Đảo lại, ta có: c) Định lí Nếu < quan hệ thứ tự nghiêm ngặt tập hợp X quan hệ hai ngơi ≤ X xác định bởi: x ≤ y x < y x = y, quan hệ thứ tự X Chứng minh : Từ định nghĩa quan hệ ≤ suy ≤ quan hệ phản xạ Ta chứng minh ≤ quan hệ bắc cầu Thật vậy, giả sử x ≤ y y ≤ z Khi đó, x < y x = y y < z y = z Nếu x < y y < z x < z; x z Nếu x < y y = z x < z; x ≤ z Nếu x = y y < z x < z; x ≤ z Cuối x = y y = z x = z, x ≤ z ≤ quan hệ phản đối xứng Thật vậy, giả sử x ≤ y y ≤ x Khi đó, x < y x = y y < x y = x Hai điều kiện x < y y < x loại trừ xảy đồng thời hai điều kiện ta có x < x điều khơng thể < quan hệ đối phản xạ Hai điều kiện x < y y = x loại trừ lẫn Hai điều kiện x = y y < x loại trừ Do xảy trường hợp x = y y = x Như điều kiện x ≤ y y ≤ x kéo theo x = y Giả sử quan hệ thứ tự tập hợp X x, y hai phần tử X Ta nói x đứng trước y x ≤ y x ≠ y Khi đó, ta viết x < y (< quan hệ thứ tự nghiêm ngặt X nói Định lí b) 5.3 Quan hệ thứ tự toàn phần quan hệ thứ tự phận Quan hệ thứ tự ≤ tập hợp X gọi tồn phần với hai phần tử x, y X, ta có x ≤ y y ≤ x Trong lược đồ hình tên quan hệ thứ tự toàn phần tập hợp X, phần tử X đôi nối với mũi tên Nếu tồn hai phần tử x, y X cho hai điều kiện x ≤ y y ≤ x khơng xảy ≤ gọi quan hệ thứ tự phận Ví dụ 5.6: Quan hệ thứ tự “≤” (theo nghĩa thông thường) tập hợp R toàn phần Quan hệ “chia hết” tập hợp N* quan hệ thứ tự phận chẳng hạn số nguyên không so sánh được” Ta khơng có / 7, khơng có / Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt < tập hợp X gọi toàn phần với hai phần tử khác x, y X, ta có x < y y < x Formatted: Heading04 Nếu tồn hai phần tử khác x, y X cho hai điều kiện x < y y < x khơng xảy quan hệ < gọi phận Ví dụ 5.7 : Xét quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự nghiêm ngặt biểu diễn lược đồ hình tên hình 29 Hình 30 Quan hệ thứ tự tập hợp A biểu diễn lược đồ hình tên 30 a) tồn phần Quan hệ thứ tự tập hợp B Hình 30 b) phận Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt tập hợp C Hình 30 c) tồn phần Lược đồ hình tên Hình 30 c) biểu diễn quan hệ thứ tự nghiêm ngặt phận tập hợp D 5.4 Các phần tử tối đại, tối tiểu Formatted: Heading04 a) Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x ∈ X gọi tối đại khơng đứng trước phần tử X, tức không tồn x ∈ X cho x < x 0 Nói cách khác, x ∈ X phần tử tối đại không tồn x ∈ X cho x ∈ x x ≠ x 0 Điều kiện tương đương với điều kiện sau: Với x ∈ X, x ∈ x x = x 0 Ví dụ 5.8: Cho tập hợp X ≠ φ Gọi P = P(X) tập tất tập X Ta biết quan hệ hai “⊂” P quan hệ thứ tự Do (P, ⊂) tập hợp thứ tự Ta chứng minh X phần tử tối đại P Thật vậy, giả sử A P X A Khi đó, ta có A X X A Do A = X Vậy X phần tử tối đại Mọi tập hợp A ∈ P khác X phần tử tối đại A ⊂ X Như X phần tử tối đại Ví dụ 5.9 : Gọi X tập hợp số nguyên lớn quan hệ X xác định sau: Với m, n ∈ X, m ≤ n m chia hết cho n Dễ dàng thấy quan hệ thứ tự X Ta chứng minh số nguyên tố phần tử tối đại Thật vậy, p số nguyên tố n ∈ X, p ≤ n n = p Do p phần tử tối đại Như tập hợp thứ tự X có vơ số phần tử tối đại Ví dụ 5.10 : Kí hiệu ≤ quan hệ “chia hết” tập hợp N*: Với m, n nguyên dương, m ≤ n m : n Tập hợp thứ tự N* khơng có phần tử tối đại với n ≤ N*, ta có n : 2n 2n ≠ n, tức n ≤ 2n 2n ≠ n Các ví dụ cho thấy tập hợp thứ tự có nhiều phần tử tối đại, khơng có phần tử tối