TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 2 ( ) 2 3 3 x y f x x x = = - + - 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm trên ( ) C có hoành độ 0 x , với 0 ( ) 6 f x ¢¢ = . 3) Tìm tham số m để phương trình 3 2 6 9 3 0 x x x m - + + = có đúng 2 nghiệm phân biệt. Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 4 4 2 4 2 17.2 1 0 x x- - - + = 2) Tính tích phân: 0 (2 1)sin I x xdx p = - ò 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 ln(1 ) y x x = - - trên đoạn [– 2;0] Câu III (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ¢ ¢ ¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt ( ) A BC ¢ tạo với đáy một góc 0 30 và tam giác A BC ¢ có diện tích bằng 2 3 a . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ¢ ¢ ¢ . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm (7;2;1), ( 5; 4; 3) A B - - - và mặt phẳng ( ) : 3 2 6 38 0 P x y z - - + = 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. Chứng minh rằng, AB || ( ) P . 2) Viết phương trình mặt cầu ( ) S có đường kính AB. 3) Chứng minh ( ) P là tiếp diện của mặt cầu ( ) S . Tìm toạ độ tiếp điểm của ( ) P và ( ) S Câu Va (1,0 điểm): Cho số phức 1 3 z i = + . Tìm số nghịch đảo của số phức: 2 . z z z w = + 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho điểm (1;3; 2) I - và đường thẳng 4 4 3 : 1 2 1 x y z - - + D = = - 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và chứa đường thẳng D . 2) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng D . 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt D tại hai điểm phân biệt A,B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4. Câu Vb (1,0 điểm): Gọi 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình: 2 2 2 2 2 0 z z i - + + = . Hãy lập một phương trình bậc hai nhận 1 2 , z z làm nghiệm. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: x y y = m -2/ 3 4 -4/ 3 3 2 O 1 BI GII CHI TIT. Cõu I: Hm s: 3 2 ( ) 2 3 3 x y f x x x = = - + - Tp xỏc nh: D = Ă o hm: 2 4 3 y x x  = - + - Cho 2 0 4 3 1; 3 y x x x x  = - + - = = Gii hn: ; lim lim x x y y đ - Ơ đ + Ơ = + Ơ = - Ơ Bng bin thiờn x 1 3 + y  0 + 0 y + 0 4 3 - Hm s B trờn khong (1;3), NB trờn cỏc khong (;1), (3;+) Hm s t cc i Cẹ 0 y = ti Cẹ 3 x = , t cc tiu CT 4 3 y = - ti CT 1 x = im un: 2 2 4 0 2 3 y x x y  = - + = = ị = - . im un ca th l: 2 2; 3 I ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ố ứ Giao im vi trc honh: cho 0 0; 3 y x x = = = Giao im vi trc tung: cho 0 0 x y = ị = Bng giỏ tr: x 0 1 2 3 4 y 0 4/3 2/3 0 4/3 th hm s nh hỡnh v: 0 0 0 0 16 ( ) 6 2 4 6 1 3 f x x x y  = - + = = - ị = 2 0 ( ) ( 1) ( 1) 4( 1) 3 8 f x f   = - = - - + - - = - Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm: 16 8 8( 1) 8 3 3 y x y x - = - + = - - 3 2 3 2 3 2 1 6 9 3 0 6 9 3 2 3 3 x x x m x x x m x x x m - + + = - + = - - + - = (*) S nghim phng trỡnh (*) bng s giao im ca ( ) C v : d y m = Da vo th ta thy phng trỡnh (*) cú ỳng 2 nghim phõn bit 0 4 3 m m ộ = ờ ờ ờ = - ờ ở Cõu II: 30 a B' C' A C B A' 4 4 2 4 2 16 4 2 17.2 1 0 17. 1 0 4 17.4 16 0 16 16 x x x x x x- - - + = - + = - + = (*) t 4 x t = (K: t > 0) phng trỡnh (*) tr thnh (nhan) (nhan) 2 1 4 1 0 17 16 0 16 2 4 16 x x t x t t t x ộ ộ ộ = = = ờ ờ ờ - + = ờ ờ ờ = = = ờ ờ ờ ở ở ở Vy, phng trỡnh ó cho cú hai nghim: x = 0 v x = 2. 