Đang tải... (xem toàn văn)
Để cung cấp một số kiến thức cần nhơ và một số kiến thức có phần nâng cao về một mảng toán khó trong chương toán ở cấp 3. Tài liệu trên được sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu. từ đó cho thấy hệ thống kiến thức có phần chặt chẽ và hữu ích cho các đọc giả khi lưu tâm đến những nội dung trong tài liệu này. lưu ý tài liệu trên là dành cho các bạn có năng khiếu trong Toán học hay các bạn học lớp chuyên Toán.
1 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật BẤT ĐẲNG THỨC Toán học cũng như trong đời sống thường ngày, đôi khi ta sẽ gặp phải những vấn đề khó giải quyết, nên ta cần phải biết: Linh hoạt xử lý các tình huống và lựa chọn những phương án tối ưu khi cần thiết. Một vấn đề mà học sinh thường quan tâm đó là làm thế nào để học được tốt môn toán, có những ý kiến nói rằng muốn học giỏi toán là phải giải và xem lời giải thật nhiều, thật nhanh và phải cố gắng nhớ chúng. Theo tôi suy nghĩ đó không hay. Học toán là phải bắt đầu học từ những điều cơ bản nhất để nắm vững nền tảng một cách chắc chắn, rồi từ đó giúp cho ta có cách tư duy và lập luận chặt chẽ khi giải toán. Đó cũng là một lý do mà toán học luôn đòi hỏi ở những người đam mê môn học này. Vì thế nên người ta mới nói: “ Cần chậm khi đang học để thêm phần nhanh và chắc chắn khi đi thi”. Toán có rất nhiều lĩnh vực mà trong đó bất đẳng thức là một nhóm toán khó đối với hầu hết những ai yêu thích và nghiên cứu toán đặc biệt là đối với học sinh. Mặc dù được thầy cô, các quyển sách tham khảo cung cấp nhiều công cụ khi giải bất đẳng thức nhưng mọi học sinh đều cảm thấy lúng túng và có cảm giác thiếu tự tin khi đối diện với những bài toán mới. Vấn đề đặt ra là làm sao để tự tin và tìm ra được những phương án giải cho một bài toán bất đẳng thức ? Theo một số giáo viên để đỡ cảm thấy bối rối khi phải lựa chọn một trong nhiều phương pháp, ta nên hướng chúng đến những điều cơ bản trong việc chứng minh bất đẳng thức, đó là luôn đưa bài toán về những dạng đúng đã được chứng minh trước đó: + Giảm bớt số biến trong bài toán. + Tìm cách thay thế chúng bằng những biểu thức đơn giản hơn. Vậy việc áp dụng nhiều phương pháp giải vào một bài toán nào đó đều có chung một mục đích đó là đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng cơ bản và đơn giản hơn. Lưu ý: Tài liệu này dành cho những học sinh có tinh thần tự học, kiên nhẫn khi giải toán. ______________________________________________________________________________ 2 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG CHỨNG MINH. I. Lược sử về nhà Toán học Cauchy. Cauchy sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789. Nhà Toán học đầy óc sáng tạo này có rất nhiều công trình toán học, chỉ thua Euler mà thôi. Ông được mệnh danh là một thiên tài Toán học với khả năng sáng tạo vô cùng tận. Có người nói rằng nhà Toán học người Pháp này chỉ trong