ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM CHƯƠNG HAI: http://www.hcmute.edu.vn TẬP MỜ VÀ CÁC QUAN HỆ Chương cung cấp phần mở đầu tập mờ, quan hệ mờ, toán tử tập mờ Để hiểu rõ thêm, tìm đọc (Klir and Folger, 1988; Zimmermann, 1996; Klir and Yuan, 1995) Zadeh (1965) giới thiệu lý thuyết tập mờ chuyên ngành toán học, cho dù ý tưởng nhiều nhà luận lý triết gia thừa nhận (Pierce, Russel, Łukasiewicz,v.v, ) Phần tổng quan dễ hiểu tìm “Readings in Fuzzy Sets for Intelligent Systems”, Prade Yager (1993), nhà xuất Dubois Các hướng nghiên cứu sâu tập mờ thập niên bảy mươi kỷ trước với nhiều ứng dụng điều khiển chuyên ngành kỹ thuật khác Tập mờ Trong lý thuyết tập bình thường, tập thực (khơng mờ), phần tử nằm hồn tồn hay khơng nằm hoàn toàn tập Nhắc lại, hàm thành viên μA(x) x M tập truyền thống A, tập vũ trụ X, địnhHnghĩa là: C T TP 1, x  A, SPK  A ( x)   g ĐH ườn 0, x  A, ề Tr (2.1) uộc v Điều có nghĩa phần tử ềncó thể thành viên tập A (μA(x) = 1) hay không x th quy aûn (μA(x) = 0) Việc phânBlớp chặc chẽ thường dùng tốn học khoa học có dùng định nghĩa xác Lý thuyết tập thực (tập thông thường) bổ sung thêm phần logic hai giá trị, nhằm trình bày vấn đề hay sai Logic toán học thường nhấn mạnh đến việc giữ gìn giá trị chuẩn với diển đạt, trong sống thực tốn kỹ thuật, lại có u cầu giữ gìn thơng tin từ tình Trong trường hợp này, khơng thiết phải xác định rõ phần tử phụ thuộc hay không phụ thuộc vào tập Thí dụ, tập A biểu diễn số máy PC q mắc so với sinh viên, tập khơng có biên rõ ràng Dĩ nhiên, ta nói giá PC $2500 đắc, giá PC $2495 hay $2502 sao? Giá PCs có q đặc hay khơng? Như thế, biên xác định ngưỡng giá đắc cho sinh viên trung bình, thí dụ $2500, ngưỡng khơng đắc, thí dụ $1000 Giữa biên này, ta cịn có giá khác khơng thề nói rõ ràng q đắc hay khơng Trong ngưỡng này, dùng thang điểm đánh giá máy có giá đắc Lúc dùng tập mờ, hàm thành viên cho điểm khoảng [0,1] Môt tập mờ A tập có thành viên cho điểm khoảng thực: μA(x)  [0, 1] Tức phần tử thuộc vào tập mờ với mức độ Như thế, tập mờ dùng làm biểu diễn toán học cho ý niệm chưa rõ, thí dụ nhiệt độ thấp, người cao, xe đắc tiền, v.v,… Định nghĩa 2.1 (Tập mờ -Fuzzy Set) Một tập mờ A vũ trụ (miền) X tập định nghĩa hàm thành viên μA(x) ánh xạ từ vũ trụ X vào khoảng đơn vị: (2.2) μA(x):X → [0, 1] Thư viện ÑH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 6 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn F(X) định nghĩa tất tập mờ X Nếu giá trị hàm thành viên, gọi mức thành viên một, x phụ thuộc hoàn toàn vào tập mờ Nếu giá trị khơng x khơng phụ thuộc vào tập Nếu mức độ thành viên nằng 1, x thành phần tập mờ: Trong tài liệu lý thuyết tập mờ, tập bình thường (khơng mờ) thường gọi tập thực (crisp) hay tập cứng (hard sets) Có nhiểu ký hiệu dùng để hàm thành viên mức tham gia μA(x), A(x) hay đơi a Bản quy huo ền t äc ve ờng Trư M HC T TP PK ĐH S Thí