11 Chơng 2 Thực hành tính toán trên Maple 2.1. tính toán số học và đại số thông dụng 14 2.1.1. Tính toán với số nguyên 14 Tính giai thừa 14 Tìm ớc số chung lớn nhất (gcd) 14 Tìm bội số chung nhỏ nhất (lcm) 14 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố 15 Tìm các số nguyên tố trớc và sau một số cho trớc 15 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 15 Tìm thơng và phần d 16 Tính theo công thức truy hồi 17 2.1.2. Tính toán với các số thập phân 20 Về độ chính xác của các phép tính số học 20 Tính giá trị của biểu thức số học 21 Tính tổng của hữu hạn và của vô hạn các số hạng 21 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số 22 2.1.3. Tính toán với số phức 23 2.1.4. Tính toán theo Modul 24 Các tính toán Modul thông thờng 24 Giải phơng trình với Modul 26 2.1.5. Khai triển, đơn giản và phân tích biểu thức đại số 27 Khai triển biểu thức đại số 27 Phân tích ra thừa số 28 Phép đơn giản biểu thức 28 Tối giản phân thức 29 Gán tên cho biểu thức và gán trị cho biến 29 Chuyển đổi dạng của biểu thức 30 2.1.6. Định nghĩa hàm số 31 Hàm số thông thờng 31 Hàm từng khúc 31 12 2.1.7. Giải phơng trình và hệ phơng trình 32 Giải phơng trình đại số (có hệ số bằng số hoặc bằng chữ). 32 Giải phơng trình vô tỷ 33 Giải hệ phơng trình 33 2.1.8. Giải bất phơng trình 34 2.2. Vẽ đồ thị và các vấn đề liên quan 35 2.2.1. Vẽ đồ thị trong mặt phẳng 35 Vẽ đồ thị hàm thông thờng 35 Vẽ đồ thị hàm ẩn 37 Các tuỳ chọn cơ bản trong lệnh vẽ đồ thị 38 Một số thí dụ minh họa 41 2.2.2. Vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều 42 Vẽ đồ thị hàm 2 biến 42 Vẽ đờng mức của các hàm 2 biến 44 Vẽ đờng ống trong không gian 3 chiều 46 2.2.3. Vận động của đồ thị 46 2.3. Tính toán trong đại số tuyến tính 48 2.3.1. Các phép toán trên vectơ và ma trận 48 Tạo vectơ và ma trận 48 So sánh hai ma trận 50 Tính tổng của hai ma trận (lệnh đánh giá ma trận tổng) 51 Nhân ma trận 51 Tính tích trong của ma trận và véc tơ (lệnh innerprod) 52 Tính tích véc tơ (tích trực tiếp) bằng lệnh crossprod 53 Tính tích vô hớng của hai véc tơ (lệnh dotprod) 53 2.3.2. Tính giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận 54 Tính đa thức đặc trng 54 Tính giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận 54 Tính giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận số 55 2.3.3. Tính hạng, tính định thức và tính ma trận ngợc 56 Tìm hạng của ma trận 56 Tính định thức và ma trận ngợc của ma trận 57 2.3.4. Giải phơng trình đại số tuyến tính 57 Thiết lập ma trận từ phơng trình và ngợc lại 57 Giải phơng trình đại số tuyến tính 59 2.3.5. Tìm cơ sở cho không gian vectơ 60 Tìm họ véc tơ cơ sở 60 Tìm cơ sở cho không gian véc tơ sinh bởi các dòng (cột) của ma trận 61 Tìm cơ sở cho hạch của ma trận 61 Tìm cơ sở trực chuẩn của không gian sinh bởi một họ các véc tơ 61 13 2.4. Phép tính vi phân và tích phân 62 2.4.1. Phép tính giới hạn 