D(x) = với x ∈⏐R\ Q (D hàm số Điritslê) Tìm ảnh tập hợp A = {1, −1, 0,5, 1, 118}, B = {, , e}, C = {, 100} qua ánh xạ D Ta có: f(A) = {1}; f(B) = {0}; f(C) = {0, 1} (iii) Cho ánh xạ f: ⏐R → ⏐R xác định f(x) = −3x tập hợp số thực A = {x ∈⏐R : ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈⏐R : x < −1} ảnh A B qua ánh xạ f là: f(A) = {y ∈⏐R : −15 ≤ y ≤ −6} f(B) = {y ∈⏐R : y > 3} Một vài tính chất ảnh b) Định lí Cho ánh xạ f : X → Y tập A, B X Khi đó: (i) Nếu A ⊂ B f(A) ⊂ f(B), (ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f(B), (iii) f (A ∩ B) f(A) ∩ f(B) Chứng minh (i) Nếu y ∈ f(A) tồn x ∈ A cho y = f (x) Vì A ⊂ B nên từ suy x ∈ B y = f (x) Do y ∈ f(B) Vậy f(A) ∈ f(B) (ii) Vì A ⊂ A ∪ B nên, theo (i), ta có f(A) ⊂ f(A ∪ B) Tương tự, f(B) ⊂ f(A ∪ B) Do (1) f(A) ∪ f(B) ⊂ f (A ∪ B) Ta chứng minh bao hàm thức ngược (2) f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B) Giả sử y điểm f(A ∪ B) Khi đó, tồn x ∈ A ∪ B cho y = f(x) Vì x ∈ A ∪ B nên x ∈ A x ∈ B Nếu x ∈ A y = f(x) ∈ f(A), y ∈ f(A) ∪ f(B) Nếu x ∈ B y ∈ f(B); y ∈ f(A) ∪ f(B) Ta chứng minh (2) Từ (1) (2) suy đẳng thức (ii) cần chứng minh (iii) Vì A ∩ B ⊂ A nên, theo (i), ta có f (A ∩ B) ⊂ f (A), Tương tự, f(A ∩ B) ⊂ f(B) Do f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f(B) Chú ý : Trong (iii), thay dấu dấu = Chẳng hạn, xét ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác định f(x) = x tập số thực ⏐R = {x ∈⏐R : x ≥ 0}, ⏐R = {x ∈⏐R : x ≥ 0} Khi ⏐R ∩ ⏐R = {0}; f (⏐R ∩ ⏐R ) = f ({0}) = {0}; f(⏐R ) = ⏐R , f(⏐R ) = ⏐R f(⏐R f (⏐R ) ∩ f(⏐R ) = ⏐R Như vậy, f (⏐R ∩ ⏐R } tập thực f (⏐R ) ∩ f(⏐R ) − + + − + + − + + − + − + − + + − + Tuy nhiên, f : X → Y đơn ánh bao hàm thức (iii) trở thành đẳng thức c) Định lí Nếu ánh xạ f : X → Y đơn ánh với hai tập A, B X, ta có: f (A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) Chứng minh Theo định lí b), (iii), ta có f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) Ta chứng minh: f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B) (1) Giả sử y ∈ f(A) ∩ f(B) Khi y ∈ f(A) y ∈ f(B) Do đó, tồn x ∈ A cho y = f(x ) tồn x ∈ B cho y ∈ f(x ) Từ ta có f(x ) = f(x ) Vì f đơn ánh nên đẳng thức vừa nêu kéo theo x = x Như vậy, ta có x ∈ A, x ∈ B y = f(x ), tức x ∈ A ∩ B y = f(x ) Do y ∈ f (A ∩ B).Từ có đẳng thức (1) cần chứng minh 1 2 1 1 d) Định lí Nếu f : X → Y ánh xạ với hai tập X, ta có: f(A) \ f(B) ⊂ f (A\B) Chứng minh Giả sử y ∈ f(A) \ f(B) Khi y ∈ f(A) y ∈ f(B) Do đó, tồn x ∈ A cho f(x) = y Hiển nhiên x ∉ B (vì x ∈ B y = f(x) ∉ f(B)) Như vậy, ta có x ∈ A, x ∉ B y = f(x), tức x ∈ A \ B y = f(x) Do y ∈ f (A\B) Từ ta có bao hàm thức cần chứng minh Chú ý Trong bao hàm thức định lí khơng thể thay dấu ⊂ dấu = Ta lấy lại ví dụ vừa xét: f : ⏐R →⏐R ánh xạ xác định f(x) = x , ⏐R ⏐R hai tập ⏐R Khi đó, f(⏐R ) = ⏐R , f(⏐R ) = ⏐R , f(⏐R ) \ f(⏐R ) = ⏐R \⏐R = φ, ⏐R \⏐R = ⏐R \{0} = , f(⏐R \⏐R ) = f () = − + − + + + − − + + + + + + − Ta thấy f (⏐R ) \ f (⏐R ) tập f (⏐R \⏐R ) f (⏐R ) \ f (⏐R ) ≠ f (⏐R \⏐R ) + + − − + − + − Trong phần câu hỏi tập, ta chứng minh f : X → Y đơn ánh bao hàm thức Định lí d) trở thành đẳng thức 8.2 Tạo ảnh tập hợp qua ánh xạ a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y ánh xạ C tập Y Tập hợp tất phần tử x ∈ X cho f(x) ∈ C gọi tạo ảnh tập hợp C qua ánh xạ f, kí hiệu f (C) −1 Như vậy, với x ∈ X, x ∈ f (C) f(x) ∈ C −1 f (C) = {x ∈ X : f(x) ∈ C} −1 Chú ý kí hiệu f (C), f ánh xạ ngược f Với ánh xạ f : X → Y với tập C Y, tạo ảnh f (C) C tồn tại, song ánh f có ánh xạ ngược −1 −1 −1 Hiển nhiên f (Y) = X Ví dụ 8.3 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f, g}, Y = {M, N, P, Q, R} ánh xạ f : X → Y xác định bảng sau: (i) Biểu diễn ánh xạ f lược đồ hình tên (ii) Tìm tạo ảnh tập hợp C = {M, N, P} D = {P, Q, R} qua ánh xạ f (i) ánh xạ f biểu diễn lược đồ hình tên Hình Hình (ii) Tạo ảnh tập hợp C D qua ánh xạ f f (C) = {a, b, c, d, f}; f (D) = {d, e, g} −1 −1 Ví dụ 8.4 : (i) Giả sử f : ⏐R → ⏐R ánh xạ xác định f(x) = ⏐x⏐, C = {y ⏐R : ≤ y ≤ 3} Khi đó: f (C) = {1 ≤ x ≤ 3} ∪ {−3 ≤ x ≤ −1} −1 (ii) Cho ánh xạ g: ⏐R → ⏐R xác định g(x) = sin x, C = {−1, 1}, D = {0} Khi đó: g (C) = { + kπ : k ∈ Z} ; g (D) = {k : k ∈ Z} −1 −1 (iii) Với ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định 3} C = {y ∈⏐R : −1 ≤ y < 1}, D = {y ∈⏐R : y ≥ 1}, E = {y ∈⏐R : y > Ta có: f (C) = ⏐R \ Q; h (D) = Q; h (D) = φ −1 −1 −1 Một vài tính chất tạo ảnh b) Định lí Giả sử f: X → Y ánh xạ, C D tập Y Khi đó: (i) Nếu C ⊂ D f (C) ⊂ f (D), (ii) f−1 (C ∪ D) = f (C) ∪ f (D), −1 −1 −1 −1 (iii) f−1 (C ∩ D) = f (C) ∩ f (D), −1 (iv) −1 f−1 (C\D) = f (C) \f D) −1 −1 Chứng minh (i) Giả sử C ⊂ D Nếu x ∈ f (C) f(x) ∈ C Vì C ⊂ D nên f(x) ∈ D; x ∈ f (D) −1 −1 (ii) Vì C ⊂ C ∪ D nên, theo (i), ta có f (C) ⊂ f (C ∪ D) −1 Tương tự, ta có f (D) f (C ∪ D) Do đó: −1 −1 −1 f (C) ∪ f (D) ⊂ f (C ∪ D) (1) −1 −1 −1 Ta chứng minh bao hàm thức ngược f (C ∪ D) ⊂ f (C) ∪ f (D) (2) −1 −1 −1 Thật vậy, x ∈ f (C ∪ D) f(x) ∈ C ∪ D Do f(x) ∈ C f(x) ∈ D Nếu f(x) ∈ C x ∈ f (C); x ∈ f (C) ∪ f (D) Nếu f(x) ∈ D x ∈ f (D), x ∈ f (C) ∪ f (D) Từ ta có bao ham fthức (2) Từ (1) (2) suy đẳng thức (ii) cần chứng minh −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (iii) Vì C ∩ D ⊂ C nên f (C ∩ D) ⊂ f (C) Tương tự, −1 −1 ta có f (C ∪ D) ⊂ f (D) Do −1 −1 f (C ∩ D) ⊂ f (C) ∩ f (C) ∩ f (D) (3) −1 −1 −1 −1 Ta chứng minh: f (C) ∩ f (D) ⊂ f (C ∩ D) (4) −1 −1 −1 Thật vậy, x ∈ f (C) ∩ f (D) x ∈ f (C) x ∈ f (D) −1 −1 −1 −1 Do f(x) ∈ C f(x) ∈ D Từ suy f(x) ∈ C ∩ D; x ∈ f (C ∩ D) Ta chứng minh (4) Từ (3) (4) suy đẳng thức (iii) −1 (iv) Các điều kiện sau tương đương: x ∈ f (C \ D), −1 f(x) ∈ C \ D, f(x) ∈ C f(x) ∉ D, x ∈ f (C) x ∉ f (D), −1 −1 x ∈ f (C) \ f (D) −1 −1 Do ta có đẳng thức (iv) Quan hệ ảnh tạo ảnh cho định