Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp C1 gồm 5 chương. Nội dung bài giảng trình bày các nội dung về phép tính vi phân hàm một biến, phép tính vi phân hàm nhiều biến, phép tính tích phân phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi. Ở mỗi chương có bài tập và lời giải chi tiết giúp sinh viên nắm vững kiến thức được học.
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1 Đoàn Hồng Chương 1 1 Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật Toán cao cấp C1 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1. Dãy số là một tập hợp các số x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . được viết theo một thứ tự nhất định. Kí hiệu (x n ). • x 1 , x 2 , . . . : số hạng. • x n : số hạng tổng quát. Cách cho một dãy số • Cho công t hức số hạng tổng quát. • Cho công t hức truy hồi. • Mô tả. Ví dụ 1.1. Cho các dãy số • (x n ) : x n = 2 n + n 2 , n = 1, 2, . . . Trang 1 Toán cao cấp C1 • (x n ) : x 1 = 1, x n+1 = 2x n + 3, n = 1, 2, . . . • (x n ) là dãy các số nguyên tố. Định nghĩa 1.2. Cho dãy số (x n ). • (x n ) được gọi là dãy số tăng nếu x n < x n+1 , ∀n ∈ N • (x n ) được gọi là dãy số giảm nếu x n > x n+1 , ∀n ∈ N Ví dụ 1.2. Xét tính tăng giảm của các dãy số 1. x n = n n + 1 , n = 1, 2, . . . 2. x n = n + 1 n , n = 1, 2, . . . Giải. 1. Ta có x n+1 − x n = n + 1 n + 2 − n n + 1 = (n + 1) 2 − n(n + 2) (n + 1)(n + 2) = 1 (n + 1)(n + 2) > 0, ∀n ∈ N, Trang 2 Toán cao cấp C1 nên x n+1 > x n , ∀n ∈ N. Vậy (x n ) là dãy số tăng. 2. Ta có x n+1 − x n = n + 2 n + 1 − n + 1 n = − (n + 1) 2 − n(n + 2) n(n + 1) = − 1 n(n + 1) < 0, ∀n ∈ N, nên x n+1 < x n , ∀n ∈ N. Vậy (x n ) là dãy số giảm. Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (x n ). • (x n ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ N. • (x n ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ N. • (x n ) được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số thực m và M sao cho m ≤ x n ≤ M, ∀n ∈ N. Ví dụ 1.3. Xét tính bị chặn của các dãy số Trang 3 Toán cao cấp C1 1. x n = 2n n + 1 , n = 1, 2, . . . 2. x n = n n 2 + 1 , n = 1, 2, . . . 1.2 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.4. Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (x n ) nếu: ∀ > 0, ∃n 0 ∈ N sao cho |x n − a| < , ∀n > n 0 . (1.1) Kí hiệu: lim n→∞ x n = a. • Nếu dãy số (x n ) có giới hạn thì ta nói (x n ) hội tụ. • Nếu dãy số (x n ) không có giới hạn thì ta nói (x n ) phân kì. Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn của các dãy số 1. x n = n + 1 n , n = 1, 2, . . . 