có tập xác định là [−1, 1] y = arccos x có tập xác định là [−1, 1] y = arctan x có tập xác định là R y = arccot x có tập xác định là R Các phép toán sơ cấp 1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số. 5 2. Phép hợp hàm Giả sử khi x thay đổi trong X, các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc miền xác định của hàm số y = f(u). Khi đó, ta có quy tắc: x → u = ϕ(x) → y = f[ϕ(x)]. Hàm y = f [ϕ(x)] gọi là hàm hợp của hàm y = f(u), u = ϕ(x). Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán số học và phép lấy hàm hợp. Ví dụ 1.1.4. Các hàm sơ cấp: lg(x 2 + sin x), x 3 −1 x+1 , cos 3 5x Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 1. Hàm cung Q s = S(p) 2. Hàm cầu Q d = D(p) 3. Hàm sản xuất Q = f(L) 4. Hàm doanh thu T R = TR(Q) 5. Hàm tổng chi phí TC = T C(Q) = V C(Q) + F C 6. Hàm tổng chi phí bình quân ATC = T C(Q) Q 7. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C = V C(Q) Q 8. Hàm lợi nhuận π = T R − T C 9. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) 10. Hàm tiết kiệm S = S(Y ) 1.1.2 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.5. Hàm số f : N ∗ → R n → f (n) 6 được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (x n ) x n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. Ví dụ: x n = 100(1 + 0.14) n có các số hạng là 114; 129.96; 1.2 GIỚI HẠN 1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa giới hạn của dãy số Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số x n có giới hạn là a (hay x n hội tụ đến a) nếu ∀ > 0, ∃n 0 : ∀n > n 0 , |x n − a| < . (Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng cách chọn chỉ số n đủ lớn ) Kí hiệu: lim n→+∞ x n = a Dãy số x n gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn. Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số Định lí 1.2.1. 1. Giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất. 2. Nếu dãy số x n hội tụ thì nó bị chặn. 3. Nếu x n ≥ y n và cả hai dãy x n , y n đều hội tụ thì lim n→+∞ x n ≥ lim n→+∞ y n Giới hạn của dãy số đơn điệu Định lí 1.2.2. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. 7 2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. Ví dụ 1.2.1. Dãy số sau có giới hạn hữu hạn x n = 1 + 1 n n số e và logarit tự nhiên e = lim n→+∞ 1 + 1 n n Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe. ln x = log e x 1.2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Khái niệm giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x) xác định trên D. f(x) có giới hạn là L khi x → x 0 nếu ∀x n ∈ D\{x 0 } : x n → x 0 thì lim n→+∞ f(x n ) = L. Kí hiệu: lim x→x 0 f(x) = L Giới hạn một phía Định nghĩa 1.2.3. 1. Giới hạn bên trái lim x→x − 0 f(x) = lim x → x 0 x < x 0 f(x) 8 2. Giới hạn bên phải lim x→x + 0 f(x) = lim x → x 0 x > x 0 f(x) Định lí 1.2.3. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x 0 ⇔ lim x→x − 0 f(x) = lim x→x + 0 f(x) = L Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f(x) tại điểm a ∈ MXĐ là: lim x→a f(x) = f (a) Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút lim x→+∞ arctan x = π 2 , lim x→−∞ arctan x = − π 2 lim x→+∞ arccotx = 0, lim x→−∞ arccotx = π Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số Định lí 1.2.4. Nếu khi x → a, hàm số f (x), g(x) có giới hạn là các số thực b 1 , b 2 thì 1. lim x→a [f(x) ± g(x)] = b 1 ± b 2 2. lim x→a [kf(x)] = kb 1 3. lim x→a [f(x).g(x)] = b 1 .b 2 4. lim x→a f(x) g(x) = b 1 b 2 , (b 2 = 0) 5. lim x→a [f(x)] g(x) = b b 2 1 , (b 1 > 0) 9 [...]... dy = yt dt = yx dx 2.3 2.3.