dụ 2.1 (Tập mờ - Fuzzy Set) Hình 2.1 trình bày hàm thành viên có từ tập mờ dùng biểu diễn giá PC đắc cho sinh viên Theo hàm thành viên này, giá máy dươi $1000 rõ ràng khơng đắc, giá máy $2500 hồn tồn q đắc Ở giữa, thấy mức độ thành viên gia tăng tập mờ đắc Rõ ràng không cần thành viên phải tăng tuyến tính theo giá, cần có việc chuyển giai đoạn không mịn từ $1000 sang $2500 Chú ý ứng dụng kỹ thuật, việc lựa chọn hàm thành viên cho tập mờ thường tùy ý Đặc tính tập mờ Để thiết lập khung sườn tốn học cho tính tốn dùng tập mờ, cần định nghĩa số đặc tính tập mờ Phần trình bày tổng quan cần cho tài liệu Điều gồm định nghĩa chiều cao (height), support, core, α-cut cardinality tập mờ Ngồi ra, cịn giới thiệu đặc tính normality convexity Cần tham khảo thêm (Klir and Yuan, 1995) 2.1 Tập mờ Normal Subnormal Ta biết thành viên yếu tố mức độ phần tử tập mờ Chiều cao (height) tập mờ thành viên lớn phần tử vũ trụ Tập mờ có chiều cao Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 7 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn hay có phần tử x có miền X gọi tập mờ normal Chiều cao tập mờ subnormal bé với phần tử miền Khảo sát định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2 (Chiều cao) Chiều cao tập mờ A mức độ thành viên cao phần tử A: hgt ( A)  sup  A ( x) (2.4) Trong miền rời rạc X, phần lớn (supremum) trở thành cực đại chiều cao mức độ thành viên lớn với x  X xX Định nghĩa 2.3 (Tập mờ Normal) Tập mờ A normal x  X cho μA(x)=1 Tập mờ khơng normal gọi subnormal Tốn tử norm(A) cho thấy mức độ normal tập mờ, thí dụ A’= norm(A) μ’A (x) =μA(x)/ hgt(A), x Support, core α-cut tập crisp có từ tập mờ thôngCM cách chọn lựa H qua T TP phần từ có mức thành viên thỏa số điều kiện H SPK øng Đ rươ T Định nghĩa 2.4 (Support) Support huoäctập mờ A tập crisp X, tất t phần tử có mức độqthành viên khơng zero: uyeàn ûn Ba supp(A) = {x | μA(x) > 0} (2.5) Định nghĩa 2.5 (Core) Lõi (core) tập mờ A tập X bao gồm mơi phần tử có mức độ thành vi6n một: core(A) = {x | μA(x) = 1} (2.6) Trong số tài liệu, đơi lõi (core) cịn gọi kernel, ker(A) Lõi tập mờ subnormal trống Định nghĩa 2.6 (α-Cut) Cắt α-cut Aα tập mờ A tập crisp vũ trụ X có tất phần tử có mức độ thành viên lớn hay α: Aα = {x | μA(x) ≥ α}, α  [0, 1] (2.7) Toán tử α-cut gọi α-cut(A) hay α-cut(A, α) Toán tử α-cut Aα nghiêm ngặt μA(x)  α với x  Aα Giá trị α gọi mức α-level Hình 2.2 mơ tả tốn tử core, support α-cut tập mờ Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 8 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Lõi (core) support tập mờ cịn định nghĩa từ α-cuts: core(A) = 1-cut(A) supp(A) = 0-cut(A) (2.8) (2.9) M HC Hàm thành viên unimodal (với cực đại PKT TP multimodal (có tồn cục) ĐH S lồi (convex fuzzy sets) nhiều maxima) Tập mờ unimodal gọi øng mờ tập ươ Tính lồi cịn định nghĩa oäc veàα-cuts: theo Tr yeàn ûn qu thu Ba Định nghĩa 2.7 (Tập mờ lồi) Tậpmờ định nghĩa Rn lồi (convex) có tập α-cuts tập lồi Hình 2.3 minh họa tập mờ lồi tập mờ khơng lồi Thí dụ 2.2 (Tập mờ khơng lồi) Hình 2.4 cho thí dụ tập mờ khơng lồi biểu diễu “tuổi có rủi ro cao” chánh sách công ty bảo hiểm xe Các lái xe trẻ hay già có rủi ro cao lái xe trung niên Thư viện ÑH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 9 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Định nghĩa 2.8 (Cardinality) Gọi A = {μA(xi) | i = 1, 2, , n} tập mờ rời rạc hữu hạn Cardinality tập mờ định nghĩa tổng mức độ thành viên: n A    A ( xi ) Cardinality định nghĩa card(A) M HC T TP PK i 1 huo eàn t Biểu diễn tập mờ quy ờng Trư äc ve (2.11) ĐH S B định Có nhiều phương pháp ản nghĩa tập (hay biểu diễn máy tính): thơng qua mơ tả giải tích hàm thành viên μA(x) = f(x), thành danh mục miền thành phần mức độ thành viên hay dùng tốn tử α-cuts, phân tích 3.1 Biểu diễn dùng tương đồng (Similarity-based) Tập mờ thường định nghĩa dùng tính tương đồng hay không tương đồng ((dis)similarity) đối tượng x xét dùng prototype v tập mờ  ( x)  1  d ( x, v) (2.12) Trường hợp d(x, v) định nghĩa đo lường tính tương đồng không gian metric mà tiêu biểu cự ly (thí dụ cự ly Euclide) Prototype thành viên đầy đủ (phần tử tiêu biểu) tập Phần tử có cự ly đến prototype khơng có mức độ thành viên gần Nếu cự ly tăng mức thành viên giảm Thí dụ, xét hàm thành viên sau:  A ( x)   x 2, , x R, biểu diễn mức độ “gần zêrô”của số thực 3.2 Biểu diễn dùng tham số chức Có nhiểu dạng hàm thành viên tham số là: Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 10 10 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Hàm thành viên dạng hình thang (trapezoidal):   x  a d  x  ,  ,  b  a d  c   ( x, a, b, c, d )  max 0,   (2.13) Trong a, b, c d tọa độ định tam giác Khi b = c, ta có hàm thành viên dạng tam giác Hàm thành viên dạng mủ đoạn:    x  c 2  l  exp   x  cl   2w      l        x  cr      x  cr  ( x, cl , c r , wl , wr )  exp    wr       M HC  otherwise PKT TP  ĐH S ường  r T  (2.14) uộc th Trong cl cr quyền vai trái phải, wl, wr bề rộng phải aûn trái Khi cl = cr wl =Bwr ta có hàm thành viên dạng Gauss Hình 2.5 vẽ dạng hàm thành viên tam giác, hình thang, dạng chuông (hàm mủ) Một tập mờ đặc biệt gọi tập singleton (tập mờ biểu diễn số) đượcđịnh nghĩa là: x  x0 1 0 otherwise  A ( x)   (2.15) Một tập đặc biệt khác gọi tập vạn (universal set) với hàm thành viên thành phần miền: μA(x) = 1, x Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 11 (2.16) 11 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Cuối số mờ (fuzzy number) dùng tập mờ normal, convex định nghĩa đường thẳng thực 3.3 Biểu diễn theo điểm (Point-wise Representation) Trong tập rời rạc X = {xi | i = 1, 2, , n}, tập mờ A định nghĩa dùng bảng liệt kê cặp có thứ tự: mức độ thành viên /phần tử tập: A = {μA(x1)/x1, μA(x2)/x2, , μA(xn)/xn} = {μA(x)/x | x  