Đang tải... (xem toàn văn)
XẤP XỈ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CỦA CÁC TẬP HỢP VÀ CÁC MÔ TẢ ĐỐI NGẪU TƯƠNG ỨNG Trong giải tích cổ điển, đạo hàm của hàm số thực có liên quan chặt chẽ đến tiếp tuyến của đồ thị. Dựa vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, người ta có thể xấp xỉ các giá trị của hàm số trong lân cận điểm đó. Mặt khác, đồ thị hàm số đã cho chính là đường bao (envelope) của họ các tiếp tuyến nói trên. Như vậy, tiếp tuyến chính là xấp xỉ bậc nhất của đồ thị, và đồ thị có thể được khôi phục thông qua họ các tiếp tuyến.
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– XẤP XỈ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CỦA CÁC TẬP HỢP VÀ CÁC MÔ TẢ ĐỐI NGẪU TƯƠNG ỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Học viên thực hiện: Lớp: Người hướng dẫn khoa học: Hoàng Minh Có Cao học K19 GS TSKH Nguyễn Đơng n HÀ NỘI - 2013 Mục lục Danh mục ký hiệu Lời mở đầu Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến 1.1 Nón tiếp tuyến đạo hàm 1.1.1 Ánh xạ đa trị 1.1.2 Nón tiếp tuyến 1.1.3 Đạo hàm 1.2 Nón pháp tuyến đối đạo hàm 1.2.1 Nón pháp tuyến 1.2.2 Dưới vi phân 1.2.3 Đối đạo hàm 1.3 Quan hệ nón tiếp tuyến nón pháp tuyến Tập 2.1 2.2 2.3 tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Tập tiếp xúc bậc hai Tập tiếp xúc bậc hai tập lồi đa diện Tập tiếp xúc bậc hai tập hợp có biên trơn 2.3.1 Tập hợp có biên trơn 2.3.2 Dưới vi phân bậc hai tập tiếp xúc bậc hai Kết luận Tài liệu tham khảo i ii iv 1 11 13 13 14 16 17 22 23 26 30 30 32 44 45 Danh mục ký hiệu N R ∅ Rn Tập số nguyên dương Tập số thực Tập rỗng Không gian Euclide n chiều x dist(x, S) ·, · tk ↓ Chuẩn x Khoảng cách từ x đến S Cặp đối ngẫu tích vơ hướng Dãy số dương tk hội tụ w → xk − x Ω T (x; Ω) Tw (x; Ω) Dãy véctơ xk hội tụ yếu đến x Bao đóng Ω Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi Ω x Nón tiếp tuyến yếu Ω x TC (x; Ω) Nε (x; Ω) N (x; Ω) N (x; Ω) Nón Nón Nón Nón iΩ (·) Hàm tập Ω F :X gph F dom F reg F Y tiếp tuyến Clarke Ω x ε-pháp tuyến Ω x pháp tuyến Fréchet Ω x pháp tuyến qua giới hạn Ω x Ánh xạ đa trị Đồ thị F Miền hữu hiệu F Miền ảnh F ii Danh mục ký hiệu DFz (·) DFzw (·) Đạo hàm contingent F z Đạo hàm contingent yếu F z CFz (·) D∗ Fz (·) D∗ Fz (·) ∂f (x) Đạo hàm Clarke F z Đối đạo hàm Fréchet F z Đối đạo hàm Mordukhovich F z Dưới vi phân Fréchet f x ∂f (x) γ γ Dưới vi phân qua giới hạn f x Độ cong siêu mặt điểm cho trước Độ cong siêu mặt điểm cho trước iii Lời mở đầu Trong giải tích cổ điển, đạo hàm hàm số thực có liên quan chặt chẽ đến tiếp tuyến đồ thị Dựa vào phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, người ta xấp xỉ giá trị hàm số lân cận điểm Mặt khác, đồ thị hàm số cho đường bao (envelope) họ tiếp tuyến nói Như vậy, tiếp tuyến xấp xỉ bậc đồ thị, đồ thị khôi phục thông qua họ tiếp tuyến Sự mở rộng khái niệm tiếp tuyến sang giải tích đa trị gắn liền với nhu cầu mở rộng khái niệm đạo hàm Năm 1981, J.