năm phút có thể đưa ra được một định lý. Năm 1813, ông bỏ nghề kỹ sư để theo đuổi sự nghiệp Toán học và ông từng là một giảng viên của Hàn lâm viện Khoa học Pháp. Với tài năng của mình ông đã tạo nên một tiêu chuẩn riêng của mình trong Toán để nghiên cứu về sự Hội tụ của các dãy trong Toán học. Vào ngày 25 tháng 5 năm 1857 ông đột ngột qua đời tại Paris. II. Bất đẳng thức Cauchy - Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. _ Với n số không âm a 1 , a 2 , a 3 , , a n ta có: _ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. Khi mọi số hạng a bằng nhau ta gọi đó là điểm rơi của bất đẳng thức. Hệ quả: Với n số dương a 1 , a 2 , a 3 , , a n ta có: III. Bất đẳng thức BCS: Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz. Với hai bộ n số thực ta có: . Có đẳng thức khi:. Quy ước: khi mẫu số bằng 0 thì tử số bắt buộc cũng phải bằng 0. ______________________________________________________________________________ n nn aaaaaa 2121 ≥+++ nn aaa n aaa +++ ≥+++ 1 11 21 2 21 n aaa === 21 ⇒ nn bbbaaa , ,, và, ,, 2121 ( ) ( )( ) 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ n n b a b a b a === 2 2 1 1 ( ) n n n n bbb aaa b a b a b a +++ +++ ≥+++ 21 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Hệ quả: với các số. Ta có: IV. Một số kết quả thường gặp: 1. Với hai số dương a, b ta có: + . Chứng minh: * : áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số a và b. Ta được: ( vì a, b đều dương) Phần còn lại quy đồng phần mẫu rồi chứng minh tương tự. +. Chứng minh đơn giản. 2. Với ba số dương a, b, c ta có: + (1). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:. Chứng minh: Đầu tiên nhân hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh cho 2. + . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. Chứng minh: Nhân hai vế cho 3, rồi chứng minh tương tự kết quả trên. + . Chứng minh đơn giản. 3. Với 4 số a,b,c,d thỏa, ta có: * * . Chứng minh: ______________________________________________________________________________ ( ) nixa ii , ,2,10 vàR =>∈ ba ab baba 11 2 22 22 + ≥≥ + ≥ + ab baba ≥ + ≥ + 22 22 ab baba ab abba ab abba ≥ + ≥ + ⇔ =≥ + =≥ + 22 2 2 2 2 2 2 2 22 22 baba + ≥+ 411 cabcabcba ++≥++ 222 cba == ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) đúngaccbba cabcabcba 0 2222221 222 222 ≥−+−+−⇔ ++≥++⇔ ( ) cabcab cba ++≥ ++ 3 2 cba == cbacba ++ ≥++ 9111 4=+++ dcba ( )( ) 4 2 2 = +++ ≤++=+++ dcba dbcadacdbcab 4≤+++ dabcdabcdabc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16164 44 32 22 dcba dcba dcba dcba dacb cb da da cb cbaddabcdabcdabcdabc +++ ≤+++ +++ ≤+++ ++ ≤ + + ++ + ≤+++=+++ 4 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật *. Lưu ý: Với cách chứng minh tương tự như trên ta có kết quả tổng quát như sau: Với bốn số dương a,b,c,d có tổngta có: * * * 4. Với n số. Chứng minh: * * Viết các đẳng thức tương tự rồi nhân vế theo vế, ta được: Hệ quả: Với