lí sau: c) Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y Khi đó: (i) Với tập C Y, ta có: (1) f(f (C)) ⊂ C, −1 (ii) Với tập A X, ta có: (2) A ⊂ f (f(A)) −1 Chứng minh (i) Nếu y ∈ f (f (C)) tồn x ∈ f (C) cho y = f(x) −1 −1 Vì x ∈ f (C) nên f (x) ∈ C, tức y ∈ C Do f (f (C)) ⊂ C −1 −1 (ii) Nếu x A f (x) f(A) Do x thuộc tạo ảnh tập hợp f(A) qua ánh xạ f, tức x f−1 (f(A)) Vậy A f−1 (f(A)) Chú ý: (i) Trong bao hàm thức (1) thay dấu ⊂ dấu = Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.5 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d}, Y = {M, N, P, Q, R} ánh xạ f : X → Y xác định bảng sau: ánh xạ f biểu diễn lược đồ hình tên Hình Hình Với tập C = {M, N, P, R} tập hợp Y, ta có: f (C) = {a, b, c}, f(f (C)) = {M, N} −1 Ta thấy f(f (C)) tập thực C, tức f (f (C)) ≠ C −1 −1 Một ví dụ khác: Giả sử g : ⏐R → ⏐R ánh xạ xác định g(x) = x C = {x ∈⏐R : x ≥ −1} tập ⏐R Khi đó, ta có f (C) = ⏐R f(f (C)) = ⏐R −1 −1 + đây, ta lại thấy f (f (C)) tập thực C −1 Trong phần câu hỏi tập ta chứng minh C ⊂ f(X) bao hàm thức (1) Định lí c) trở thành đẳng thức (ii) Trong bao hàm thức (2), thay dấu ⊂ dấu = Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.6 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {M, N, P, Q, R, S, T} ánh xạ f : X → Y xác định bảng sau: ánh xạ biểu diễn lược đồ hình tên Hình Hình Với tập A = {a, b, c} tập hợp X, ta có: f(A) = {M, N, P} f (fA)) = {a, b, c, d, e} −1 Ta thấy A tập thực tập hợp f (f(A)) −1 Ta xét ví dụ khác: cho ánh xạ D : ⏐R → {0, 1} xác định bởi: với x ∈ Q, D(x) = với x ∈⏐R \ Q (D hàm số Điritslê) Với tập A = {−1, } ⏐R, ta có: D(A) = {1} D (D(A)) = d ({1}) = Q −1 −1 A tập thực D (D(A)) −1 Trong phần câu hỏi tập, ta chứng minh ánh xạ f : X → Y đơn ánh bao hàm thức (2) Định lí c) trở thành đẳng thức d) Quan hệ tạo ảnh tập hợp qua song ánh ảnh tập hợp qua ánh xạ ngược song ánh Giả sử f : X → Y song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y Khi f có ánh xạ ngược g = f : Y → X Ta C tập Y tạo ảnh f (C) tập hợp C qua ánh xạ f ảnh g(C) tập hợp C qua ánh xạ g = f hai tập hợp nhau: g (C) = f (C) −1 −1 −1 −1 Thật vậy, với x ∈ X, điều kiện sau tương đương: x ∈ g(C), Tồn y ∈ C cho g(y) = x, f(x) = y y ∈ C x ∈ f (C) −1 Vậy g(C) = f (C) −1 Ta minh hoạ điều khẳng định vừa nêu qua ví dụ Ví dụ 8.7 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} song ánh f : X → Y xác định bảng sau: ánh xạ f biểu diễn lược đồ hình tên Hình Hình ánh xạ ngược g = f : Y → X f cho bảng sau: −1 Với tập C = {1, 2, 3, 4} tập hợp Y : Tạo ảnh tập hợp C qua ánh xạ f là: f (C) = {a, b, c, d} −1 ảnh tập hợp C qua ánh xạ ngược g = f C −1 g(C) = {a, d, b, c} Ta thấy g(C) = f (C) −1 Như vậy, • Nếu ánh xạ f : X → Y song ánh C tập Y kí hiệu f (C) tạo ảnh tập hợp C qua ánh xạ f (Trong trường f khơng có ánh xạ ngược) −1 • Nếu ánh xạ f : X → Y song ánh C tập Y ảnh (f ) (C) C qua ánh xạ ngược