X}, (2.17) Thông thường, phần tử x X có mức độ thành viên khác khơng liệt kê Có thể gặp trường hợp sau: n A = μA(x1)/x1+ μA(x2)/x2+ + μA(xn)/xn = miền hữu hạn, A  X  A ( x) / x B uy aûn q huo ền t äc ve ờng Trư  A ( xi ) / xi i 1 (2.18) M HC T TP PK ÑH S (2.19) miền liên tục Chú ý, thay tổng tích phân, này, ký hiệu , +  biểu diễn tập (union) phần tử Cặp vectơ (dãy chương trình máy tính) dùng để lưu trữ hàm thành viên rời rạc: x = [x1, x2, , xn], μ = [μA(x1), μA(x2), , μA(xn)] (2.20) Có thể dùng phép nội suy để tìm điểm trung gian Biểu diễn thường dùng gói chương trình máy tính thương phẩm Khi rời rạc hóa với bước khơng đổi cần lưu trữ mức độ thành viên μ 3.4 Biểu diễn cấp tập hợp (Level Set Representation) Tập mờ biểu diễn thành danh mục theo mức α (α  [0, 1]) lát cắt (α-cuts) tương ứng: A = {α1/Aα1, α2/Aα2, , αn/Aαn} = {α/Aαn | α  (0, 1)}, (2.21) Tầm α cần rời rạc hóa Biểu diễn có ưu điểm toán tử tập mờ vũ trụ, định nghĩa tập toán tử cổ điển tập mức chúng Từ đó, thiết lập đại số mờ (fuzzy arithmetic) dùng khoảng đại số (interval arithmetic), v.v,… Tuy nhiên, miền nhiều chiều, việc dùng biểu diễn theo mức tập hợp làm gia tăng mức độ tính tốn Thư viện ÑH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 12 12 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Thí dụ 2.3 (Đại số mờ: Fuzzy Arithmetic) Dùng phép biểu diễn mức tập hợp, tìm kết toán tử đại số dùng số mờ (fuzzy numbers) dùng phép toán tử đại số chuẩn cac phần cắt (α-cuts) Thí dụ xét phép cộng hai số mờ A B định nghĩa đường thẳng thực: A + B = {α/(Aαn + Bαn) | α  (0, 1)}, (2.22) where Aαn + Bαn phép cộng hai khoảng (intervals) Các phép toán tập mờ Định nghĩa toán tử theo lý thuyết tập hợp (set-theoretic operations) phép bù (complement), phép hội (union) phép giao (intersection) mở rộng từ lý thuyết tập hợp truyền thống sang tập mờ Do mức độ thành viên khơng cịn bị giới hạn {0, 1}, có giá trị khoảng [0, 1], tốn tử khơng thể định nghĩa cách độc Tuy nhiên, rõ ràng toán tử tập mờ phải cho kết áp dụng vào tập truyền thống (trong CM tập truyền thống có H T TP thể xem trường hợp đặc biệt tập mờ) SPK g ÑH Zadeh vể phép giao mờ (fuzzy Phần giới thiệu định nghĩa rườn T intersection), phép hội (union) huộc vbù (complement) Các tốn tử giao hội tổng phép ề t qt, cịn gọi norms tam quyền(t-norms) conorms tam giác giác (t-conorms) Bản trình bày, ngồi tốn tử ánh xạ (projection) phép mở rộng trụ (cylindrical extension) có liên quan đến tập mờ nhiều chiều trình bày 4.1 Phép bù (Complement), Hội (Union) Giao (Intersection) Định nghĩa 2.9 (phép bù tập mờ) Gọi A tập mờ X Phần phụ A tập mờ, gọi tập mờ A , cho với x  X:  A ( x )    A ( x) (2.23) Hình 2.6 trình bày thí dụ phép bù mờ hàm thành viên Bên cạnh phép tốn Zadeh đề nghị, cịn dùng nhiều phép bù Thí dụ phép bù λ theo Sugeno (1977):   A ( x)  A (x)    A ( x) (2.24) Trong λ > tham số Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 13 13 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Định nghĩa 2.10 (phép giao tập mờ) Gọi A B hai tập mờ X Phần giao( intersection) A B tập mờ C, định nghĩa C = A ∩ B, cho với x  X: μC(x) =min[μA(x), μB(x)] (2.25) Tốn tử tối thiểu cịn gọi ‘’, thí dụ, μC(x) = μ A(x)  μB(x) Hình 2.7 cho thấy thí dụ phần giao mờ hàm thành viên M HC T TP PK Định nghĩa 2.11: Hội tập mờ (Union of FuzzySSets) Gọi A B hai tập mờ g ÑH X Phép giao (union) A B Trườmờ C, định nghĩa C = A  B, cho tập n äc ve phần tử x X: thuo àn uye q Bản μC(x) =max[μA(x), μB(x)] (2.26) Tốn tử cực đại cịn gọi ‘’, thí dụ, μC(x) = μA(x)  μB(x) Hình 2.8 vẽ thí dụ phép hội mờ hàm thành viên 4.2 T -norms T –conorms Phép giao mờ hai tập mờ xét cách tổng quát dùng toán tử nhị phân khoảng đơn vị, thí dụ hàm có dạng: T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] (2.27) Để xem hàm T hàm giao mờ, cần có số đặc tính thích hợp Hàm gọi t-norms (norms tam giác) có đặc tính cần thiết cho phép giao Tương tự, hàm gọi t-conorms dùng cho phép hội mờ Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 14 14 ĐIỀU KHIỂN THÔNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Định nghĩa 2.12 (t-Norm/Phép giao mờ) t-norm T toán tử nhị phân khoảng đơn vị thỏa mãn tiên đề sau (axioms) với a, b, c  [0, 1] (Klir and Yuan, 1995): T (a, 1) = a (điều kiện biên), b ≤ c dẫn đến T (a, b) ≤ T (a, c) (tính đơn điệu), T (a, b) = T (b, a) (tính giao hốn), T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c) (tính phân bố) (2.28) Một số t-norms thường dùng là: Phép giao chuẩn (Zadeh): T (a, b) = min(a, b) Tích đại số (phép giao xác suất): T (a, b) = ab Phép giao Łukasiewicz (bold): T (a, b) = max(0, a + b − 1) Phép tối thiểu phép t-norm lớn (tốn tử giao) Xem thí dụ hình 2.7 giới thiệu phần giao A ∩ B hàm thành viên có từ phép tính t-norm khác M nằm phần sậm màu hàm thành viên P HC PK ÑH S TT g Định nghĩa 2.13 (t-Conorm/phép hội mờ) t-conorm S tốn tử nhị phân khoảng rườn ề Tvới a, b, c  [0, 1] (Klir đơn vị thỏa mãn tiênuộc v đề sau th Yuan, 1995): uyeàn ûn q Ba S(a, 0) = a (điều kiện biên), b ≤ c dẫn đến S(a, b) ≤ S(a, c) (tính đơn điệu), S(a, b) = S(b, a) (tính giao hốn), S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) (tính phân bố) (2.29) Một số t-conorms thường dùng là: Phép hội chuẩn (Zadeh): S(a, b) = max(a, b), Tổng đại số (phép hội xác suất): S(a, b) = a + b − ab, Phép hội Łukasiewicz (bold): S(a, b) = min(1, a + b) Phép tối đa t-conorm bé (toán tử hội) Trong thí dụ hình 2.8 tức phép hội AB có từ phép t-conorms khác nằm phần sậm màu hàm thành viên 4.3 Ánh xạ Mở rộng trụ (Projection and Cylindrical Extension) Ánh xạ rút gọn tập mờ định nghĩa miền nhiều chiều (thí dụ R2 tập mờ sang miền có kích thước thấp (như R) Mở rộng trụ tốn tử ngược lại, thí dụ phép mở rộng trụ định nghĩa từ miền có chiều thấp sang miền có nhiều