n số. Chứng minh: Đặt. Áp dụng 1) ta được kết quả. V. Kỹ thuật ước lượng qua một nhị thức bậc nhất: Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức có dạng:, T là một hằng số. Ta tìm nhị thức bậc nhấtsao cho. Từ đó ta được:(hay ngược lại) Nếu có:thì ta được:(hay ngược lại) Ví dụ 1: Cho ba số không âm a, b, c. CmR :. ______________________________________________________________________________ ( )( ) 4 2 2 2222 ≤ +++ ≤≤++=+++ dacdbcab cdabadbcbdaacddbccab Τ=+++ dcba 4 2 Τ ≤+++ dacdbcab 16 2 Τ ≤+++ dabcdabcdabc 64 4 2222 Τ ≤+++ bdaacddbccab ( ) ∑ ∏ = = − ≤ + ≥ n i n i n i i i i n x x x x 1 1 1 1 :có Ta . 1 ,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 xx x xx xx n xx xx n x x x x x x n n n n n n n n + = + −≤ ++ −⇒ ++ −−≤ + ++ + −= + − − ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n nn n n n xxx xxxxxx xxx n 1 1 1 11 1 1 11 1 21 2121 21 − ≤⇒ +++ ≤ +++ − ( )( ) ( ) ( ) n n nni aaanaaaaaaa 11 11:có Ta .1 và0 212121 −≥−−−=+++> i i i i i i a a x x x a + =⇒ + = 11 ( ) ( ) ( ) ( ) Τ≤Τ≥+++ hay 21 axfxfxf a n qpx + ( ) ( )( ) qpxxfqpxxf +≤+≥ hay ( ) ( ) ( ) ( ) nqxxxpxfxfxf nn ++++≥+++ 2121 Α=+++ n xxx 21 ( ) ( ) ( ) nqpxfxfxf n +Α≥+++ 21 ( )( )( ) ( ) 3 3 1111 abccba +≥+++ 5 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Giải: (1) Áp dụng bất đẳng thức cô-si , ta có: và . Ví dụ 2: Cho ba số không âm a, b, c. CmR :. Giải: Áp dụng bất đẳng thức cô-si: Ví dụ 3: Cho ba số dương a, b, c, d. CmR:. Giải: Vì các số a, b, c, d dương nên ta có: Từ (1), (2), (3) và (4) cho ta: Vậy. Ví dụ 4: Cho. Chứng minh rằng:. Giải: Ta có:(1). Cách 1: Nhân hai vế của (1) cho. Sau đó khai triển các biểu thức, chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tương đương, ta được:. Cách 2: Áp dụng giả thuyết hai lần lần bằng tính chất:. Sau đó khai triển hai vế của bất đẳng thức mới, rồi chứng minh bằng phương pháp tương đương, ta được: . Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức cô-si để chứng minh. Ta có: ______________________________________________________________________________ ( )( )( ) abccabcabcbacba +++++++=+++= 1111VT 3 3 abccba ≥++ 3 222 3 cbacabcab ≥++ ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) đpcm 111a1 3311111 3 222 3 3 abccb abccbaabccba +≥+++⇔ +++≥+++⇔ cba b ca a bc c ab ++≥++ ( ) đpcm22 22 22 22 2 2 2 ⇒++≥ ++⇒ =≥+ =≥+ =≥+ cba b ca a bc c ab a bc bca c ab b ca c ab abc b ca a bc b ca cab a bc c ab 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a ( ) ( ) ( ) ( ) 4,3 2,1 bd d bad d dcba d ac c adc c dcba c db b dcb b dcba b ca a cba a dcba a + < ++ < ++++ < ++ < +++ + < ++ < ++++ < ++ < +++ 1 = +++ +++ > ++ + ++ + ++ + ++ ⇔ +++ + +++ + +++ + +++ > ++ + ++ + ++ + ++ dcba dcba bad d adc c dcb b cba a dcba d dcba c dcba b dcba a bad d adc c dcb b cba a 2= + + + + + < + + + + + + + < ++ + ++ + ++ + ++ db db ca ca bd d ac c db b ac a bad d adc c dcb b cba a 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a cabcabcba ++≥++ 222 ( ) cbaabccba ++≥++ 444 cabcabcba ++≥++ 222 222 cba ++ ( ) ( ) đpcm 444 cbaabccba ++≥++ dbca dc ba >⇒ > > ( ) ( ) đpcm 444 cbaabccba ++≥++ 6 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Vậy Ví dụ 5: Cho. Chứng minh rằng:. Giải: Giả sử áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số không âm x, y, z ta có: . Áp dụng cho bài toán trên: Ví dụ 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh:. Giải: Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho từng số hạng trong nhóm 1 lần lượt với: Tương tự cho nhóm 2 và 3, ta được: ; Cộng các vế tương ứng với nhau, ta có: Tương tự, ta cũng có: Ta lấy Ví dụ 7: Cho.Chứng ______________________________________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) đpcmcba accbba accbba accbba baccabcba abccabbcacbaabc 444 444444 222222 222222 222222222 222 VP 222 VP VP 2 222 VP 222 VP VP ++≤⇔ + + + + + ≤⇔ ++≤⇔ ++ ≤⇔ + + + + + ≤⇔ ++=++= ( ) cbaabccba ++≥++ 444 1 và0,, =++> cbacba 30 1111 222 ≥+++ ++ cabcabcba zyxzyx ++ ≥++ 9111 ( ) ( ) đpcm 30 1 3 1 7 1 9 VT 7 cba 9 VT 7 222a 9 VT 711 a 1 VT 911111 VT 2 2 2 222 222 222222 =+≥⇔ ++ + ++ ≥⇔ ++ + +++++ ≥⇔ ++ + ++ + ++ + ++ ≥⇔ ++ + ++ ≥+++ ++ = cabcab cabcabcabcabcb cabcabcabcabcabcabcb cabcabcbacabcabcba ( ) ( ) cba accbba cba ++≥ + + + + + ++ 2 3111 222 3 222 2 222 1 222 VT ac c cb c ba c ac b cb b ba b ac a cb a ba a + + + + + + + + + + + + + + + + + = 4 , 4 , 4 accbba +++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ac acaac ac a a cb cbacb cb a a ba baaba ba a = + + ≥ + + + = + + ≥ + + + = + + ≥ + + + 4 2 4 , 4 2 4 , 4 2 4 222222 b ac b b cb cb b b ba ba b ≥ + ≥ + + + ≥ + + + 222 , 4 , 4 c ac ac c c cb cb c c ba ba c ≥ + + + ≥ + + + ≥ + + + 4 , 4 , 4 222 ( ) 4 2 444 222 222 cba ac c cb b ba a cba ac ac ccb cb bba ba a ++ ≥ + + + + + ⇔ ++≥ + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 6 2 ,5 2 222222 cba cb c ba b ac acba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + ++ ≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) đpcm⇒++ 654 3 1 1 1 1 1 1 1 1 và0,,, = + + + + + + + > dcba dcba 81 1 ≤abcd 7 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật minh rằng:. Giải: Từ giả thiết, ta có: TH 1 : . Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số không âm ở vế phải ta được: . Đẳng thức xảy ra khi. Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta được: ,, Hai vế của (1), (2), (3) và (4) đều dương nên nhân vế theo vế ta có: Chú ý: dạng tổng quát của ví dụ trên là: Cho n số dương a 1 , a 2 , , a n ta có:. Học sinh hãy chứng minh công thức trên. Xét riêng ví dụ trên thì n trong trường hợp này là 4. Ví dụ 8: Cho. Chứng minh rằng:. Giải: Ta có:và dễ dàng chứng minh được(*) Lại có: (**) Tương tự như (**) ta được: Do đó: Cộng (1) và (2), cho ta: Vế phải của bất đẳng thức trên có dạng: Vậy . ______________________________________________________________________________ + −+ + −+ + −= + dcba 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( )( ) ( ) 1 111 3 1 1 3 dcb bcd a +++ ≥ + dcb d d c c b b ==⇔ + = + = + 111 ( )( )( ) ( ) 2 111 3 1 1 3 ddc cda b +++ ≥ + ( )( )( ) ( ) 3 111 3 1 1 3 bad dab c +++ ≥ + ( )( )( ) ( ) 4 111 3 1 1 3 dba abc d +++ ≥ + ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) đpcm 81 1 1111 81 1111 1 ≤⇔ ++++ ≥ ++++ abcd dcba abcd dcba ( ) n n n aaa 1 1 21 − ≤ 0,, >cba 2 111 4 333 + + + + + ≥++ accbbacabcab 0 >++ cba ( )( )( ) abcaccbba 8≥+++ ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 888222 444111 8 81 * cbbabaacaccbcabcab accbba accbba cabcab accbba cba abc cba accbbaabc ++ + ++ + ++ ≥++⇔ +++ +++++ ≥++⇔ +++ ++ ≥ ++ ⇔ +++ ≥⇒ ( ) ( ) 2 2 41 4 ba ab abba + ≥⇒≥+ ( ) ( ) 22 41 , 41 ac ca cb bc + ≥ + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 444111 222 accbba cabcab + + + + + ≥++ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ++ + ++ + ++ + + + + + + ≥++ baacaccbcbba accbba cabcab 222111 4 333 222 2 222 111 hay 222111 +++++++ zyxzxyzxyzyx 2 111 4 333 + + + + + ≥++ accbbacabcab 8 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Ví dụ 9: Cho các số dương x, y, z và. Cm:. Giải: Vì x, y, z là các số dương nên. Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho từng phân số ở vế trái. Cách 1: Ta có: nên . Chứng minh tương tự ta cũng có:. Cộng ba kết quả trên ta được: Cách 2: Giả thiết :.Khi này:. Nên . Chứng minh tương tự như cách 1. Cách 3: Ta có: Tương tự:. Do đó: Ví dụ 10: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh :. Giải: Ta có:. Tương tự ta được:. Cộng theo vế các kết quả trên ta có:. Suy luận từ ví dụ 8 ta dễ dàng chứng minh được: bằng cách nhân hai vế cho 2 rồi chuyển vế ta được tổng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy từ (1) và (2) ta có đpcm. Ví dụ 11: Cho hai dãy với n số dương: a 1 , a 2 , ,a n và b 1 , b 2 , , b n . Chứng minh rằng: Giải: Vì các số trong mỗi dãy đều dương nên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: (*) Xem các số hạng trong nhóm 1 và 2 lần lượt là:. ______________________________________________________________________________ 33 1 11 33 3333 ≥ ++ + ++ + ++ zx xz yz zy xy yx 1=xyz xyyxyx 331 3 3333 =≥++ xy xy yx 3 1 33 ≥ ++ zx zx xz yz yz zy 31 và 3 1 33 33 ≥ ++ ≥ ++ ( ) đpcm 33VT 1 3.3VT 111 3VT 6 222 ≥⇔ ≥⇔ ++≥ zyx zxyzxy z xyxyz 1 1 =⇔= 3232233 33 1 1 yzxzzyxz xy yx ++=++= ++ xy xyzxyzyxz xy yx 3 333 1 2 3 336 33 ===≥ ++ zz yxx y y x yxxy yx 33 1 3 1 1 3 3 3 332222 33 ==≥++= ++ y zx xz x yz zy 3 1 ,3 1 33 33 ≥ ++ ≥ ++ ( ) đpcm 3.3VT 3.3VT 3z3y3xVT 3 ≥⇔ ≥⇔ ++≥ xyz 222232323 1112 2 2 zyxxz z zy y yx x ++≤ + + + + + xyyx x xyxyx 12 2 23 23 ≤ + ⇒≥+ zxxz z yzzy y 12 , 1 2 2323 ≤ + ≤ + ( ) 1 111 VT zxyzxy ++≤ ( ) 2 111111 222 zyxzxyzxy ++≤++ ( )( ) ( ) n n n n n nn bbbaaabababa 