f : Y → X f tạo ảnh f (C) C qua ánh xạ f −1 −1 −1 Hoạt động 8.1 Thực hành xác định ảnh tạo ảnh tạp hợp qua ánh xạ Nhiệm vụ: Formatted: Heading03 Sinh viên tự đọc thông tin sau thảo luận theo nhóm 2, người để thực nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ 1: Formatted: Heading04 − Cho ba ví dụ ảnh tập hợp qua ánh xạ Biểu diễn ánh xạ lược đồ hình tên ảnh tập hợp lược đồ Ven − Cho ba ví dụ tạo ảnh tập hợp qua ánh xạ Biểu diễn ánh xạ lược đồ hình tên tạo ảnh lược đồ Ven Nhiệm vụ 2: Formatted: Heading04 − Cho hai ví dụ chứng tỏ bao hàm thức (iii) định lí 1b,1d), khơng thể thay dấu dấu = Nhiệm vụ 3: Formatted: Heading04 − Cho hai ví dụ chứng tỏ bao hàm thức (1) Định lí 2c), thay dấu dấu = − Cho hai ví dụ chứng tỏ bao hàm thức (2) Định lí 2c), khơng thể thay dấu dấu = Đánh giá hoạt động 8.1 Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f , g , h⎬ ; Y = ⎨1 , , , , , , , , 9⎬, ánh xạ f: X → Y xác định bảng sau hai tập A , B X : A = ⎨a , b , c⎬ ; B = ⎨c , d , h⎬ a) Biểu diễn ánh xạ f lược đồ hình tên tập hợp A, B lược đồ Ven b) Tìm f(A), f(B) , f(A ∪ B), f(A) ∪ f(B), A ∩ B, f(A) ∩ f(B) f(A ∩ B) c) Nếu mối quan hệ hai tập hợp f(A ∩ B) f(A) ∩ f(B) Cho hai tập hợp X = ⎨1 , , , , , 6⎬, Y = ⎨m , n , p , q , r , s , t⎬ ánh xạ f : X → Y xác định bảng hai tập A = ⎨1 , , , , ⎨B = , , 6⎬ X a) Biểu diễn ánh xạ f lược đồ hình tên tập hợp A, B lược đồ Ven b) Tìm f(A), f(B), f(A) \ f(B), A \ B f(A \ B) c) Nêu mối quan hệ hai tập hợp f(A \ B) f(A) \ f(B) Chứng minh ánh xạ f: X → Y đơn ánh với hai tập A B X, ta có: f( A \ B) = f(A) \ f(B) Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f⎬ , Y = ⎨1 , , , , , , , ánh xạ f : X → Y xác định bảng tập C = ⎨1 , , , , 8⎬ X a) Biểu diễn ánh xạ f lược đồ hình tên tập hợp C lược đồ Ven b) Tìm tập hợp f (C) f (f (C)) −1 −1 c) Nếu mối quan hệ hai tập hợp C f (f (C)) −1 Cho ánh xạ f Chứng minh với tập C f(X) ta có f(f (C)) =C −1 Cho hai tập hợp X = ⎨1 , , , , , , , 8⎬, Y = ⎨a , b , c , d , e , f, g⎬, ánh xạ f : X → Y xác định bảng tập A = ⎨3 , , 5⎬ tập hợp X a) Biểu diễn ánh xạ f lược đồ hình tên tập hợp A lược đồ Ven b) Tìm tập hợp A f (f(A)) −1 c) Nêu mối quan hệ hai tập hợp f(A) f (f(A)) −1 Chứng minh ánh xạ f: X → Y đơn ánh với tập A X ta có: A = f (f(A)) −1 Cho ánh xạ f: X → R hai tập hợp A, B, A ⊂ X, B ⊂ R Tìm ảnh f(A) tạo ảnh f (B) trường hợp sau −1 a) f(x) = sin 2x ; X = ⎨x ε R : ≤ x ≤ 6Π⎬, A = ⎨x ε R : ≤ x ≤ ⎬ U ⎨x ε R : Π ≤ x ≤ + Π⎬ B = y R : −1 y 0⎬ b) f(x) = | x − 4| , X = R , A = ⎨x ε R : ≤ x ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : ≤ y ≤ 4⎬ c) f(x) = | x2 − 2x| , X = R , A = ⎨x ε R : | x| ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : ≤ y ≤ ⎬ Cho ánh xạ f: R → R xác định f(x) = |x + 1| tập hợp A = ⎨x ε R; ≤ x ≤ 2⎬ Tìm f(A) f (f(A)) −1 10 Cho ánh xạ f : R → R xác định f(x) = x + x + 1, A = ⎨x ε R : |x| 2⎬, B = ⎨y ε R : ≤ y ≤ 1⎬ Tìm ảnh f(A) tạo ảnh f (B) −1 11 Giả sử R [x] tập hợp đa thức với hệ số thực Rn[x] tập hợp đa thức có bậc nhỏ n, với hệ số thực g: Rn[x] → R[x] ánh xạ xác định g(P) = P(x + 1) a) Tìm ảnh tập hợp đa thức có bậc ≤ b) Tìm tạo ảnh tập hợp đa thức có bậc tạo ảnh tập hợp có phần tử đa thức x + 12 Cho ánh xạ f: X → Y A → X , B → Y Chứng minh rằng: f(A ∩ f (B)) = f(A) ∩ B −1 13 Giả sử f: X → Y ánh xạ, A tập X, B tập Y g = f/ Chứng minh g (B) = A ∩ f (B) −1 −1 A 14 Chứng minh toàn ánh f: X → Y từ tập hợp X lên tập hợp Y song ánh tạo ảnh tập phần tử Y tập phần tử X 15 Cho ánh xạ f : X → Y g: Y → W Gọi h: X x Y → V x W ánh xạ xác định (x, y) h (x, y) = (f(x), g(y)) Chứng minh M ⊂ V, N ⊂ W h (M x N) = f (M) x g (N) −1 −1 −1 (ánh xạ h gọi tích hai ánh xạ f g, kí hiệu f x g) 16 Cho hai ánh xạ f: X → Y g: X → Z Gọi h: X → Y x Z ánh xạ xác định x → h(x) = (f(x), g(x)) Chứng minh B ⊂ Y, C ⊂ Z h (B x C) = f (B) ∩ f (C) (ánh xạ h gọi ánh xạ phức) −1 −1 −1 Thông tin phản hồi cho chủ đề Formatted: Heading01 CƠ SỞ CỦA LÍ THUYẾT TẬP HỢP TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2 TẬP HỢP Hoạt động 1.1 Formatted: Heading02 Khái niệm Tập hợp Tập Các tập hợp A = [21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} b) B = {31, 37, 41, 43, 47} c) C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} a) A = {2, 3, 4, 5, 6} b) a) B = {0, −1, −}; c) C = φ a) A tập hợp bảng số hạng đầu cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai b) B tập hợp số nguyên tố lớn 16 nhỏ 50; c) C tập hợp bảng số hạng đầu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội S, S, Đ, Đ S, S, Đ, Đ Đ, S, Đ, Đ Đ, S, Đ, S Đ, Đ, S, Đ (A) = {φ, {a }, {a }, {a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }, {a , a , a }} 3 3 b) P (A) có phần tử 10 a) B = {φ, {a }, {a }, {a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }, {a , a , a }, 3 3 a , {a , a }, {a , a }, {a , a }, 4 4 {a , a , a }, {a , a , a }, {a , a , a }, {a , a , a , a }} 4 4 b P(B) có 16 phần tử 11 a) Sai; b) Đúng 12 Hiển nhiên điều khẳng định với n = Giả sử điều khẳng định với n, tức tập hợp A = {a , a , , an} có tập Ta chứng minh tập hợp B = {a , a , , an, an } có tập Chia tập B làm hai loại: n n+1 +1 (i) Các tập B không chứa an , +1 (ii) Các tập B chứa an +1 Dễ thấy loại có phần tử n Hoạt động 2.1 Formatted: Heading02 Các phép tốn tập hợp Vì B ⊂ A nên: A ∪ B = A, A ∩ B = B, B \ A = φ A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39} a) A ∪ B tập hợp số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 5: A ∪ B = {0 10 12 14 15 16 18 20, } A ∪ B tập hợp số tự nhiên có dạng sau: 10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N A ∩ B tập hợp bội tự nhiên 10: A ∩ B = {0, 10, 20, 30, 40, } = {10n : n ∈ N} A \ B tập hợp số chẵn bội 5: A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, } A \ B tập hợp số tự nhiên có