62 Tính giới hạn của hàm số tại một điểm 62 Tính giới hạn theo hớng (trái hoặc phải) 63 2.4.2. Tính đạo hàm của hàm số một biến 63 Tính đạo hàm bậc nhất 63 Các ví dụ minh hoạ 64 Tính đạo hàm cấp cao 65 2.4.3. Tính vi phân hàm nhiều biến, hàm vectơ và ma trận hàm 66 Phép tính đạo hàm của hàm nhiều biến 66 Tính đạo hàm của một hàm véc tơ 67 Tính đạo hàm của một ma trận hàm 67 2.4.4. Hàm ẩn và đạo hàm của nó 68 Hàm ẩn vô hớng 68 Hàm ẩn véc tơ 70 2.4.5. Phép tính tích phân 72 Tính tích phân xác định 72 Tính tích phân không xác định 74 Tính tích phân suy rộng 76 2.4.6. Khai triển hàm số thành chuỗi 76 2.5. Phơng trình Vi phân và Vật lý toán 78 2.5.1. Giải phơng trình vi phân thờng 78 Các phơng trình vi phân thông thờng 78 Các tuỳ chọn trong giải phơng trình vi phân 79 Phơng trình vi phân với các hàm đặc biệt 80 2.5.2. Giải hệ phơng trình vi phân thờng 81 Giải hệ phơng trình vi phân thờng 81 Các tuỳ chọn trong giải hệ phơng trình vi phân 82 Vẽ đồ thị nghiệm của hệ phơng trình vi phân 84 2.5.3. Giải phơng trình đạo hàm riêng 86 Giải phơng trình đạo hàm riêng 86 Vẽ đồ thị nghiệm của phơng trình đạo hàm riêng 86 Phần này giới thiệu những chủ đề tính toán thông dụng nhất. Qua đây chúng ta sẽ mau chóng nắm bắt đợc phơng thức làm việc với Maple, để rồi tự mình khám phá và tìm hiểu về khả năng tính toán tuyệt vời của Maple. Các tính toán chuyên ngành sâu hơn sẽ đợc đề cập trong phần tính toán thực hành trên máy của các giáo trình cho từng bộ môn. 14 2.1. tính toán số học và đại số thông dụng 2.1.1. Tính toán với số nguyên MAPLE là một công cụ mạnh, cho phép tính toán với những số lớn. Đ ể thực hành tính toán, trớc tiên hãy đa vào một cụm xử lý (bằng chức năng Insert/Execution Group/After Cursor ). Sau khi hiện ra dấu nhắc " [>" thì đa lệnh tính toán vào. Với những tính toán số học thông thờng, câu lệnh cũng chính là biểu thức tính toán. Thí dụ, để tính (32).(12 13 ) ta đa vào sau dấu nhắc biểu thức mô tả phép tính này (nhắc lại rằng phép nhân ký hiệu là dấu sao ( * ) và phép luỹ thừa biểu thị bằng dấu mũ (^), còn dấu chấm phẩy ( ;) biểu thị kết thúc của câu lệnh). Sau khi cho thực hiện lệnh thì việc tính toán sẽ đợc thực hiện và ta sẽ nhận đợc ngay đáp số: [> 32*12^13; 342378257213030 4 Maple biết làm rất nhiều phép toán đặc biệt, trong đó có Tính giai thừa Thí dụ Tính 99! nh sau [>99!; 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296 3895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251 1852109168640000000000000000000000 Tìm ớc số chung lớn nhất (gcd) Thí dụ Tìm ớc số chung lớn nhất của 2 số 157940 và 78864 bằng câu lệnh sau: [>gcd(157940,78864); 212 Tìm bội số chung nhỏ nhất (lcm) Thí dụ Tìm bội số chung nhỏ nhất của 2 số 18230 và 3224 bằng câu lệnh sau: [> lcm(18230,3224); 29386760 Dĩ nhiên, có thể tìm bội số chung nhỏ nhất của nhiều số: 15 [>lcm(24,15,7,154,812); 267960 