Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 199 BÀI 7. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ I. TÍCH PHÂN CÓ CHỨA CÁC CĂN THỨC CỦA BIẾN ĐỘC LẬP 1. Xét dạng cơ bản thường gặp: ( ) p m n I x a bx dx = + ∫ với m, n, p hữu tỉ 1.1. Nếu p ∈ Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m và n , khi đó đặt x = t k . 1.2. Nếu 1 m n + ∈ Z thì gọi S là mẫu số của p và đặt n s a bx t + = 1.3. Nếu 1m p Z n + + ∈ thì gọi S bằng mẫu số của p và đặt n s n a bx t x + = 2. Xét 1 1 j j r r q q I R x, x , , x dx     =   ∫ với r 1 , q 1 ,…r j , q j là các số nguyên dương. Gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số q 1 , …, q j . Khi đó ta có: 1 1 1 j j j r r ; ; q k q k = = α α . Đặt ( ) ( ) 1 1 1 j k k k x t I R t ,t , ,t kt dt R t a − = ⇒ = = ∫ ∫ α α 3. Xét ( ) ( ) m r n s ax b ax b I R x, , , dx cx d cx d   + +   = + +   ∫ với m, n, …, r, s nguyên dương Đặt ax b t cx d + = + ⇒ ( ) 2 t d b ad bc x ;dx dt a ct a ct − − = = − − ⇒ ( ) 2 m r n s td b ad bc I R ,t , ,t dt a ct a ct   − − =   −   − ∫ Gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các số: { } n, s . Đặt t = u k thì ( ) ( ) 1 1 1 2 2 k m r m r k n s k td b ad bc u td b ad bc I R ,t , ,t dt R ,u , ,u ku d u a ct a ct a ct a cu −     − − − − = =     − −     − − ∫ ∫ II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 1. Dạng 1: ( ) ∫ p m n I = x a + bx dx với m, n, p ∈ ∈∈ ∈ Q • ( ) 1 1 3 4 4 1 x x dx − = + ∫ ∫ 4 1 4 3 xdx I = 1 + x ⇒ 1 3 m ; n ; p 1 Z k 4 4 4 − = = = − ∈ ⇒ = Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 200 Đặt 4 t x = ⇒ 4 3 4 x t dx t dt = ⇒ = ⇒ 4 4 1 3 3 3 4 x dx 4t dt 4t I 4t dt 1 t 1 t 1 x   = = = −   + +   + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 t 1 t 1 2t 2 dt t 1 t t 1 + + − = − + − + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 dt t t t 1 2t 2 2 dt t t 1 t 1 t t 1 − − + = − − − + + − + ∫ ∫ ( ) 2 2 2 3 2 dt t dt dt 2t 2 2 2 t 1 t 1 3 1 t 2 2 = − − + + +   − +     ∫ ∫ ∫ 2 3 4 2t 1 2 2t arctg ln 1 t 2 ln 1 t c 3 3 3 − = − − + + + + 4 3 4 4 4 2. x 1 2 2 x arctg ln 1 x 2ln 1 x c 3 3 3 − = − − + + + + • ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 x x dx − = + ∫ ∫ 2 2 3 xdx I = 1 + x ⇒ 1 1 m ; n ; p 2 Z 2 3 = = = − ∈ ⇒ k = 6 Đặt 6 5 6 6 t x x t dx t dt = ⇒ = ⇒ = . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 5 8 2 2 2 2 2 t 6t dt 6t dt I 1 t 1 t = = + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 4t 3 4 dt 6 t 2t 3 dt 6 t 2t 3 dt 6 t 1 t 1 t 1   +   = − + − = − + − +     +     + +   ∫ ∫ ∫ = 5 3 t 2t 6 3t 4arctg t 6J 5 3   − + − +     . Đặt ( ) 2 2 2 dt dt I ; J t 1 t 1 = = + + ∫ ∫ Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 t t t dt 1 I dt td 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1   = = − = +   + + + +   + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t 1 1 t dt dt t 2 dt 2 2 2I 2J t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 + − = + = + − = + − + + + + + + ∫ ∫ ∫ ⇒ ( ) 2 2 t t 1 2J I J arctg t c 2 t 1 2 t 1 = + ⇒ = + + + + ⇒ ( ) 5 3 2 2 t 2t t 1 I 6 3t 4 arctg t 6 arctg t c 5 3 2 2 t 1     = − + − + + +       +   5 3 2 5 38 8 8 8 4 3 6t 20t 90t 21arctg t c 5 t 1 6 x 20 x 90 x 3 21arctg x c 5 x 1 − + = − + + + − + = − + + + Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 201 • ( ) 1 2 2 3 1 x x dx = + ∫ ∫ 3 3 2 xdx I = 1 + x ⇒ 2 1 1 1; ; 3 3 2 m m n p n + = = = ⇒ = ∈ » Đặt ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 6 1 t x t x t x x dx t t dt = + ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 3 23 x dx 3t t 1 dt I 3 t 1 dt 3 t 2t 1 dt t 1 x − ⇒ = = = − = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 5 2 3 2 5 3 2 2 23 3 3 3 3 t 2t 3t c 1 x 2 1 x 3 1 x c 5 5 = − + + = + − + + + + • ( ) 1 3 3 3 2 x x dx − − = − − ∫ ∫ 4 3 3 3 dx I = x 2 x ⇒ 1 1 3; 3, 1 3 m m n p p n − + = − = = ⇒ + = − ∈ » Đặt 3 3 2 x t x − = ⇒ ( ) 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 1 1 1 x t dt t x x dx x x t t − − = = − ⇒ = ⇒ = + + ⇒ ( ) 2 2 4 2 2 3 3 3 3 3 3 6 3 dx x dx 1 2t dt I 2 x 2 x 2 x t 1 t x t 1 x − = = = ⋅   − − +   +   ∫ ∫ ∫ 2 3 2 3 1 t 2 x t dt c c 2 4 2x   − − −   = = + = − +   ∫ • − ∫ 3 3 5 I = 3x x dx ⇒ 1 1 1 ; 2, 1 3 3 m m n p p n + = = = ⇒ + = ∈ » Đặt ( ) 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 9 1 2 1 1 x x x x t dt t t x x dx x x x t t − − − = ⇒ = = − ⇒ = ⇒ = + + ⇒ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 5 2 3 3 1 3x x 9 t dt 3 1 I 3x x dx 2x dx td 2 x 2 2 t 1 t 1 − −   = − = = =   +   + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 3 3t 3 dt 3t 3 I 2 2 t 1 2 t 1 2 t 1 = − = − + + + ∫ với 3 1 dt I t = + ∫ ( ) ( ) 2 1 1 dt I t t t = + − + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d t 1 du u u 3u 3 t 1 t 1 3 t 1 3 + = =   − + + + − + +   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 u 3u 3 u 3u 1 du u 3 du du 3 3 u u 3u 3 u u 3u 3   − + − − − = = −   − +   − + ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 du 1 2u 3 du 3 du 3 u 2 2 u 3u 3 u 3u 3   − = − +   − + − +   ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 202 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 du 1 d u 3u 3 3 du 3 u 2 2 3 u 3u 3 3 u 2 4 1 1 u 2u 3 ln 3arctg c 3 2 u 3u 3 3   − + = − +   − +   − +       − = + +   − +   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 t 1 1 2 t 1 3 ln arctg c 6 3 3 t 1 3 t 1 3 + + − = + + + − + + 2 2 1 t 2t 1 1 2t 1 ln arctg c 6 2 3 3t t 1 + + − = + + − + ⇒ ( ) 2 5 2 3 3t 3 1 t 2t 1 1 2t 1 I ln arctg 2 6 2 3 3 t t 1 2 t 1   + + − = − +     − + +   ( ) 3 3 3 3 3 3 3 x 3x x 1 x 3x x x 3 2 3x