21212211 +≥+++ 2 22 2 11 1 1 22 2 11 1 1 n nn n n nn n ba b ba b ba b ba a ba a ba a + ++ + + + + + ++ + + + ≥ nn yyyxxx , ,, và, ,, 2121 9 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Áp dụng bài học cô-si cho n số:. Ta được: (1) (2) Từ (1) + (2) cho ta: Ví dụ 12: Cho các số dương a, b, c. CmR:. Giải: Cách 1: Đặt: Ta có: tương tự: Từ (1) + (2) +(3) cho ta: Vậy . Ví dụ 13: Cho ba số a, b, c thỏa:. CmR:. Suy luận: bài toán trên thể hiện nhiều tổng của các số hạng tuy nhiện với dạng toán trên cách giải nhanh là sử dụng những tính chất cơ bản là: thì lúc này bài toán sẽ thoải mái hơn cho người giải. Giải: Áp dụng tính chất trên và giả thiết: vì Mặt khác: Lấy (1) + (2)đpcm. Lưu ý: bài giải của bài toán trên nhìn thì đơn giản nhưng việc sự dụng giả thiết một cách có tư duy không phải là chuyện ______________________________________________________________________________ n n n n ΑΑΑ≥ Α++Α+Α 21 21 + ++ + + + ≤ + ++ + + + nn n n nn n ba a ba a ba a nba a ba a ba a 1 22 2 11 1 22 2 11 1 + ++ + + + ≤ + ++ + + + nn n n nn n ba a ba a ba a nba b ba b ba b 1 22 2 11 1 22 2 11 1 ( ) đpcmn nba ba ba ba ba ba n nn nn ⇒== + + ++ + + + + + ≥ 1. 1 1 * 22 22 11 11 3 22 3 32 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ 22 3 22 3 22 3 acac c cbcb b baba a ++ + ++ + ++ =Ρ 22 3 22 3 32 3 acac a cbcb c baba b ++ + ++ + ++ =Μ Μ=Ρ⇒ =−+−+−= ++ − + ++ − + ++ − =Μ−Ρ⇒ 0 22 33 22 33 22 33 accbba acac ac cbcb cb baba ba 3 22 33 2 22 33 1 22 33 2 acac ac cbcb cb baba ba ++ + + ++ + + ++ + =Ρ=Μ+Ρ⇒ ( ) 1 3 3 1 333 0242 02 22 33 22 22 2222 22 22 ba baba ba baba baba babababa baba baba + ≥ ++ + ⇔ ≥ ++ +− ⇔ ++≥+−⇔ ≥+−⇔ ≥+− ( ) ( ) + ≥ ++ + + ≥ ++ + 3 3 2 3 2 33 22 33 ac acac ac cb cbcb cb ( ) 3 2 22 33 22 33 22 33 cba acac ac cbcb cb baba ba ++ ≥ ++ + + ++ + + ++ + ( ) ( ) đpcm cba cba 3 3 2 2 ++ ≥Ρ⇔ ++ ≥Ρ⇔ 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ 1 222 =++ cba ( ) 012 ≥+++++++ cabcabcbaabc ndbmca nm dc ba >⇒ > > > <<− <<− <<− ⇔ ≤ ≤ ≤ =++ 11 11 11 1 1 1 nên 1 2 2 2 222 c b a c b a cba ( )( )( ) ( ) 1 01 0111 01;01;01 ≥++++=++⇒ ≥+++⇒ ≥+≥+≥+⇒ abccabcabcba cba cba ( ) ( ) ( ) ( ) 2 01 0221 01 222 2 ≥++++++⇔ ≥+++++++++⇔ ≥+++ cabcabcba cabcabcbacba cba ⇒ 10 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật dễ vì vậy học sinh nên xem kỹ các ví dụ trước đó vì cũng đã có bài đã thể hiện cách giải như trên. Ví dụ 14: Cho các số dương a, b, c . CmR: . Giải: Ta có:. Lưu ý dạng sau:(bất đẳng thức cô-si) Áp dụng cho bài toán trên ta được: Chứng minh tương tự ta được:. Cộng theo vế ba kết quả trên ta được đpcm. Ví dụ 15: Cho. Chứng minh:. Giải: Bất đẳng thức: Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có: Chứng minh tương tự ta được:. Cộng theo vế ba kết quả trên ta được (1)đpcm. Bài tập áp dụng: 1.1 Cho ba số dương a, b, c, d. CmR:. HD: dựa vào tính chất của phân số tương tự như ví dụ 3. 