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố Thí dụ Phân tích số 122333444455555666666777777788888888999999999 ra thừa số nguyên tố bằng câu lệnh có cú pháp nh sau: [> ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999 ); (3)(12241913785205210313897506033112067347143)(3331) Nh vậy, ta đã tìm đợc "của hiếm" - một số nguyên tố lớn (trên 40 chữ số !!!). Muốn thiết lập lại tích của các thừa số này ta dùng lệnh bung tích trên ra (Maple hiểu ngầm định ký hiệu (%) là chỉ biểu thức ngay trớc đó, trong các phiên bản cũ ký hiệu này là dấu nháy kép): [> expand(%); 122333444455555666666777777788888888999999999 Tìm các số nguyên tố trớc và sau một số cho trớc Tìm số nguyên tố đứng trớc số nguyên a cho trớc bằng lệnh prevprime(a); Thí dụ: [>prevprime(122333444455555666666777777788888888 999999999); 122333444455555666666777777788888888999999893 Tìm số nguyên tố đứng sau số nguyên a cho trớc bằng lệnh nextprime(a); Thí dụ: [> nextprime(122333444455555666666777777788888888999999999 ); 122333444455555666666777777788888889000000069 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình Giải phơng trình để tìm nghiệm nguyên bằng lệnh isolve với cú pháp nh sau [> isolve(eqns,vars); Trong đó: eqns - tập các phơng trình hoặc một phơng trình 16 vars - tập các tên biến vô định Thủ tục isolve giải phơng trình trên tập các số nguyên, cho phép tìm mọi ẩn vô định tham gia trong các phơng trình. Tập tên các biến vô định (vars) đợc sử dụng để biểu diễn nghiệm, có giá trị nguyên. Nếu ta không chỉ rõ các biến này, hoặc đa không đủ, thì chơng trình sẽ tự tạo ra các tên _N1, _N2 Nếu ta khai báo thừa (nhiều hơn số biến vô định thực tế) thì cũng không sao, chơng trình sẽ không động chạm đến các biến thừa. Nếu không có nghiệm nguyên (hoặc MAPLE không có khả năng tìm nghiệm) thì máy thông báo NULL. Thí dụ [> isolve(3*x-4*y=7); {}, = y + 23_N1 = x + 54_N1 [>isolve(x+2*y+3*z=4,{a}); {},, = y _N2 = x 43a 2 _N2 = z a [>isolve(x+y+z=0,{a,b,c,d}); {},, = z a = yb = x ab [> isolve(x^2+y^2=z^2,{u,v}); = x _N3 () + v 2 u 2 ()igcd , , + v 2 u 2 + v 2 u 2 2 vu = z _N3 () + v 2 u 2 ()igcd , , + v 2 u 2 + v 2 u 2 2 vu ,,{ = y 2 _N3 v u ()igcd , , + v 2 u 2 + v 2 u 2 2 vu } Tìm thơng và phần d Lệnh : irem - tìm phần d nguyên iquo - tìm thơng nguyên Cú pháp: irem(m,n) irem(m,n,'q') iquo(m,n) iquo(m,n,'r') Tham biến: m,n - biểu thức q,r - tên Nếu m và n là hai số nguyên thì lệnh irem tính phần d của m khi chia cho n , và nếu có sự tham gia của biến thứ ba ' q ' thì nó sẽ đợc gán cho thơng. Tơng tự, lệnh iquo tính thơng khi chia m cho n và nếu có sự tham gia của biến thứ ba 'r' thì nó đợc gán cho phần d. Nếu m và n không phải cả hai là những số nguyên thì irem không xác định. 17 Thí dụ Muốn tìm phần d của 23 cho 4 ta dùng lệnh [>irem(23,4,'q'); 3 và thơng của phép chia này biết đợc nhờ lệnh [> q; 5 Ngợc lại, ta có thể thực hiện các lệnh sau để đạt cùng mục