chiều hơn, sau: Định nghĩa 2.14 (Ánh xạ tập mờ) Gọi U  U1×U2 tập khơng gian tích Cartesian, U1 U2 tự thân tích Cartesian miền có chiều thấp Ánh xạ tập mờ xác định U vào U1 phép chiếu projU1:F(U) →F(U1) định nghĩa Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 15 15 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn   projU ( A)  sup  A (u ) / u1 U  U   (2.30) Cơ chế ánh xạ giảm chiều khơng gian tích cách lấy cực trị tối đa hàm thành viên chiều cần phải giảm thiểu Thí dụ 2.4 (Ánh xạ) Giả sử tập mờ A định nghĩa U  X × Y × Z, với {x1, x2}, Y = {y1, y2} Z = {z1, z2}, sau: A = {μ1/(x1, y1, z1), μ2/(x1, y2, z1), μ3/(x2, y1, z1),μ4/(x2, y2, z1), μ5/(x2, y2, z2)} X= (2.31) Tính ánh xạ A vào X, Y X × Y : HCM TP projX(A) = {max(μ1, μ2)/x1, max(μ3, μ4, μ5)/x2}, PKT projY (A) = {max(μ1, μ3)/y1, max(μ2, μ4, μ5)/y2}, g ĐH S øn Trươ projX×Y (A) = {μ1/(x1, y 1), μ2/(x1, y2), μäc/(x2, y1), max(μ4, μ5)/(x2, y2)} veà yeàn ûn qu thuo (2.33) (2.34) (2.35) Có thể minh họa dễ dàng ánh xạ từ R2 sang R hình 2.9 Ba Định nghĩa 2.15 (Mở rộng dạng trụ) Xét U  U1 × U2 tập khơng gian tích Cartesian, U1 U2 tự thân tích Cartesian miền có chiều thấp Mở rộng trụ tập mờ A định nghĩa U1 vào U phép áp extU:F(U1)→F(U) định nghĩa extU ( A)   A (u1 / u u  U  (2.37) Mở rộng dạng trụ đơn giản tạo mức độ thành viên từ miền hữu sang miền Hình 2.10 mơ tả phép mở rộng trụ từ R sang R2 Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 16 16 ĐIỀU KHIỂN THƠNG MINH Trường ĐH SPKT TP HCM http://www.hcmute.edu.vn Dễ dàng thấy phép ánh xạ dẫn đến thông tin, A định nghĩa X  Xm (n 0 luôn đúng? Xét tập mờ A định nghĩa X × Y với X = {x1, x2}, Y = {y1, y2}: A = {0.1/(x1, y1), 0.2/(x1, y2), 0.7/(x2, y1), 0.9/(x2, y2)} Tính ánh xạ A vào X vàY M HC T TP PK Tìm mở rộng trụ tập mờ A = {0.3/x1, 0.4/x2H S miền tích Cartesian Đ } vào ường x2} × {y1, y2} ề Tr huộc àn t quye {x1, v Cho tập mờ A = {0.1/x1, 0.6/x2} B = {1/y1, 0.7/y2}, tìm phần hội A B phần Baûn giao A ∩ B Dùng toán từ Zadeh (max, min) Cho quan hệ mờ R: X × Y → [0, 1]: Và tập mờ A = {0.1/x1, 1/x2, 0.4/x3} Tính tập mờ B = A ◦ R, ’◦’ tốn tử tổ hợp max-min Chứng minh định lý De Morgan A  B  A  B tập mờ A B, dùng toán tử hội, giao, bù Zadeh Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn TRANG – 22 22 ... oäc veàα-cuts: theo Tr yeàn ûn qu thu Ba Định nghĩa 2. 7 (Tập mờ lồi) Tậpmờ định nghĩa Rn lồi (convex) có tập α-cuts tập lồi Hình 2. 3 minh họa tập mờ lồi tập mờ khơng lồi Thí dụ 2. 2 (Tập mờ khơng... ÑH S Quan hệ mờ tập mờ ản quytích Cartesian X1×X2×· · ·×Xn Mức độ thành viên biểu B diễn mức tương quan phần tử miền Xi khác Định nghĩa 2. 16 (Quan hệ mờ) Quan hệ mờ bậc n ánh xạ: R: X1×X2×···×Xn... Tóm tắt vấn đề cần quan tâm Tập mờ tập khơng có biên rõ ràng: thành viên tập mờ số thực khoảng [0, 1] Đã trình bày nhiều đặc tính khác tập mờ phép tính tập mờ Quan hệ tập mờ nhiều chiều có mức