1 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Trong thực tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều hơn một biến. Thật vậy, xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Thể tích của một khối trụ tròn xoay phụ thuộc vào bán kính đáy R và chiều cao h của nó bởi vì ta có công thức 2 . . V R h   . Vì thế ta có thể nói V là một hàm theo hai biến R và h và có thể viết:   2 , . . V R h R h   . Ví dụ 2: Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất ở một thời điểm cho trước nào đó phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Vì thế ta có thể cho rằng T là một hàm của hai biến x và y và có thể viết   , T f x y  . Ví dụ 3: Vào tháng 5/2006, một nhóm sinh viên khoa kinh tế, ĐHQG TPHCM, đã tiến hành điều tra về tiền lương của viên chức làm tại các công sở trên địa bàn thành phố. Họ đã đưa ra kết quả phân tích như sau: 3,475 4,096 3,283 1,536 0,775 * WAGE MBA FL EXPER EF EXPER       Trong đó, WAGE là tiền lương; MBA là trình độ học vấn; FL là trình độ ngoại ngữ; EXPER là chỉ số năm công tác. Như vậy, tiền lương WAGE là một hàm theo 3 biến: MBA, FL và EXPER. I. Giới hạn và liên tục 1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho D là một tập hợp trong 2  , người ta gọi ánh xạ :f D   , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực   , x y D  một số thực duy nhất z , ký hiệu là   , f x y là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu     : , , f x y z f x y  D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp         , , , f D z z f x y x y D      gọi là miền giá trị của hàm số f . Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc 2  , còn miền giá trị của nó thuộc  .Hàm số n biến số   1 2 , , , n f x x x được định nghĩa tương tự. Ví dụ 4: Hàm chi phí của hai sản phẩm. 2 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau: Sản phẩm A:   500 70 C x x   , x là số lượng sản phẩm A. Sản phẩm B:   200 100 C y y   , y là số lượng sản phẩm B. Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là   , C x y :       , 700 70 100 C x y C x C y x y      Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B   10,5 700 70.10 100.5 1900 C     . 2. Miền xác định Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức   , z f x y  mà không nói gì về miền xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp   , x y sao cho biểu thức   , f x y có nghĩa. Ví dụ 5: Hàm số 2 3 5 z x y    xác định với mọi cặp   2 , x y   , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. Ví dụ 6: Hàm số 2 2 1 z x y    xác định khi 2 2 1 0 x y    hay 2 2 1 x y   , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1). Ví dụ 7: Hàm số   ln 1 z x y    được xác định khi 1 0 x y    hay 1 x y   , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng 1 x y   (hình 2). 