đích [> iquo(23,4,'r'); 5 [>r; 3 Khi không có biến thứ 3 [>irem(-23,4); -3 [> irem(23,-4); 3 [>iquo(-23,-4); 5 [>irem(x,3); ()ire m , x 3 Tính theo công thức truy hồi Nhờ MAPLE, bạn có thể tính giá trị của các biểu thức theo công thức truy hồi nh tính số hạng tổng quát của dãy Fibonachi. Muốn tính theo công thức truy hồi, bạn hãy vào lệnh [> rsolve(eqns, fcns); Trong đó, eqns là phơng trình hoặc tập các phơng trình, fcns là tên hàm hoặc tập tên các hàm mà lệnh rsolve phải tìm. 18 Thí dụ Tìm công thức cho hàm f(k) theo công thức truy hồi = () f n 3( ) f n 12( ) f n 2 với giá trị ban đầu bất kỳ [> rsolve(f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(k)); + () + 2( )f0 ( )f1 ( )-1 k () ()f0 ( )f1 ( )-2 k Nếu muốn có công thức của f(k) với giá trị ban đầu cho trớc thì ta phải khai báo giá trị ấy vào eqns [> rsolve({f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(1 2)=1},{f}); {} = ()f n + 3( )-1 n ()-2 n Thí dụ Tính số hạng f(n) của dãy Fibonachi = ()f n + ()f n 1( )f n 2 với điều kiện ban đầu f(1)=1, f(2)=1 [> rsolve({f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(1)=1,f(2)=1},{f}); = ()f n + 1 1 5 5 2 51 n 51 1 1 5 5 2 + 51 n + 51 [> simplify(%); {} = () f n 4 5 52 n () () + 51 () n ()-1 n () 51 () n () 51( ) + 51 Thí dụ Tính số hạng f(n) theo công thức truy hồi = ()f n + 3 f n 2 5 n [> rsolve(f(n) = 3*f(n/2) + 5*n, f(n)); + () f 1 n ()ln 3 ()ln 2 n ()ln 3 ()ln 2 + 15 2 3 + ()ln n ()ln 2 1 10 Muốn có công thức tờng minh của biểu thức truy hồi ta phải làm hai bớc sau Bớc 1 . Gán tên cho biểu thức truy hồi 19 Bớc 2. Tìm công thức tổng quát bằng lệnh rsolve . Thí dụ Giải phơng trình = ()f + n 1 3( )f n 2( )f n 1 với điều kiện ban đầu , = ()f1 2 = ()f2 3 Bớc 1 . Gán tên reqn (phơng trình truy hồi) cho biểu thức truy hồi đã cho [> reqn:=f(n+1)=3*f(n)-2*f(n-1); := reqn = ()f + n 1 3( )f n 2( )f n 1 Bớc 2. Giải phơng trình với điều kiện ban đầu f(1)=2,f(2)=3 [>rsolve({reqn,f(1)=2,f(2)=3},f(n)); + 1 2 2 n 1 Kết quả tính toán truy hồi có thể cho ta một hàm đặc biệt. Thí dụ Tìm ()yn , biết = ()y nn()y n 1 , = ()y0 1 [>rsolve({y(n) = n*y(n-1), y(0)=1}, y); () + n 1 Trong đó (.) là hàm GAMMA đã quen biết trong Giải tích Toán học. Maple có thể giải phơng trình truy hồi phi tuyến. Thí dụ Giải phơng trình truy hồi , = + ()y n ()y n 1()y n ()y n 10 = ()y0 a [> rsolve({y(n)*y(n-1)+y(n)-y(n-1)=0,y(0)=a},y); a + 1 na MAPLE cũng có thể giải hệ phơng trình truy hồi. Thí dụ Giải hệ = + ()y + n 1()f n + 2 () + n 1 n = ()f + n 1()y n + n 2 n 3 với điều kiện ban đầu , = ( ) y = k 15 2 k 1 = ( ) f5 6 ; 20 [>rsolve({y(n+1)+f(n)=2^(n+1)+n,f(n+1)-y(n)=n-2^n+3, y(k=1 5)=2^k-1,f(5)=6},{y, f}); {}, = ()y n 2 n 1 = ()f n + n 1 2.1.2. Tính toán với các số thập phân Về độ chính xác của các phép tính số học Bạn có thể thực hiện các phép toán số học trên các số thập phân (với dấu phẩy động) với độ chính xác theo ý