dạng sau: 10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N B \ A tập hợp số lẻ bội 5: B \ A = {5, 15, 25, 35, } = {10n + : n ∈ N} a) V ∩ C tập hợp tam giác vuông cân V ∪ C tập hợp tam giác vuông cân V \ C tập hợp tam giác vuông không cân C \ V tập hợp tam giác cân không vuông A ∪ B = {x ∈ R : x < 0} ∪ {x ∈ R; x ≥ 5}; A ∩ B = {x R: −5 ≤ x ≤ −5}; A \ B = {x ∈ R : x < −6} ∪ {x ∈ R : x ≥ 5}; B \ A = {x ∈ R : −5 < x < 0} a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB; c) E = HD; F = BX a) Miền II chứa mảnh bé màu nâu, khơng phải hình vng Miền IV chứa mảnh hình vng lớn màu nâu Miền V chứa mảnh hình vng màu đỏ xanh b) Miền II chứa mảnh Miền IV chứa mảnh Miền V chứa mảnh 18 Tập hợp A ∪ B có phần tử 19 Gọi A tập hợp xe (taxi buýt) có màu khác màu vàng Tập hợp A có: 42 − 14 = 18 phần tử Gọi B tập hợp xe buýt Tập hợp A ∪ B có 37 phần tử B \ A tập hợp xe buýt vàng Ta có: A ∪ B = A ∪ (B \ A), B \ A A hai tập hợp khơng giao Từ dễ dàng tính có xe bt vàng 20 học sinh học mơn Tốn, em học môn Văn, em học môn Anh; em không học môn TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3 QUAN HỆ Hoạt động 3.1 Formatted: Heading02 Quan hệ hai R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)} R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/ R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2), (8, 8} R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), } R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)} 10 R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)} 11 R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7} 12 Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp R1 biểu diễn tập hợp điểm nửa mặt phẳng nằm phía đường phân giác thứ y = x, tập hợp R biểu diễn tập hợp điểm mặt phẳng không nằm đường phân giác thứ 14 Đó quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu 15 R quan hệ đối xứng không phản xạ không bắc cầu 16 Đó quan hệ phản xạ, bắc cầu không đối xứng 17 Quan hệ R Y phản xạ; R R quan hệ phản xạ 2 18 Quan hệ R Y đối xứng Khơng có quan hệ bắc cầu 20 R = {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), } −1 = ((7n, n) : n N*} 22 R R = {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), } = {(3n, n + 5) : n ∈ N*} R R = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), } = {(3n − 2, n + 1) : n ∈ N*} Hoạt động 4.1 Formatted: Heading02 Quan hệ tương đương ~ chia L thành lớp tương đương ~ chia L thành lớp tương đương ~ chia L thành lớp tương đương với b) Quan hệ tương đương R N chia N thành bốn lớp tương đương b) {1, 3} = {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{, ~ {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} b) Tập thương R /~ tập hợp đường trịn mặt phẳng có tâm điểm gốc điểm gốc X/R = {{x} : x ∈ X} R quan hệ phản xạ Không tồn quan hệ tương đương R thoả mãn điều kiện nêu A ∩ C ≠ φ X/~ = {A, A , , Am} Với