1 O y x 1 1O y x ( hình 1) (hình 2) Ví dụ 8: Tìm miền xác định của các hàm số sau: 3 a)   1 , 1 f x y x y    b)   2 , f x y x y   3. Giới hạn của hàm số hai biến số Ví dụ 9: Cho hai hàm số 2 2 2 2 sin(x y ) f(x,y) x y    . Khi cho x,y dần về 0 ( (x,y) dần về gốc tọa độ thì ta có bảng giá trị của hàm số f(x,y) như sau: y x -1 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 1 -1 0.45 0.76 0.83 0.84 0.83 0.76 0.45 -0.5 0.76 0.96 0.99 0.99 0.99 0.96 0.76 -0.2 0.83 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.83 0 0.84 0.99 1.00 1.00 0.99 0.84 0.2 0.83 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.83 0.5 0.76 0.96 0.99 0.99 0.99 0.96 0.76 1 0.45 0.76 0.83 0.84 0.83 0.76 0.45 Bảng trên chỉ ra rằng khi (x,y) dần về gốc tọa độ thì f(x,y) dần về 1 từ bất kỳ một phía nào. Vậy 2 2 2 2 (x,y) (0,0) sin(x y ) lim 1 x y     3.1 Định nghĩa. Giới hạn của hàm số f(x,y) khi (x,y) dần về 0 0 (x ,y ) là L, ta viết       0 0 x,y x ,y lim f x, y L   nếu với mọi 0   , tồn tại 0   sao cho f(x, y) L , (x,y) D      2 2 0 0 va` 0< (x-x ) (y y )     Chú ý: Một cách ký hiệu khác của giới hạn là   0 0 x x y y lim f x, y L    , f(x,y)  L khi (x,y) (x 0 , y 0 ). Ví dụ 10:: Tính       , 0,0 lim , x y f x y  với   2 2 , xy f x y x y   Hàm số   , f x y xác định trên   2 \ 0,0  . Vì     2 2 1, , 0,0 x x y x y     , nên 4       2 2 , , , 0,0 x f x y y y x y x y      Do đó với mọi dãy     , n n x y dần tới   0,0 , ta đều có     , 0,0 lim 0 n n x y   . Vậy     , 0,0 lim 0 x y   Ví dụ 11: Tính       , 0,0 lim , x y g x y  với   2 2 , xy g x y x y   . Hàm số   , g x y xác định trên   2 \ 0,0  . Ta thấy rằng       , 0,0 lim , x y g x y  không tồn tại. Thật vậy, ta có: + Với dãy (x,y) dần tới   0,0 , ta chọn y=0, do đó   ,0 0, 0 g x x    thì       , 0,0 lim , 0 x y g x y   + Với dãy (x,y) dần tới   0,0 , ta chọn y=x, do đó   2 2 1 , , 0 2 2 x g x x x x     thì       , 0,0 1 lim , 2 x y g x y   . Vì 1 0 2  nên không tồn tại       , 0,0 lim , x y g x y  . 3.2 Định nghĩa. Nếu f(x,y) dần về L 1 khi (x,y) tiến về (x 0 ,y 0 ) dọc theo đường cong C 1 và f(x,y) dần về L 2 khi (x,y) tiến về (x 0 ,y 0 ) dọc theo đường cong C 2 mà 1 2 L L  thì       0 0 x,y x ,y lim f x,y  không tồn tại Ví dụ 12: Tìm giới hạn khi     , 0,0 x y  của các hàm số sau: a)   2 2 5 3 1 , 2 1 xy x y f x y xy     b)   2 2 2 2 2 3 , 3 2 x y f x y x y    . 4. Tính liên tục của hàm số hai biến số Cho hàm số   , f x y xác định trong miền D .   0 0 0 , M x y là điểm thuộc D . Ta nói rằng hàm số   , f x y liên tục tại 0 M nếu: i) Tồn tại       0 0 , , lim , x y x y f x y  , ii)         0 0 0 0 , , lim , , x y x y f x y f x y   (1.1) 5 Hàm số   , f x y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền D . Ví dụ 13: Xét tính liên tục của hàm số           2 2 , , 0,0 , 0, , 0,0 xy x y x y G x y x y           Giải:   , G x y xác định trên toàn 2  . Nó liên tục tại mọi điểm     , 0,0 x y  vì nó là thương của hai hàm sô liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tục của   , G x y tại   0,0 . Vì không tồn tại     2 2 , 0,0 lim x y xy x y   (xem ví dụ 5) nên   , G x y không liên tục tại   0,0 . Tóm lại   , G x y liên tục tại mọi điểm     , 0,0 x y  . Chú ý: Nếu đặt 0 0 , x x x y y y       , ta có     0 0 , , f x y f x x y y      Lại đặt     0 0 0 0 , , f f x x y y f x y        . Khi đó công thức (1.1) có thể được viết là     , 0,0 lim 0 x y f      (1.2) Nói cách khác, hàm số   , f x y liên tục tại   0 0 0 , M x y nếu hệ thức (1.2) được thỏa mãn. Ví dụ 14: a) Xét tính liên tục của hàm số 4 3 2 4 f(x,y) x 5x y 6xy 7y 6      b) Xét tính liên tục của