muốn. Trong thực tế, MAPLE có thể xử lý các số với hàng trăm nghìn chữ số. Muốn tính giá trị của đại lợng P chính xác tới m con số, ta sử dụng lệnh evalf(P,m) . Thí dụ Ta hãy tính số Pi chính xác đến 500 chữ số thập phân [>evalf(Pi,500); 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470 9384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964 4622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271 2019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245 8700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133 0530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186 1173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279 381830119491 Muốn tính số e ta hãy lu ý rằng Maple coi nó là giá trị của hàm số mũ exp(x) tại điểm x=1. Thí dụ Tính số e với độ chính xác là 40 chữ số [>evalf(exp(1.0),40); 2.718281828459045235360287471352662497757 Maple hiểu và làm việc trên tất cả các hàm đặc biệt mà chúng ta có trong giáo trình giải tích. Thí dụ Tính giá trị của hàm Gamma tại điểm 2.5, [> evalf(GAMMA(2.5)); 1.329340388 Chú ý Chữ GAMMA trong dòng lệnh là tên riêng chỉ hàm số ga-ma (đã biết trong chơng trình giải tích) nên phải viết hoa theo đúng tên qui định của hàm số này. [...]... bài toán khó trong giải tích toán học và ta sẽ có dịp thực hành kỹ hơn trong phần tính toán thực hành với bộ môn Giải tích Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số Thao tác giống hệt phần trên, chỉ thay chữ "Sum" (tổng) bằng chữ "Product" (tích) 22 i 2 + 3i 11 i + 3 ta vào hai lệnh sau và ấn "Enter", máy sẽ cho i= 0 biểu thức của tích cần tính và đáp số 10 Thí dụ Muốn tính tích [>Product((i^2+3*i-11)/(i+3),i=0... công thức), Thí dụ Muốn tính nhanh tích 1 n [>product((1-1/n^2),n=2 infinity) ; 1 2 Nhận xét: Tích vô hạn liên quan mật thiết với tổng vô hạn và có nhiều công thức thú vị Dùng MAPLE, bạn có thể dễ dàng tính đợc các tích đó Thí dụ (Công thức Euler ) Tính 1 1 4 n2 n=1 [>product(1-1/(4*n^2),n = 1 infinity) ; 2 2.1.3 Tính toán với số phức MAPLE cho phép thực hiện tính toán với số phức Chữ... biểu thức đại số m - số nguyên khác 0 Toán tử mod tính giá trị biểu thức e trên tập số nguyên modul m Nó hợp nhất việc tính toán trên trờng số hữu hạn và các phép tính số học đối với đa thức, ma trận trên trờng hữu hạn, kể cả phép phân tích ra thừa số Việc ấn định modp hay mods đợc thực hiện thông qua biến môi trờng `mod` (giá trị modp đợc xem là mặc định) Khi tính q n mod m , trong đó q là số nguyên,... "giá trị của biểu thức (tổng) trên đây" Sau khi cho thực hiện lệnh, trên màn hình sẽ hiện giá trị tổng cần tính 21 10 Thí dụ Muốn tính tổng 1+ i 1+ i i =1 4 , bạn hãy vào hai lệnh sau và ấn "Enter", máy sẽ cho ngay kết quả : [>Sum((1+i)/(1+i^4),i = 1 10); 10 i=1 1 +i 1 + i4 [>value(%); 51508056727594732913722 40626648938819200088497 2 Tính tổng vô hạn Thao tác giống hệt nh trên, chỗ khác duy nhất