1.2 Cho hai số không âm a, b và. Áp dụng giả thiết hãy chứng minh rằng: . ______________________________________________________________________________ ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ≥ ++ + ++ + ++ bac c acb b cba a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 3 3 1 3 3 3 111 VT c ba c b ac b a cb a + + + + + + + + = ( ) ( ) 2 1 2 11 111 22 23 xxxx xxxx += +−++ ≤+−+=+ ( ) ( ) 222 2 2 22 2 2 1 1 . 2 1 1 1 1 cba a a cb a cb ++ = + + ≥ + + ≥ ( ) ( ) 222 2 222 2 3;2 cba c cba b ++ ≥ ++ ≥ [ ] 1;0,, ∈cba ( )( )( ) 1111 111 ≤−−−+ ++ + ++ + ++ cba ac c cb b ba a ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 111 1 1 1 1 1 1 111 111 cba cbaac cc cbacb bb cbaba aa cba cba cba ac c cb b ba a −−−≥ ++++ − + ++++ − + ++++ − ⇔ ++ ++ ≤−−−+ ++ + ++ + ++ ⇔ ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ba cc ccba ba ba baba baba ++ − ≤−−−⇔ ++ ≤−−⇔ == +++−+− ≤++−− 1 1 .111 1 1 11 11 3 111 111 3 3 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ac bb bbac cb aa aacb ++ − ≤−−− ++ − ≤−−− 1 1 .111 và 1 1 .111 ⇒ 32 < ++ + + ++ + + ++ + + ++ + < bad ad adc dc dcb cb cba ba 2233 abbaba +≥+ ( ) ( ) ( ) ( ) cbaaccbba ++≥+++++ 2444 3 33 3 33 3 33 [...]... k HD: sử dụng giả thiết và bất ( p − aa + b − )( p − c ) > 0 )( p − b c > 0 1.8 Cho Chứng minh rằng: ( ) đẳng thức trong tam giác cho độ dài ba cạnh: , sau đó sử dụng bất đẳng thức cô-si cho tổng của ba kết quả trên ta được một bất đẳng thức (1) Bình phương giả thiết khai triển các biểu thức rồi kết hợp với (1) ta được chiều bất đẳng thức (k) Chiều còn lai áp dụng bất đẳng thức phụ:khai triển ta được... đẳng thức dạng thuần nhất Bất đẳng thức với ba biến gọi là ( hay aa + b + + c 1= 1 ) +b c = 2 2 2 22 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật thuần nhất khi và chỉ khi thay a bằng ka, b bằng kb, c bằng kc ( với k là một số thực tùy ý khác 0) thì bất đẳng thức không đổi Với các bất đẳng thức thuần nhất ta có thể giả sửmà không mất tính tổng quát a+b+c = 3 Giải: Do bất. .. 4 2 2 x +y Đẳng thức xảy ra khi và x + y 1 1 = 4 x2 + y2 ⇒ x2 + y2 = 2 2 x +y 2 chỉ khi: 2 ( ) Và (2) 1 1 16 xy + ≥ 2 16 xy =8 xy 1 xy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 16 xy = ⇒ xy = xy2 4 2 Ta có: (3) 0 < x + y ≤ 1 ⇒ ( x + y ) ≤ 1 ⇒ −4( x + y ) ≥ −4 Đẳng thức xảy ra khi: x + y = 1 Vì (4) y = x1 1 ≥ x + y ≥ 2 xy ⇒ xy ≤ ⇒ −4 xy ≥ −1 x= y 4 Đẳng thức xảy ra khi: Từ (1), (2), (3) và (4) cho ta:... dụng bất đẳng thức cô-si cho mẫu của các phân số ở biểu thức trên: x =xy y , có đẳng thức khi xy 1 x− ≥ x− = x− xy x yz y + 2 y2=yz z xy , có đẳng thức khi 1 y− ≥ y− = y− yz y+z 2 2 yz 14 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật z =zx x zx 1 ≥ z− = z− zx z +1x 2 + zx = 12 zx Khi đó:( vì) 1 + Ν ≥ x + y + z − xy xy +yz yz + zx = x + y + z − 2 2 Ta có: Do đó:, có đẳng. .. phần tử ở vế trái của bất đẳng thức cần 4 1.6 Cho Chứng minh rằng: chứng minh Sau đó