hàm số             3 3 2 2 sin , , 0,0 , 0 , , 0,0 x y x y f x y x y x y           . II. Đạo hàm riêng và vi phân tòan phần 1. Đạo hàm riêng 1.1 Định nghĩa:   , z f x y  là một hàm số xác định trong miền D ,   0 0 , x y là một điểm thuộc D . Nếu cho 0 0 , y y y  là hằng số, mà hàm số một biến số   0 , x f x y  có đạo hàm tại 0 x x  thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số   , f x y tại   0 0 , x y và được ký hiệu là:   0 0 , x f x y hay   0 0 , f x y x   . Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có: 6       0 0 0 0 0 0 0 , , , lim x x f x x y f x y f x y x        Tương tự, đạo hàm riêng đối với y của hàm số   , f x y tại   0 0 , x y ký hiệu là       0 0 0 0 0 0 0 , , , lim y y f x y y f x y f x y y        Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x của f , chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo hàm của f đối với x ; khi tính đạo hàm riêng đối y của f chỉ việc xem x là hằng số và lấy đạo của f đối với y . Trong tính tóan người ta thường ký hiệu đạo hàm riêng theo các cách sau: x x f z f (x, y) f f(x, y) x x x           , tương tự cho y Ví dụ 15: Tính các đạo hàm riêng của 4 3 2 4 5 2 z x x y y    3 2 2 3 3 4 15 ; 10 8 z z x x y x y y x y          Ví dụ 16: Tính đạo hàm riêng của   0 y z x x   . 1 ; ln y y z z yx x x x y        Ví dụ 17: Tính đạo hàm riêng của cos , 0 x z y y         1 sin . .sin z x x x x y x y y y               2 sin . sin z x x x x y y y y y y              Chú ý 1: Đạo hàm riêng của hàm số   2 n  biến số được định nghĩa tương tự. Khi tính đạo hàm riêng của f đối với một biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số và tính đạo hàm của f đối với biến số ấy. Ví dụ 18: Tính các đạo hàm riêng của hàm số 2 x y z e  2. Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng , x y f f gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số   , z f x y  . Chúng là những hàm số của   , x y . Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:   x x f ,   x y f ,   y x f ,   y y f gọi là đạo hàm riêng cấp hai của   , f x y . Ta dùng các ký hiệu sau: 7   2 2 2 2 x xx x f f z f f x x x x                     2 2 x xy y f f z f f y x x y x y                       2 2 y yx x f f z f f x y x y x y                       2 2 2 2 y yy y f f z f f y y y y                   Ví dụ 19:   2 3 2 5 , y f x y x e x y y    2 2 2 3 y x f xe x y   , 2 3 4 2 5 y y f x e x y y    2 2 6 y xx f e xy   2 2 6 y xy f xe x y   2 2 6 y fyx xe x y   2 3 3 2 20 y yy f x e x y    Ví dụ 20: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau a)     2 2 3 3 , f x y x y x y   b)   2 2 , x f x y x y   Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Chẳng hạn:   2 3 2 xyy xy y f f f f y y x y x                  . Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau: Định lý Schwarz: Nếu hàm số   , f x y có các đạo hàm riêng xy f và yx f trong một miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm   0 0 , x y D  thì     0 0 0 0 , , xy yx f x y f x y  Ta đã thấy kết quả này ở ví dụ 19. Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng xyy yxy yyx f f f   nếu chúng liên tục. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số   2 n  biến số được định nghĩa tương tự. Ví dụ 21: 2 x yz u z e   2 x yz x u z e   2 x yz xx u z e     2 3 . x yz x yz xxy u z e z z e         2 3 2 3 3 3 x yz x yz x yz x yz xxyz u z e z e y z e yz e            Ví dụ 22: Tính a)   3 2 4 , 5 f x y x y x y   , tính xxx f b)   2 , xy f x y e  , tính xxy f . 8 3. Vi phân toàn phần 3.1 Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số   f x xác định trong khoảng I   và nếu tồn tại đạo hàm   0 0 ' , f x x I  thì số gia       0 0 0 f x f x x f x      , trong đó 0 x x I    , có thể được biểu diễn dưới dạng:     0 0 ' f x f x x x       , trong đó 0   khi 0 x   . Biểu thức   0 ' f x x  ( phần chính của   0 f x  khi 0 x   ) gọi là vi phân của   f x tại 0 x . Vậy nếu đạo hàm   0 ' f x tồn tại thì   f x khả vi tại 0 x . Bây giờ, xét hàm số hai biến số   , f x y xác định trong miền 2 D   .   0 0 0 , M x y và   0 0 0 , M x x y y     là hai điểm thuộc D .Nếu số gia       0 0 0 0 0 0 , , , f x y f x x y y f x y        có thể biểu diễn dưới dạng:   0 0 , f x y A x B y x y            , (3.1) trong đó , A B là những số không phụ thuộc , x y   , còn 0   và 0   khi     , 0,0 x y   (tức là 0 M M  ) thì ta nói rằng hà số   , f x y khả vi tại 0 M , biểu thức A x B y    gọi là vi phân toàn phần của hàm số   , f x y tại   0 0 , x y ứng với các số gia , x y   và được ký hiệu là   0 0 , df x y . Nếu hàm số   , f x y khả vi tại   0 0 , x y thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (3.1) suy ra   0 0 , 0 f x y   khi     , 0,0 x y   . Hàm số   , f x y gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D . Chú ý 2: Nếu   , f x y khả vi tại   0 0 , x y thì nó tồn tại các đạo hàm riêng     0 0 0 0 , , , x y f x y f x y . Chú ý 3: Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số   , f x y có các đạo hàm riêng   0 0 , x f x y và   0 0 , y f x y thì chưa chắc nó đã khả vi tại   0 0 , x y . Chẳng hạn như, xét hàm số sau:           2 2 , , 0,0 , 0, , 0,0 xy x y x y G x y x y          Theo định nghĩa của đạo hàm riêng ta có 9         0 0 ,0 0,0 ,0 0,0 lim lim 0 x h h G h G G h G h h       vì   ,0 0, 0 G h h    Tương tự ta có:   0,0 0 y G  . Vậy tồn tại các đạo hàm riêng     0,0 , 0,0 x y G G , nhưng hàm số   , G x y không liên tục tại   0,0 nên không khả vi tại   0,0 . 3.2 Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số 3.2 Định lý. Nếu hàm số   , f x y có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm   0 0 0 , M x y và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại 0 M thì hàm số   , f x y khả vi tại 0 M , vi phân toàn phần của   , f x y tại 0 M được tính bằng công thức:       0 0 0 0 0 0 , , . , x y df x y f x y x f x y y     (3.2) Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số, vì , x y là biến số độc lập nên ta có , x dx y dy     , do đó công thức (3.2) còn được viết là:       0 0 0 0 0 0 , , . , . x y df x y f x y dx f x y dy   Ví dụ 23: Tính vi phân toàn phần của hàm số 2 2 z x y   . Hàm số xác định trên toàn 2  . Vì các đạo hàm riêng 2 2 2 2 , z x z y x y x y x y         là liên tục tại mọi     , 0,0 x y  nên z khả vi trên   2 \ 0,0  và 2 2 xdx ydy dz x y    . Chú ý 5: Đối với hàm số   2 n  biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi của hàm số, công thức của vi phân toàn phần cũng tương tự như hàm số của hai biến số. Ví dụ 24: Tính vi phần toàn phần của hàm số yz u xe  . Hàm số xác định trên toàn 3  . Các đạo hàm riêng: ; , yz yz yz u u u e xze xye x y z          liên tục trên toàn 3  nên hàm số u khả vi trên toàn 3  và   xz yz xz yz du e dx xze dy xye dz e dx xzdy xydz       . Ví dụ 25: Tính vi phân toàn phần của các hàm số 10 a)   3 3 , 3 f x y x y xy    b)   2 2 , x f x y x y   . 3.3 Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng Từ định lý 3.2 ta có công thức:       0 0 0 0 0 0 , , , x y f x y f x y x f x y y x y            Ta thấy rằng     0 0 0 0 , , x y f x y x f x y y    là vô cùng bé bậc nhất đối với 2 2 x y      khi 0   , còn x y      là vô cùng bé cấp cao đối với  . Vì vậy, khi , x y   khá nhỏ, ta có thể xem     0 0 0 0 , , f x y df x y   , tức là:       0 0 0 0 0 0 , , . , x y f x y f x y x f x y y      Hay         0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , x y f x x y y f x y f x y x f x y y          (2.3) Ví dụ 26: Cho hàm số   2 2 , 2 f x y x xy y    . Tính   , f x y  và   , df x y , nếu 0 0 2, 3, 0.03, 0.02 x y x y       .       , 2 2 . 2 2 df x y x y x x y y               2,3 2.2 2.3 0.03 2.2 2.3 . 0.02 0.34 df                 2 2 2 2 2,3 2.03; 2.98 2,3 2.03 2.2,03.2,98 2.98 2 2.2. 3 3 0.3434 f f f                   Ta thấy     2,3 2,3 df f  nhưng tính   2,3 df dễ hơn. Ví dụ 27: Tính gần đúng 1.02 0.95 arctg Ta cần tính   0 0 , z x x y y     , trong đó 0 0 , 1, 1, 0.05, 0.02 y z acrtg x y x y x         Ta có 2 2 2 2 1 1 z y y x x x y y x                     , 2 2 2 1 1 . 1 z x y x x y y x             Theo công thức (3)         1 0.05;1 0.02 1,1 1,1 1,1 x y z z z x z y        hay 1.02 1.0,05 1.0,02 1 0.35 0.785 0.035 0.82 0.95 2 4 arctg arctg          radian. Ví dụ 28: Tính gần đúng các số sau a)     2 2 9. 1,95 8,1  b)     3 3 ln 0,09 0,99      . 3.4 Điều kiện để biểu thức     , , P x y dx Q x y dy  là một vi phân toàn phần [...]... dụ 36 : Tính y ' nếu x 3  y 3  3axy  0 2 Vì F  x, y   x3  y 3  3axy khả vi trên toàn y'   nên theo công thức (4.4) ta có Fx  x, y  3 x 2  3ay x 2  ay  2  2 nếu y 2  ax  0 Fy  x, y  3 y  3ax y  ax Ví dụ 37 : Tính y ' nếu xy  e x  e y  0 Vì F  x, y   xy  e x  e y khả vi trên toàn y'   2 nên Fx  x, y  y  ex nếu x  e y  0  y Fy  x, y  xe Ví dụ 38 : Tính đạo hàm. ..  x 2  y 2 Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp hàm số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộc nhiều biến số độc lập hơn 4 .3 Đạo hàm của hàm số ẩn 4 .3. 1 Định nghĩa hàm ẩn Xét phương trình F(x,y) = 0 (4 .3) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định Nếu x  E thì (4 .3) có nghiệm duy nhất... trong đó,   x  là một hàm số khả vi bất kì Lấy đạo hàm theo x hai vế của (iii) ta được: f 2  3 x 2 ln y   '  x  x (iv) So sánh (iv) với (i), ta được  '  x   3 x 2 Do đó   x   x3  C , C là một hằng số tùy ý Thay   x  vào (iii) ta được: f 2  x, y   x3 1  ln y   y 2  C 4 Đạo hàm của hàm số hợp, hàm ẩn 4.1 Đạo hàm của hàm số hợp * Trường hợp 1: Cho hàm số z  f  u , v  trong... tại điểm  2, 1 và zmin  22  12  4  2   2.1  8  3 2 2 Nếu vi t lại z   x  2    y  