x x ln arctg c 2 4 3 4 x 3 − − + − − = − − + • ( ) 1 2 4 2 1 x x dx − − = + ∫ ∫ 6 4 2 dx I = x 1+ x 1 m 1 m 4, n 2, p p 2 Z 2 n − + ⇒ = − = = ⇒ + = − ∈ Đặt ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x t dt t t x x dx x x x t t + + − = ⇒ = = + ⇒ = ⇒ = − − ⇒ ( ) ( ) ( ) 3 2 2 6 2 4 2 2 2 6 dx x dx t 1 t dt I t 1 dt t x 1 x 1 x t 1 x x − − = = = ⋅ = − − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 3 t 1 x 1 x 2x 1 1 x t c c c 3 x 3x 3x − − + + − + = + + = + + = + • ( ) ( ) 4 1 1 1 2 7 1 1 x x dx − − = + ∫ ∫ 4 1 dx I = x 1 + x ⇒ 1 m 1,n , p 1 Z 2 = − = = − ∈ Đặt 2 2 t x t x dx t dt = ⇒ = ⇒ = ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 7 2 1 1 1 2t dt dt 1 t t I 2 2 dt t 1 t t 1 t t 1 t + − = = = + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 4 2 dt 2 ln t ln t 1 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2 ln t t 1 3   = − = − + = − − + =   +   ∫ Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 203 2. Dạng 2:       ∫ j 1 j 1 r r q q I = R x, x , , x dx • ( ) 1 2 1 3 1 1 x dx x x − − − = + ∫ ∫ 1 3 2 x 1 I = dx x + x . Gọi k = BSCNN (2, 3) = 6 Đặt 6 5 6 6 t x x t dx t dt = ⇒ = ⇒ = ⇒ ( ) 3 4 5 2 1 6 4 2 2 t 1 6 t t t 1 I 6t dt dt 6 t 1 dt t t t 1 t 1 − − −   = ⋅ = = − −   + + +   ∫ ∫ ∫ 3 2 6 3 2t 6t 3ln 1 t 6arctg t c 2 x 6 x 3ln 1 x arctg x c = − − + + + = − − + + + • ( ) ( ) 1 4 1 8 4 1 − − = + ∫ ∫ 8 4 2 4 x x I = dx x 1 + x x x dx x x . Gọi k = BSCNN (4, 8) = 8 Đặt 8 7 8 8 t x x t dx t dt = ⇒ = ⇒ = ⇒ ( ) 2 7 2 2 8 2 t t t 1 I 8t dt 8 dt t 1 t t 1 − − = = + + ∫ ∫ 2 8 4 4 ln 1 t 8 arctg t c 4ln 1 x 8arctg x c = + − + = + − + • ( ) ( ) 1 2 1 3 1 1 1 1 − − + = + + ∫ ∫ 3 3 1 1 + x I = dx 1 + 1 + x x dx x . Gọi k = BSCNN (2, 3) = 6 Đặt 6 5 6 1 1 6 t x x t dx t dt = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ 3 5 6 4 3 2 3 2 2 3 1 1 x 1 t t 1 I dx 6t dt 6 t t t t t 1 dt 1 1 x 1 t t 1 − + − −   = = ⋅ = − + + − − + +   + + + +   ∫ ∫ ∫ 7 5 4 3 2 2 t t t t t 1 6 t ln t 1 arctg t c 7 5 4 3 2 2   = − − − + + − − + + +     ( ) ( ) ( ) 7 5 4 6 6 6 6 3 6 6 6 4 1 x 1 x 1 x 2 1 x 7 5 5 6 1 x 3 ln 1 x 1 arctg 1 x c − = + + + + + − + + + + + + + + + • 5 ∫ 8 3 3 1 dx I = x 1 + x . Đặt 3 2 3 3 t x t x dx t dt = ⇒ = ⇒ = Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 204 ⇒ 2 2 2 5 3 33 1 1 3t dt dt I 3 t. 1 t t 1 t = = + + ∫ ∫ . Đặt 3 2 3 u 1 t u 1 t dt 3u du = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 3 2 5 3 2 3 1 2 2 dt 3u du 3udu I 3 3 3 t. 1 t u 1 u u 1 u u 1 = = = + − − + + ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 u 1 du 3 2u 2 3 du 3 du u 1 u 1 2 u u 1 u u 1 − −   = − = −   − − + + + +   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2u 1 du 9 du 3ln u 1 2 2 u u 1 3 1 u 2 2 + = − − + + +   + +     ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 