0 (2 1)sin I x xdx p = - ũ t 2 1 2. sin cos u x dx dx dv xdx v x ỡ ỡ ù ù = - = ù ù ị ớ ớ ù ù = = - ù ù ợ ợ . Thay vo cụng thc tớch phõn tng phn ta c: 0 0 0 (2 1)cos ( 2cos ) (2 1) 1 2sin (2 1) 1 2.0 2 2 I x x x dx x p p p p p p = - - - - = - - + = - - + = - ũ Hm s 2 4 ln(1 ) y x x = - - liờn tc trờn on [2;0] 2 4 2 2 4 2 1 1 x x y x x x - + +  = + = - - Cho (nhan) (loai) 2 1 [ 2;0] 0 2 2 4 0 2 [ 2;0] x y x x x ộ = - ẻ - ờ  = - + + = ờ = ẽ - ờ ở ; ; ( 1) 1 4ln2 ( 2) 4 4ln 3 (0) 0 f f f - = - - = - = Trong cỏc kt qu trờn, s nh nht l: 1 4ln2 - , s ln nht nht l: 0 Vy, khi [ 2;0] [ 2;0] min 1 4ln 2 1 ; max 0 y x y - - = - = - = khi x = 0 Cõu III Do BC AB BC A B BC AA ỡ ù ^ ù  ị ^ ớ  ù ^ ù ợ (hn na, ( ) BC ABB A   ^ ) V ã ( ) ( ) ( ) ( ) BC AB ABC BC AB A BC A BA BC ABC A BC ỡ ù ^ è ù ù ù   ^ è ị ớ ù ù  = ầ ù ù ợ l gúc gia ( ) ABC v ( ) A BC  Ta cú, 2 2. 1 2. 3 . 2 3 2 A BC A BC S a S A B BC A B a BC a  D  D   = ị = = = ã ã 0 0 .cos 2 3.cos 30 3 .sin 2 3.sin 30 3 AB A B ABA a a AA A B ABA a a   = = =    = = = Vy, l.truù 3 1 1 3 3 . . 3 3 2 2 2 ABC a V B h S AA AB BC AA a a a   = = = ì ì ì = ì ì ì = (vtt) THEO CHNG TRèNH CHUN Câu IVa: (7;2;1), ( 5; 4; 3) A B - - -  Đường thẳng AB đi qua điểm (7;2;1) A , có vtcp ( 12; 6; 4) u AB = = - - - uuur r nên có ptts 7 12 : 2 6 1 4 x t AB y t z t ì ï = - ï ï ï = - í ï ï = - ï ï î (1)  Thay (1) vào phương trình mp(P) ta được: 3(7 12 ) 2(2 6 ) 6(1 4 ) 38 0 0. 49 0 0 49 t t t t t - - - - - + = Û + = Û = - : vô lý  Vậy, || ( ) AB P  Tâm của mặt cầu ( ) S : (1; 1; 1) I - - (là trung điểm đoạn thẳng AB)  Bán kính của ( ) S : 2 2 2 (1 7) ( 1 2) ( 1 1) 7 R IA = = - + - - + - - =  Phương trình mc 2 2 2 ( ) :( 1) ( 1) ( 1) 49 S x y z- + + + + =  Ta có, 2 2 2 3.1 2.( 1) 6.( 1) 38 ( ,( )) 7 3 ( 2) ( 6) d I P R - - - - + = = = Þ + - + - ( ) P tiếp xúc với ( ) S .  Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mp(P). Khi đó PTTS của d: 1 3 1 2 1 6 x t y t z t ì ï = + ï ï ï = - - í ï ï = - - ï ï î . Thay vào ptmp(P) ta được : 3(1 3 ) 2( 1 2 ) 6( 1 6 ) 38 0 49. 49 0 1 t t t t t + - - - - - - + = Û + = Û = -  Tiếp điểm cần tìm là giao điểm của d và (P), đó là điểm ( 2;1;5) H - Câu Va: Với 1 3 z i = + , ta có  2 2 2 2 2 . (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 1 9 2 6 z z z i i i i i i i w = + = + + + - = + + + - = +  2 2 1 1 2 6 2 6 2 6 1 3 2 6 (2 6 )(2 6 ) 40 10 10 2 36 i i i i i i i i w - - - = = = = = - + + - - THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb:  Đường thẳng D đi qua điểm (4;4; 3) M - , có vtcp (1;2; 1) u = - r  Mặt phẳng ( ) P đi qua điểm (1;3; 2) I -  Hai véctơ: (3;1; 1) IM = - uuur (1;2; 1) u = - r Vtpt của mp(P): 1 1 1 3 3 1 [ , ] ; ; (1;2;5) 2 1 1 1 1 2 n IM u æ ö - - ÷ ç ÷ ç = = = ÷ ç ÷ ç - - ÷ ÷ ç è ø uuur r r  PTTQ của mp ( ) : 1( 1) 2( 3) 5( 2) 0 P x y z - + - + + = 2 5 3 0 x y z Û + + + = H C I A B  Khoảng cách từ đểm A đến D : 2 2 2 2 2 2 [ , ] 1 2 5 30 ( , ) 5 6 1 2 ( 1) IM u d d I u + + = D = = = = + + - uuur r r  Giả sử mặt cầu ( ) S cắt D tại 2 điểm A,B sao cho AB = 4 ( ) S Þ có bán kính R = IA  Gọi H là trung điểm đoạn AB, khi đó: IH AB IHA ^ Þ D vuông tại H  Ta có, 2 ; ( , ) 5 HA IH d I= = D = 2 2 2 2 2 2 ( 5) 2 9 R IA IH HA = = + = + =  Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 2 ( ) :( 1) ( 3) ( 2) 9 S x y z - + - + + = Câu Vb:  Với 1 2 , z z là 2 nghiệm của phương trình 2 2 2 2 2 0 z z i - + + = thì 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 b z z z z a c z z i z z i a ì ï ï ì + = - = ï ï + = ï ï ï ï Þ í í ï ï = - ï ï = = + ï î ï ï ï î  Do đó, 1 2 , z z là 2 nghiệm của phương trình 2 2 2 2 2 0 z z i - + - = TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH . TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I 2 I x x x dx x p p p p p p = - - - - = - - + = - - + = - ũ Hm s 2 4 ln(1 ) y x x = - - liờn tc trờn on [2;0] 2 4 2 2 4 2 1 1 x x y x x x - + +  = + = - - Cho (nhan) (loai) 2 1. 6 1 3 f x x x y  = - + = = - ị = 2 0 ( ) ( 1) ( 1) 4( 1) 3 8 f x f   = - = - - + - - = - Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm: 16 8 8( 1) 8 3 3 y x y x - = - + = - - 3 2 3 2 3 2 1 6 9