-P Aubin (xem [3] [4]) đề nghị xây dựng đạo hàm ánh xạ đa trị F : X Y , X Y không gian Banach, điểm z = (x, y), y ∈ F (x), ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand-Severi tập đồ thị gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)} z Để xây dựng khái niệm đạo hàm ánh xạ đa trị, ngồi nón tiếp tuyến Bouligand-Severi người ta (xem [4] [2]) cịn sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến F H Clarke đưa năm 1973 (xem [7]) Đây phương pháp nghiên cứu không gian Song song với phát triển lý thuyết vi phân Clarke, có lý thuyết vi phân khác dựa khái niệm B S Mordukhovich đưa năm 1976, khái niệm nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex] normal cone), đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative), vi phân không lồi ([nonconvex] subdifferential) Cách tiếp cận không gian đối ngẫu đưa đến kết mẻ sâu sắc, thu hút ý ngày tăng nhà toán học Trong khoảng năm 1995–1997, B S Mordukhovich cộng công bố loạt kết quan trọng, đưa nhiều ý tưởng kỹ thuật mới, cho phép hồn thiện lý thuyết vi phân vơ hạn chiều dựa cấu trúc đối ngẫu Tóm lại, tương tự vai trị khái niệm nón tiếp tuyến iv Lời mở đầu lý thuyết vi phân xây dựng phương pháp khơng gian nền, nón pháp tuyến không lồi, định nghĩa giới hạn Painlevé-Kuratowski họ tập lồi mà tập bao gồm ε-pháp tuyến, sở lý thuyết vi phân xây dựng phương pháp không gian đối ngẫu Để nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị bậc hai toán tối ưu, tính ổn định tốn tối ưu cân bằng, người ta cần sử dụng khái niệm tập tiếp xúc bậc hai (xem [5] [1]) vi phân bậc hai (xem [9]) Mối quan hệ nón tiếp tuyến nón pháp tuyến qua giới hạn B S Mordukhovich khảo sát [9, Mục 1.1.2, tr 12–18] Mối quan hệ tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai qua giới hạn hàm tập hợp vấn đề đặt Cụ thể, vào năm 2010, GS Nguyễn Đông Yên đề xuất việc nghiên cứu vấn đề đó, chưa thu kết cụ thể Luận văn trình bày khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, vi phân, tập xấp xỉ bậc hai Các mối liên hệ khái niệm nghiên cứu chi tiết Luận văn viết chủ yếu sở Chương chuyên khảo [9] B S Mordukhovich, Chương giáo trình [10] A Ruszczynski, phần đầu báo [12] Trong luận văn có số kết mối quan hệ tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai hàm chỉ, trường hợp tập xét tập có biên trơn Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận phần Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương “Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến” trình bày khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, vi phân, mối quan hệ nón tiếp tuyến nón pháp tuyến Chương “Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai” trình bày khái niệm tính chất tập tiếp xúc bậc hai, mối quan hệ tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai hàm trường hợp tập xét tập có biên trơn Các kết Mục 2.3 Ý tưởng sử dụng khái niệm độ cong tập hợp cho dạng