33 3 3 3 3 2u 1 3ln u 1 ln u u 1 3 3 arctg 2 3 2 3 1 2 2 1 3 3 1 ln 3 3 arctg 3 3 arctg 2 3 3 2 2 1 + = − − + + + + + − = + − − • ( ) 6 − − ∫ 1 3 3 dx I = x + 4 + x + 4 . Đặt 2 4 4 2 t x t x dx t dt = + ⇒ = + ⇒ = 3 3 3 6 3 2 1 1 1 2t dt dt I 2 2arctg t 2 3 4 6 t t 1 t π π π   = = = = − =     + + ∫ ∫ • 7 − ∫ 3 2 2 2 dx I = x 1 x . Đặt 2 2 2 1 1 t x x t t dt x dx = − ⇒ = − ⇒ = − ( ) 3 2 3 2 1 2 3 2 7 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 x dx t dt dt 1 t 1 2 3 I ln ln 2 t 1 3 1 t 1 t t x 1 x − + + = = = = = − − − − ∫ ∫ ∫ • ∫ 2 8 3 1 dx I = x 1 + x . Đặt 3 2 3 2 1 1 2 3 t x t x t dt x dx = + ⇒ = + ⇒ = ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 8 2 2 3 3 3 2 1 1 2 2 dx 3x dx 2t dt 2 dt 1 t 1 I ln 3 3 t 1 t 1 3 t 1 t x 1 x 3x 1 x 1 1 2 1 1 1 3 2 2 ln ln ln 2 2 ln 2 1 ln 3 2 3 3 2 2 1 − ⇒ = = = = = + − − + +   − +   = − = − + + =     +   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 205 3. Dạng 3: ( ) ( )       ∫ m r n s ax + b ax + b I = R x, , , dx cx + d cx + d • ( )( ) 3 1 1 1 1 x dx x x + = ⋅ − + − ∫ ∫ 1 2 3 dx I = x 1 x + 1 . Đặt ( ) 3 2 3 3 3 2 3 1 1 2 1 6 1 1 1 1 1 1 x x t t dt t t x dx x x x t t + + + − = ⇒ = = + ⇒ = ⇒ = − − − − − ⇒ ( ) 3 2 3 1 3 2 3 3 x 1 dx t 1 6t dt dt I t 3 x 1 x 1 2t t 1 t 1 + − − = ⋅ = ⋅ ⋅ = − − + − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 t 2 1 2t 1 3 dt ln t 1 dt t 1 2 t t 1 t t 1 1 3 dt ln t 1 ln t t 1 2 2 3 1 t 2 2 1 t t 1 2t 1 1 t 1 2t 1 ln 3 arctg c ln 3 arctg c 2 2 3 3 t 1 t 1 + + +   = − + = − − +   − + + + +   = − − + + + + +   + +     + + + − + = + + = + + − − ∫ ∫ ∫ ⇒ ( ) ( ) 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 2 x 1 2 x 1 x 1 I ln 3 arctg c 2 x 1 3 x 1 x 1 x 1   − + + −   = ⋅ + + −   − + − −   ( ) 3 3 3 3 3 3 1 2 2 x 1 x 1 ln 3 arctg c 2 3 x 1 x 1 x 1 + + − = + + − + − − • ( ) 2 − ⋅ − ∫ 3 2 2 x 1 I = dx 2 + x 2 x . Đặt ( ) 2 3 3 2 3 2 4 12 2 2 1 1 x t dt t x dx x t t − − = ⇒ = − ⇒ = + + + ⇒ ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 6 2 3 2 3 1 t 12t dt 3 dt 3 3 2 x I t c c 4 8 2 x 16t t 8t 1 t + − − +   = ⋅ ⋅ = = + = ⋅ +   −   + ∫ ∫ • − ∫ 1 3 0 1 x I = dx 1 + x . Đặt ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 1 1 1 x x t t dt t t x dx x x t t − − − − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + + + + ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 0 1 0 0 1 x 4t dt d 1 t 1 I dx 2t 2 t d 1 x 1 t 1 t 1 t − − +   = = = ⋅ = −   + +   + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 2 2 0 0 0 2t dt 2 1 2arctg t 1 2 1 t 1 t − π = + = − + = − + + ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 206 • ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 5 6 2 1 1 1 1 1 1     + + − = −     − − − −   − −   ∫ ∫ 2 5 3 6 4 2 1 x + 1 x + 1 I = dx