là... 3+5I Thí dụ Tính 7+4I [>(3+5*I)/(7+4*I); 41 23 + I 65 65 23 Bằng lệnh "biến đổi f về dạng toạ độ cực" convert(f,polar) bạn có thể dễ dàng biến đổi số phức f về dạng toạ độ cực (r,), trong đó r là môđun và là argumen của số phức trong biểu thức [>convert((3+5*I)/(7+4*I),polar); 1 23 polar 65 2210, arctan 41 2.1.4 Tính toán theo Modul Các tính toán Modul thông thờng Tính modul m trên tập số.. .Tính giá trị của biểu thức số học Tính chính xác các phép toán số học là khả năng mạnh có tính nguyên tắc của MAPLE Các phép chia và khai căn trong tính toán không bị đổi sang các phân số thập phân (gần đúng) tơng đơng Khả năng này cho phép tránh đợc sai số khi làm tròn Thí dụ... x9 +6435 y 7 x8 + 6345 y 8 x 7 + 5005 y 9 x 6 + 3003 y10 x5 + 1365 y11 x 4 + 455 y12 x3 +105 y13 x 2 + 15 y14 x + y15 Phân tích ra thừa số Phép toán này thực chất là ngợc của phép khai triển nói trên Bạn có thể dùng nó để kiểm tra các tính toán đã thực hiện ở trên Lệnh phân tích một đa thức ra thừa số là factor(.) Thí dụ, ta phân tích đa thức sau đây ra thừa số x4 10 x3 + 35 x2 50 x + 24 bằng lệnh... [>implicitplot(x^2-y^2-x^4+y^3=0, x=-1 1, y=-0.5 1.5); 37 Cần lu ý rằng các tính toán xấp xỉ thờng chỉ cho ta một hình ảnh gần đúng với thực tế Khi cho độ chính xác càng cao thì hình ảnh càng trung thực, nhng thời gian tính toán sẽ càng lâu, cho nên ngời ta thờng chọn chế độ mặc định là độ chính xác "vừa phải" Trong thí dụ trên, với chế độ chính xác mặc định ta thấy đồ thị gồm 2 phần rời nhau, không... 1.Bài toán tính tổng hữu hạn Ta sẽ tiến hành các bớc sau: Bớc 1 Lấy dấu nhắc "[>" (bằng việc vào chức năng Insert/Execution group/After cursor) rồi đa vào dòng lệnh có cú pháp nh sau: [>Sum(f(i),i=m n); Trong đó, Sum là viết tắt của tổng, f(i) là số hạng thứ i của tổng, i=m n có nghĩa là i chạy từ m đến n Sau khi cho thực hiện lệnh này, máy sẽ cho ta công thức biểu diễn tổng cần tính Bớc 2 Muốn tính. .. Thí dụ Muốn tính tổng vô hạn 1 k k =1 ta cũng sử dụng hai lệnh sau đây: 2 [>Sum( 1/(k^2),k = 1 infinity); k=1 1 k2 [>value(%); 1 2 6 Chú ý Muốn có kết quả nhanh, bạn thay chữ S (hoa) trong chữ "Sum" bằng chữ s thờng, máy sẽ đa ta đến thẳng đáp số (bỏ qua công đoạn biểu diễn công thức) [>sum( 1/(k^2),k = 1 infinity); 1 2 6 Chú ý Bài toán 2 chính là bài toán tính tổng của chuỗi, một bài toán khó trong . phần tính toán thực hành trên máy của các giáo trình cho từng bộ môn. 14 2.1. tính toán số học và đại số thông dụng 2.1.1. Tính toán với số nguyên MAPLE là một công cụ mạnh, cho phép tính toán. Chú ý Bài toán 2 chính là bài toán tính tổng của chuỗi, một bài toán khó trong giải tích toán học và ta sẽ có dịp thực hành kỹ hơn trong phần tính toán thực hành với bộ môn Giải tích. Tính tích. 11 Chơng 2 Thực hành tính toán trên Maple 2.1. tính toán số học và đại số thông dụng 14 2.1.1. Tính toán với số nguyên 14 Tính giai thừa 14 Tìm ớc số chung lớn