tập nghiệm bất đẳng thức tập nghiệm hệ hữu hạn đẳng thức để thiết lập mối quan hệ gián tiếp tập xúc bậc hai vi phân bậc hai hàm v Lời mở đầu thông qua bất đẳng thức kép Chúng cho khó thiết lập mối quan hệ trực tiếp tập xúc bậc hai vi phân bậc hai hàm chỉ, theo kiểu cơng thức tính qua (như nón tiếp tuyến nón pháp tuyến – vi phân bậc hàm chỉ) Luận văn hồn thành Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Đông Yên Tác giả chân thành cảm ơn thầy Yên dành nhiều thời gian dẫn cho tác giả thực đề tài nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo cán cơng nhân viên Viện Tốn học giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Viện Toán học Hà Nội, ngày 30 tháng 08 năm 2013 Tác giả Hoàng Minh Có vi Chương Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến Nói cách đơn giản, nón tiếp tuyến xấp xỉ bậc tập hợp điểm cho trước Cịn nón pháp tuyến xấp xỉ bậc tập hợp viết ngôn ngữ đối ngẫu Như vậy, nón tiếp tuyến cấu trúc khơng gian nền, cịn nón pháp tuyến cấu trúc không gian đối ngẫu Khái niệm thứ sở cho cách tiếp cận không gian (the primal-space approach), khái niệm thứ hai sở cho cách tiếp cận không gian đối ngẫu (the dual-space approach) Chương gồm hai mục Mục thứ trình bày định nghĩa nón tiếp tuyến, đạo hàm ánh xạ đa trị, số tính chất Mục thứ hai trình bày khái niệm nón pháp tuyến, đối đạo hàm ánh xạ đa trị, số tính chất 1.1 Nón tiếp tuyến đạo hàm Khái niệm ánh xạ đa trị mở rộng tự nhiên ánh xạ đơn trị Với khái niệm ánh xạ đa trị, ta giải nhiều vấn đề tốn học nói chung, lý thuyết tối ưu cân nói riêng 1.1.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1 (Xem [2, tr 9–10]) Cho X, Y hai tập hợp Cho F :X Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm tất tập Y , ký hiệu 2Y Ta nói F ánh xạ đa trị từ X Y Như vậy, với x ∈ X , F (x) tập hợp Y Không loại trừ khả với số phần tử x ∈ X ta có F (x) tập rỗng Chương Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến Ví dụ 1.1 Xét phương trình đa thức λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0, (1) n ∈ N = {1, 2, }, ∈ R (i = 1, 2, , n) số thực Quy tắc cho tương ứng véctơ a = (a1 , , an ) ∈ Rn với tập nghiệm phương trình (1), ký hiệu F (a), cho ta ánh xạ đa trị Rn F : C, a = (a1 , , an ) → F (a), từ không gian Euclide Rn vào tập số phức C Với a, F (a) có khơng q n phần tử Ở đây, ta nhúng tập F (a) vào R2 cách đồng C với không gian Euclide hai chiều R2 Đối với ánh xạ đa trị F : X Y , người ta định nghĩa tập hợp gph F = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}, dom F = {x ∈ X | F (x) = ∅}, reg F = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X cho y ∈ F (x)} Các tập hợp đó, gọi đồ thị, miền hữu hiệu, miền ảnh ánh xạ đa trị F 1.1.2 Nón tiếp tuyến Định nghĩa 1.2 (Giới hạn theo Painlevé-Kuratowski, xem [2, tr 63]) Giả sử M không gian mêtric, X không gian định chuẩn Cho {Ωt }t∈M họ tập hợp phụ thuộc vào tham số t ∈ M , Ωt ⊂ X với t Với t0 ∈ M , tập hợp