x 1 x 1 x 1 x x dx x x x Đặt 6 1 1 x t x + = − ⇒ ( ) 5 6 6 2 6 1 2 2 12 1 1 1 1 1 1 x t dt t x dx x x t t + − = = + ⇒ − = ⇒ = − − − − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 5 4 5 5 9 4 2 2 2 2 6 6 6 6 6 t t 12t dt t t t dt 1 t t dt I 12 12 4t 2 t 1 t 1 t 1 1 1 t 1 − − − − = ⋅ = − = −   − + − − + −   −   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 5 2 5 4 3 4 3 6 3 3t 3t 3 x 1 3 x 1 3 1 t t dt 3 t t dt c c 5 4 5 x 1 4 x 1 + +     = − − = − = − + = ⋅ − ⋅ +     − −     ∫ ∫ • 5 − ⋅ ∫ 6 4 x 4 dx I = x + 2 x + 2 . Đặt 2 4 4 6 1 2 2 2 x x t t x x x − − = ⇒ = = − + + + ⇒ ( ) 2 2 2 6 12t dt x 2 dx 1 t 1 t + = ⇒ = − − ⇒ ( ) 1 2 6 2 5 2 2 4 0 x 4 dx 1 t 12t dt I t x 2 x 2 6 1 t − − = ⋅ = ⋅ ⋅ + + − ∫ ∫ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 0 t dt 1 1 t 2 2 1 dt 2 ln t 2 ln 3 1 1 t 1 t 1 t   +   = = − = − = −     −  − −   ∫ ∫ • − ∫ 3 6 x + 1 I = dx x 1 . Đặt 3 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x x t t x x x x t + + = ⇒ = = + ⇒ − = − − − − ⇒ ( ) 2 2 3 6t dt dx t 1 − = − ⇒ ( ) ( ) ( ) 3 3 3 6 2 2 3 3 x 1 6t dt td t 1 I dx 2 x 1 t 1 t 1 + − − = = = − − − − ∫ ∫ ∫ 3 3 3 2t dt 1 2 td 2 t 1 t 1 t 1   = = −   − − −   ∫ ∫ ( ) ( ) 2 3 2 0 2t dt 2 t 1 t 1 t t 1 = − − − + + ∫ 3 2 2t 2 1 t 2 dt 3 t 1 t 1 t t 1 +   = − −   − − + +   ∫ ( ) 3 2 2t 2 1 2t 1 3 ln t 1 dt 3 3 t 1 t t 1 + + = − − + − + + ∫ ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 2 2t 2 1 dt ln t 1 ln t t 1 3 3 t 1 3 1 t 2 2 2t 1 t 1 2 2t 1 ln arctg c 3 3 3t 1 t t 1 = − − + + + + −   + +     − + = − + + − + + ∫ Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 207 • ( ) ( ) 7 − ⋅ ∫ 3 2 3 2 2 dx x 1 I = x + 1 x - 1 . Đặt 3 3 1 2 1 1 1 1 1 x x t t x x x − − = ⇒ = = − + + + ⇒ ( ) 3 2 3 3 2 3 2 2t 6t dt x 1 x 1 ;dx 1 t 1 t 1 t + = ⇒ − = = − − − ⇒ ( ) ( ) 3 2 3 7 2 2 dx x 1 I x 1 x 1 − = ⋅ + − ∫ ( ) ( ) 3 3 2 1 2 3 2 2 6 2 3 1 3 1 t 6t dt t 4t 1 t − = ⋅ ⋅ − ∫ ( ) 3 3 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 3 1 3 3 dt 3 3 3 2 2 2t 2 t − = = = − ∫ • 8 − ⋅ − − ∫ 5 3 3 x + 3 dx I = x 4 x 4 . Đặt 3 3 3 3 7 1 4 4 4 x x t t x x x + + = ⇒ = = + − − − ⇒ 3 7 4 1 x t − = − ⇒ ( ) 2 2 3 21 1 t dt dx t − = − ⇒ ( ) 5 2 2 3 2 3 3 8 2 3 3 3 0 0 x 3 dx t 1 21t dt t dt I t 3 x 4 x 4 7 t 1 t 1 − + − − = ⋅ = ⋅ ⋅ = − − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 0 2 0 0 1 dt 3 1 dt 3t 3 t 1 t 1 t t 1   = − + = − −   −   − + + ∫ ∫ 2 1 t 2 6 dt t 1 t t 1 +   = − − −   − + +   ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 0 1 2t 1 3 1 3 dt 6 ln t 1 dt 6 ln t t 1 2 2 2 t t 1 3 1 t 2 2 + + = − − − + = − + + + + + +   + +     ∫ ∫ 2 0 1 2t 1 1 5 3 3 6 ln 7 3 arctg 6 ln 7 3 arctg 2 2 3 6 3 + π = − + + = − + + − • ( ) 4 = − − ∫ ∫ 9 3 4 xdx I = x a x x dx a x (a > 0) . Đặt 4 4 1 x x a t t a x a x a x = ⇒ = = − − − − ⇒ 4 4 1 1 1 a a x dx ad t t   − = ⇒ =   + +   ⇒ 4 9 4 4 4 4 x at dt at 1 I dx a td a aJ a x t 1 t 1 t 1 t 1   = = = − = −   − + + + +   ∫ ∫ ∫ Xét 4 1 dt J t = + ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 1 t 1 t 1 1 t 1 t 1 dt dx dt 2 2 t 1 t 1 t 1   + − − + − = = −   + + +   ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 208 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 d x d x 1 1 x x x x dx dx 1 1 2 2 1 1 x x x 2 x 2 x x x x     + − − +     = − = −     + +     − + + −       ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 x 1 1 x x 2 1 arctg ln c 2 2 x 2 2 2 x x 2 1   − − + = − +     + +   ⇒ 2 2 9 4 4 2 at at a 1 x 1 1 x x 2 1 I aJ arctg ln c 2 t 1 t 1 2 x 2 2 2 x x 2 1   − − + = − = − − +     + + + +   • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 − − = −− − − − ∫ ∫ 10 n n+ 1 n 1 dx I = x a x b n n dx x b x a x a Đặt ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n n n n n x b x b a b a b b a nt dt t t x a dx x a x a x a t t − − − − − − = ⇒ = = + ⇒ − = ⇒ = − − − − − ( ) ( ) n 1 10 2 2 n n 1 n 1 b a nt dt n nt I dt c b a b a a b t 1 t t 1 − − − = ⋅ = = + − − −   −   −   ∫ ∫ • ∫ 11 dx I = 1 + x + x + 1 . Đặt 1 1 1 1 2 t x x x x x t t t = + + ⇒ = + − ⇒ = − ⇒ 2 2 4 3 1 1 2 2 t t x dx dt t t   − − = ⇒ =     ⇒ ( ) 4 11 3 dx t 1 I dt 1 x x 1 2t 1 t − = = + + + + ∫ ∫ ( ) 3 2 3 2 3 2 2 t t t 1 1 1 1 1 1 1 1 dt 1 dt t ln t c 2 t 2 t 2t t t 2t 1 x 1 x ln x x 1 x x c 2 2 2 − + −     = = − + − = − − + +         = − + + + − + + ∫ ∫ • ( ) − − ∫ 12 3 2 xdx I = 1 x 1 x . Đặt ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 1 1 1 x x t t dt t t x dx x x t t + + − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − + + ⇒ ( ) ( ) 2 12 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 x dx 1 1 t 1 4t dt I t 1 1 x 1 x t 1 1 t t 1 1 1 t 1 t 1 − = = ⋅ ⋅ +  − − − +   − − −     +   +   ∫ ∫ [...]...Bài 7 Tích phân hàm vô t = ( t 2 + 1)( t 2 − 1) 4t dt ∫ ( 3 3 2 2   t + 1) − ( t − 1)  = ( t 2 + 1)2 − ( t 2 − 1)2 ( t 4 − 1) 4t dt ( t 4 − 1) dt =∫ ∫ 2 ( 3t 4 + 1) 4t 2 3t 4 + 1 1  t 4 dt t 4 1 4 =  − ⋅ 4 = . 7. Tích phân hàm vô tỉ 199 BÀI 7. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ I. TÍCH PHÂN CÓ CHỨA CÁC CĂN THỨC CỦA BIẾN ĐỘC LẬP 1. Xét dạng cơ bản thường gặp: ( ) p m n I x a bx dx = + ∫ với m, n, p hữu tỉ. 90t 21arctg t c 5 t 1 6 x 20 x 90 x 3 21arctg x c 5 x 1 − + = − + + + − + = − + + + Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 201 • ( ) 1 2 2 3 1 x x dx = + ∫ ∫ 3 3 2 xdx I = 1 + x ⇒ 2 1 1 1; ; 3 3 2 m m. t ln t 1 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2 ln t t 1 3   = − = − + = − − + =   +   ∫ Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 203 2. Dạng 2:       ∫ j 1 j 1 r r q q I = R x, x , , x dx • ( ) 1 2 1