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 2.3.1 Đạo hàm cấp n của hàm số y = f (x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của hàm số đó f (n) (x) = [f (n−1) (x)] 19 Ví dụ 2.3.1 y = e2x y = 2e2x y = 22 e2x y (n) (x) = 2n e2x 2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO Định nghĩa 2.3.2 Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của hàm số đó d(n) (y) = d(d(n−1) (y))... luận gì về điểm đang xét Các bài toán cực trị có điều kiện trong kinh tế 1 Đối với người tiêu dùng • Bài toán tối đa hóa lợi ích: Chọn (x, y) để hàm lợi ích U = U (x, y) đạt cực đại, với điều kiện p1 x + p2 y = m • Bài toán tối thiểu hóa chi phí: Chọn (x, y) để chi phí tiêu dùng C = p1 x+p2 y đạt giá trị cực tiểu, với điều kiện U (x, y) = U0 2 Đối với doanh nghiệp • Bài toán tối đa hóa sản lượng với... 1.023.01 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa 3.1.10 Giả sử z = f (x, y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng cấp 1 fx , fy là các hàm hai biến mới trong D Các đạo hàm riêng của chúng (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f (x, y) Kí hiệu: fx2 , fy2 , fxy , fyx Nhận xét: Hàm n biến z = f (x1 , x2 , , xn ) có n2 đạo hàm riêng cấp 2 Ví dụ 3.1.9 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau z... bằng tấn, giá: triệu đồng trên 1 tấn 2 Tìm mức sản lượng để công ti đạt lợi nhuận tối đa 3.3 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Phương pháp nhân tử Lagrăng Bài toán Tìm các điểm cực trị của hàm số w = f (x, y) Với điều kiện: g(x, y) = b Xuất phát từ bài toán, ta lập hàm Lagrăng L(x, y, λ) = f (x, y) + λ[b − g(x, y)] 31 Biến phụ λ gọi là nhân tử Lagrăng Phương pháp nhân tử Lagrăng Điều kiện cần Giải hệ phương... hai biến MGT của hàm số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi M (x, y) thay đổi trong MXĐ Ví dụ 3.1.1 Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số: z = 9 − x2 − y 2 Đồ thị của hàm hai biến Đồ thị hàm số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm P (x, y, z) trong không gian, trong đó M (x, y) ∈ D G = {(x, y, z) ∈ R3 |z = f (x, y), (x, y) ∈ D} 24 Hàm số n biến số Các khái niệm tương... liên tục tại điểm đó Chú ý 2.1.3 Điều ngược lại của định lí 2 là sai Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 16 2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 1.(C) = 0 3.(ax ) = ax ln a; (ex ) = ex 3.(sinx) = cosx 1 7.(tanx) = cos2 x 1 9.(arcsinx) = √ 1 − x2 1 11.(arctanx) = 1 + x2 2.1.3 2.(xα ) = αxα−1 , (x) = 1 1 4.(loga... trị cực tiểu, với điều kiện U (x, y) = U0 2 Đối với doanh nghiệp • Bài toán tối đa hóa sản lượng với ngân sách cố định Chọn (K, L) để hàm số Q = f (K, L) đạt cực đại, với điều kiện wK K +wL L = B • Bài toán tối thiểu hóa chi phí sản xuất Chọn (K, L) để hàm số C = wK K +wL L đạt cực tiểu với điều kiện f (K, L) = Q0 Với wK , wL lần lượt là giá thuê một đơn vị vốn (K) và lao động (L) 32 Ví dụ 3 Cho biết... − 4y Định lí 3.1.3 (Định lí Schwarz) Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên D và M (a, b) ∈ D Nếu các đạo hàm fxy , fyx tồn tại trên D và liên tục tại (a, b) thì fxy = fyx 29 Định nghĩa 3.1.11 Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z = f (x, y) là d2 f (x, y) = fx2 (dx)2 + 2fxy dxdy + fy2 (dy)2 3.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa cực trị Định nghĩa 3.2.1 • Hàm f (x, y) đạt cực đại tại (a, b) nếu f (a,... 1.3.1 f (x) liên tục tại x0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) x→x− 0 x→x+ 0 13 Ví dụ 1.3.1 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0 1 − cos x , x=0 2 x f (x) = a, x=0 Định lí 1.3.2 Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó 14 CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM 2.1 ĐẠO HÀM 2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 2.1.1 Xét hàm số f (x) xác định trên (a; b) chứa x0 Cho x0... sản xuất Q = f (K, L) 2 Hàm chi phí và hàm lợi nhuận T C = w k K + w L L + C0 T R = pQ = pf (K, L) π = pf (K, L) − (wk K + wL L + C0 ) 3 Hàm lợi ích U = U (x1 , x2 , , xn ) 4 Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa liên quan Qs i = Si (p1 , p2 , , pn ) Qd i = Di (p1 , p2 , , pn ) 3.1.2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Giới hạn của hàm số 2 biến Khoảng cách giữa 2 điểm M (x, y), M (x , y ) là d(M, . VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Trần Thị Xuyến HÀ NỘI - 2013 GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Số tín chỉ: 3. Phân bố thời gian: Lý thuyết 60 % Bài. hàm số khả vi theo biến t. Khi đó, dy = y t .dt = y x dx. 2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 2.3.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 2.3.1. Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n