Lim sup Ωt := x ∈ X : lim inf d(x, Ωt ) = , t→t0 t→t0 (1.1) d(x, Ω) := inf x − u u∈Ω kí hiệu khoảng cách từ x đến tập Ω ⊂ X, gọi giới hạn theo Painlevé-Kuratowski họ {Ωt }t∈M t → t0 Tập hợp Lim inf Ωt := x ∈ X : lim d(x, Ωt ) = t→t0 t→t0 (1.2) Chương Nón tiếp tuyến nón pháp tuyến gọi giới hạn theo Painlevé-Kuratowski họ {Ωt }t∈M t → t0 Rõ ràng Lim inf Ωt ⊂ Lim sup Ωt t→t0 t→t0 Có thể chứng minh ([2, tr 64]) tập giới hạn tập giới hạn tập đóng Từ (1.1) ta có x ∈ Lim sup Ωt ⇔ ∃{tk }k∈N ⊂ M, tk → t0 , lim d(x, Ωtk ) = k→0 t→t0 (1.3) Do (1.2) ta có x ∈ Lim inf Ωt ⇔ ∀{tk }k∈N ⊂ M, tk → t0 , lim d(x, Ωtk ) = t→t0 k→∞ (1.4) Ví dụ 1.2 Cho tập hợp M = X = R, họ tập hợp {−1 + t} t < 0, Ωt = [−1, 1] t = 0, {1 − t2 } t > Ta có Lim sup Ωt = [−1, 1] Lim inf Ωt = ∅ t→0 t→0 Cho Ω tập không gian định chuẩn X cho x ∈ Ω ¯ Định nghĩa 1.3 (Nón tiếp xúc bậc nhất; xem [9, tr 13]) Tập hợp T (¯; Ω) := Lim sup x t↓0 Ω−x ¯ t (1.5) “Lim sup” tính theo tơpơ chuẩn X , gọi nón tiếp tuyến Bouligand-Severi Ω x Nếu “Lim sup” cơng thức (1.5) ¯ tính theo tơpơ yếu X , ta ký hiệu tập hợp thu Tw (¯; Ω) x gọi nón tiếp tuyến yếu Ω x ¯ Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai 2.3.2 Dưới vi phân bậc hai tập tiếp xúc bậc hai Cho X không gian Banach với X ∗ không gian đối ngẫu Cho hàm số thực ψ : X → R hai lần khả vi liên tục (hàm số thuộc lớp C ) Xét tập hợp C = {x ∈ X | ψ(x) 0}, (2.20) giả sử x ∈ C, ψ(x) = 0, ψ(x) = Vì ψ(x) = 0, tồn v ∈ X cho ψ(x), v < Vậy ràng buộc ψ(x) thỏa mãn điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz x, ta có T (x; C) = {v ∈ X | ψ(x), v 0} (2.21) Theo công thức (2.19), với h ∈ T (x; C), tập tiếp xúc bậc hai C x theo hướng h xác định công thức TC (x, h) = {w ∈ X | ψ(x), w + ψ(x)h, h 0} (2.22) Hình 2.4 Dưới vi phân bậc hai hàm iC (·): Chúng ta, nhắc lại hàm tập C xác định iC (x) = x ∈ C, +∞ x ∈ C / Ta biết N (x; C) = ∂iC (·)(x), N (x; C) nón pháp tuyến qua giới hạn C x Ánh xạ đa trị N (·; C) : X X ∗ , x → N (x; C), 32 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai gọi ánh xạ vi phân hàm C , hay ánh xạ nón pháp tuyến C Cho v ∈ N (x; C) Khi đó, ψ(x) = 0, tồn y ∗ ∈ R cho v = ψ(x)∗ y ∗ ∈ X ∗ (2.23) Theo [9, Theorem 1.17], ta có N (x; C) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ = λ ψ(x), λ 0} (2.24) với x ∈ ∂C := {x ∈ X | ψ(x) = 0} Đối đạo hàm N (·; C) (x, v) ánh xạ đa trị D∗ N (·; C)(x, v) : X ∗∗ X∗ (2.25) ký hiệu ∂ iC (·)(x, v) gọi vi phân bậc hai hàm iC (·) Theo kết [12, tr 211], vi phân bậc hai ∂ iC (·)(x, v) hàm tập hợp C (x, v) cho công thức sau ∂ iC (·)(x, v)(u) y ∗ ψ(x)∗ u + R ψ(x) y ∗ > 0, ∅ y ∗ > 0, R ψ(x) y ∗ = 0, + = R ψ(x) y ∗ = 0, {0} y ∗ = 0, ∅ y ∗ < u, ψ(x) = u, ψ(x) = u, ψ(x) > u, ψ(x) = u, ψ(x) < (2.26) với u ∈ X ∗∗ Lưu ý ta coi X ⊂ X ∗∗ Vì vậy, cơng thức (2.26) áp dụng cho phần tử u ∈ X Theo định nghĩa tính phản xạ, bao hàm thức X ⊂ X ∗∗ có dấu X không gian Banach phản xạ Định nghĩa 2.2 (Độ cong siêu mặt) Số