Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 77 Chương 3 MA TRẬN TÁN XẠ 3.1 Khái niệm Nội dung của chương này giới thiệu một phương cách mô hình hóa một mạch điện hoặc một phần mạch điện ở tần số siêu cao bằng các phần tử tương đương có thông số phân bố hoặc tập trung trung, biểu diễn dưới dạng các mạng nhiều cửa . Thông số của mạng được định nghĩa thông qua các ma trận đặc tính . Biết được giá trị của ma trận đó là biết được hoàn toàn đặc tính hoạt động của mạng, mà ta không cần quan tâm đến cấu trúc thực tế của các phần tử trong mạng , đến cường độ điện từ trường tại các điểm của mạng. Hình 3.2 một mạng n cửa được đánh số từ cửa 1 đến cửa n. Tại mỗi cửa j , có một nguồn tín hiệu E J và một nội trở nguồn Z oJ (được chọn làm trở kháng chuẩn cho cửa j đó) Điện áp và dòng điện tại ngõ vào cửa j bất kỳ là tổng của sóng tới và sóng phản xạ: V j = V ij + V rj I j = I ij - I rj nj ,1 3.2 Ma trận Tán Xạ   S - các hệ số: 1. Dẫn dắt ban đầu Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 78 Cho mạch điện đơn giản gồm nguồn tín hiệu E, nội trở Z 0 (phần thực R 0 ), mắc nối tiếp với Z L .Ta có thể coi Z L như một mạng một cửa có điện áp và dòng điện ngõ vào lần lượt là V và I. Ta có: L ZZ E I   0 (3.1) L L ZZ Z EV   0 (3.2) Công suất từ nguồn E đạt cực đại khi có sự phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn, nghĩa là: * 0 ZZ L  (liên hiệp phức) (3.3) Ở vùng tần số siêu cao, điện áp và dòng điện tại bất kì điểm nào cũng đều được coi là tổng của 1 sóng tới và 1 sóng phản xạ. Dòng điện sóng tới được định nghĩa là dòng điện trong mạch khi có sự phối hợp trở kháng (điều kiện (3.3)): 0 * 00 2R E ZZ E I i    (3.4) Điện áp sóng tới được tính khi có sự phối hợp trở kháng: 0 * 0 * 00 * 0 2R EZ ZZ EZ V i    (3.5) Vậy: ii IZV * 0  (3.6) Sóng phản xạ điện áp là: ir VVV  (3.7) Thay (3.2) và (3.5) vào (3.7), ta có: i L L L L L L L L r V ZZ ZZ Z Z ZZ ZZ Z Z ZZ EZ ZZ ZZ Z Z ZZ EZ ZZ EZ ZZ EZ V                             0 * 0 * 0 0 0 * 0 * 0 0 * 00 * 0 0 * 00 * 0 * 00 * 0 * 00 * 0 0 1 (3.8) Tương tự, sóng phản xạ dòng điện là: )( ir III  (3.9) Thay (3.1) và (3.4) vào (3.9), ta có: Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 79 i L L L L r I ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ E ZZ E ZZ E I                   0 * 0 0 * 00 * 00 0 * 00 1 (3.10) Hệ số phản xạ điện áp: L L i r v ZZ ZZ Z Z V V S     0 * 0 * 0 0 (3.11) Hệ số phản xạ dòng điện là: i r i I I S  = L L ZZ ZZ   0 * 0 (3.12) Trường hợp đặc biệt, nếu Z 0 là điện trở thực ( 00 RZ  ) thì (3.11) và (3.12) sẽ đồng nhất: 0 0 RZ RZ SSS L L vi    (3.13) Biểu thức (3.13) chính là hệ số phản xạ trên đường dây đã xét ở chương 1 Ta cũng có: rr IZV 0  (3.14) Cho mạng n cửa như hình 3.2. Xét cửa thứ j như hình Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 80 Tại cửa j gồm nguồn E j , nội trở R 0j , V ij ,V rj , I ij , I rj là hiệu điện thế tới/về và cường độ dòng điện tới/về. V j , I j là hiệu điện thế và cường độ dòng điện tại ngõ vào bằng tổng của sóng tới và sóng phản xạ: rjijj VVV  (3.15) rjijj III  (3.16) Ta định nghĩa ma trận trở kháng chuẩn [Z 0 ] là ma trận đường chéo nxn gồm các trở kháng chuẩn tại các cửa Z 0j Ta cũng định nghĩa các đại lượng điện áp và dòng điện sóng tới và sóng phản xạ như là các vectơ cột n phần tử:                        in i i i V V V V . . . 