2. x n = 1 2 n , n = 1, 2, . . . Giải. 1. Ta dự đoán lim n→+∞ n + 1 n = 1, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi > 0, Trang 4 Toán cao cấp C1 ta cần tìm n 0 ∈ N để bất đẳng thức n + 1 n − 1 < , đúng với mọi n > n 0 . Từ n + 1 n − 1 = 1 n < suy ra n > 1 . Chọn n 0 = 1 + 1 thì n 0 > 1 . Do đó n + 1 n − 1 < , ∀n > n 0 . Vậy ∀ > 0, ∃n 0 = 1 + 1 sao cho n + 1 n − 1 < , ∀n > n 0 . Điều này chứng tỏ lim n→∞ n + 1 n = 1. 2. Ta dự đoán lim n→+∞ 1 2 n = 0, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi > 0, ta cần tìm n 0 ∈ N để bất đẳng thức 1 2 n − 0 < , đúng với mọi n > n 0 . Từ 1 2 n − 0 = 1 2 n < suy ra n > log 2 1 . Chọn n 0 = log 2 1 + 1 thì n 0 > log 2 1 . Do đó 1 2 n − 0 < , ∀n > n 0 . Vậy ∀ > 0, ∃n 0 = log 2 1 + 1 sao cho 1 2 n − 0 < , ∀n > n 0 . Trang 5 Toán cao cấp C1 Điều này chứng tỏ lim n→+∞ 1 2 n = 0. Dãy số dần đến vô cùng Ví dụ 1.5. 1. lim 3 2 n = +∞. 2. lim n −2n 2 n + 1 = −∞. 1.3 Các tính chất Định lý 1.1. Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất. Định lý 1.2. Nếu dãy số (x n ) có giới hạn thì nó bị chặn. Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho 3 dãy số (x n ), (y n ), (z n ). Nếu y n ≤ x n ≤ z n , ∀n ∈ N và lim y n = lim z n = a, thì lim x n = a. Ví dụ 1.6. Tìm giới hạn lim n→∞ 1 √ n 2 + 1 + 1 √ n 2 + 2 + . . . + 1 √ n 2 + n . Giải. Trang 6 Toán cao cấp C1 Từ 1 √ n 2 + 1 ≥ 1 √ n 2 + n , 1 √ n 2 + 2 ≥ 1 √ n 2 + n , 1 √ n 2 + n ≥ 1 √ n 2 + n , suy ra n √ n 2 + n ≤ 1 √ n 2 + 1 + 1 √ n 2 + 2 + . . . + 1 √ n 2 + n . Bằng cách tương tự, ta có 1 √ n 2 + 1 + 1 √ n 2 + 2 + . . . + 1 √ n 2 + n ≤ n √ n 2 + 1 . Thêm nữa lim n→∞ n √ n 2 + 1 = lim n→∞ n √ n 2 + n = 1. Do đó lim n→∞ 1 √ n 2 + 1 + 1 √ n 2 + 2 + . . . + 1 √ n 2 + n = 1. Trang 7 Toán cao cấp C1 Định lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn). Dãy tăng và bị chặn trên (hoặc dãy giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. Ví dụ 1.7. Tìm giới hạn của dãy số (x n ) cho bởi công thức x 1 = √ 2, x n+1 = √ 2 + x n , n = 1, 2, . . Giải. Trước tiên ta chứng minh dãy số (x n ) bị chặn. Thật vậy, bằng qui nạp, ta có x 1 = √ 2 < 2, x 2 = √ 2 + x 1 < √ 2 + 2 = 2. Giả sử x n < 2. Khi đó x n+1 = √ 2 + x n < √ 2 + 2 = 2. Vậy x n < 2, ∀n ∈ N. Tiếp theo ta chứng minh (x n ) là dãy tăng. Ta có x 2 n − x 2 n+1 = x 2 n − x n − 2 = (x n − 2).