thực suy rộng γ := inf ψ(x)u, u | u, ψ(x) = 0, u = gọi độ cong (curvature) siêu mặt (hypersurface) M = {x ∈ X | ψ(x) = 0} x 33 (2.27) Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Ví dụ 2.3 Cho ψ(x) = −xn + x2 + · · · + x2 , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn n−1 n Cho x = ∈ R Ta có M = {x ∈ Rn | xn = x2 + · · · + x2 } n−1 Khi đó, độ cong siêu mặt M điểm x = thuộc M n−1 γ = inf u2 = i diag(2, , 2, 0)u, u |un = 0, = 2, i=1 diag(2, , 2, 0) ký hiệu ma trận đường chéo với n − phần tử phần tử Hình 2.5: Độ cong M x γ = 2 Sau ta mối liên hệ tập tiếp xúc bậc hai TC (x, u) tập C x vi phân bậc hai hàm ∂ iC (·)(x, v) với v = ψ(x)∗ y ∗ ∈ N (x; C), y ∗ > u ∈ X thỏa mãn ψ(x), u = Định lý 2.3 Giả sử x ∈ C thỏa mãn điều kiện ψ(x) = 0, ψ(x) = Nếu v = ψ(x)∗ y ∗ , y ∗ > u ∈ X , u = 1, ψ(x), u = 0, γ inf x∗ ∈∂ iC (·)(x,v)(u) u, x∗ ∗ y − ψ(x), w , ∀w ∈ TC (x, u) (2.28) Chứng minh Trong giả thiết định lý, theo công thức (2.26) ta có ∂ iC (·)(x, v)(u) = y ∗ ψ(x)∗ u + R ψ(x) (2.29) 34 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Vì ψ(x), u = 0, u = 1, y ∗ > 0, kết hợp điều với định nghĩa độ cong (2.27) ta có inf x∗ ∈∂ iC (·)(x,v)(u) u, x∗ = ψ(x)∗ u, u ∗ y = u, ψ(x)u γ Như vậy, bất đẳng thức thứ (2.28) chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai (2.28), ta áp dụng công thức (2.22) Với w ∈ TC (x, u), ta có ψ(x), w + ψ(x)u, u Kết hợp điều với (2.29), ta suy − ψ(x), w = ψ(x)u, u = ψ(x)∗ u, u inf x∗ ∈∂ iC (·)(x,v)(u) u, x∗ ∗ y Vậy bất đẳng thức thứ hai (2.28) nghiệm Bây giờ, ta tiếp tục tìm mối liên hệ tập tiếp xúc bậc hai TM (x; u) vi phân bậc hai hàm iM (·) trường hợp M siêu mặt trơn C Cho ψ : X → R hàm hai lần khả vi liên tục Đặt M = {x ∈ X | ψ(x) = 0} Ta có M siêu mặt X Giả sử x ∈ M ψ(x) = Sử dụng [9, Theorem 1.127] lập luận tương tự [12, tr.209–212] ta có N (x; M ) = {λ ψ(x) | λ ∈ R}, T (x; M ) = {u ∈ X | ψ(x), u = 0}, với v ∈ N (x; M ) mà v = cách theo v ), ta có ∂ iM (·)(x, v)(u) = y∗ ∅ ψ(x)∗ y ∗ (y ∗ ∈ R xác định ψ(x)∗ u + R ψ(x) 35 u, ψ(x) = u, ψ(x) = (2.30) Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Áp dụng công thức (2.22) cho trường hợp C ≡ M = {x ∈ X | ψ(x) = 0}, ta có tập tiếp xúc bậc hai M x theo hướng u ∈ T (x; M ) TM (x, u) = {w ∈ X | ψ(x), w + ψ(x)u, u = 0} (2.31) Định lý 2.4 Giả sử x ∈ M thỏa mãn điều kiện ψ(x) = Nếu v = ψ(x)∗ y ∗ , y ∗ = 0, u ∈ X mà u = 1, ψ(x), u = 0, γ inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x∗ = − ψ(x), w , ∀w ∈ TM (x, u) (2.32) ∗ y ψ(x), u = 0, y ∗ = 0, ta Chứng minh Sử dụng cơng thức (2.30) có inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x∗ = ψ(x)u, u ∗ y = u, ψ(x)u γ Như vậy, bất đẳng thức (2.32) chứng minh Để chứng minh đẳng thức (2.32) ta áp dụng công thức (2.31) Với w ∈ TM (x, u), ta có ψ(x), w + ψ(x)u, u = Kết hợp điều với (2.30) ta suy − ψ(x), w = = ψ(x)u, u = ψ(x)∗ u, u inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x∗ ∗ y Vậy đẳng thức (2.32) chứng minh Ví dụ 2.4 Cho C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 − x2 0} Ta tính độ cong C x = (0, 0) Đặt g1 (x) = x2 − x2 , với u = (u1 , u2 ) ∈ R mà u = ta có γ = inf g1 (x)u, u | u, g1 (x) = 0, u = 36 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Vì u, g1 (x) = u1 u2 −1 = −u2 = nên u2 = Do đó, 0 γ = inf T u1 T , u1 u2 = 0, |u1 | = = inf{2u2 |u1 | = 1} = Hình 2.7: Độ cong γ = −2 Hình 2.6: Độ cong γ = Tương tự, với C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | − x2 − x2 0} Đặt g2 (x) = −x2 − x2 Ta có độ cong siêu mặt M = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | − x2 − x2 = 0}, x = (0, 0) γ = inf{−2u2 | |u1 | = 1} = −2 Trường hợp đa tạp Lagrange: Cho M = {x ∈ X | ψi (x) = 0, i = 1, m} = {x ∈ X | ψ(x) = (ψ1 (x), , ψm (x)) = 0}, với ψi : X → R, i = 1, m, hàm trơn thuộc lớp C , xác định không gian Banach X Cho x ∈ M giả sử Hệ véctơ { ψi (x) | i = 1, m} độc lập tuyến tính 37 (2.33) Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Vì M thỏa mãn điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz (2.17) x, nên ta có cơng thức tính nón tiếp tuyến M x sau: T (x; M ) = {u ∈ X | ψi (x), u = 0, ∀i ∈ I(x)}, I(x) = {1, , m} Với u ∈ T (x; M ), theo cơng thức (2.19) ta có cơng thức tính tập tiếp xúc bậc hai M x theo hướng u sau: TM (x, u) = {w ∈ X | ψi (x), u + ψi (x)u, u = 0, i = 1, m} (2.34) Bây ta tính vi phân bậc hai ∂ iM (·)(x, v)(u) hàm iM (·) với u ∈ X ∗∗ , x ∈ M , v ∈ N (x, M ) với m λi ψi (x) | λi ∈ R, ∀i = 1, m , N (x, M ) = i=1 nón pháp tuyến Mordukhovich M x Đặt Y = Rm Xét hàm véctơ x → ψ(x) = (ψ1 (x), , ψm (x))T ψ :X → Y, Cho ϕ : Y → R xác định ϕ(y) = +∞ y = 0, y = Ta có N (x; M ) = ∂iM (x) = ∂(ϕ ◦ ψ)(x) Do đó, ∂ iM (·)(x, v)(u) = ∂ (ϕ ◦ ψ)(x, v)(u) (2.35) Từ (2.33) ta suy ψ(x) :X → Rm , T x→ ψ1 (x)x, , ψm (x)x , ánh xạ tràn Thật vậy, ψ(x)(X) = Rm ψ(x)(X) ⊂ Rm 0 khơng gian nên tồn y = (y1 , y2 , , ym ) ∈ Rm \{0} cho y0, ψ(x)h = 0, ∀h ∈ X Khi đó, m 0= y1 ψ1 (x)h + · · · + ym yi ψi (x) h, ψm (x)h = i=1 38 ∀h ∈ X Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai m yi ψi (x) = 0, mâu thuẫn với điều kiện (2.33) Tức i=1 Theo [9, Theorem 1.127] ( xem thêm [12, Theorem 2.1]), với v ∈ ∗ ∗ ∗ ∂(ϕ ◦ ψ)(x) với y ∗ = (y1 , y2 , , ym ) ∈ Rm phần tử cho v = ψ(x)∗ y ∗ , y ∗ ∈ ∂ϕ(y), ∂ϕ(y) := {y ∗ ∈ Rm | ϕ(y) − ϕ(y) y ∗ , y − y , ∀y ∈ Rm }, vi phân ϕ y Theo công thức (9) [12, tr 210], ∂ (ϕ ◦ ψ)(x, v)(u) = y ∗ , ψ (x)∗ u + với u ∈ X ∗∗ Từ ta có m ∗ yi ψi (x)∗ u + ∂ (ϕ◦ψ)(x, v)(u) = i=1 ∅ ψ(x)∗ ∂ ϕ(y, y ∗ )( ψ(x)∗∗ u), (2.36) ψ(x)∗ (Rm ) nếu Nhận xét 2.5 Điều kiện ψ(x)u = tương đương với i = 1, m, hay u ∈ T (x; M ) ψ(x)u = 0, ψ(x)u = (2.37) ψi (x)u = với Nhận xét 2.6 Với x∗ ∈ ψ(x)∗ (Rm ) ta có x∗ , u = với u ∈ ker ψ(x) := {u ∈ X | ψ(x)(u) = 0} Thật vậy, x∗ = ψ(x)∗ v, v ∈ Rm , x∗ , u = ψ(x)∗ v, u = v, ψ(x)u = với u ∈ ker ψ(x) 39 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai ψ(x)∗ y ∗ , y ∗ ∈ Rm