tập A chứa a X, Â = {A} (lớp tương đương chứa A tập hợp phần tử) Mọi tập hợp X không chứa a tương đương với nhau, chúng tạo nên lớp tương đương quan hệ ~ Vậy P / ~ = {{A}; a ∈ A ⊂ X} ∪ , B tập X không chứa a, tập hợp tất tập X không chứa a 10 Tập thương C*/R có hai phần tử: Tập hợp điểm hai nửa mặt phẳng bên phải bên trái trục tung tạo nên hai lớp tương đương quan hệ R Hoạt động 5.1 Quan hệ thứ tự B) ≤ quan hệ toàn phần Đó khơng phải quan hệ tồn phần b) Không Formatted: Heading02 b) Không R không phản đối xứng Ba quan hệ thứ tự a) 40 phần tử tối đại; phần tử tối tiểu b) 40 phần tử lớn X; X khơng có phần tử nhỏ giá trị lớn X; giá trị nhỏ x 9 RC quan hệ thứ tự C 10 b) Mỗi phần tử X phần tử tối đại, đồng thời phần tử tối tiểu Tập hợp thứ tự X khơng có phần tử lớn phần tử nhỏ a, e, f phần tử tối tiểu Y; c phần tử tối đại, phần tử lớn Y 13 b) D phần tử tối tiểu; D phần tử tối tiểu, phần tử tối đại D phần tử tối đại Tập thứ tự X khơng có phần tử nhỏ khơng có phần tử lớn 14 A dây xích, B khơng phải dây xích 15 phần tử chặn A; Các số 77n, n ∈ N* phần tử chặn A phần tử chặn B; B khơng có phần tử chặn 16 phần tử chặn A Các số 90n, n ∈ N* phần tử chặn A Các số 1, 3, , , , phần tử chặn B Khơng có phần tử chặn B {N*, ≤} 17 a) Mỗi số thực nhỏ −7 phần tử chặn A; số thực lớn phần tử chặn A b) Số không số thực âm phần tử chặn N Khơng có phần tử chặn N R TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6 ÁNH XẠ Hoạt động Định nghĩa khái niệm ánh xạ b) R ánh xạ b) R ánh xạ c) ϕ ánh xạ Formatted: Heading01 Formatted: Heading02 b) f ánh xạ Tập xác định f l A; f(A) = {18, 35} a) R ánh xạ b) Tập xác định ánh xạ R X; ảnh ánh xạ R(X) = {17, 18{ Có ánh xạ từ X vào Y Có m ánh xạ t X vào Y ánh xạ 10 f(−2) = {x ∈ R : x ≤ 2}; f(0) = {x ∈ R : x ≤ 0}; f(x ) = {y ∈ R : y ≤ x } 2 11 f (X) = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {x ∈ R : < x ≤ } 12 f g hai ánh xạ 13 u v hai ánh xạ 14 a) gof) (x) = x, x > 0; (fog) (x) = x, x ∈ R b) gof không tồn tại; (fog) (x) = −ln , x ∈ R* c) gof không tồn tại; (fog) (x) = ln (cos x), x ∈ 15 a) h (R) không chứa hai số htực −2 b) áp dụng a) 16 X = {3, } X tập tập hợp {3, } 17 X = {−1, 1} X tập tập hợp {−1, 1} 19 Tập xác định f là: X = f (X) = {0} Hoạt động 7.1 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh ánh xạ ngược b) f đơn ánh; g đơn ánh b) f khơng phải tồn ánh; g toàn ánh b) ánh xạ ngược f g cho hai bảng sau: Formatted: Heading02 f (y) = − , y ∈ R −1 a) f : R → R , y → f (y) = y −1 + + −1 b) g : R → R, y → g (y) = −1 −1 c) h : R* → R*, y → h (y) = −1 −1 d) u : A → A, y → u (y) = −1 −1 a) f đơn ánh b) f song ánh 13 Hoạt động 8.1 ảnh tạo tập hợp qua ánh xạ b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A ∪ B) = {1, 2, 4, 8}, A ∩ B = {c{; f (A) ∩ f (B) = {2, 4}; f (A ∩ B) = {4} c) f (A ∩ B) tập thực f (A) ∩ f (B) Formatted: Heading02 