(x n + 1) Chú ý rằng x n > 0, ∀n ∈ N và x n < 2, ∀n ∈ N, do đó x 2 n − x 2 n+1 < 0, ∀n ∈ N. Kết hợp với x n > 0, ∀n ∈ N, suy ra x n < x n+1 , ∀n ∈ N. Trang 8 Toán cao cấp C1 Vậy (x n ) là dãy tăng và bị chặn trên, do đó hội tụ. Đặt lim n→∞ x n = a. Từ giả t hiết x n+1 = √ 2 + x n , cho n → ∞, ta có phương trình a = √ 2 + a. Phương trình có 2 nghiệm a = 2 và a = −1. Nghiệm a = −1 loại vì x n > 0, ∀n ∈ N. Vậy lim n→∞ x n = 2. Bảng một số giới hạn cơ bản 1. lim 1 n = 0. 2. lim q n = 0, với |q| < 1. 3. lim 1 + 1 n n = e. 4. lim n √ n = 1. Trang 9 [...]... khi x → 0 2 Trang 20 Toán cao cấp C1 3 Ta có √ 4x2 2 √ f (x) 1− 1− 4x 1 + 2x + 1 √ √ lim = 0 = lim = lim 2 x→0 g(x) x→0 x→0 2x 1 + 1 + 2x − 1 1 − 4x √ √ 2 là VCB cấp cao hơn Vậy 1 − 1 − 4x 1 + 2x + 1 khi x → 0 Định nghĩa 3.5 (So sánh các VCL) Cho f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0 • Ta nói f (x) là VCL cấp cao hơn g(x) nếu f (x) = ∞ x→x0 g(x) lim (3.6) • Ta nói f (x) là VCL cấp thấp hơn g(x) nếu... OA = 1 và x là góc lượng giác của cung AC Trang 14 Toán cao cấp C1 π 1 1 1 Nếu 0 < x < , thì S∆AOC = sin x, Shình quạt AOC = x, S∆AOB = tan x 2 2 2 2 Do đó sin x < x < tan x Suy ra π sin x < 1, ∀x ∈ 0, x 2 π Vì sin(−x) = − sin x và cos(−x) = cos x nên, khi x ∈ − , 0 , theo bất đẳng 2 thức trên ta có sin x cos x < < 1 x Trang 15 cos x < Toán cao cấp C1 Vậy sin x π π cos x < < 1, ∀x ∈ − , \{0} x 2 2... VCL) Cho f, g là các VCL khi x → x0 Nếu f (x) là VCL cấp cao hơn g(x) khi → x0 thì f (x) + g(x) ∼ f (x) Ví dụ 3.5 Tìm các giới hạn sau Trang 24 Toán cao cấp C1 √ 3 7x − x5 + 6x √ 1 lim x→∞ 13x3 + x2 − 6 x 2 lim x→∞ √ x4 +1− √ x4 + 3x2 Giải √ 3 1 Xét biểu thức f (x) = 7x − x5 + 6x √ √ 3 5 và 6x khi x → ∞ nên 7x3 − x5 +6x ∼ 7x3 Ta có 7x là VCB cấp cao hơn x √ Tương tự 13x3 + x2 − 6 x ∼ 13x3 √ 3 7x3... đến 0 2 f (x) = 3 2 tan x 3 f (x) = (cos x) 1 x2 π− khi x dần đến 2 khi x dần đến 0 Trang 18 Toán cao cấp C1 3.2 So sánh các VCB và các VCL Định nghĩa 3.3 (So sánh các VCB) Cho f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0 • Ta nói f (x) là VCB cấp cao hơn g(x) nếu f (x) lim = 0 x→x0 g(x) (3.3) • Ta nói f (x) là VCB cấp thấp hơn g(x) nếu f (x) = ∞ x→x0 g(x) lim (3.4) Định nghĩa 3.4 (VCB tương đương) Cho f (x).. .Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 1.1 Tìm giới hạn của các dãy số sau 3n2 + 4n + 2 1 lim 2 n − 2n + 3 √ 2 lim( n2 + n − n) √ 3 lim( 3 n − n3 + n) 3 + 4n 4 lim 1 + 3.4n 2n + 5.6n 5 lim n 3 + 6n n+2 6 lim n+1 2n + 1 7 lim n 2 −1 2 n +1 8 lim n2 + 2 n n 3n2 Bài tập 1.2 Tìm giới hạn của các dãy số sau 2n 1 lim n! 2n 2 lim (n +... 