2 1                        rn r r r V V V V . . . 2 1                        in i i i I I I I . . . 2 1                        rn r r r I I I I . . . 2 1 (3.18) Vậy (3.15) và (3.16) được viết thành:       ri VVV  (3.19)       ri III  (3.20) Ta cũng có quan hệ tương tự như (3.6) và (3.14):       ii IZV * 0  (3.21)       rr IZV 0  (3.22) Tương tự như hệ số phản xạ điện áp và dòng điện được định nghĩa ở (3.11) và (3.12) ta cũng có ma trận hệ số phản xạ điện áp và dòng điện:       ivr VSV  (3.23)       iir ISI  (3.24) 2. Ma trận tán xạ   S Ma trận Tán Xạ   S ( Scattering Matrix) của một mạng n cửa được xây dựng từ quan hệ của các đại lượng   a và   b liên quan đến công suất sóng tới và sóng về( khác với sóng phản xạ). Với mạng n cửa , tại mỗi cửa thứ j đều có một Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 81 thành phần sóng tới a j ( sóng đi vào cửa) và một thành phần sóng về b j ( sóng đi ra khỏi cửa) như được vẽ ở hình 3.3 Sóng tới a j không những bao gồm công suất của nguồn tín hiệu E j tại cửa j mà còn gồm công suất sóng từ nguồn khác phản xạ trên nội trở kháng Z oj để quay vào cửa j. Sóng về theo hướng đi ra khỏi cửa j không những bao gồm sóng phản xạ của nguồn E j tại ngõ vào cửa j mà còn gồm công suất của các nguồn khác vào mạng tại các cửa khác và đi ra khỏi cửa j. Do đó ta không gọi tên đây là sóng phản xạ mà gọi là sóng về.                    n a a a a . . 2 1 ;                    3 2 1 . . b b b b (3.25) Sóng tới [a] và sóng về [b] được định nghĩa như sau:           i I ZZ a 2 2 1 * 00   (3.26)           r I ZZ b 2 2 1 * 00   (3.27) Trong đó, các ma trận [Z 0 ], [I i ] và [I r ] được định nghĩa lần lượt theo (3.17) và (3.18), (3.21), (3.22) Nếu gọi R 0j là phần thực của trở kháng chuẩn Z 0j thì (3.26) và (3.27) có thể viết thành: ijjj IRa . 0  (3.28) Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 82 rjjj IRb . 0  (3.29) Hoặc viết dưới dạng ma trận:       i IRa 2 1 0  (3.30)       r IRb 2 1 0  (3.31) Ma trận tán xạ   S được định nghĩa dựa theo quan hệ sau đây giữa   a và   b :   b =   S .   a (3.32) Nghĩa là   S biểu diễn quan hệ giữa các đại lượng sóng tới   a và sóng về   b tại các cửa. Biết được các thông số của ma trận   S có nghĩa là ta biết được đặc tính hoạt động của mạng n cửa và tính được các công suất sóng ra khi đã biết được các công suất sóng đưa vào, mà không cần biết đến cấu trúc mạch điện bên trong của mạng n cửa. Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với điện áp và dòng điện Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có: jjj ZVE 0  (3.42) Mặc khác, từ (3.15) và (3.16): rjijj VVV  (3.43) rjijj III  (3.44) Kết hợp với (3.6) và (3.14): ijjij IZV * 0  (3.45) rjjrj IZV 0  (3.46) Ta có thể viết lại thành: jjj ZVE 0     ijj ijjijj rjijjrjjijj IR IZIZ IIZIZIZ 0 0 * 0 00 * 0 2   (3.47) Theo (3.28), ta có thể viết lại: j jjj ijjj R IZV IRa 0 0 0 2 .    (3.48) j j R E 0 2  (3.49) Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 83 Để tìm quan hệ giữa sóng về b j với V j và I j , ta lại tính: jjj IZV * 0     rjj rjjrjj rjijjrjjijj IR IZIZ IIZIZIZ 0 * 00 * 00 * 0 2   (3.50) Từ (3.29) ta có thể viết: j jjj rjjj R IZV IRb 0 * 0 0 2 .    (3.51) Từ (3.48) và (3.51) ta có thể viết: j j jj j j jj I R ZZ R V ba 0 * 00 0 2   (3.54) jjj j jj jj IRI R ZZ ba 0 0 * 00 2    (3.55) Trường hợp đặc biệt, nếu Z 0j là điện trở thực ( jj RZ 00  ) thì (3.54) có thể viết lại: j j jj R V ba 0  (3.56) 3.2.1 Ý nghĩa các đại lượng   a và   b : Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 84 Xét tại cửa th ứ j của mạng n cửa như hình, ta có công suất trung bình P j được truyền vào phía trong của cửa j là:   * Re 2 1 jjj IVP  (3.61) Thay giá trị của V j và I j từ (3.55) và (3.56) vào (3.61):                          ** 0 0 1 Re 2 1 jj j jjjj ba R baRP (3.62)     * * *** Re 2 1 jjjjjjjj bbbabaaa  Vì   * ** jjjj baba  là thuần ảo nên:   22 2 1 jjj baP  (3.63) 2 2 1 j a tượng trưng cho công suất sóng tới P ij của cửa j 2 2 1 j b tượng trưng cho công suất sóng về P rj của cửa j Như vậy, 1 phần công suất tới sẽ phản xạ ngược ra khỏi cửa j, chỉ 1 phần công suất mới được truyền vào phía trong mạng n cửa. 3.2.2 Đặc tính của ma trận tán xạ   S : Tính đối xứng: nếu mạng n cửa có tính thuận nghịch thì ma trận   S sẽ đối xứng qua đường chéo, hoặc nói cách khác nlkSS lkkl ,1,  (Tính thuận nghịch là khi đưa một tín hiệu vào cửa k, công suất tín hiệu ra tại cửa l cũng bằng công suất tín hiệu đi ra tại cửa k nếu đưa cùng một tín hiệu vào cửa l). Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 85 Định lý Kronecker: Ngoài tính chất đối xứng, các hệ số S kl của ma trận   S của mạng n cửa không tổn hao còn phải thỏa mãn định lý Kronecker: ij n k kj ik SS    1 * . Trong đó       jineu jineu ij 0 1  3.2.3 Ý nghĩa vật lý của các hệ số S kl của ma trận   S : Xét một mạng hai cửa thụ động không tổn hao và thuận nghịch như hình 3.6 Ta có từ (3.48) và (3.49): j jjj ijjj R IZV IRa 0 0 0 2 .    j j R E 0 2  j=1,2 (3.85) Ta có từ (3.51): Chương 3: Ma trận tán xạ Trang 86 j jjj rjjj R IZV IRb 0 * 0 0 2 .    j=1,2 (3.86) và từ (3.32):   b =   S .   a Ma trận   S có dạng   S =       2221 1211 SS SS Ma trận [a] có dạng          2 1 a a a Ma trận [b] có dạng          2 1 b b b Vậy, ta có:       2 1 b b =       2221 1211 SS SS       2 1 a a Dạng biểu thức:         2221212 2121111 aSaSb aSaSb Ý nghĩa của S 11 : Ta có: 0 2 1 1 11   a a b S Điều kiện 0 2 a ám chỉ không có sóng đi vào cửa 2 của mạng, có nghĩa là: + Cửa 2 được kết thúc bởi tải phối hơp + Nguồn E 2 bị triệt tiêu Từ (3.85), ta có: Với 0 2 a nên E 2 =0 và 2022 IRV  (3.88) Thay (3.85) và (3.86) vào (3.87), ta có: LoadRE IRV IRV S :,0 022 1011 1011 11     (3.89) Gọi LoadRE I V Z :,0 022 1 1 11   là trở kháng nhìn vào cửa 1 trong điều kiện cửa 2 có tải R 02 và nguồn E 2 triệt tiêu, ta có thể viết lại (3.89): [...]