viết thành Nhận xét 2.7 Cơng thức v = m ∗ yi ψi (x) v= (2.38) i=1 Thật vậy, ta có v = ψ(x)∗ y ∗ ψ(x)∗ y ∗ , x ∀x ∈ X, v, x = y ∗ , ψ(x)x ∀x ∈ X v, x = tức Do ψ(x)x = ( ψ1 (x)x, , ψm (x)x)T , nên ta suy m ∗ yi ψi (x)x ∀x ∈ X, v, x = i=1 m ∗ yi ψi (x), x v, x = ∀x ∈ X i=1 m ∗ yi ψi (x) Do v = i=1 Định lý 2.5 Giả sử M = {x ∈ X | ψi (x) = 0, i = 1, m} với ψi : X → R, i = 1, m, hàm thuộc lớp C Giả sử x ∈ M { ψi (x)| i = 1, m} độc lập tuyến tính Nếu v = ψ(x)∗ y ∗ , ψ(x) := (ψ1 (x), , ψm (x))T hàm véctơ, với u ∈ ker ψ(x) mà u = 1, ta có inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x∗ = −v, w , ∀w ∈ TM (x, u) (2.39) Chứng minh Với w ∈ TM (x, u), theo (2.34) ta có đẳng thức sau: ψi (x), w + ψi (x)u, u = 0, i = 1, m, − ψi (x), w = ψi (x)u, u , i = 1, m 40 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai ∗ ∗ ∗ Với y ∗ = (y1 , y2 , , ym ) ∈ Rm xác định theo công thức v = ψ(x)∗ y ∗ , ta có ∗ ∗ yi − ψi (x), w = yi ψi (x)u, u , i = 1, m Cho i = 1, 2, , m cộng đẳng thức vế với vế, ta có m m ∗ yi ∗ yi − ψi (x), w = i=1 ψi (x)u, u (2.40) i=1 Theo công thức (2.37) Nhận xét 2.6, u ∈ ker ψ(x) nên ta có m m ∗ inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x ∗ yi = ∗ ∗ yi ψi (x) u, u = ψi (x)u, u i=1 i=1 (2.41) Từ (2.40) (2.41) ta suy m ∗ inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x ∗ yi − ψi (x), w = (2.42) i=1 Mặt khác, với v = ψ(x)∗ y ∗ với w ∈ TM (x, u) m ∗ ∗ −v, w = − ψ(x) y , w = ∗ yi ψi (x), w − i=1 m ∗ yi − ψi (x), w = (2.43) i=1 Từ (2.42) (2.43) ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.3 Cho M = {x ∈ X | ψi (x) = 0, i = 1, m} Ta gọi đại lượng γ := max sup | i=1,m ψi (x)u, u | : u ∈ ker ψ(x), u = , (2.44) với ψ : X → Rm , ψ(x) = (ψi (x), , ψm (x))T , độ cong (upper curvature) M x 41 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Định lý 2.6 Giả sử M đa tạp Lagrange với ψi , i = 1, m, hàm thuộc lớp hàm C Giả sử x ∈ M hệ véctơ { ψi (x) | i = 1, m} độc lập tuyến tính Nếu v = ψ(x)∗ y ∗ với u ∈ ker ψ(x) mà u = 1, ta có √ √ − m y ∗ γ inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x∗ m y∗ γ (2.45) với γ độ cong M x Chứng minh Với y ∗ = 0, áp dụng kết (2.41) phần chứng minh Định lý 2.5 ta có m ∗ inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x ∗ yi = ψi (x)u, u i=1 m ∗ |yi | ψi (x)u, u i=1 m ∗ |yi | , γ i=1 m ∗ inf x∗ ∈∂N N (·;M )(x,v)(u) u, x ∗ |yi | γ (2.46) i=1 Áp dụng bất ng thc Hălder, ta cú o m m |yi | i=1 ∗ |yi |2 i=1 + + ··· + 1 y∗ √ m (2.47) m số Kết hợp (2.46) với (2.47) ta có inf x∗ ∈∂ iM (·)(x,v)(u) u, x∗ √ m y ∗ γ Vậy (2.45) nghiệm với y ∗ = Nếu y ∗ = dấu đẳng thức (2.45) xảy ∂ iM (·)(x, v)(u) = {0} Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.8 Với điều kiện Định lý 2.6, Định lý 2.5 Định lý 2.6 ta có √ √ − m y∗ γ −v, w m y∗ γ (2.48) 42 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai m với w ∈ TM (x, u), ∗ yi ψi (x) v = i=1 Như vậy, Định lý 2.6 cho ta đánh giá cận cận −v, w , với w ∈ TM (x, u), dựa vào độ cong đa tạp M x 43 Kết luận Bản luận văn trình bày số nội dung Chương chuyên khảo [9], Chương giáo trình [10], vài kết Các khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, tập tiếp xúc bậc hai trình bày cách có hệ thống, kèm theo tính chất mối quan hệ chúng Chúng biên dịch tài liệu chứng minh chi tiết tính chất quan tâm Các định lý 2.3–2.6 Mục 2.3 mối quan hệ vi phân bậc hai hàm tập tiếp xúc bậc hai kết Trong thời gian tới, Giáo sư hướng dẫn tác giả luận văn cố gắng trình bày kết dạng thảo báo nhỏ Để phát triển thêm chủ đề luận văn này, dự định xem xét hai câu hỏi sau: - Mối quan hệ vi phân bậc hai hàm tập lồi đa diện cơng thức tính tập tiếp xúc bậc hai [10, Lemma 3.43] mơ tả nào? - Có thể mở rộng kết Mục 2.3 cho trường hợp tập hợp khơng có biên trơn hay không? 44 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tuyết Mai (2012), Các điều kiện cực trị bậc bậc hai toán tối ưu, Luận văn Thạc sĩ toán học, Viện Toán học, Hà Nội [2] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Cơng nghệ, Hà Nội Tiếng Anh [3] J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions In “Advances in Mathematics Supplementary Studies” (L Nachbin, Ed.), pp 160–232 [4] J.-P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhăuser, Berlin a [5] J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [6] J M Browein and H M Strojwas (1986), Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach spaces, Part I: Theory, Canad J Math., Vol 38, No 2, pp 431–452 [7] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] B S Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol.183, pp 250–288 [9] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol I: Basic Theory and Vol II: Applications, Springer Verlag, Berlin [10] A Ruszczynski (2006), Nonlinear Optimization, Princeton University Press, New York [11] J.-C Yao and N D Yen (2009), Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality, Part 1: Basic Calculations, Acta Math Vietnam Vol 34, pp 157–172 [12] J.-C Yao and N D Yen (2010), Parametric variational system with a smooth boundary constraint set, in “Variational Analysis Generalized Differentiation in Optimization and Control” (R Burachik and J.-C Yao, Eds.), Springer Series “Optimization and Its Applications”, Vol 47, pp 205–221 46 ... – vi phân bậc hàm chỉ) 22 Chương Tập tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai 2.1 Tập tiếp xúc bậc hai Tập tiếp xúc bậc hai tập hợp khái niệm quan trọng, cho phép đạt bậc xấp xỉ tốt cho tập hợp điểm xét... niệm tập tiếp xúc bậc hai, số tính chất Mục thứ hai xem xét tập tiếp xúc bậc hai tập hợp lồi đa diện Mục thứ ba trình bày mối liên hệ vi phân bậc hai tập tiếp xúc bậc hai trường hợp tập xét tập hợp. .. tiếp xúc bậc hai vi phân bậc hai Tập tiếp xúc bậc hai Tập tiếp xúc bậc hai tập lồi đa diện Tập tiếp xúc bậc hai tập hợp có biên trơn 2.3.1 Tập hợp có biên trơn