1 x→0 x log (1 + x) 1 8 lim a = (0 < a = 1) x→0 x ln a Trang 16 Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 2.1 Tính các giới hạn sau x2 − 9 1 lim 2 x→3 x − 7x + 12 4x 2 lim √ x→0 9+x−3 2x − x 2 3 lim x→2 x − 2 sin 3x 4 lim x→0 tan 5x 1 − cos x 5 lim x→0 x sin x √ 6 lim ( x2 + x − x) x→±∞ √ 3 3 x +1−1 7 lim x→0 x π 8 lim − x tan x π x→ 2 2 Bài tập 2.2 Tính các giới hạn sau 1 lim x cot x x→0 √ ln x2 + 1 2... x→0 x→0 x0 = 0 và x0 là điểm gián đoạn loại II Trang 33 Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 4.1 Xét tính liên tục của các hàm số sau 2 tan x , khi x = 0; x −4 , khi x = 2; 3 f (x) = x 1 f (x) = x−2 x, khi x = 0 4, khi x = 2 2 1 sin x , khi x = 0; 1 , khi x = 1; 2 f (x) = 1 + 2 1−x 4 f (x) = 1 − cos x 0, khi x = 1 1, khi x = 0 Bài tập 4.2 Xác định và phân loại điểm gián đoạn của các... x→−∞ x→−∞ x 1 x− 1+ 2 x Vậy f (x) là VCL cấp thấp hơn g(x) khi x → −∞ Trang 22 Toán cao cấp C1 3.3 Ứng dụng VCB và VCL để tìm giớn hạn hàm số 0 Định lý 3.1 (Dạng vô định ) Cho f, g là các VCB khi x → x0 0 f (x) f1(x) Nếu f (x) ∼ f1(x) và g(x) ∼ g1(x), thì lim = lim x→x0 g(x) x→x0 g1 (x) Định lý 3.2 (Qui tắc ngắt VCB) Cho f, g là các VCB khi x → x0 Nếu f (x) là VCB cấp thấp hơn g(x) khi → x0 thì f (x)... lim √ = lim √ = lim =− x→∞ x→∞ 2x2 2 x4 + 3x2 + x4 + 1 x→∞ 2 x4 Trang 25 Toán cao cấp C1 Bảng một số VCB tương đương 2 tan x ∼ x khi x → 0 x2 khi x → 0 5 1 − cos x ∼ 2 6 ln(1 + x) ∼ x khi x → 0 3 arcsin x ∼ x khi x → 0 7 ex − 1 ∼ x khi x → 0 4 arctan x ∼ x khi x → 0 8 (1 + x)k − 1 ∼ kx khi x → 0 1 sin x ∼ x khi x → 0 BÀI TẬP Bài tập 3.1 Tính các giới hạn sau 1 − sin 4x − cos 4x x→0 1 + sin 4x − cos... 26 Toán cao cấp C1 5 7 lim x→0 x)3 −1 (1 + x)2 (1 − (1 + x) 3 √ 4 −1 8 lim x→0 1 + x2 + x3 − 1 ln cos x Bài tập 3.2 Tính các giới hạn sau √ 3 8 + 3x − 2 4 lim √ 4 x→0 16 + 4x − 2 √ 2+ 2 sin x x3 + ln(1 + x) 5 lim √ x→0 x+ x x √ 3 1−x e −1 6 lim x→1 ln cos(x − 1) x2 1 lim √ e −1 2 1 + sin x − 1 √ √ tan x + 1 − sin x + 1 2 lim 3 x→0 x x→0 ln(1 + x − 3x2 + 2x3) 3 lim x→0 ln(1 + 3x − 4x2 + x3 ) Bài . BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1 Đoàn Hồng Chương 1 1 Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật Toán cao cấp C1 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1 0. 2. lim q n = 0, với |q| < 1. 3. lim 1 + 1 n n = e. 4. lim n √ n = 1. Trang 9 Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 1.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau 1. lim 3n 2 + 4n + 2 n 2 − 2n + 3 . 2 lim x→0 ln(1 + x) x = 1. 8. lim x→0 log a (1 + x) x = 1 ln a (0 < a = 1). Trang 16 Toán cao cấp C1 BÀI TẬP Bài tập 2.1. Tính các giới hạn sau 1. lim x→3 x 2 − 9 x 2 − 7x + 12 . 2. lim x→0 4x √ 9