b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p}; A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r} c) f (A) \ f(B) tập thực f (A\B) b) f (C) = {a, b, c}; f (f (C)) = {1, 2, 3} −1 −1 c) f (f (C)) tập thực C −1 b) f (A) = {b, c}; f (f(A)) = {2, 3, 4, 5} −1 c) A tập thực f (f(A)) −1 a) f(A) = {y R : y 1}; f (B) = {y ∈ R : ≤ x ≤ π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 2π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ π} −1 b) f(A) = {y ∈ R : ≤ y ≤ 4}; f (B) = {x ∈ R : ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ −} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ } c) f(A) = {y ∈ R : ) ≤ y ≤ 3}; f (B) = {x ∈ R : − ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ + } −1 f(A) = {y ∈ R : ≤ y ≤ 3}; f (f(A)) = {x ∈ R : ≤ x ≤ 2} ∪ { x ∈ R : −4 ≤ x ≤ −3} −1 10 f(A) = {y ∈ R : ≤ y ≤ 273}; f (B) = {0} −1 11 a) ảnh tập hợp đa thức có bậc ≤ tập hợp đa thức có bậc đa thức bậc hai có dạng P(x) = ã + b b) Tạo ảnh tập hợp đa thức có bậc tập hợp đa thức có bậc Tạo ảnh tập hợp có phần tử đa thức x + tập hợp có phần tử đa thức Q(x) = x CHỦ ĐỀ CƠ SỞ LƠGIC TỐN I Mục tiêu Kiến thức : Người học nắm đươc kiến thức :  Cơ sở lôgic mệnh đề  Các phép suy luận thường gặp  Các phép chứng minh thường gặp  Vận dụng phép suy luận chứng minh dạy học toán Kỹ : Hình thành rèn luyện cho người học kĩ :  Phân tích cấu trúc mệnh đề: phủ định, hội, tuyển, tương đương thường gặp xác định giá trị chân lí chúng  Vận dụng phép tương đương lơgic thường gặp tốn học  Phân tích phép suy luận chứng minh dạy học toán tiểu học Thái độ : Chủ động tìm tịi, phát khám phá ứng dụng lôgic mệnh đề dạy học tốn II Giới thiệu tiểu mơ đun STT Tên tiểu chủ đề Mệnh đề phép logic Các toán suy luận đơn giản Công thức Quy tắc suy luận Hàm mệnh đề - Mệnh đề tổng quát mệnh đề tồn Suy luận chứng minh Suy luận chứng minh dạy học toán tiểu học Trang III Điều kiện cần thiết để thực môđun * Kiến thức  Nắm kiến thức toán học trường phổ thông  Nắm kiến thức chương trình Trung học Sư phạm * Đồ dùng dạy học  Một số thiết bị dạy học sử dụng tổ chức hoạt động: máy chiếu projector, máy chiếu đa năng, tranh ảnh  Giấy trong, bút dạ, bảng phoócmica * Tài liệu tham khảo IV Nội dung ... {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} a) A = {2, 3, 4, 5, 6} b) a) B = {0, −1, −}; c) C = φ a) A tập hợp bảng số hạng đầu cấp số cộng có số hạng đầu công sai b) B tập hợp số nguyên tố lớn 16 nhỏ 50; c)... A \ B tập hợp số chẵn bội 5: A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, } A \ B tập hợp số tự nhiên có dạng sau: 10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N B \ A tập hợp số lẻ bội 5:... (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/ R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6) , (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2), (8, 8} R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3),