đại Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự tập hợp, phần tử tối đại biểu diễn điểm mà từ khơng có mũi tên đến điểm khác Trong hình 31, c d hai phần tử tối đại tập hợp thứ tự X Hình 31 b) Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x ∈ X gọi tối tiểu khơng có phần tử X đứng trước nó, tức khơng tồn x ∈ X, x ≠ x cho x ≤ x 0 Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự tập hợp, phần tử tối tiểu biểu diễn điểm mà mũi tên từ điểm khác đến điểm Trong Hình 30, a d hai điểm tối tiểu tập hợp thứ tự X Chú ý d điểm tối dại X Ví dụ 5.11 : Giả sử P tập hợp tất tập tập hợp X ≠ φ Khi đó, tập hợp thứ tự (P, ⊂) có phần tử tối tiểu nhất, tập hợp φ Thật vậy, với A ∈ P mà A ⊂ φ, ta có A = φ Do phần tử tối tiểu Ngoài ra, với A ∈ P mà A ≠ φ, ta có φ ⊂ A Do A khơng phải phần tử tối tiểu Ví dụ 5.12 : Giả sử X tập hợp số nguyên lớn Ta biét (X, :) tập hợp thứ tự (kí hiệu : quan hệ “chia hết” X) Nếu p số nguyên tố với n ∈ X, mà n : p, ta có n = p Do p phần tử tối tiểu tập hợp thứ tự X Như vậy, X có vơ số phần tử tối tiểu, tất số nguyên tố Ví dụ 5.13 : Gọi X tập hợp số nguyên lớn ≤ quan hệ “chia hết cho” X (Xem ví dụ 9) Tập hợp thứ tự (X, ≤) khơng có phần tử tối tiểu với n ∈ X, ta có 2n chia hết cho n 2n ≠ n, tức 2n ≤ n 2n ≠ n Các ví dụ cho thấy tập hợp thứ tự có nhiều phần tử tối tiểu khơng có phần tử tối tiểu 5.5 Các phần tử lớn nhất, nhỏ Formatted: Heading04 a) Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x ∈ X gọi lớn nếu: x ∈ x với x ∈ X 0 b) Định lí: Tập hợp thứ tự (X, ≤) có nhiều phần tử lớn Phần tử lớn tối đại Chứng minh Giả sử x x phần tử lớn tập hợp thứ tự X Khi đó: x ≤ x với x ∈ X x ≤ x với x ∈ X Do x ≤ x x ≤ x Vì quan hệ ≤ phản đối xứng nên từ suy x = x Vậy phần tử lớn nhất, có, 0 1 Giả sử x phần tử lớn (X, ≤) Khi đó, với x ∈ X, x ≤ x ta có x ≤ x (suy từ định nghĩa x ) nên x = x Vậy x phần tử tối đại 0 0 0 Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự tập hợp, phần tử lớn biểu diễn điểm mà điểm tập hợp có mũi tên từ đến điểm nêu Hình 32 Trong Hình 32, d phần lớn tập hợp thứ tự A Ví dụ 5.14 : Trong tập hợp thứ tự (P, ⊂) (P = P (X) tập hợp tất tập hợp X ≠ φ), tập hợp X phần tử lớn • Tập hợp thứ tự (N*, :) khơng có phần tử tối đại Do đó, theo Định lí b), tập hợp N* khơng có phần tử lớn • Xét tập hợp thứ tự (X, ≤), X tập hợp số nguyên lớn ≤ quan hệ “chia hết cho” X Trong tập hợp khơng có phần tử lớn với n ∈ X, số n + không chia hết cho n Để ý (X, ≤) có vơ số phần tử tối đại (xem Ví dụ 9) c) Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x ∈ X gọi nhỏ x ≤ x với x ∈ X Tương tự Định lí b), dễ dàng chứng minh d) Tập hợp thứ tự (X, ≤) có nhiều phần tử nhỏ Phần tử nhỏ tối tiểu Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự tập hợp, phần tử nhỏ biểu diễn điểm mà từ có mũi tên đến điểm Hình 33 khác tập hợp Hình 33 Hình 33, a phần tử nhỏ tập hợp thứ tự A Ví dụ 5.15: • Trong tập hợp thứ tự (P, ⊂), P tập hợp tất tập tập hợp X ≠ φ, φ phần tử nhỏ nhất • Xét tập hợp thứ tự (X, ≤), x tập hợp số nguyên lớn ≤ quan hệ “chia hết cho” X Trong Ví dụ 13, ta biết X khơng có phần tử tối tiểu Do đó, theo Định lí d), tập hợp thứ tự X khơng có phần tử nhỏ • Tập hợp thứ tự (X, :), X tập hợp số nguyên lớn : quan hệ “chia hết” X, phần tử nhỏ với n ∈ X, n không chia hết n + Để ý tập hợp