1  3 , ta thấy z  3 tại mọi  x, y   2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2, y  1 ta đã thấy kết quả trên Ví dụ 4 3: Tìm cực trị của hàm số z  x3  y 3  3 xy Ta c : z x  3 x 2  3 y; z y  3 y 2  3x Tọa độ điểm dừng là nghiệm của h :  x2  y  0   2 y  x  0  Đó là một hệ phương trình... những hàm số của x Ta nói rằng z  f  u  x  , v  x   là hàm số hợp của x qua các biến số trung 12 gian u, v Định lý sau đây cho ta quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp z  f u  x  , v  x  4.1 Định lý Nếu z  f  u , v  là hàm số khả vi của u, v và nếu u  u  x  , v  v  x  là những hàm số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có dz f du f dv   dx u dx v dx Ví dụ 30 : Tính. .. cực trị có điều kiện của hàm số 3 biến số f  x, y, z  vào điều kiện 19 z    x, y  được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số hai biến số f  x, y,   x, y   : F  x, y  Cũng vậy, bài toán tìm cực trị tương đối của hàm số hai biến số f  x, y  với điều kiện y    x  được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số một biến số f  x,   x   : F  x  Ví dụ 4 6: Cho hàm lợi nhuận P  x, y... các hàm số ẩn b) y 3   x 2  1 y  x 4  0 , tính y ' ? a) y 5  3 x 2 y 2  5 x 4  9 , tính y ' ? 15 Ta nói rằng hàm số hai biến số z  f  x, y  là hàm số ẩn xác định bởi phương trình: F  x, y , z   0 (4.5) nếu F  x , y , f  x, y    0 Với mọi x, y thuộc miền xác định của f Cũng như trong trường hợp trước, nếu F  x, y, z  khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số f  x, y  khả vi. .. bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo y hai vế của (**) như trong phần b) dưới đây b) Ta có P  x, y   3 x 2 1  ln y  , Q  x, y   x3  2 y Do đó y P 3 x 2 Q   y y x Vậy 2 là một vi phân toàn phần Ta sẽ tìm hàm số f 2  x, y  sao cho df 2  2 , do đó\ f 2  3 x 2 1  ln y  x (i) f 2 x 3   2y y y (ii) Lấy nguyên hàm theo y hai vế của (ii) ta được f 2  x, y   x 3 ln y... điều kiện 3x  2 y  z  1 (**) Thế z  1  3x  2 y trong (**) vào (*) ta được: 2 2 2 d 2   x  1   y  2   1  3 x  2 y  : F  x, y  Bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm số hai biến số F  x, y  Ta c : Fx  2  x  1  6 1  3 x  2 y   4  5 x  3 y  2  Fy  2  y  2   4 1  3 x  2 y   2  6 x  5 y  4  Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình 5 x  3 y ... x Cũng lập luận tương tự như vậy khi tính z , ta được định lý sau: y 4.2 Định lý Nếu hàm số z  f  v, u  là hàm số khả vi của u, v và các hàm số u  u  x, y  , v  v  x, y  có các đạo hàm riêng như ux , u y , vx , v y thì tồn tại các đạo hàm riêng z z , và ta có x y z f u f v   x u x v x z f u f v   y u y v y Ví dụ 33 : Tính z z , , nếu z  eu cos v, x y . 1 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Trong thực tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều hơn một biến. Thật vậy, xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Thể.             2 ,3 2.2 2 .3 0. 03 2.2 2 .3 . 0.02 0 .34 df                 2 2 2 2 2 ,3 2. 03; 2.98 2 ,3 2. 03 2.2, 03. 2,98 2.98 2 2.2. 3 3 0 .34 34 f f f          . (4.4) Ví dụ 36 : Tính ' y nếu 3 3 3 0 x y axy    . Vì   3 3 , 3 F x y x y axy    khả vi trên toàn 2  nên theo công thức (4.4) ta có     2 2 2 2 , 3 3 ' , 3 3 x y F