áp dụng bất đẳng thức cô-si hai lần cho vế trái ta được đpcm 1.7 Cho Chứng minh a a b a, b, c > 0 b c c + + + + + >3 b+c b+c c+a c+a a+b a+b rằng: HD: áp dụng tính chất phân số cho các số hạng không có căn, rồi sử dụng bất đẳng thức cô-si cho các căn thức Vế cộng vế ta được đpcm x, y , z > 0 và x +18 + z = 1 y xyz... dụng bất đẳng thức: ta được điều phải chứng minh Nhận xét: Ở (1) ta dùng bất đẳng ( b + c ) 2 ≤ 2( a 2 + b 2 ) thức: 1 21 1 3 a, b, c+ b0 +và ≥ + b + c ≥ + + + Bài 12:(Trích tài liệu bồi a > c a b a + b + c a abc c dưỡng HSG -Gv.Dư Quốc Đạt) Cho CmR: Giải: 3 2 1 1 1 2 + ⇔ ( a + b + c ) ≥ 3 + 2 + + (1) a + b + c abc ab bc ca Áp dung bất ( a + b + c) 1 + 1 + 1 ≥ 9 a b c đẳng thức: và giả... = z yz x y 2 3 2 thức khi , có đẳng thức khi z− ( ) Vậy và đạt khi 11 xmin Ν z = = y= = 0 Ví dụ 6: Cho Tìm GTNN của biểu x, y >1 và x +2 3≤ 1 1y Ν= 2 + + 4 xy 2 x +y xy thức sau: Suy luận: nếu áp dụng BĐT cô-si thì sẽ làm dấu của bất đẳng thức ngược so với mong muốn nên phải biến đổi biểu thức đã cho thành những cặp số mà khi áp dụng BĐT cô-si sẽ khử được mẫu Giải: Ta biến đổi biểu thức như sau: 1... tam giác Rút gọn ta được: Thế vào bất đẳng thức và biến đổi ta được: Ta có: sinA + sinB + sinC ≤ cos sin A + sinB = 2sin A B C + cos + cos (1) 2 2 2 A+B Α−Β C Α−Β C cos = 2 cos cos ≤ 2 cos 2 2 2 2 2 25 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Viết hai đẳng thức tương tự rồi vế cộng vế ta ⇒ được (1) đúng điều phải chứng minh x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Bài 3: (Thành... y Bổ đề 8: Các số thực a, b, c là độ 28 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho Nhận xét: Phép thế Ravi giúp ta chuyển một bài toán bất đẳng thức với ba số dương của một bất đẳng thức trong tam giác và ngược lại a = y + z,x, =, z + x, − a x + yc + a − b b y b+c c = z>0 Chứng a+b−c... > 0 2và a + b + c = 3abc ca ab + 3 + 3 ≥ 1 Bài 5:(Trích luận văn Thạc 3 a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) sĩ của thầy Đặng Văn Hiếu) ( ) Cho.CmR: Giải: Đặt Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: Ta cần chứng minh: yz1 zx + 1 = 3 1 + xy x = ,y = ,z = a b c x3 y3 z3 Α= + + ≥1 y + 2z z + 2x x + 2 y 18 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Áp dụng bất đẳng thức . đó sử dụng bất đẳng thức cô-si cho tổng của ba kết quả trên ta được một bất đẳng thức (1). Bình phương giả thiết khai triển các biểu thức rồi kết hợp với (1) ta được chiều bất đẳng thức (k) (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: . Và . (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. Ta có:. (3) Đẳng thức xảy ra khi: Vì . (4) Đẳng thức xảy ra khi: Từ (1), (2), (3) và (4) cho ta:. Có đẳng thức. ) 3 3 1111 abccba +≥+++ 5 Bất đẳng thức Sưu tầm: Lương Anh Nhật Giải: (1) Áp dụng bất đẳng thức cô-si , ta có: và . Ví dụ 2: Cho ba số không âm a, b, c. CmR :. Giải: Áp dụng bất đẳng thức cô-si: Ví