thứ tự có vơ số phần tử tối tiểu (xem Ví dụ 12) 5.6 Các tập tập thứ tự Bổ đề Doóc−nơ (Zorn) Formatted: Heading04 a) Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự A tập X Gọi A quan hệ hai xác định tập hợp A sau: Với x, y ∈ A, x ≤ y x ≤ y A Dễ dàng thấy ≤ quan hệ thứ tự A Tập hợp thứ tự (A, ≤ ) gọi tập thứ tự tập hợp thứ tự (X, ≤) A A Thay cho (A, ≤ ) người ta viết (A, ≤) Khi nói A tập tập hợp thứ tự (X, ≤) mà khơng giải thích thêm ta hiểu A tập hợp thứ tự (A, ≤) A b) Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Tập A X gọi dây xích với x, y ∈ X, x ≤ y y ≤ x Nói cách khác, A dãy sích quan hệ thứ tự ≤ A tồn phần A Ví dụ 5.16 : • Tập A = {5, 15, 60} dây xích tập hợp thứ tự (N*, :) • Tập B = {3, 6, 12, 18} dõy xích tập hợp thứ tự (N*, ≤), ≤ quan hệ “chia hết cho” N 18 khơng chia hết cho 12 c) Phần tử chặn trên, chặn Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự A tập hợp X (i) x ∈ X gọi phần tử chặn A x ≤ x với x ∈ A (ii) x ∈ X gọi phần tử chặn A x ≤ x với x ∈ A 0 0 Ví dụ 5.17 : Xét tập hợp thứ tự (N*, :) tập A = {10, 15, 20} Dễ dàng thấy số 60, 120, 180, phần tử chặn A số 1, phần tử chặn A Ví dụ 5.18 : Xét hai tập Z (là tập số nguyên) X = {x ∈ R : −1 ≤ x < 3} tập hợp thứ tự (R, ≤) (≤ quan hệ thứ tự thông thường R) Dễ dàng thấy R khơng có phần tử chặn khơng có phần tử chặn Z, số thực lớn phần tử chặn A số thực nhỏ −1 phần tử chặn A Như vậy, tập tập hợp thứ tự có nhiều, khơng có phần tử chặn trên, chặn Bổ đề mà ta thừa nhận sau định lí quan trọng áp dụng ð? chứng minh nhiều định lí d) Bổ đề Zooc−nơ Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Nếu X dây xích có phần tử chặn X có phần tử tối đại Hoạt động Tìm hiểu quan hệ thứ tự Nhiệm vụ: Sinh viên đọc thông tin để thực nhiệm vụ sau Nhiệm vụ Trình bày khái niệm quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự nghiêm ngặt, quan hệ thứ tự toàn phần phận Formatted: Heading02 Deleted: Formatted: Heading03, Space Before: pt Formatted: Heading04 Lí giải số quan hệ thứ tự thường gặp quan hệ “chia hết”, quan hệ “chia hết cho” tập hợp N*, quan hệ “bao hàm” tập hợp tập hợp ,quan hệ (nhỏ theo nghĩa thông thường) tập hợp R Nhận biết quan hệ cho trước tập hợp có phải quan hệ thứ tự hay khơng, biết cho ví dụ quan hệ thứ tự − Biểu diễn số quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự nghiêm ngặt lược đồ hình tên Nhiệm vụ Formatted: Heading04 Trình bày khái niệm phần tử tối đại, tối tiểu, phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, phần tử chặn trên, chặn dưới, dây xích tập hợp thứ tự Tìm phần tử nêu tập hợp thứ tự cho trước − Biểu diễn phần tử số quan hệ thứ tự lược đồ hình tên Đánh giá hoạt động 5.1 Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36} Gọi ≤ quan hệ “chia hết” X a) Chứng minh ≤ quan hệ thứ tự X b) Quan hệ thứ tự ≤ X có phải tồn phần khơng? Cho tập hợp A = {3, 6, 12, 36, 48} Quan hệ “chia hết cho” A có phải quan hệ thứ tự khơng? Nếu có, có phải quan hệ tồn phần khơng? Cho R quan hệ hai tập hợp C số phức xác định sau: Với a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) ℜ (c + di) a ≤ c b ≤ d a) Chứng minh ℜ quan hệ thứ tự C b) R có phải tồn phần khơng? Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} quan hệ hai R xác định X sau: Với x, y ∈ X, x R y x ≤ y : (x − y) a) Chứng minh R quan hệ thứ tự X b) R có phải tồn phần khơng? c) Biểu diễn quan hệ R lược đồ hình tên Giả sử X tập hợp tất dãy số thực R quan hệ hai X xác định sau: Với dãy số thực (xn) (yn), (xn) R (yn) tồn số nguyên dương m cho xn ≤ yn với n > m a) Chứng minh quan hệ R phản xạ bắc cầu b) R có phải quan hệ thứ tự hay khơng? Formatted: Heading02 Có thể xác định quan hệ thứ tự Trên tập hợp có hai phần tử? Cho tập hợp thứ tự (X, ), X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} ≤ quan hệ “chia hết” X a) Tìm phần tử tối đại tối tiểu X b) Tìm phần tử lớn nhỏ (nếu có) X Cho tập hợp thứ tự (X, ≤) với X = {3 , , , , } quan hệ “chia hết cho” X Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ X 9 Các lược đồ hình tên Hình 34 biểu diễn quan hệ hai RA, RB, RC, theo thứ tự, tập hợp A, B, C Quan hệ ba quan hệ quan hệ thứ tự? Hình 34 10 Hai lược đồ hình tên Hình 35 biểu diễn quan hệ hai R ϕ, theo thứ tự, tập hợp X Y a) Chứng minh R quan hệ thứ tự X Y quan hệ thứ tự Y b) Tìm phần tử tối đại, tối tiểu phần tử lớn nhất, nhỏ tập hợp X Y Hình 35 11 Cho ví dụ tập hợp thứ tự có m phần tử vừa tối đại vừa tối tiểu Hướng dẫn Xem lược đồ Hình 35a) 12 Cho ví dụ tập hợp thứ tự có a) m + phần tử, có k phần tối đại phần tử tối tiểu, b) m + phần tử, có k phần tử tối tiểu phần tử tối đại 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho bốn hình trịn D , D , D , D : D D có tâm điểm gốc (0, 0) có bán kính theo thứ tự, 2, D có tâm điểm (2, 0) bán kính 1, D có tâm điểm (−2, 0) bán kính Gọi X tập hợp hình trịn cho : X = {D , D , D , D } ⊂ quan hệ “chứa trong” X 4 a) Hãy biểu diễn quan hệ ⊂ lược đồ hình tên b) Tìm phần tử tối đại, tối tiểu phần tử lớn nhất, nhỏ (nếu có) tập hợp thứ tự X 14 Cho hai tập A = {9, 18, 36, 72, 216} B = {7, 14, 28, 56, 84} tập hợp N* A B có phải dây xích tập hợp thứ tự N* với quan hệ “chia hết” hay khơng? 15 Tìm phần tử chặn chặn (nếu có) tập A = {7, 11} B = {2, 4, 6, , 2n, } tập hợp thứ tự {N*, ≤}, ≤ quan hệ “chia hết” tập hợp N* 16 Tìm phần tử chặn chặn (nếu có) tập A = {6, 9, 15} B = {3 , , , } tập hợp thứ tự {N*, ≤}, ≤ quan hệ “chia hết cho” tập hợp N* 17 Giả sử {R, ≤} tập hợp thứ tự, ≤ quan hệ “nhỏ bằng” (thông thường) tập hợp số thực ≤ a) Tìm phần tử chặn phần tử chặn tập hợp A = [−7, 3) = {x ∈ R : −7 ≤ x < 3} R b) Tìm phần tử chặn chặn (nếu có) tập hợp N số tự nhiên 18 Chứng minh tập hữu hạn khác rỗng A tập hợp thứ tự (X, ≤) tồn phần tử tối đại phần tử tối tiểu Nếu ngồi ra, A dây xích tồn phần tử lớn phần tử nhỏ A Formatted: Heading01 TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6 ÁNH XẠ Thông tin ánh xạ hàm số, trường hợp đặc biệt ánh xạ, khái niệm quen thuộc với từ lâu Đây khái niệm quan trọng, thường gặp không mơn tốn học mà vật lí, hố học, ngành khoa học, kĩ thuật khác Chủ đề dành riêng cho việc giới thiệu định nghĩa, khái niệm ánh xạ số tính chất chung ánh xạ 6.1 Định nghĩa ánh xạ Ta xét số ví dụ Ví dụ 6.1 : Giả sử X tập hợp gồm em học sinh trường trung học phổ thơng, em Cường, Luân, Thái, Mai, Hạnh học sinh khối 10, hai em Nguyệt, Việt học sinh khối 11: X = {c, l, t, m, h, n, v}, Y tập hợp gồm lớp 10A, 10B, 10C, 10D, 10E trường Y = {A, B, C, D, E}, R quan hệ hai “là học sinh lớp” X x Y, xác định bởi: R = {(c, A), (l, B), (t, B), (m, C), (h, D)} ((