... bởi tải R02 phối hợp) Thay (3. 85) và (3. 86) vào (3. 94), ta có: S 21  R02 I r 2 R01 I i 2 I i 2  0 (3. 95) Trang 87 Chương 3: Ma trận tán xạ Mặc khác vì I i 2  0 nên I2= -Ir2 và do cửa 2 có tải là R02 nên V2   R02 I 2  R02 I r 2 Vậy: V2 V2 R02 S 21  R01 I i1  R02 1 E1 2 R01 (3. 96) Ta cũng có thể viết từ (3. 94): S 21  2 b2 a1 2 2 1 b2  2 a2  0 1 a1 2 2 2 a2  0 (3. 97) 2 Vậy S 21 tượng trưng... và thuận nghịch, ta có: 2 2 S 21 + S11 =1 (3. 98) So sánh (3. 91) và (3. 97) với (3. 98), ta nhận thấy định luật bảo toàn công suất 1 2 2 được kiểm nghiệm: Tổng công suất tín hiệu ra khỏi cửa 2 ( b2 ) với công suất 1 2 2 phản xạ tại cửa 1 ( b1 ) chính là công suất sóng tới tại cửa 1 ( 1 2 a1 ) 2 Ý nghĩa của S12: Tương tự như trên, ta có: S12  b1 a 2 a1  0 (3. 99) S12 là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 1 khi.. .Chương 3: Ma trận tán xạ S11  Z11  R01 Z11  R01 (3. 90) S11 chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 1 với trở kháng chuẩn là R01 và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z11, trong điều kiện cửa 2 không có nguồn E2 (E2 = 0) và được kết thúc bởi tải R02 phối hợp S11  2 Như ta đã biết, b1 2 a1 1 a1 2 2 2 1 2 b1  2 a2  0 1 2 a2  0 a1 2 (3. 91) tượng trưng cho công suất sóng...  R02 Z 22  R02 (3. 92) Và ta cũng suy ra: (3. 93) S22 chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 2 với trở kháng chuẩn là R02 và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z22 , trong điều kiện cửa 1 không có nguồn E1 (E1 = 0 ) và được kết thúc bởi tải R01 phối hợp 2 Tương tự S 22 tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 2 Ý nghĩa của S21: Tương tự như trên, ta có: S 21  b2 a1 a 2  0 (3. 94) S21 là tỉ số... công suất từ cửa 2 đến cửa 1 Một cách tổng quát ta có các đặc tính sau của các hệ số Sij của mạng n cửa: Trang 88 Chương 3: Ma trận tán xạ - Sjj là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào thứ j trong điều kiện các cửa còn lại không có sóng vào Nếu Sjj = 0 , ta có phối hợp trở kháng tại cửa j - Sij là hệ số truyền đạt công đạt công suất từ cửa j đến cửa i Nếu Sij = 0 , ta nói cửa i và cửa j cách ly nhau... [S] như hình Cửa 1 gồm nguồn E1, nội trở R01, trở kháng nhìn vào cửa 1 có giá trị Z11 Cửa 2 gồm nguồn E2, nội trở R02, trở kháng nhìn vào cửa 2 có giá trị Z22 Cho Z1=(50-j75)  , Z2=(60+j50)  , Z3=(20j25)  R01 50 Z1 Z2 R02 100 Z3 E1 E2 Xác định ma trận [S] Trang 89 . jjj ZVE 0  (3. 42) Mặc khác, từ (3. 15) và (3. 16): rjijj VVV  (3. 43) rjijj III  (3. 44) Kết hợp với (3. 6) và (3. 14): ijjij IZV * 0  (3. 45) rjjrj IZV 0  (3. 46) Ta có. lần lượt theo (3. 17) và (3. 18), (3. 21), (3. 22) Nếu gọi R 0j là phần thực của trở kháng chuẩn Z 0j thì (3. 26) và (3. 27) có thể viết thành: ijjj IRa . 0  (3. 28) Chương 3: Ma trận tán.  ) thì (3. 11) và (3. 12) sẽ đồng nhất: 0 0 RZ RZ SSS L L vi    (3. 13) Biểu thức (3. 13) chính là hệ số phản xạ trên đường dây đã xét ở chương 1 Ta cũng có: rr IZV 0  (3. 14)